Física 1C Aula 05

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AULA 5
Vetores
AULA 5 – VETORES
x (m)
y (m)
A
A partícula A se deslocou 2,0 m além 
da sua posição inicial. Qual será a sua 
posição final?
?
?
? É impossível determinar só com essa informação
Deslocamento é uma grandeza vetorial. Só 
é bem determinado quando se especifica 
seu módulo, sua direção e seu sentido. 
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Representação matemática de uma grandeza vetorial  vetor
Comprimento  módulo
q
Ângulo formado com a horizontal  direção
Seta  sentido
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x (m)
y (m)
 
 
 
 
 
 
 
Mesmo comprimento, mesma direção, 
setas no mesmo sentido  os vetores 
são iguais
Mesmo comprimento, mesma direção, 
setas em sentidos opostos  um vetor 
é o inverso do outro
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Soma de vetores (método gráfico):
 
 
 
 
 
 
 
Iguais !!!
Propriedade comutativa:
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 Propriedade associativa:
 
 
 
Subtração de vetores:
 
 
 
 
 
Mas cuidado!!
 
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Componentes de um vetor em 2D:
x (m)
y (m)
 
 
Componentes = projeções do vetor 
sobre os eixos
 
 
 
 
q
A
A direção de um vetor é sempre 
especificada pelo ângulo q formado 
entre o vetor e o semieixo x positivo
q
B
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x (m)
y (m)
Sinal das componentes vetoriais:
Componentes que apontam no mesmo sentido 
do eixo são positivas
 
 
Componentes que apontam no sentido oposto 
ao do eixo são negativas
 
 
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Relações entre as componentes e o vetor
 
 
 
q
A
 
 
 
q
B
Vetorialmente:  
Em módulo:  
 
 
Em relação ao ângulo:
 
 
a
Vetorialmente:  
Em módulo:  
Em relação ao ângulo:
 
 
 
 
 
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Exemplo:
Determine as componentes dos vetores:
 
 
 
   
   
Quer dizer que o ângulo é negativo!!
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Mas A
y
 aponta para baixo, contra o sentido do eixo
 
 
 
q
A
 
 
   
   
 
 
   
   
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120°a
 
 
q
B
 
 
   
   
Moral da história: sempre que usar o ângulo que dá a direção 
do vetor, chega nos sinais corretos para as componentes. O 
ângulo da direção é medido em relação ao sentido positivo do 
semieixo x, e é positivo se estiver acima do semieixo x positivo 
e negativo se estiver abaixo.
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Vetores unitários:
x
y
z
Definidos como vetores que:
 - tem sempre módulo = 1
 - estão sempre na direção do eixo
 - apontam sempre para o sentido positivo
 
 
 
Servem para especificar direções no espaço
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Para os vetores do exemplo 
anterior:
  
   
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x
y
z
 
 
 
Soma de vetores através das componentes:
   
NUNCA se pode somar algebricamente vetores e 
componentes que estão em direções diferentes
 
 
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Exemplo:
Encontre o vetor soma dos vetores listados abaixo, dados em 
metros. Também calcule explicitamente o módulo e a direção do 
vetor soma.
     
Verificando pelo método gráfico:
 
módulo = 3,54 m
direção = 223° ou – 137°
q
S
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S⃗=­ 2,60 î ­ 2,40 ĵ
Multiplicação de um escalar por um vetor:
 
 
3 · =
   
-3 · =
   
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Escalar •V⃗=N⃗
Multiplicação de um escalar por um 
vetor através das componentes:
Multiplicamos o escalar por cada componente do vetor
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N⃗=4 •V⃗
N⃗=4 •(V x î+V y ĵ+V z k̂ )
N⃗=(4 •V x) î+(4 •V y ) ĵ+(4 •V z) k̂
N y=4 •V y N z=4 •V zN x=4 •V x
Multiplicação do módulo de um vetor pela projeção escalar do 
outro vetor na sua direção
Produto escalar de dois vetores:
 
   
Sempre o menor ângulo 
entre os dois vetores
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedade 
comutativa:
iguais
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A⃗• B⃗=?
A⃗• B⃗=∣A⃗∣•∣B⃗∣• cosθ
B⃗ • A⃗=∣B⃗∣•∣A⃗∣• cosθ
Em termos das componentes vetoriais, o produto escalar fica:
Lembrando que os vetores unitários são perpendiculares entre si:
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A⃗• B⃗=(Ax î+A y ĵ+Az k̂)•(Bx î+B y ĵ+Bz k̂ )
î • î= ĵ • ĵ= k̂ • k̂=1 •1 •cos0 °=1
î • ĵ= ĵ • k̂= k̂ • î=1 •1 •cos90 °=0
A⃗• B⃗=Ax •Bx • î • î+Ax • B y • î • ĵ+Ax •B z • î • k̂
+A y • Bx • ĵ • î+A y • B y • ĵ • ĵ+A y •B z • ĵ • k̂
+Az •Bx • k̂ • î+Az •B y • k̂ • ĵ+Az • Bz • k̂ • k̂
A⃗• B⃗=A x Bx+A yB y+Az B z
x
y
z
 
 
 
Produto vetorial de dois vetores:
O produto vetorial de dois vetores sempre resulta num terceiro 
vetor, que é perpendicular ao plano formado pelos vetores 
sendo multiplicados. A direção e o sentido do vetor resultante 
são dadas pela regra da mão direita.
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A⃗× B⃗=C⃗
Cuidado com a ordem dos 
vetores: o produto vetorial 
não é comutativo.
 
mas
 
Em termos das componentes vetoriais, o produto vetorial fica:
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A⃗× B⃗=(Ax î+A y ĵ+Az k̂ )×(Bx î+B y ĵ+B z k̂ )
A⃗× B⃗=Ax •Bx • î× î+Ax •B y • î× ĵ+Ax • Bz • î× k̂
+A y • Bx • ĵ× î+A y • B y • ĵ× ĵ+A y • Bz • ĵ× k̂
+Az •Bx • k̂× î+Az • B y • k̂× ĵ+A z •Bz • k̂× k̂
=(A y Bz ­ Az B y)• î+(Az Bx ­ Ax Bz)• ĵ
+(Ax B y ­ A y Bx)• k̂
A⃗× B⃗
î× î=0
ĵ× î=­ k̂
k̂× î= ĵ k̂× ĵ=­ î
ĵ× ĵ=0
î× ĵ= k̂ î× k̂=­ ĵ
ĵ× k̂= î
k̂× k̂=0
x
z
 
 
 
y
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