193442 7a Lista de Exercicios Autovalores e Autovetores

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FTC – Faculdade de Tecnologia e Ciências
Cursos de Engenharia
Disciplina: Álgebra Linear
Profº : Ernani Previtera Santos
7a Lista de Exercícios
Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear.
Autovalores e Autovetores
1) Seja T: R2 ( R2 ; T(x, y ) = (2x (y, (8x + 4y ). Quais dos seguintes vetores estão em Im(T)?
a) ( 1, (4 ); b) (5, 0 ); c) ( (3, 12 )
2) Considere o operador do item anterior. Verifique quais dos seguintes vetores estão em N(T).
a) ( 5, 10 ); b) (3, 2 ); c) ( 1, 2 )
3) Para cada uma das transformações lineares a seguir, determinar o núcleo, a imagem e bases para esses subespaços. Verifique o Teorema da Dimensão do Núcleo e da Imagem.
T: R2 ( R2 ; T(x, y ) = (3x (y, (3x + y )
T: R2 ( R3; T(x, y ) = ( x + y, x, 2y )
T: R3 ( R2; T(x, y, z ) = (x + 2y ( z, 2x ( y + z )
T: R3 ( R3; T(x, y, z ) = ( x (3y, x (z, z ( x )
4) Para cada uma das transformações T a seguir, calcule N(T) e Im(T)
T: R3 ( R3 ; Projeção do R3 sobre o plano XY
T: R3 ( R3 ; Reflexão em torno da origem
T: R2 ( R2 ; Projeção do R2 sobre o eixo OX.
T: R2 ( R2 ; Cisalhamento na direção de OY de fator 3 ( T(x,y) = T(x, y + 3x ) )
T: R2 ( R2 ; Reflexão em torno da reta y = x
5) Seja T: R4 ( R3 ; e ( = { e1, e2, e3, e4 } a base canônica do R4. Sabendo que 
T(e1) = (1, (2, 1 ); T(e2) = ( (1, 0, (1 ); T( e3 ) = (0, (1, 2 ); T(e4 ) = ( 1, (3, 1 ),
Calcule núcleo , imagem e base para os respectivos espaços
6) Seja P3(R) e P2(R) o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a dois e menor ou igual a 3 respectivamente. Seja D: P3(R) ( P2(R) o operador derivação, ou seja, D(p(t)) = p´(t). (Observe que este operador é linear ). Descreva o núcleo desse operador.
7) Considere as transformações a seguir dadas através das suas matrizes canônicas A. Encontre para cada uma delas: i) a dimensão do núcleo e da imagem e base para esses subespaços; ii) se a transformação é injetora e sobrejetora; iii) se a transformação possui inversa; iv) a inversa da transformação caso ela seja inversível 
a) 
; b) 
; c) A = 
; d) A = 
e) A = 
; f) A =
8) Encontre os autovalores e bases para os autoespaços das seguintes transformações dadas através das suas matrizes canônicas
a) A = 
; b) A = 
; c) A = 
; d ) A = 
; e) A = 
; f) A = 
9) Verifique que os operadores dos exercícios 8 a) e 8 d) possuem autovetores que formam base para os espaços R2 e R3 respectivamente. Encontre a matriz associada aos operadores em relação à base de autovetores. Observe que a matriz é diagonal e que os elementos da diagonal são os autovalores dos operadores
10) Encontre os autovalores e autoespaços, se existirem, para as seguintes transformações do plano
Reflexão em torno do eixo OX
Reflexão em torno da reta y = x
11) Encontre o operador linear T sabendo que T tem autovalores iguais a (2 e 3 associados respectivamente aos autovetores da forma ( 3y, y ) e ( (2y, y ) 
12) A Rotação
A operação que gira cada vetor do R2 por um ângulo fixado ( é chamada de uma rotação do R2 de ângulo (. 
Vamos supor que o operador T( gira o vetor v = ( x, y ) no sentido anti-horário por um ângulo positivo ( obtendo o vetor w = T( (v ) = ( x´, y´).
Seja ( o ângulo formado pelo vetor v e o eixo 0x e r o módulo dos vetores v e w .
Da trigonometria básica temos que 
x = r cos( e y = r sen( 
x´ = r cos ( ( + () e y ´= r sen( ( + ( )
a) A partir de identidades trigonométricas conclua que 
e portanto, T( ( x, y ) = ( x cos ( ( y sen (, x sen ( + y cos ( )
b) Encontre a matriz da transformação T(
c) Calcule o núcleo e a imagem de T90(
d) Mostre que T90( não tem autovalor real
e) Calcule a matriz da rotação T45(
f) Calcule T45( (1, 1 ); T45( ( (1, 1 ); T45( (1, 0 );
Respostas:
1) a) e c); 2) c):
3) a) N(T)= [ (1,3) ]; Im(T) = [ ( (1, 1 ) ]; b) N(T)= { (0,0 ) }; Im(T) = [ ( 1, 1, 0 ), ( 1, 0, 2 ) ]; c) N(T)= [ (1, (3, (5 ) ]; Im(T) = R2; d) N(T)= [ (3,1,3) ]; Im(T) = [ ( 1, 1, (1 ), ( 0, 1, (1 ) ]; 
4) a) N(T)= [ (0,0,1) ] ( eixo 0Z); Im(T) = [ ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ) ] (plano XY); 
b) N(T)= { (0, 0, 0) }; Im(T) = R3; 
c) N(T)= [ (0,1) ] ( eixo 0Y ); Im(T) = [ ( 1, 0 ) ] ( eixo 0X ); 
d) e e)N(T)= { ( 0, 0)} Im(T) = R2;
5) N(T) = [ (3, 1, 0, 2 ) ]; Im( T) = R3; 
6) N(D) é o conjunto dos polinômios da forma p(t) = k ( k uma constante )
7) a) dimN(T) = 0 e dimIm(T) = 2; T é injetora e sobrejetora logo possui inversa e a matriz da inversa é 
; b) dimN(T) = 1 e dimIm(T) = 1; N(T) = [ (1,2)] e Im(T) = [(3, 2)]; não é nem injetora nem sobrejetora e portanto não possui inversa; c) dimN(T) = 1 e dimIm(T) = 2; N(T) =[ ( 1, 1, (3 ) [ e Im(T) = [ 1, 0, 1), (0, 1, (2)]; não é nem injetora nem sobrejetora e portanto não possui inversa
d) dimN(T) = 0 e dimIm(T) = 3; T é injetora e sobrejetora e a matriz da inversa é 
; e) dimN(T) = 0 e dimIm(T) = 2.; Im(T) = [ (1,2,1), (0,1,1) ]; T é injetora mas não é sobrejetora, logo não possui inversa. f) dimN(T) = 1 e dimIm(T) = 2; 
N(T) = [ (1, (2, 1)]; Im(T) = R2; T é sobrejetora mas não é injetora, logo não possui inversa.
8) a) ( = (1; ( = 3; V( (1) = [ (0, 1)]; V(3)= [(1,2)]; b) ( = 6; ( = ( 6; V( 6) = [(3,2)];
V( (6)=[ (3, (2) ]; c) ( =1 V(1) = [(1,0), (0,1)] = R2; d) ( = (1; ( = 2; ( = 3; V( (1) = [(1,1,1)]; V(2) = [ (1, 1, 0 ) ]; V(3) = [ (1,0,0)]; e) ( = 2; ( = 3 ; V(2) = [(0,0,1)]; V(3)=[( (2, 1, 1 ) ]; f) ( = 2; ( = 1; V( 2 ) = [(1,0,0), (0,1,0)]; V(1) = [ (0, (2, 1) ]
9) 8a) Base de autovetores: ( = { (0,1), (1,2) }; 
; 8d) Base de autovetores ( = { (1,1,1), (1,1,0),(1,0,0)}; 
10) a) ( = (1 e ( = 1; V( (1) = [ ( 1, 0 )]; V(1)= [ (0,1)]; b) ( = (1 e ( = 1; V((1) = [(1, (1 )]; V(1)= [ (1,1)]; 11) T(x, y ) = ( (6y, y – x )
12) b) 
; c) N(T90() = {(0,0)} e Im(T90() = R2; e) [T45(] = 
; f) T45((1,1) = 
; T45(((1,1) = 
; T45((1,0) = 
(x,y)
 T( (x,y) = (x´,y´)
(
(
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