Relatório Elementos ohmicos e nao ohmicos

Prévia do material em texto

1 
Professor: Mauro G. Rodbard Quarta-feira, 07h30min Equipe: 5 
 
 Elementos Ôhmicos e não-Ôhmicos 
G. R. Machado, J. Z. Rodrigues, M. V. Rheinheimer 
Universidade Federal do Paraná 
Centro Politécnico – Jardim das Américas – 81531-980 – Curitiba – PR - Brasil 
e-mail: gustavo.rossetim@ufpr.br 
 
Resumo: Os experimentos executados tiveram por fim estudar a relação entre diferença de 
potencial, intensidade de corrente e resistência elétrica para três diferentes equipamentos: resistor, 
diodo e lâmpada. As análises sobre os dados obtidos permitiram categorizar os equipamentos em 
elementos que seguem a Lei de Ohm, sendo denominados elementos ôhmicos, e elementos que não 
seguem a lei, sendo assim não-ôhmicos. As análises e estudos também permitiram apontar as razões 
físicas e conclusões dos comportamentos ôhmico do resistor e não-ôhmicos da lâmpada e do diodo. 
 
Palavras chave: lei de Ohm, elementos ôhmicos, elementos não-ôhmicos. 
 
Introdução 
 Ao aplicarmos em um dispositivo uma diferença 
de potencial V, surge uma corrente elétrica I devido 
ao movimento dos portadores de carga, elétrons, me-
dida pela Lei de Ohm (equação 01). A oposição ao 
fluxo da corrente é denominada de resistência elé-
trica R. 
 A Lei de Ohm é uma equação matemática, na qual 
a intensidade de corrente é proporcional a variação 
da diferença de potencial, e a constante de proporci-
onalidade é o inverso da resistência elétrica. 
I = (
1
𝑅
).V (1) 
 A unidade de resistência no SI é volt por ampère, 
nomeada de ohm em homenagem ao físico alemão 
Georg Simon Ohm (1789-1854) [1]. 
R[Ω]=V[V]I [A] 
 Para dispositivos que obedecem essa lei o gráfico 
corrente-voltagem é linear, coincidindo com a bisse-
triz dos quadrantes ímpares. No entanto, existem 
muitos dispositivos para os quais essa lei não é vá-
lida, esses são denominados elementos não ôhmicos 
- em contraposição aos ôhmicos, que seguem a Lei 
de Ohm. Nesses casos o gráfico IxV é não linear. 
Vale acrescentar que para a maioria dos materiais, 
seja o dispositivo ôhmico ou não ôhmico, essa rela-
ção depende da temperatura. A resistência ao movi-
mento de deriva ocorre quando os elétrons interagem 
com átomos do metal dispostos em rede. Quando a 
temperatura do metal aumenta, o movimento dos 
átomos da rede aumenta. Isso, por sua vez, aumenta 
a maior probabilidade de que os elétrons interajam 
com os átomos, o que efetivamente aumenta a resis-
tência do material. [1] 
 Um exemplo de dispositivo eletrônico que não 
obedece a Lei de Ohm é o diodo, projetado para con-
duzir corrente somente em um sentido, ou seja im-
pede o fluxo de corrente quando a polaridade da 
fonte é invertida. Para esse equipamento existe uma 
tensão de condução, na qual passa de isolante para 
condutor. Esse dispositivo é muito utilizado para 
converter corrente alternada em contínua. 
 O trabalho necessário para a fonte de fem deslocar 
uma quantidade de carga infinitesimal, dq, desde o 
terminal negativo da bateria até seu terminal positivo 
é igual ao aumento de energia potencial elétrica da 
cragar, dU [1]. Considerando a definição de corrente, 
i = dq/dt, e de potência, P = dU/dt, podemos rees-
crever a expressão da energia potencial : 
dU=dq.ΔV=i.dt.ΔV 
P=i.ΔV (2) 
 As cargas circulantes cedem energia aos átomos 
do resistor e quando colidem com eles a temperatura 
do resistor aumenta, a menos que haja um fluxo de 
calor para fora do mesmo. Diz-se que a energia é dis-
sipada no resistor a taxa de I2. R [2]. 
 Todos os corpos que sofrem aquecimento emitem 
radiação eletromagnética em um contínuo espectro 
de frequências, em que caso essa temperatura seja 
consideravelmente alta, o corpo passa a emitir luz no 
espectro visível. Esse efeito é observado, por exem-
plo, em um filamento de tungstênio oxidado de uma 
lâmpada pelo qual pode-se variar a intensidade da 
corrente elétrica como realizado no experimento [3]. 
 Com isso podemos observar que a emissividade 
de radiação dos corpos aumenta conforme a tempe-
ratura do corpo (T) aumenta e que também é fruto de 
diferentes comprimentos de onda (λ). Portanto, de 
forma geral, pode-se dizer que quando um corpo está 
a uma certa temperatura, existe uma função ɛ (λ, T) 
que pode descrever sua emissividade. Essa função 
emissividade também pode ser chamada de emissão 
espectral e está compreendida entre valores de 0 (que 
representa um perfeito refletor) e 1 (um corpo negro 
ideal) [4]. 
 Josef Stefan em 1879, a partir de resultados expe-
rimentais de John Tyndall publicados em 1864, con-
cluiu que a energia total emitida por um corpo é pro-
porcional a quarta potência da temperatura absoluta, 
o que foi demonstrado rigorosamente em 1884 por 
 2 
Ludwig Boltzmann, utilizando-se da teoria eletro-
magnética de James C. Maxwell e considerando a ra-
diação como uma máquina térmica [5]. Unindo os 
conceitos desenvolvidos por Stefan e Boltzmann, 
pode-se dizer que a potência emitida por um corpo 
qualquer a uma temperatura qualquer é dado por: 
𝑃 = 𝜀. 𝜎. 𝐴(𝑇4 − 𝑇0
4) (3) 
Onde 𝜎 =5,6704 x 10-8 W/m2.K-4 é a constante 
de Stefan-Boltzmann, T0 é a temperatura ambiente e 
A é a área de radiação do corpo. 
Procedimento Experimental 
 O experimento realizado em laboratório se 
dividiu em três etapas com procedimentos 
semelhantes para coleta de parâmetros de três 
circuitos com diferentes equipamentos: resistor, 
diodo e lâmpada incandescente. Em todas etapas foi 
montado um circuito fechado composto de uma 
fonte fornecedora de força eletromotriz, um 
multímetro ligado na função de voltímetro, na escala 
de 1000V em corrente contínua, posicionado em 
paralelo ao equipamento a ser estudado e um 
multímetro ligado na função amperímetro, na escala 
de 2 A, posicionado em série com o circuito. Dessa 
forma, o voltímetro irá medir a diferença de 
potencial associada ao equipamento enquanto a 
corrente que o atravessa é medida pelo amperímetro. 
Os circuitos são esquematizados na figura : 
Um cuidado a ser tomado durante a montagem do 
circuito é de garantir que o voltímetro e o 
amperímetro possuem a polaridade no mesmo 
sentido que a fonte, ou seja, que as pontas de prova 
vermelhas estejam orientadas para o pólo positivo da 
fonte enquanto as pontas de prova pretas estejam 
orientadas para o pólo negativo da fonte. Dessa 
forma os sinais dos dados recolhidos serão corretos 
para o sentido da corrente. Além disso, para garantir 
que os dados possuíssem a melhor precisão 
experimental possível, a escala dos multímetros foi 
ajustada até se obter uma leitura com maior 
quantidade de algarismos significativos. 
Para o primeiro procedimento experimental foi 
analisado um resistor de resistência nominal de 1kΩ, 
(A) (B) (C) 
Fig 1 - Esquemas experimentais para os 
circuitos de: (A) resistor, (B) diodo, (C) lâmpada 
incandescente. 
o qual teve sua resistência real previamente medida 
em um multímetro ligado na função ohmímetro. 
Após ser posicionado em paralelo ao voltímetro, 
esquematizado na figura 2A, a fonte foi ligada 
fornecendo diferenças de potencial de 1 até 10 volts, 
variando em 1 volt a cada medida. Os valores das 
diferenças de potencial e intensidade da corrente 
medidas nos multímetros foram anotados em uma 
tabela com seus respectivos valores e unidades para 
cada valor de diferença de potencial fornecida pela 
fonte. Ainda com o resistor ligado ao circuito, os 
pólos da fonte foram invertidos e as mesmas medidas 
foram realizadas, verificandoassim o 
comportamento do resistor com a corrente em outro 
sentido. 
Para o segundo procedimento experimental foi 
analisado um diodo, no qual foi lida a polaridade em 
um multímetro ligado na função diodo. Encaixando-
o no multímetro nas duas posições possíveis, aquela 
que apresentou um valor numérico diferente de 1 é a 
orientação na qual o diodo permite a passagem de 
corrente. 
Após isso, o diodo foi posicionado em paralelo 
ao voltímetro enquanto um resistor de 1kΩ foi 
posicionado em série para evitar que o diodo 
queimasse, esquematizado na figura 2B. A fonte foi 
ligada fornecendo diferenças de potencial de 0 a 1, 
variando em 0,1 volt a cada medida, e de 1 a 10, 
variando em 1 volt a cada medida. Os valores das 
diferenças de potencial e intensidade da corrente 
medidas nos multímetros foram anotados em uma 
tabela com seus respectivos valores e unidades. 
Ainda com o diodo ligado ao circuito, os pólos da 
fonte foram invertidos e as mesmas medidas foram 
realizadas, verificando assim o comportamento do 
diodo com a corrente em outro sentido. 
Por fim, o diodo foi retirado do circuito ainda 
ligado à fonte e a corrente medida no amperímetro 
foi analisada. 
Para o terceiro procedimento experimental foi 
analisada uma lâmpada incandescente, a qual teve 
sua resistência elétrica medida por um ohmímetro. A 
sistemática utilizada para efetuar as medidas 
necessárias ao estudo foram as mesmas do que as do 
procedimento de análise do resistor, com a mudança 
de que as diferenças de potencial fornecidas ao 
circuito variaram de 0 a 30. O esquema do circuito é 
representado na figura 2C. 
Dados, Análise e Resultados 
Para a primeira etapa, montando o circuito de 
acordo com o esquema apresentando e executando as 
esquemáticas conforme os procedimentos 
experimentais, os dados da tabela 1 foram coletados 
para as diferentes tensões cedidas pela fonte. 
Com os valores da tabela 01, pode-se representar 
dois gráficos para a análise, sendo que o gráfico da 
figura 2 apresenta a relação da intensidade de 
corrente versus diferença de potencial no resistor. 
 
 
 
 
 3 
Tabela 1: Intensidade de corrente e diferença de potencial no resistor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando o gráfico, é possível perceber o 
comportamento linear da relação entre intensidade 
de corrente e diferença de potencial. Realizando a 
manipulação da equação (1), temos que a intensidade 
da corrente é dada pela seguinte fórmula: 
𝑖 = 𝑉𝑟/𝑅 
Portanto, utilizando o método dos mínimos 
quadráticos para obter a melhor reta dos dados, 
encontra-se um coeficiente angular que é equivalente 
a 1/R, sob análise da equação acima, enquanto o 
coeficiente linear não possui significado físico, 
representando somente os erros relacionados à 
medida experimental. 
Fig. 2: Gráfico da corrente elétrica versus a 
tensão no resistor 
Fig. 3: Gráfico da resistência elétrica versus a 
tensão no resistor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação ajustada será: 
𝑖(𝑉𝑟) = Vr. 0,001023647 (
1
Ohm
) + 0,00001446 
Substituindo o valor do coeficiente angular na 
relação (coef. Ang.) = 1/R, encontra-se o valor 
experimental da resistência do resistor 
𝑅𝑒𝑥𝑝 = 976,899Ω 
Comparando o valor obtido experimentalmente 
com o valor nominal de 1k Ω do resistor, é possível 
encontrar um erro relativo de 2,3%. 
Já o gráfico da figura 3 relaciona a resistência do 
resistor calculada para cada ponto versus a tensão 
medida no resistor. Por meio desse gráfico pode-se 
concluir que independente dos valores de diferença 
de potencial que estejam passando pelo resistor, o 
valor de sua resistência R permanece constante. Ou 
seja, o resistor possui comportamento de um 
elemento ôhmico, isto é, a relação entre suas 
grandezas físicas é explicada pela lei de ohm. Já com 
relação ao sentido da corrente elétrica, não há 
nenhuma alteração no comportamento do resistor a 
mudança do sentido da corrente elétrica pois o 
sentido do seu fluxo é apenas convencionado. Ou 
seja, caso ocorra a alteração no sentido da corrente 
elétrica apenas haverá juntamente uma inversão no 
sinal da diferença de potencial pelo resistor. 
Para a segunda etapa, montando o circuito de 
acordo com o esquema apresentando e executando as 
esquemáticas conforme os procedimentos 
experimentais, os dados da tabela 2 foram coletados 
para as diferentes tensões cedidas pela fonte. 
Utilizando o programa SciDAVIs, foi possível 
construir o gráfico da corrente em função da tensão 
para o diodo, representado na figura 4. 
Nota-se que para as medidas de tensão da fonte 
positivas até aproximadamente 0,4V não há 
passagem de corrente. Isso se deve ao fato de que o 
diodo possui uma diferença de potencial inerte ao 
equipamento, sendo que somente a valores maiores 
de diferença de potencial ele atua como condutor, 
permitindo a corrente. Já para medidas positivas da 
tensão da fonte, para valores maiores que 0,4V temos 
um aumento expressivo da corrente, evidenciando o 
caráter não-ôhmico do diodo: há diminuição da 
resistência com o aumento da tensão. Pode-se dizer 
Diferença de 
potencial na fonte 
(V) 
Intensidade de corrente no 
resistor (A) 
Diferença de potencial no 
resistor (V) 
0 0 0,000 0,000 
-0,0011 
-0,0021 
-0,0032 
-0,0042 
-0,0053 
-0,0064 
-0,0074 
-0,0085 
-0,0095 
-0,0107 
0,027 -0,02 
1 -1 0,001 1,048 -1,11 
2 -2 0,0021 2,09 -2,08 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
-3 
-4 
-5 
-6 
-7 
-8 
-9 
-10 
0,0032
0,0042 
0,0053 
0,0063 
0,0074 
0,0084 
0,0095 
0,0106 
 3,14 
4,20 
5,21 
6,20 
7,27 
8,25 
9,26 
10,35 
-3,12 
-4,15 
-5,21 
-6,25 
-7,20 
-8,30 
-9,27 
-10,35 
 4 
Tabela 2: Intensidade de corrente e diferença de potencial no resistor
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
que o sistema equivalente ao diodo seria uma chave, 
na qual quando ligada transmite a corrente, caso 
contrário, não. 
 Analisando o gráfico da figura 6, é possível 
perceber que não há uma relação linear entre a 
corrente e a tensão, sendo assim o diodo pode ser 
caracterizado como um elemento não ôhmico, fato 
Fig. 4: Gráfico da corrente elétrica versus a 
tensão no diodo 
Fig. 5: Gráfico da corrente elétrica versus a tensão 
negativa no diodo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
confirmado quando a Lei de Ohm é aplicada: sendo 
assim o diodo pode ser caracterizado como um 
elemento não ôhmico, fato confirmado quando a Lei 
de Ohm é aplicada: não é possível associar os dados 
de forma a obter um coeficiente angular constante. 
Plotando o gráfico da resistência do diodo em função 
da tensão, apresentado na figura 5, também é 
possível observar que a resistência não é constante. 
Além disso, analisando o gráfico de tensão 
negativa aplicada sobre o diodo, representado na 
figura 5, é possível perceber que há uma relação 
linear entre os pontos a partir de 5V, sendo que 
anterior a isso o amperímetro não possuía precisão 
necessária para realizar as medidas. A linearidade 
apresentada se deve ao fato de que a corrente medida 
é a corrente que passa pelo voltímetro, que é um 
elemento ôhmico de resistência muito elevada, já 
que o diodo bloqueia a passagem de corrente. O 
mesmo raciocínio é valido para quando se tira o 
diodo do circuito, pois a corrente ainda passa pelovoltímetro. 
 
 
 
Fig. 6: Gráfico monolog da resistência elétrica 
versus a tensão no diodo 
Diferença de 
potencial na fonte 
(V) 
Intensidade de corrente no 
resistor (A) 
Diferença de potencial no 
resistor (V) 
0 0 0,000 0,000 
0,000 
0,000 
0,000 
0,000 
-5e-08 
-6e-08 
-7e-08 
-7e-08 
-9e-08 
-1e-07 
0,027 -0,027 
0,1 -1 0,000 0,148 -1,078 
0,2 -2 0,000 0,229 -2,1 
0,3 
0,4 
0,5 
0,6 
0,7 
0,8 
0,9 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
-3 
-4 
-5 
-6 
-7 
-8 
-9 
-10 
0,000 
1e-05 
3e-05 
9e-05 
2,1e-04 
3,2e-04 
3,8e-04 
5,3e-04 
0,0015 
0,0025 
0,0035 
0,0046 
0,0056 
0,0067 
0,0077 
0,0088 
0,0099 
 0,333 
0,476 
0,515 
0,544 
0,569 
0,583 
0,588 
0,600 
0,638 
0,658 
0,671 
0,681 
0,689 
0,695 
0,701 
0,706 
0,711 
-3,1 
-4,16 
-5,14 
-6,18 
-7,22 
-8,24 
-9,25 
-10,31 
 5 
Tabela 3: Intensidade de corrente e diferença de potencial na lâmpada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a terceira etapa, montando o circuito de 
acordo com o esquema apresentando e executando as 
esquemáticas conforme os procedimentos 
experimentais, os dados da tabela 3 foram coletados 
para as diferentes tensões cedidas pela fonte. 
Utilizando o programa SciDAVIs, foi possível 
construir o gráfico da corrente em função da tensão 
para a lâmpada, representado na figura 7. 
Analisando o gráfico é possível perceber que este 
possui formato de raiz cúbica, o que indica que a 
relação V/i para a lâmpada não é constante. Por conta 
disso, a lâmpada não pode ser considerada um 
elemento ôhmico, já que sua resistência não é 
constante para exposição a diferentes valores de 
tensão. 
Com os dados da tabela 3 foram calculados os 
valores da resistência elétrica da lâmpada através da 
equação 1, isolando-se R na equação. Com os 
valores calculados, foi construído o gráfico 
representado na figura 8 da resistência pela diferença 
de potencial na lâmpada. 
Analisando o gráfico, é evidenciado o caráter 
não-ôhmico da lâmpada: há elevação da resistência 
com o aumento da tensão. Isso se deve ao fato de que 
Fig. 7: Gráfico da corrente elétrica versus a tensão 
na lâmpada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8: Gráfico monolog da resistência elétrica 
versus a tensão no diodo 
a temperatura do filamento se eleva por conta da 
passagem de corrente elétrica, devido à dissipação de 
energia relacionada à resistência. Com o aumento de 
tensão, maior é a corrente e consequentemente maior 
é a temperatura do filamento, resultando assim em 
um aumento da resistência elétrica. 
Com os dados de resistência e corrente elétricas 
é possível encontrar a temperatura do filamento 
através da equação (3), onde a potência de radiação 
do filamento é igual à potência dissipada na 
resistência, calculada pela equação (2). Além disso, 
a emissividade do tungstênio oxidado é de 0.259 [6]. 
Feitos os cálculos da temperatura de cada ponto 
para seus respectivos valores de resistência e 
intensidade de corrente, o gráfico representado na 
figura 9 foi construído. 
Analisando o gráfico, é possível perceber que a 
variação da temperatura é maior a baixas tensões 
sobre o filamento do que a altas. Isso se deve ao fato 
da resistência apresentar o mesmo caráter de menor 
variação a altas tensões, o que influencia 
consequentemente na potência dissipada. 
 
 
Diferença de 
potencial na fonte 
(V) 
Intensidade de corrente na 
lâmpada (A) 
Diferença de potencial na 
lâmpada (V) 
0 0 0,0008 -0,0008 
-0,0284 
-0,0484 
-0,0638 
-0,0736 
-0,0809 
-0,0874 
-0,1006 
-0,1103 
-0,1190 
-0,1274 
-0,1355 
-0,1431 
-0,1508 
-0,1580 
0,026 -0,025 
1 -1 0,0291 1,059 -0,987 
2 -2 0,0512 2,02 -1,95 
3 
4 
5 
6 
9 
12 
15 
18 
21 
24 
27 
30 
-3 
-4 
-5 
-6 
-9 
-12 
-15 
-18 
-21 
-24 
-27 
-30 
0,0648 
0,0747 
0,082 
0,0879 
0,1011 
0,1108 
0,1196 
0,1277 
0,1357 
0,1433 
0,1508 
0,1580 
 3,03 
4,05 
5,03 
6,05 
9,15 
12,18 
15,21 
18,32 
21,8 
24,3 
27,3 
30,4 
-3,03 
-3,98 
-4,93 
-6,01 
-9,06 
-12,05 
-15,10 
-18,15 
-21,2 
-24,2 
-27,3 
-30,3 
 6 
Fig. 9: Gráfico da temperatura versus a tensão na 
lâmpada 
Conclusão 
O experimento teve como principal objetivo 
classificar em ôhmicos e não ôhmicos três elementos 
previamente selecionados, o resistor, o diodo e a 
lâmpada incandescente. Após os experimentos, no 
qual aplicavam-se diversas tensões em elementos 
diferentes e verificava-se como se dava a variação da 
corrente, os elementos foram classificados como 
ôhmico o resistor, e não ôhmicos a lâmpada 
incandescente e o diodo. 
Para realizar a categorização, foi avaliado o 
comportamento da resistência do material em função 
da variação da diferença de potencial. Percebeu-se 
que a resistência pode ser uniforme, crescente e 
decrescente em função da tensão aplicada. 
Para o caso do diodo, por exemplo, conclui-se 
que o resistor posicionado em série se deve ao fato 
de que a resistência do diodo é muito baixa para 
tensões elevadas, o que causaria com que a corrente 
que passa através dele se tornasse muito elevada para 
altas tensões, causando assim um possível curto 
circuito ou queima do equipamento. Por conta disso, 
é importante que se conheça o comportamento não-
ôhmico dos equipamentos. 
Para o caso da lâmpada, entretanto, é vantajoso 
que se comporte como um elemento não ôhmico pois 
é justamente essa qualidade que a torna possível 
utilizar para iluminar: o aumento da resistência eleva 
a temperatura da lâmpada, o que consequentemente 
permite que ela emita ondas de luz visível, clareando 
as redondezas. 
Já elementos ôhmicos permitem um melhor 
controle dos parâmetros de um sistema circuitado, 
pois evitam a necessidade de estudar detalhadamente 
a variação da resistência em função da tensão 
aplicada. 
Referências 
[1] BAUER, WESTFALL & DIAS. Física para 
Universitários: Eletricidade e magnetismo. AMGH, 
2012. 
[2] SEARS, ZEMANSKY & YOUNG. Física, 
vol 3. LTC, 1984. 
[3] GUIMARÃES, Paulo Sérgio. Radiação de 
Corpo Negro. Revista Brasileira de Ensino de Física, 
Santa Maria/rs, v. 21, n. 2, p.291-297, 3 jun. 1998. 
Anual. Disponível em: 
<http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v21_291.pdf>. 
Acesso em: 27 nov. 2017. 
[4] CAVALCANTE, Marisa Almeida; HAAG, 
Rafael. Corpo Negro e a determinação experimental 
da constante de Planck. Revista Brasileira de Ensino 
de Física, São Paulo e Porto Alegre, v. 27, n. 3, 
p.343-348, 14 set. 2005. Anual. Disponível em: 
<http://www.scielo.br/pdf/rbef/v27n3/a07v27n3>. 
Acesso em: 27 nov. 2017. 
[5] STUDART, Nelson. A Invenção do Conceito 
de Quantum de Energia segundo Planck. Revista 
Brasileira de Ensino de Física, São Carlos, v. 22, n. 
4, p.523-535, 4 dez. 2000. Anual. Disponível em: 
<http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v22_523.pdf>. 
Acesso em: 27 nov. 2017. 
[6] HALLIDAY, RESNICK, WALKER. 
Fundamentos de Física. Vol. 4. 3 ed. Editora LTC, 
1980.