MICRO I 2017 2 (Aula 11 Modelo com Renda Endógena)

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/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 11 
 
Modelo com Dotações Iniciais e Renda Endógena 
 
No Problema de Maximização da Utilidade (PMU), os preços e a renda monetária eram 
exógenos (dados). 
Neste modelo, considera-se que o consumidor possui dotações iniciais dos bens e ao vendê-
los aos preços dados, gera uma renda monetária que é endógena. 
 
O problema do consumidor se modifica para incluir a renda endógena e será especificado 
como: 
𝑴𝒂𝒙 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, … , 𝒙𝒏) 
sujeito a 𝒑𝟏𝒙𝟏 + 𝒑𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒏𝒙𝒏 = 𝒑𝟏𝒘𝟏 + 𝒑𝟐𝒘𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒏𝒘𝒏 
onde, 
𝑈(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) : função utilidade (função objetivo) 
𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) : cesta de consumo 
𝑤 = (𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛) : cesta de dotações iniciais (bens e ativos) 
𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, … , 𝑝𝑛) : preços (praticados para bens e dotações) 
𝑝𝑤 = 𝑝1𝑤1 + 𝑝2𝑤2 + ⋯ + 𝑝𝑛𝑤𝑛 : valor das dotações (renda gerada pela venda) 
 
Do lado direito da equação de restrição aparece agora uma renda monetária que é obtida pela 
venda das dotações. 
A solução deste problema (método de Lagrange) resulta na demanda 
𝒙𝒊
∗(𝒑, 𝒑𝒘), que é função dos preços e do valor das dotações. 
 
Demanda Bruta e Demanda Líquida 
A Restrição Orçamentária do modelo com renda endógena é dada por, 
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 + ⋯ + 𝑝𝑛𝑥𝑛 = 𝑝1𝑤1 + 𝑝2𝑤2 + ⋯ + 𝑝𝑛𝑤𝑛 
Que pode ser reescrita como, 
𝑝1(𝑥1 − 𝑤1) + 𝑝2(𝑥2 − 𝑤2) + ⋯ + 𝑝𝑛(𝑥𝑛 − 𝑤𝑛) = 0 
onde: 
𝑥𝑖 : é a demanda bruta pelo bem i 
(𝑥𝑖 − 𝑤𝑖) : é a demanda líquida pelo bem i 
Se (𝑥𝑖 − 𝑤𝑖) > 0 ⟹ 𝑥𝑖 > 𝑤𝑖 ⟹ o consumidor é chamado de demandante (ou comprador) 
líquido do bem i. 
Se (𝑥𝑖 − 𝑤𝑖) < 0 ⟹ 𝑥𝑖 < 𝑤𝑖 ⟹ o consumidor é chamado de ofertante (ou vendedor) 
líquido do bem i. 
 
Para o caso de 2 bens 
 
Cesta de Dotações, demandas brutas e líquidas: 
(𝑤1, 𝑤2): cesta de dotações 
(𝑥1, 𝑥2): demandas brutas pelos bens 1 e 2 (positivas) 
(𝑥1 − 𝑤1, 𝑥2 − 𝑤2): demandas líquidas pelos bens (positivas ou negativas); 
 
Restrição Orçamentária 
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑝1𝑤1 + 𝑝2𝑤2 ⇒ 𝑝1(𝑥1 − 𝑤1) + 𝑝2(𝑥2 − 𝑤2) = 0 
 
Por esta equação, nota-se que o consumidor jamais poderá ser, ao mesmo tempo, 
demandante ou ofertante líquido dos dois bens. 
 
Observe que tanto a cesta de dotações (𝑤1, 𝑤2) quanto a cesta escolhida (𝑥1, 𝑥2) são pontos 
da mesma reta orçamentária quando estão avaliadas aos mesmos preços (𝑝1, 𝑝2). 
 
Nos gráficos abaixo, vê-se o caso de um consumidor do bem 1 nas situações onde ele é: 
- Ofertante líquido, Figura (a); e, 
- Demandante líquido, Figura (b). 
 
 
 
 
 
(a) 
 
(𝑥1 − 𝑤1) < 0 
Ofertante 
(vendedor) 
líquido do bem 1 
 
(b) 
 
(𝑥1 − 𝑤1) > 0 
Demandante 
(comprador) líquido 
do bem 1 
 
Mudanças nas Dotações 
 
 
 
Um aumento ou redução das dotações possuídas pelo consumidor expande ou contrai o 
conjunto orçamentário. Assim, o consumidor sempre preferirá uma cesta com maiores 
dotações, pois, assim, ele poderá obter uma renda monetária maior com sua venda. 
Em termos de bem-estar, ele estará melhor sempre que ocorrer uma variação positiva nas 
dotações. 
 
Mudanças nos Preços 
 
No modelo anterior, com renda exógena, mantendo-se esta renda monetária e os preços 
dos outros bens constantes, a equação de Slutsky explicava a decomposição do efeito total 
de uma variação no preço de um bem sobre a demanda em dois efeitos: efeito substituição e 
efeito renda. 
 
Neste modelo com renda endógena (dotações), as variações de preços alteram também 
a renda monetária. 
 
Vale dizer que, qualquer que seja a variação nos preços relativos, a reta orçamentária se 
tornará mais ou menos inclinada, mas sempre incluirá o ponto que representa a cesta de 
dotações. Isto ocorre porque, independente das mudanças nos preços, a cesta de dotações 
será sempre possível de ser adquirida. É como se a reta orçamentária girasse em um 
movimento ‘pivotante’ sobre o ponto que representa a cesta de dotações com as mudanças 
nos preços relativos. Veja o gráfico abaixo. 
(𝑤1
′ , 𝑤2
′ ) < (𝑤1, 𝑤2) 
Bem-estar: Pior 
(𝑤1
′ , 𝑤2
′ ) > (𝑤1, 𝑤2) 
Bem-estar: Melhor 
(𝑤1
′ , 𝑤2
′ ) = (𝑤1, 𝑤2) 
Bem-estar: invariável 
 
 
Modelo com Renda Endógena, Preferência Revelada e Bem-Estar 
 
Suponha uma redução do preço do bem 1 (𝒑𝟏 ↓) e as seguintes situações encaradas pelo 
consumidor: 
 
Situação 1: O consumidor é, originalmente, ofertante líquido do bem 1 e, após a 
mudança de preço, decide permanecer como ofertante líquido deste bem. 
 
Comentário: Utilizando o princípio da preferência revelada, podemos inferir sobre o nível de 
bem-estar do consumidor após a redução do preço do bem 1. Se o consumidor permanecer 
como ofertante líquido do bem 1, sua nova escolha, a cesta x1, estará dentro do conjunto 
orçamentário l0, ou seja, todas as escolhas em l1, no segmento de reta à esquerda do ponto 
de dotações (𝑤1, 𝑤2), já eram possíveis para o consumidor quando houve a diminuição do 
preço. Assim, estas escolhas são piores do que a cesta original, x0. Conclui-se, portanto, que 
o nível de bem-estar deste consumidor estará pior (𝑥0 ≻ 𝑥1). 
 
Situação 2: O consumidor é, originalmente, ofertante líquido do bem 1 e decide 
passar a ser demandante líquido deste bem. 
 
Comentário: Novamente, pelo o princípio da preferência revelada, a decisão do consumidor 
de passar de ofertante (no orçamento 𝑙0) para demandante (no orçamento 𝑙1) significa que 
sua nova escolha estará no segmento de reta à direta do ponto de dotações neste novo 
orçamento. Assim, visto que não há como determinar qual curva de indiferença estaria mais à 
direita - se a que passa pelo ponto de escolha inicial, 𝑥𝑜, ou a que passa pelo ponto de escolha 
final, 𝑥1 - nada pode ser afirmado quanto à variação de bem-estar do consumidor. 
 
Situação 3: O consumidor é demandante líquido do bem 1 e permanece como 
demandante líquido deste bem. 
 
Comentário: Neste caso, está claro que a curva de indiferença que passa pelo ponto de escolha 
final, 𝑥1 , situa-se acima daquela que passa pelo ponto de escolha inicial, 𝑥0 . Conclui-se, 
portanto, que o consumidor estará em melhor situação em termos de bem-estar. 
 
Curvas de Preço-Consumo e de Demanda 
 
Figura A: A curva de preço-consumo sempre passará pelo ponto que representa a cesta de 
dotações. Isto ocorre porque, a qualquer preço, a cesta de dotações poderá ser a cesta 
demandada. Ou seja, o consumidor poderá escolher, de maneira ótima, não fazer nenhuma 
troca. 
Figura B: O consumidor pode decidir ser demandante líquido do bem 1 para alguns preços 
(segmento da curva de demanda à direita da dotação) e ser ofertante líquido do mesmo bem 
para outros (pontos à esquerda da dotação). 
 
 
Demanda Líquida, Demanda Bruta e Oferta Líquida 
 
 
 
 
 
 
A Equação de Slutsky Revisitada 
 
Neste modelo, além do efeito substituição, a equação de Slutsky deve captar o efeito renda-
dotação líquido para determinar o efeito total de uma mudança de preço na demanda bruta 
de um bem 𝑥𝑖(𝑝, 𝑝𝑤). 
 
Diferenciando-se totalmente a função demanda 𝒙𝒊(𝒑, 𝒑𝒘) em relação ao preço do bem i, 
resulta: 
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑝𝑤)
𝜕𝑝𝑖
=
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑝𝑤)
𝜕𝑝𝑖
|
𝑝𝑤=𝑐𝑡𝑒
+
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑝𝑤)
𝜕(𝑝𝑤)
.
𝜕(𝑝𝑤)
𝜕𝑝𝑖
 (1) 
Observe que o primeiro termo do lado direito da equação (1) é igual ao da Equação de Slutsky 
com renda monetária constante. Portanto, 
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑝𝑤)
𝜕𝑝𝑖
|
𝑝𝑤=𝑐𝑡𝑒
=
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝,𝑈)
𝜕𝑝𝑖
− 𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑝𝑤)
𝜕(𝑝𝑤)(2) 
O termo 
𝜕(𝑝𝑤)
𝜕𝑝𝑖
 do segundo termo do lado direito da equação (1) é igual a 𝑤𝑖. 
Substituindo-se na equação (1), temos: 
𝜕𝑥𝑖(𝑝, 𝑝𝑤)
𝜕𝑝𝑖
=
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝, 𝑈)
𝜕𝑝𝑖
− 𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖(𝑝, 𝑝𝑤)
𝜕(𝑝𝑤)
+
𝜕𝑥𝑖(𝑝, 𝑝𝑤)
𝜕(𝑝𝑤)
𝑤𝑖 
Arrumando-se os termos, obtêm-se a nova Equação de Slutsky, 
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑝𝑤)
𝜕𝑝𝑖
=
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝,𝑈)
𝜕𝑝𝑖
+ (𝑤𝑖 − 𝑥𝑖)
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑝𝑤)
𝜕(𝑝𝑤)
 (3) 
Nesta equação (3), o primeiro termo do lado direito é o efeito-substituição e o segundo termo 
é denominado efeito renda-dotação líquido que capta o efeito de uma mudança nos preços 
sobre as dotações iniciais do consumidor. 
 
Análise dos Sinais 
Considere o bem i normal e que 𝑝𝑖 ↑ (aumento no preço do bem i): 
i. Se o consumidor for ofertante (ou vendedor) líquido, então, os termos 
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑝𝑤)
𝜕(𝑝𝑤)
 e (𝑤𝑖 − 𝑥𝑖) 
são positivos. O efeito renda-dotação líquido é positivo. Significa que ele poderá obter uma 
renda maior com a venda do bem i (se sentirá mais rico) e poderá aumentar o consumo 
do bem i. Entretanto, o sinal do termo da esquerda é ambíguo, valerá o sinal do efeito 
mais significativo. 
ii. Se o consumidor for demandante (ou comprador) líquido, então, 
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑝𝑤)
𝜕(𝑝𝑤)
> 0 e 
(𝑤𝑖 − 𝑥𝑖) < 0. Ele pagará mais caro pelo bem i (se sentirá mais pobre). Neste caso, o efeito 
renda-dotação líquido reforça a redução do consumo do bem i. 
 
Literatura: 
VARIAN, Hal R. (2012) Cap. 9 
RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 12) 
VASCONCELLOS (2011) Cap. 9 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Mostre graficamente e comente a mudança no nível de bem-estar de um consumidor que 
possui dotações de dois bens usando o princípio da preferência revelada para cada uma das 
seguintes situações: 
 
(a) O preço do bem 1 se reduz: 
(i) O consumidor é inicialmente ofertante líquido e decide permanecer ofertante 
líquido; 
(ii) O consumidor é inicialmente demandante líquido e decide permanecer 
demandante líquido; 
(iii) O consumidor é inicialmente ofertante líquido e decide ser demandante líquido; 
(iv) O consumidor é inicialmente demandante líquido e decide ser ofertante líquido. 
 
(b) O preço do bem 1 aumenta: 
(i) O consumidor é inicialmente ofertante líquido e decide permanecer ofertante 
líquido; 
(ii) O consumidor é inicialmente demandante líquido e decide permanecer 
demandante líquido; 
(iii) O consumidor é inicialmente ofertante líquido e decide ser demandante líquido; 
(iv) O consumidor é inicialmente demandante líquido e decide ser ofertante líquido.