Isostática

Prévia do material em texto

1 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
ÁREA 1 
 
 2 
AULA 01 – ESTÁTICA: REVISÃO 
1. INTRODUÇÃO 
1.1 Conceitos fundamentais da Mecânica Clássica 
 Força: grandeza vetorial que representa a interação entre dois corpos de acordo com a terceira Lei 
de Newton (ação e reação). As forças são geradas por contato (ex.: forças de atrito, pressão de 
fluidos) ou à distância, sendo neste caso obtidas pela ação de campos gravitacionais (força peso) e 
eletromagnéticos. 
 
Descrição vetorial: 
 
x y zf f fij F = F i + j + k
 
Vetor unitário de direção: 
 x y zcos ,cos ,cos
ij
ij
ij
   r
r

 
P Pij j i r
: vetor posição relativa 
x y z, ,  
: ângulos diretores 
Componentes escalares do vetor força: 
x x y y z zf cos ; f cos ; f cos    F F F
 
ou: 
x y y y
z y
f sen .cos ; f cos ;
f sen .sen
  
 
 

F F
F
 
As forças que atuam em um corpo são divididas entre forças externas e forças internas. As forças 
externas representam a ação de agentes externos ao corpo, tais como cargas induzidas por contato 
com outros corpos e ação do campo gravitacional, além das próprias reações vinculares. Estes ações 
podem ocorrer de forma estática, quando as forças são aplicadas de uma maneira lenta, ou de forma 
dinâmica, quando são levados em conta os efeitos inerciais do corpo que é submetido ao 
carregamento. Por outro lado, as forças internas desenvolvem-se no interior dos corpos e são 
responsáveis pela manutenção do equilíbrio interno, representando a ação mútua entre as partes que 
constituem um dado corpo. 
 
Forças externas: p = 270 N/m, reações vinculares em A; Forças internas na seção C: Nc, Vc e Mc. 
Dependendo da forma como ocorrem as ações, as respectivas forças que as representam podem ser 
consideradas como sendo concentradas ou ainda distribuídas sobre uma superfície ou sobre uma 
linha. Cargas concentradas são empregadas na representação de forças e pressões atuando sobre 
áreas muito pequenas em comparação com as dimensões do corpo sobre o qual elas atuam, o 
suficiente para serem considerais pontuais. Por outro lado, cargas distribuídas são utilizadas para 
representar uma ação que se estende sobre uma dada área da superfície de um corpo. 
 
 3 
a) carga concentrada 
b) carga distribuída por 
unidade de área 
c) carga distribuída por 
unidade de comprimento 
 
.F p A
 
 
( , )
F V
p x y h
A A
   
 
 
( ) . .
F V
p x e h
L L
   
 
 
V: volume da carga; A: área de contato; h: altura da carga; : peso específico do material da carga. 
No caso de forças distribuídas, uma força concentrada equivalente deve ser obtida para a 
determinação das reações nos apoios, tendo sua linha de ação na direção do próprio carregamento e 
passando pelo centróide da figura que representa a distribuição de carga. O módulo da força 
equivalente é igual à área (ou volume) abaixo da curva que define a forma de distribuição do 
carregamento. 
a) carga distribuída por unidade de comprimento 
 
 
Força concentrada 
equivalente: 
F ( )
L
p x dx dA  
 
Ponto de aplicação: 
. ( )
.
( )
L
L
x p x dx
x dA
x
p x dx dA
 
 
 
 
b) carga distribuída por unidade de área 
 
Força concentrada 
equivalente: 
F ( )
A
p x dA dV  
 
Ponto de aplicação: 
. ( , )
.
( , )
A
A
x p x y dA
x dV
x
p x y dA dV
 
 
 
 
. ( , )
.
( , )
A
A
y p x y dA
y dV
y
p x y dA dV
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 Momento: grandeza vetorial que mede a tendência de uma força de gerar rotações em um corpo. 
 
Descrição vetorial: 
O OA A M r F
 
OAr
: vetor posição relativa ao pólo O. 
Módulo do vetor momento: 
O OA A A. sen .d M r F F
 
d: braço de alavanca (menor distância entre o 
ponto O e a linha de ação da força). 
Direção e sentido do vetor momento: 
ortogonal ao plano definido por 
OAr
 e 
AF
 com 
sentido segundo a regra da mão direita. 
 
Componentes escalares do vetor momento: 
O x y z
x y z
r r r
f f f
 
 
  
 
  
i j k
M 
O XO YO ZOM M MM i + j + k
 
XO y z z yM r .f r .f 
; 
YO z x x zM r .f r .f 
 
ZO x y y xM r .f r .f 
 
Convenção de sinais: 
Sentido anti-horário em relação aos eixos X, Y e Z. 
 
Em problemas planos (plano XY), o vetor momento 
M
 
de uma força 
F
 terá sempre sua direção dada segundo 
o eixo Z, com o módulo dado por 
.dF
. Para facilitar 
os procedimentos de cálculo, emprega-se o teorema de 
Varignon, mostrado ao lado. Assim, são utilizados os 
braços de alavanca das componentes da força ao invés 
do braço de alavanca da linha de ação da força. 
 
1 1 2 2. . .R d F d F d 
 
 
 Partícula e corpo rígido, deformações: a abordagem de partícula na Estática é empregada quando 
temos a concorrência das linhas de ação das forças atuantes em um único ponto. Com isso, o 
equilíbrio pode ser verificado simplesmente pela obtenção de um vetor força resultante nulo. 
 
Abordagem de partícula (forças concorrentes em G): 
F 0
 
Abordagem de corpo rígido:  



 G
F 0
M 0
 
Abordagem de corpo deformável:
0
ij
i
i
b
x



 

 
Por outro lado, a abordagem de corpo rígido é utilizada quando os pontos materiais que compõe o 
corpo apresentam posições relativas fixas entre si, sem alteração na forma do corpo quando 
submetido à ação de forças. O equilíbrio estático é verificado através da existência de um vetor força 
resultante nulo e de um vetor momento resultante nulo, uma vez que a condição estática só pode ser 
confirmada neste caso pela inexistência de acelerações lineares e angulares devido ao fato do 
 5 
sistema de forças atuantes ser não concorrente. Quando deformações finitas são observadas, 
alterando significativamente a forma do corpo, deve-se utilizar a Mecânica de corpos deformáveis 
para o estudo do equilíbrio. Contudo, nos casos em que a configuração deformada do corpo é muito 
próxima da configuração indeformada, a Mecânica de corpos rígidos pode ser utilizada como 
aproximação sem prejuízos quanto à precisão dos resultados. 
 Leis de Newton: As Leis de Newton são um conjunto de axiomas que definem os princípios 
básicos sobre os quais se fundamenta a Mecânica Clássica. Neste contexto, empregam-se os 
conceitos absolutos de espaço e tempo (independem de referencial) em uma descrição geométrica 
Euclidiana. As leis podem ser expressas da seguinte maneira: 
1ª Lei: lei da inércia (conservação da quantidade de movimento) – Todo corpo continua em seu 
estado de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que ele seja forçado a mudar aquele 
estado por forças imprimidas sobre ele: 
0
d
m
dt
 
L
a
. 
2ª Lei: A mudança de movimento é proporcional à força resultante e é produzida na direção e sentido 
desta força resultante: d
m
dt
 
L
a F
. 
3ª Lei: lei da ação e reação  Lei da gravitação: 
1 2
2
m m
F G
r

 
G = constante de gravitação (G = 6,673x10
-11
 m
3
/kg.s
2
) 
Força peso P = mg; g = Gm/r
2
 = 9,81 m/s
2
. 
1.2 Sistemas estaticamente equivalentes 
Dois sistemas de forças são estaticamente equivalentes quando produzem a mesma resultante de 
forças e momentos em um dado ponto de um corpo e as mesmas condições cinemáticas. 
Na figura abaixo é mostrado um exemplo de aplicação do Princípio da Transmissibilidade. Neste 
caso, deseja-se deslocar o ponto de aplicação de uma força F sobre um dado corpo do ponto P 
(sistema a) para o ponto E (sistema b), procurando que sejam mantidas a mesma condição 
cinemática e a mesma condição de estaticidadeverificada inicialmente. Através do Princípio da 
Transmissibilidade garante-se que não há alteração nestas condições desde que mantenha-se o 
ponto de aplicação da força sobre a linha de ação original. É importante ressaltar que este princípio 
só é válido quando um corpo é tratado como um corpo rígido, ou seja, sem modificação da distância 
relativa entre os pontos materiais do corpo (sem deformações). 
 
No exemplo ilustrado abaixo, deseja-se alterar o ponto de aplicação de uma força F do ponto P para 
o ponto E do corpo, mantendo-se a mesma condição de estaticidade e a mesma condição cinemática 
observadas inicialmente. Neste caso, deve-se transladar a força para o novo ponto de aplicação 
mantendo-se o mesmo módulo e a mesma direção e sentido observados originalmente. Além disso, 
deve-se também aplicar um momento equivalente ao transporte da força (M = F.d). Em corpos 
rígidos, momentos podem ser transladados livremente sobre o plano. 
 6 
 
 
E
z
F F
Sistema 1:
M F.d
  

 


 
 
 
 
E
z
F F
Sistema 2 :
M M F.d
  

   


 
2. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO DE CORPO RÍGIDO 
Para que um corpo rígido qualquer esteja em equilíbrio estático é necessário que as resultantes de 
força e momento tenham componentes nulas nas direções em que o corpo possa apresentar 
movimentos de corpo rígido. Caso estas resultantes não sejam nulas, o corpo apresentará 
movimentos de translação (deslocamentos lineares) e rotação (deslocamentos angulares). 
Movimentos de corpo rígido são deslocamentos que um corpo sofre quando submetido à ação de 
forças e momentos sem alterar a distância relativa entre dois pontos quaisquer pertencentes a este 
corpo (ou seja, sem alterar a sua forma). No espaço são 6 os movimentos de corpo rígido: 3 
translações + 3 rotações; no plano há 3 movimentos de corpo rígido possíveis: 2 translações + 1 
rotação. 
 
A condição de equilíbrio estático no plano é dada pelo seguinte conjunto de equações: 
 
0
0
0
x
y
p
z
f
f
M






 
Equações de equilíbrio alternativas também podem ser usadas desde que sejam cumpridas algumas 
exigências: 
1ª condição de equilíbrio alternativa: 
1
2
0
0
0
a
p
z
p
z
f
M
M






 
 Exigência: a direção a (a = x ou a = y) escolhida para o equilíbrio de forças não pode ser 
perpendicular à linha que une os pontos p1 e p2. 
 
 
 7 
2ª condição de equilíbrio alternativa: 
1
2
3
0
0
0
p
z
p
z
p
z
M
M
M






 
 Exigência: os pontos p1, p2 e p3 não podem ser colineares. 
Obviamente, um elemento estrutural não pode apresentar movimentos de corpo rígido. Para isso, 
devem ser usados os chamados vínculos, que são dispositivos que impedem o movimento 
(translação e/ou rotação) do elemento em uma determinada direção no ponto em que são aplicados. 
Para que um movimento seja impedido, é necessário aplicar uma força ou momento na direção 
correspondente, gerando-se as chamadas reações vinculares. 
Os tipos de vínculos empregados em problemas planos resumem-se a: 
a) Apoio simples ou de 1ª ordem: impede apenas o deslocamento linear na 
direção perpendicular à base de apoio; 
 
 
b) Apoio duplo ou de 2ª ordem (rótula): impede todos os deslocamentos 
lineares; 
 
c) Engaste ou vínculo de 3ª ordem: impede todos os deslocamentos lineares e 
rotações. 
As reações surgem nas direções dos deslocamentos e/ou rotações impedidos, como 
mostra a figura abaixo. 
 
3. ESTATICIDADE DE UMA ESTRUTURA 
Em função do número de movimentos de corpo rígido e da vinculação existente, as estruturas podem 
ser classificadas da seguinte maneira: 
Estrutura hipostática ou mecanismo: o número de 
restrições vinculares ou sua disposição não impedem 
a totalidade dos movimentos de corpo rígido da 
estrutura, de modo que a mesma adquire movimento 
sob a ação de forças (mecanismo). O número de 
equações de equilíbrio é maior que o número de 
incógnitas (reações vinculares). 
 
 
 
Estrutura isostática ou estaticamente 
determinada: o número e a disposição das 
restrições vinculares impedem a totalidade dos 
movimentos de corpo rígido da estrutura. O 
número de equações de equilíbrio é igual ao 
número de incógnitas. 
 
 
 
 
 8 
Portanto, não basta que o número de 
restrições iguale o número de movimentos 
de corpo rígido. É preciso também que os 
vínculos estejam convenientemente 
dispostos para impedir o movimento. As 
estruturas ao lado apresentam 3 
movimentos de corpo rígido e 3 restrições 
vinculares, mas os movimentos não são 
totalmente impedidos. No caso A pode 
ocorrer deslocamento horizontal e no caso B 
podem ocorrer giros em torno do ponto P. 
 
 
 
Estrutura hiperestática ou estaticamente 
indeterminada: o número de restrições 
vinculares é maior que o número de 
movimentos de corpo rígido, ou seja, há mais 
vínculos que o necessário para impedir os 
movimentos da estrutura. Este tipo de 
estrutura não pode ser resolvido somente com 
as equações de equilíbrio, sendo necessário 
acrescentar equações ao sistema 
provenientes de considerações sobre a 
deformação da estrutura (p.ex.: método dos 
deslocamentos, método das forças). 
 
 
EXERCÍCIOS: 
1 – Determine as reações de apoio para as vigas abaixo: 
 
Respostas: 
 
 9 
2 – Calcule as reações de apoio para o pórtico abaixo: 
 
As componentes da resultante de uma carga 
distribuída de forma qualquer aplicada a uma 
barra inclinada, bem como seus pontos de 
aplicação, podem ser obtidos considerando-se 
a função de carga original distribuindo-se 
sobre a projeção da barra perpendicular à 
direção da componente a ser calculada. 
Assim, a componente vertical é obtida 
aplicando-se a função de carga distribuída 
sobre a projeção horizontal e a componente 
horizontal é obtida aplicando-se a função de 
carga distribuída sobre a projeção vertical. 
 
Substituindo as cargas distribuídas atuando no pórtico pelas respectivas forças concentradas 
equivalentes, obtém-se a seguinte configuração de cargas: 
 
A solução é obtida aplicando-se as equações de equilíbrio de corpo rígido na seguinte forma: 
 
50.6
0 40.6 He 0 He 90
2
xF kN       
 
0
50.3 50.6
.2 .4 180 He.9 40.2.9 40.6.3 Vd.10 0
2 2
Vd 174
A
zM
kN

        
 

 
50.3
0 Va 40.2 Vd 0 Va 19
2
yF kN        
 
OBS: os sinais negativos em He e Va indicam que o sentido real dessas forças é contrário ao que foi 
arbitrado no diagrama de corpo livre. 
 10 
3 – Calcule as reações nos apoios do pórtico abaixo: 
 
Neste exemplo, a carga aplicada sobre a barra AE está indicada por unidade de comprimento da 
projeção da barra sobre a direção horizontal do plano (eixo x). Por outro lado, a carga sobre a barra 
CD vem dada por unidade de comprimento da própria barra, sendo que esta também poderia ser 
expressa da mesma maneira utilizada na barra AE. Neste caso, o valor da taxa de carga deveria ser 
de 50Kn/m a fim de reproduzir a mesma resultante. Cargas deste tipo são empregadas na 
representação de cargas de peso próprio de estruturas inclinadas (ex.: escadas) ou de neve 
acumulada em telhados. 
Para a solução deste problema deve-se observar que os apoios são inclinados. O apoio em D 
restringe apenas translações na direção do eixo da barra CD. Conseqüentemente, uma reação de 
força Rd deve ser aplicada nesta mesma direção, podendo ser decomposta nas direções x e y do 
plano. 
Já no apoio A tem-se a restrição de todas 
as translações no plano, resultando em 
duas reações de força, as quais podem ser 
descritas segundo as direções tangencial e 
normalà barra ou nas direções horizontal 
(eixo x) e vertical (eixo y) do plano, uma 
vez que a resultante será sempre a mesma 
(Ra). 
 
Aplicando-se as equações de equilíbrio de corpo rígido, obtém-se: 
0
4 6
Rd.12 30.5.10,5 40. .4 200 0
5 2
Rd 193,2
A
zM
kN

    
 

 
3
0 Ha .193,2 0 Ha 115,9
5
xF kN     
 
6 4
0 Va 40 30.5 193,2 0 Va 115,4
2 5
yF kN       
 
 
 11 
AULA 02 – REAÇÕES 
1. ESTRUTURAS COM ARTICULAÇÕES – RÓTULAS 
Rótulas são dispositivos de ligação articulada entre elementos de uma estrutura que impedem 
deslocamentos lineares relativos entre os elementos, mas não restringem rotações. 
Conseqüentemente, forças internas desenvolvem-se na rótula representando a ação mútua entre os 
elementos no intuito de evitar os deslocamentos relativos nestes pontos. Além disso, como não há 
qualquer restrição quanto às rotações, o momento nas rótulas é nulo. Para que a condição estática 
seja obtida, a estrutura deve estar em equilíbrio interna e externamente. 
Estas articulações podem ser tanto internas como também externas à estrutura. A rótula é dita interna 
quando representa uma articulação entre elementos que compõe a estrutura e externa quando liga a 
estrutura ao meio externo, sendo geralmente reproduzidas por apoios de segunda classe neste caso. 
Além da aplicação como elementos de ligação em treliças, rótulas são também empregadas em 
diversos tipos de estruturas. 
 
 
No conjunto de 2 barras mostrado ao lado, observa-se que a 
articulação em B proíbe os deslocamentos da barra AB em 
relação à barra BC. Entretanto, a barra AB (ou BC) pode girar 
livremente em torno da rótula já que a mesma não oferece 
nenhuma restrição a giros. Uma vez que não é possível a 
existência de deslocamentos lineares relativos na rótula, forças 
internas de reação desenvolvem-se internamente. 
O uso de rótulas deve ser feito com cuidado, pois dependendo 
da disposição das rótulas a estrutura pode tornar-se 
hipostática. Além disso, problemas que originalmente são 
hiperestáticos, com a adição de rótulas acabam tornando-se 
isostáticos. Nas ilustrações ao lado, observa-se que no caso 
(a) a barra à direita da rótula mantém o equilíbrio interno pela 
presença do apoio. Já no caso (b), a mesma barra não pode 
manter o equilíbrio interno, pois a disposição do apoio, neste 
caso, não impede a rotação da barra, tornando a estrutura 
hipostática. 
(a) 
(b) 
As forças internas nas rótulas têm a função de manter unidas as diversas partes da estrutura junto às 
articulações. Elas não afetam o equilíbrio externo, pois se cancelam de acordo com a terceira Lei de 
Newton (ação e reação). Como o momento é nulo nestas articulações, a presença de rótulas internas 
implica em equações adicionais ao sistema de equações de equilíbrio estático. Para o cálculo de 
reações vinculares em problemas envolvendo rótulas são utilizados dois métodos: a) rompendo as 
rótulas e verificando o equilíbrio interno das partes; b) impondo momento nulo nas rótulas. 
Na figura abaixo são indicadas as formas de atuação das cargas sobre rótulas através de casos 
práticos que mostram o funcionamento da articulação. No caso de forças, ao utilizar-se o método de 
romper rótulas é possível aplicar a força em uma ou em outra parte da estrutura, nunca nas duas 
partes simultaneamente, a menos que a força seja então dividida entre as partes. No caso de 
momento aplicado em rótulas, deve-se observar claramente em qual das partes da estrutura está 
agindo o momento, uma vez que momentos não podem ser transmitidos de uma parte para outra da 
estrutura através da articulação. 
 12 
 
2. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM ARTICULAÇÕES ROMPENDO AS RÓTULAS 
Neste método, a determinação de reações de estruturas com rótulas internas é obtida rompendo as 
rótulas e trabalhando com cada uma das partes da estrutura. Para cada uma destas partes devem ser 
aplicadas as equações de equilíbrio para verificação da condição estática em nível local (equilibro 
interno). No local das rótulas, um par de forças deve ser imposto para representar a ação da 
articulação, sempre segundo os princípios da terceira Lei de Newton (ação e reação). 
No exemplo mostrado abaixo, obtém-se as reações de apoio de uma viga com uma rótula. Como o 
número de reações vinculares é igual a 4, tem-se inicialmente a impressão de tratar-se de um 
problema hiperestático. No entanto, a rótula irá acrescentar uma equação (momento nulo a rótula) ao 
sistema de equações de equilíbrio da estática de corpos rígidos no plano (3 equações), formando 
assim um sistema de 4 equações para 4 incógnitas. Outra forma de verificar se o problema é 
isostático é somar as reações externas (4 reações) com as forças internas das rótulas (1 rótula  2 
reações) e comparar com as equações de equilíbrio disponíveis, ou seja, 3 equações para cada parte 
da estrutura. 
 
A resolução é iniciada rompendo-se a articulação, dividindo a estrutura em duas partes (AB e BC). 
Para a parte BC, têm-se as seguintes equações de equilíbrio (observe a aplicação das forças internas 
na rótula – HB e VB): 
B0 H 0 (1)xF   
 
B C 20 V V P 0 (2)yF     
 
C 2 2 2
C 2
0 V . P .0,5. 0
V 0,5.P (3)
B
zM l l   
 
 
 
Agora é repetido o procedimento com a parte AB da estrutura, aplicando as forças internas na rótula 
em sentidos contrários aos utilizados na parte BC. 
 13 
A B0 H H (4)xF   
 
A B 10 V V P 0 (5)yF     
 
A B 1 1 10 M V . P .0,7. 0 (6)
A
zM l l    
 
 
Substituindo o resultado da equação (3) nas equações (2), (5) e (6), obtém-se, respectivamente: 
B 2
A 1 2
A 2 1 1 1
V 0,5.P
V P 0,5.P
M 0,5.P . P .0,7.l l

 
 
 
3. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM ARTICULAÇÕES IMPONDO MOMENTO NULO NAS 
RÓTULAS 
Neste método as reações são obtidas utilizando-se as equações de equilíbrio externo da estrutura 
juntamente com equações de somatório de momentos nulos nas rótulas. Cada rótula representa, na 
verdade, um grau de liberdade extra para a estrutura, correspondendo ao giro relativo das barras 
vinculadas pela articulação. 
Resolvendo o problema anterior através do presente método, inicia-se com as equações de equilíbrio 
externo: 
A0 H 0 (1)xF   
 
A C 1 20 V V P P 0 (2)yF      
 
C 1 2 2 2 1
1 1 A
0
V .( ) P .(0,5. )
P .0,7. M 0 (3)
A
zM
l l l l
l

    
 

 
 
Como são 4 as incógnitas do problema, necessita-se de mais uma equação, que vem da imposição 
do momento nulo na rótula. Para isso, adota-se uma das equações a seguir: 
0
0
Besq
z
Bdir
z
M
M




 
Ou seja, toma-se a parte à esquerda ou à direita da rótula e impõe-se a soma de momentos igual a 
zero na rótula (ponto B) para aquela configuração escolhida. 
Tomando a parte da estrutura à esquerda da rótula, obtém-se: 
A A 1 1 10 M V . P .0,3. 0 (4)
Besq
zM l l    
 
 
 
 
 14 
Optando pela parte da estrutura à direita da rótula, tem-se: 
C 2 2 2 C 20 V . P .0,5. 0 V 0,5.P (5)
Bdir
zM l l     
 
 
Empregando a equação (4) ou a equação (5) juntamente com as equações (1), (2) e (3), chega-se à 
mesma solução obtida anteriormente, ou seja: 
A
A 1 2
C 2
A 2 1 1 1
H 0
V P 0,5.P
V 0,5.P
M 0,5.P . P .0,7.l l

 

 
 
EXERCÍCIOS: 
1 – Determine a força atuante na barra BD e as reações em C e em D: 
 
Equações de equilíbrio externo: 
D C0 H H (1)xF   
 
D C D C0 V V 350 0 V V 350 (2)yF        
 
C
C C C
H
0 150.V 75.H 0 V (3)
2
D
zM       
 
Aplicando a condição de momento nulo na rótula para o trecho BD da estrutura: 
,
D D D D0 100.V 75.H 0 V 0,75.H (4)
B BD
zM       Substituindo as equações (3) e (4) na equação (2), obtém-se: 
D C0,75.H 0,5H 350 (5)  
 
Substituindo a equação (1) na equação (5), tem-se que: 
DH 1400N
. 
 15 
Logo: 
CH 1400N
, 
CV 700N 
 e 
DV 1050N
. 
Como a barra BD é uma barra bi-articulada com carga apenas nas rótulas, a força atuante está 
direcionada segundo a direção de seu próprio eixo, como ocorre nas barras de uma treliça. Portanto: 
2 2
BD D DF H V 1750N  
 
Uma solução alternativa seria aplicar a condição de momento nulo na rótula para o trecho ABC da 
estrutura: 
,
C C0 100.350 50.V 0 V 700
B ABC
zM N      
 
Aplicando este resultado às equações de equilíbrio externo, chega-se à mesma solução obtida 
anteriormente. 
2 – Para a estrutura abaixo determine as reações nos vínculos A e D: 
 
Neste problema temos um engaste em A e um apoio de 2ª classe em D, totalizando 5 incógnitas. Na 
medida em que temos também 2 rótulas (em B e em C), o total de equações disponíveis é 5, 
possibilitando assim a solução pelos métodos da Estática. Mesmo que os apoios sejam inclinados, as 
reações de força podem ser descritas segundo as direções x e y do plano, pois em ambos os apoios 
há restrição total de translações. Substituindo as cargas distribuídas pelas respectivas forças 
equivalentes, obtém-se o seguinte sistema: 
1 10 .4 40
kN
p m kN
m
 
 
2
20 .4
40
2
kN m m
p kN 
 
2 2
3 30 . 2 2 84,85p kN m kN  
 
 
Equações de equilíbrio externo: 
A D A D0 H H 84,85.cos45º 0 H H 60 (1)xF        
 
A D A D0 V V 40 40 84,85.sen45º 0 V V 140 (2)yF          
 
A D
A D
0
M 10.V 2.40 6,67.40 80 9.84,85.sen45º 2.84,85.cos45º 0
M 10.V 686,79 (3)
A
zM 
       
  

 
Aplicando a condição de momento nulo na rótula B para o trecho AB da estrutura: 
 16 
,
A A A A A A0 M 4.V 3.H 2.40 0 M 4.V 3.H 80 (4)
B AB
zM           
 
Aplicando a condição de momento nulo na rótula C para o trecho CD da estrutura (observe que o 
momento em C está aplicado à esquerda da rótula): 
,
D D D D0 2.V 3.H 1,414.84,85 0 2.V 3.H 119,98 (5)
C CD
zM        
 
Montando o sistema na forma matricial, obtém-se: 
A
A
A
D
D
H1 0 0 1 0 60
V0 1 0 0 1 140
M0 0 1 0 10 686,79
H3 4 1 0 0 80
V0 0 0 3 2 119,98
    
    
       
     
         
        
 
Resolvendo o sistema, obtém-se: 
A
A
A
D
D
H 64,47
V 73,3
M 19,77
H 4,47
V 66,7
kN
kN
kN
kN
kN



 

 
3 – Determine as reações nos vínculos A e D do pórtico abaixo: 
 
Neste exercício será adotado o método de romper rótulas para a solução do problema. Portanto, a 
estrutura do pórtico será dividida, junto à articulação, em dois trechos: ABC e CD. Observe que a 
carga distribuída estende-se por todo o trecho BCD, com carga concentrada equivalente aplicada em 
C, na projeção do centróide da carga retangular. Entretanto, ao romper a estrutura, devemos lembrar 
que a articulação não é capaz de transmitir momentos de um lado para outra da rótula. Assim, 
teremos duas cargas concentradas equivalentes neste caso, uma para o trecho BC e outra para o 
trecho CD. Além disso, devemos também observar que o momento de 150 kN.m, aplicado na rótula, 
age no trecho CD apenas. O número total de incógnitas é 6: 4 reações externas + 2 forças internas 
na rótula; o número de equações disponíveis é também 6, 3 equações de equilíbrio para cada parte 
da estrutura decomposta. 
 
 17 
Equações de equilíbrio interno – trecho ABC: 
0 Cx Ax 0 (1)xF    
 
0 Ay 120 100 Cy 0 (2)yF      
 
, 0
Am 120.2 100.4 Cy.4 Cx.5 0 (3)
A ABC
zM 
     
 
 
Equações de equilíbrio interno – trecho CD: 
0 Cx 0 (4)xF    
 
0 Cy 120 Dy 0 (5)yF      
 
, 0 150 120.2 Dy.4 0
Dy 97,5 (6)
C CD
zM
kN
     
 
 
 
Com o resultado da equação (6), obtém-se da equação (5): 
Cy 22,5kN 
. Voltando para as 
equações (1), (2) e (3) com estes resultados, chega-se à solução para as demais reações: 
Ax 0
Ay 242,5
Am 730 .
kN
kN m



 
4 – Determine as reações nos apoios da viga abaixo: 
 
O primeiro passo para a solução do problema é substituir a carga distribuída por uma carga 
concentrada equivalente, que terá módulo igual à área abaixo da curva que descreve a distribuição 
do carregamento e ponto de aplicação no centróide desta área. A posição do centróide da área 
abaixo da função de carga é dada por: 
 
4
0
4
0
.100.cos
8
100.cos
8
c
x
x dx
xdA
x
xdA
dx


 
 
 
 
 
 
 

 
 
 18 
Aplicando o método de integração por partes: 
44
2
0 0
4
0
8 64
100. . .sen 100. .cos
8 8
8
100. .sen
8
c
x x
x
x
x
 
 


     
      
     

 
 
 
 
1,45cx m 
 
O módulo da força concentrada equivalente é dado por: 
44
0 0
8
100.cos 100. .sen
8 8
x x
F dA dx
 

   
     
   
 
 
254,65F N 
 
Como a estrutura apresenta uma articulação no ponto C, será adotado o método de romper rótulas 
para a obtenção das reações nos vínculos. Neste exercício, a viga será decomposta junto à 
articulação nas partes AC e CD. O total número de incógnitas é 6: 4 reações externas + 2 forças 
internas na rótula. O número de equações disponíveis será também igual a 6, ou seja, 3 equações de 
equilíbrio interno para cada trecho. 
Equações de equilíbrio interno – trecho AC: 
0 Cx 0 (1)xF   
 
0 Ay 254,65 Cy 0 (2)yF     
 
, 0 254,65.3,55 Ay.5 0
Ay =180,8 (3)
C AC
zM
N
   

 
Com o resultado da equação (3), obtém-se da equação (2): 
Cy 73,85kN
. 
Equações de equilíbrio interno – trecho CD (observe que o momento aplicado na rótula age apenas 
no trecho CD): 
0 Dx Cx 0 (4)xF    
 
0 Dy 73,85 0 Dy 73,85 (5)yF kN     
 
, 0 500 73,85.3 0
M 278,45 . (6)
C CD
zM M
N m
     
 
 
 
 19 
AULA 03 – SOLICITAÇÕES 
1. FUNDAMENTOS SOBRE ESTRUTURAS DE BARRAS 
As estruturas em geral podem ser definidas como sistemas físicos capazes de receber e transmitir 
esforços, sendo projetadas para o atendimento de determinadas funções. Como exemplos podemos 
citar as estruturas de edifícios e pontes na Engenharia Civil, máquinas e equipamentos na 
Engenharia Mecânica, além de satélites e aeronaves na Engenharia Aeronáutica. Embora o grande 
número de funções e aplicações, as estruturas comportam-se segundo os mesmo princípios. Para 
projetar um sistema estrutural é necessário o conhecimento dos esforços internos em seus 
elementos, o que é feito através da análise da estrutura utilizando um modelo matemático adequado 
à forma como ela se comporta. 
As estruturas podem ser classificadas em estruturas de barras e estruturas contínuas, cada qual com 
suas hipóteses de funcionamento. Temos uma estrutura de barras quando constituída de 
componentes estruturais com uma dimensão preponderante em relação às demais. Por outro lado, 
uma estrutura é dita contínua quando este aspecto não pode ser verificado em uma dada estrutura. 
Na teoria de barras definimos uma seção transversal como sendo a intersecção da barra com um 
plano perpendicular ao seu eixo geométrico. O eixo geométrico de uma barra pode ser definido como 
o lugar geométrico (reta ou curva) que contém os centróides das seções transversais. 
 
A abordagem pela teoria de barras utiliza 
geralmente simplificações a partir da teoria 
clássica de Euler-Bernoulli, onde se supõe quea barra deforma-se mantendo as seções 
transversais planas, normais ao eixo 
geométrico e com dimensões inalteradas. Com 
a hipótese de seções planas, deslocamentos e 
rotações gerados nas seções transversais por 
forças externas podem ser medidos 
diretamente em relação aos respectivos 
centróides de cada uma das seções 
transversais de uma barra. Assim, o eixo 
geométrico da barra é usado como elemento 
representativo, sobre o qual atuam forças 
internas e externas. Verifica-se 
experimentalmente que a teoria de barras 
apresenta ótimos resultados quando o 
comprimento de um elemento estrutural é pelo 
menos 10 vezes maior que a maior dimensão 
da seção transversal. 
Outra hipótese importante que é assumida consiste em supor que o efeito de várias ações externas 
sobre uma estrutura é igual à soma dos efeitos individuais de cada uma destas ações agindo 
separadamente. Este é o chamado Princípio da Superposição, o qual é válido apenas quando 
ocorrem pequenos deslocamentos e rotações com ângulos inferiores a 1°. Neste caso, as equações 
de equilíbrio podem ser descritas em relação à configuração não deformada da estrutura. 
Os esforços atuantes nas estruturas podem ser classificados em esforços externos e esforços 
internos. Os esforços externos são aqueles associados a alguma ação de origem externa sobre a 
 20 
estrutura, podendo ser ativos (cargas aplicadas) ou reativos (reações de apoio). Os esforços internos 
resultam da ação mútua entre as partes que constituem uma estrutura em uma dada seção. 
2. ESFORÇOS INTERNOS OU SOLICITAÇÕES 
Considere a estrutura abaixo, da qual deseja-se remover a parte AB, permanecendo apenas com a 
parte BCD, mas mantendo o efeito que a parte removida teria sobre a que permanece. É fácil verificar 
que para manter o efeito de AB sobre BCD, é preciso levar todas as forças aplicadas em AB 
estaticamente até a seção B, tomando-se neste caso o baricentro da seção B como ponto de 
aplicação. Logo, conclui-se que a estrutura original ABCD está submetida a forças internas ao longo 
de todas as seções transversais. 
 
 
Considerando agora que se queira permanecer com a parte AB, removendo-se a parte BCD, mas 
mantendo o efeito de BCD sobre AB. Esta situação é obtida transladando-se estaticamente todas as 
forças aplicadas em BCD para a seção B. Percebe-se que a força e momento resultantes neste caso 
têm o mesmo módulo e direção da situação anterior, mas com sentidos contrários, conforme a lei da 
ação e reação. As forças internas, que representam a ação de uma parte da estrutura sobre a outra, 
acabam assim por se anular mutuamente. Estas forças internas, que atuam ao longo das seções 
transversais, são chamadas de Esforços internos ou Solicitações. 
 
Sendo assim, para encontrar as solicitações atuantes em uma dada seção, basta cortar a estrutura 
nesta seção, esboçar o diagrama de corpo livre para qualquer uma das partes resultantes e, através 
de equações de equilíbrio, encontrar as forças que devem ser aplicadas na seção de corte para 
manter a parte isolada em equilíbrio. Estas forças correspondem às resultantes das forças aplicadas 
na parte cortada, levadas estaticamente até o centro da seção. As solicitações são, portanto, 
resultantes das tensões que se desenvolvem sobre toda a superfície da seção transversal. 
Visando facilitar a interpretação de resultados, 
costuma-se trabalhar com as componentes 
das resultantes de força e momento ao longo 
de um sistema de eixos locais x’, y’ e z’, 
sendo o eixo x’ orientado perpendicularmente 
à seção transversal e os eixos y’ e z’ contidos 
no plano da própria seção. Cada uma das 
componentes das resultantes de força e 
momento tem um nome e um determinado 
efeito sobre as seções transversais. 
 
 
 21 
2.1 Esforço normal – N: 
Corresponde à componente Fx’ da resultante de forças, com direção 
perpendicular à seção transversal. Esta solicitação tem como efeito 
sobre a peça a tendência de aumentar ou diminuir seu comprimento. 
A convenção de sinais utilizada indica que o esforço normal será 
positivo sempre que a componente de força estiver saindo de ambas 
as faces de uma fatia isolada da peça, o que caracteriza um estado 
de tração. Caso contrário, quando a componente de força estiver chegando em ambas as faces, tem-
se um estado de compressão e o sinal do esforço normal será negativo. 
2.2 Esforço cortante – Vy (Qy) e Vz (Qz): 
Corresponde às componentes Fy’ e Fz’ da resultante de forças, sendo também representadas por Fy’ 
= Vy (Qy) e Fz’ = Vz (Qz). Esta solicitação tem 
como efeito sobre a peça a tendência de fazer com 
que suas diversas seções transversais deslizem 
entre si perpendicularmente ao eixo longitudinal. A 
convenção de sinais utilizada indica que o esforço 
cortante será positivo quando o par de forças Vy 
(Vz) em ambas as faces de uma fatia isolada da 
peça produza um binário no sentido horário. 
2.3 Momento torçor – Mt: 
Corresponde à componente Mx’ da resultante de 
momentos, com direção perpendicular à seção transversal. 
Seu efeito sobre a peça é a tendência de fazer com que 
suas diversas seções transversais girem umas em relação 
às outras em torno do eixo longitudinal, produzindo um 
estado de torção. A convenção utilizada indica que o 
momento torçor será positivo quando, em uma dada fatia 
da peça, os momentos estiverem saindo de ambas as 
faces. 
2.4 Momento fletor – Mz e My: 
Corresponde às componentes My’ e Mz’ da resultante de 
momentos. Seu efeito sobre a peça é a tendência de encurvar ou 
fletir seu eixo longitudinal, fazendo com que as seções transversais 
girem em torno de um dos eixos contidos nas respectivas seções 
(eixos y’ e z’). Outro efeito é a geração de esforços de tração e 
compressão simultaneamente em regiões distintas ao longo de 
uma das direções da seção transversal, dependendo em torno de 
qual destes eixos ocorra o giro da seção. A convenção de sinais 
utilizada considera que o momento fletor será positivo quando a tração se der nas fibras inferiores da 
seção. 
3. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ENTRE AS SOLICITAÇÕES 
Considere o exemplo ao lado, onde é analisada 
uma fatia de comprimento infinitesimal dx 
pertencente à estrutura, mantida de forma 
estaticamente equivalente em relação à 
configuração original. Podemos supor que a 
carga distribuída que atua na estrutura tem uma 
taxa constante sobre a fatia, uma vez que esta 
possui um comprimento infinitesimal. 
Considerando-se que o equilíbrio externo já 
tenha sido previamente verificado, é de se 
esperar que a fatia analisada também esteja em 
equilíbrio. 
 
Portanto, escrevendo as equações de equilíbrio para a fatia infinitesimal, tem-se: 
 22 
0 V q(x).dx (V dV) 0yF      
 
dV
q(x)
dx
  
 
dx dx
0 (M dM) M V. (V + dV). 0
2 2
P
zM       
 
Desprezando-se o termo com produto de infinitésimos, obtém-se: 
dM
V
dx
 
 
Logo, podemos concluir que: 
a) A derivada da função Momento Fletor (M) em relação à variável que define o comprimento do 
eixo da peça (x) é igual à função Esforço Cortante (V) e a derivada da função Esforço 
Cortante em relação à mesma variável é igual a menos a taxa de carga (q). Descontinuidades 
associadas a cargas concentradas e cargas de momento podem ser tratadas com o uso de 
funções Delta de Dirac e Salto Unitário. 
b) A integração das funções de carga resulta na função Esforço Cortante e a integração da 
função Esforço Cortante resulta na função Momento Fletor. 
Além disso, a partir das duas equações obtidas anteriormente, podemos também observar que: 
2
2
d M
q(x)
dx
  
 
4. DIAGRAMAS DE SOLICITAÇÕES 
São gráficos das solicitações feitos sobre o eixo longitudinal das barras ou elementos de uma dada 
estrutura, representando a variação nos valores de cada tipo de solicitação em todas as seções 
transversaisao longo de sua extensão. 
As solicitações de Esforço Cortante, Momento Torçor e Esforço Normal são representadas sobre o 
eixo da peça como funções comuns, com os valores positivos acima do eixo e os valores negativos 
abaixo, considerando-se o eixo longitudinal da peça como sendo o eixo das abscissas. No caso do 
Momento Fletor, o diagrama é sempre desenhado considerando os valores positivos no lado das 
fibras tracionadas em relação ao eixo longitudinal da peça. 
Os diagramas de solicitações podem ser obtidos a partir dos seguintes métodos: Método das 
Equações, Método das Áreas e Método da Análise de Carga. 
4.1 Método das Equações 
O método consiste em seccionar a estrutura em seções genéricas S, avaliando as solicitações em 
função de uma variável x que percorre toda a sua extensão e define a posição da seção S em relação 
a um ponto de origem arbitrado. Assim, a obtenção de braços de alavanca e de cargas concentradas 
equivalentes para cargas distribuídas também estará vinculada a x. Como as funções que descrevem 
a variação das solicitações terão a variável x como variável independente, para conhecermos seus 
valores em um dado ponto da estrutura, basta fornecer a respectiva coordenada em relação à origem 
da variável x. Como as funções obtidas não são capazes de representar descontinuidades, o 
equacionamento deve ser feito trecho a trecho levando-se em conta as mudanças de carregamento 
ao longo de toda a extensão da estrutura. 
Exemplo: 
Dada a viga ao lado, na qual L1 = 1,5 m, L2 = 4,5 m, P = 5 KN e q 
= 2 KN/m, determine os diagramas de solicitações usando o 
Método das Equações. 
As reações vinculares são obtidas inicialmente a partir das seguintes equações de equilíbrio: 
0xF 
 
B 0x 
 
 23 
0BzM 
 
2 1 2 2C .L P.L q.L .(0,5.L ) 0y   
 
 
2 1
2
L L 4,5 1,5
C q P 2 5
2 L 2 4,5
y    
 
C 2,83 y kN 
 
0yF 
 
2B C P q.L 0y y   
 
 
2B P q.L C 5 2.4,5 2,83y y     
 
B 11,17 y kN 
 
As solicitações são obtidas fazendo-se seccionamentos ao longo da viga. Junto à extremidade 
seccionada surgem, neste caso, 3 forças internas responsáveis pela manutenção do equilíbrio na 
parte da estrutura considerada: o Esforço Normal, o Esforço Cortante e o Momento Fletor. 
Fazendo um corte em uma seção qualquer entre os pontos A e B e mantendo somente a parte à 
esquerda da seção, obtém-se o diagrama de corpo livre apresentado abaixo. Aplicando as equações 
de equilíbrio sobre este trecho, as seguintes equações são obtidas: 
 
0xF 
 
N( ) 0x 
 
0yF 
 
V( ) P 0x  
 
V( ) 5 x kN 
 
0szM 
 
M( ) P. 0x x 
 
M( ) 5 .x x kN m 
 
As equações obtidas acima são válidas para qualquer seção entre A e B, visto que neste trecho não 
há mudanças nas cargas/reações atuantes. 
Imaginando agora um corte em uma seção qualquer entre os apoios B e C, considerando-se apenas 
a parte da estrutura à esquerda da seção, obtém-se um novo diagrama de corpo livre, a partir do qual 
podem ser expressas as seguintes equações de equilíbrio para o trecho BC: 
 
0xF 
 
N( ) 0x 
 
0yF 
 
1V( ) q( L ) B P 0yx x    
 
 
V( ) 2 2.1,5 11,17 5x x    
 
V( ) 9,17 2 (1,5m 6m)x x x    
 
0szM 
 
 
 1
1 1
L
M( ) q. L . B .( L ) P. 0
2
y
x
x x x x

     
 
 
 1,5
M( ) 11,17( 1,5) 2. 1,5 . 5
2
x
x x x x

    
 
2M( ) 9,17 19,005 . (1,5m 6m)x x x kN m x     
 
Os diagramas de solicitações podem então ser finalmente esboçados a partir das equações válidas 
para cada trecho analisado da viga, resultando nas seguintes figuras: 
 
Como se pode observar, o ponto de máximo Momento Fletor coincide com o ponto de Esforço 
Cortante nulo. Este fato é conseqüência da segunda relação fundamental entre as solicitações, 
apresentada no capítulo 3: 
dM
V
dx
 
. No caso de cargas uniformemente distribuídas, a posição 
do ponto com Esforço Cortante nulo pode ser calculada por x = V/q, onde V é o valor do Esforço 
 24 
Cortante no início da carga distribuída e q é o valor da taxa de carga. No exemplo acima, tem-se x = 
6,17/2 = 3,09 m. 
Vale lembrar que o equacionamento dos trechos também poderia ser feito no sentido contrário, ou 
seja, com o eixo da variável x tendo origem no ponto C e apontando para esquerda. Neste caso, a 
única modificação seria a configuração das solicitações, que seriam dadas segundo a convenção 
usada para cortes à esquerda dos trechos. 
4.2 Método das Áreas 
Este método é empregado na obtenção dos diagramas de Esforço Cortante e Momento Fletor e 
baseia-se nas relações fundamentais estabelecidas entre as solicitações (ver capítulo 3). 
O diagrama de Esforço Cortante é obtido somando-se o valor das cargas concentradas ou a área das 
cargas distribuídas, da extremidade esquerda da peça até a seção considerada, tomando como 
positivas todas as cargas que geram momentos no sentido horário em relação à seção transversal e 
negativas no caso contrário. A mesma convenção também é válida para análises feitas a partir da 
extremidade direita da peça. 
O diagrama de Momento Fletor é obtido somando-se a área do diagrama de esforço cortante desde a 
extremidade esquerda da peça até a seção considerada, além das próprias cargas de momento 
existentes, tomando como positivos os momentos que estão tracionando as fibras inferiores e as 
áreas de cortante positivas. Se a análise é feita a partir da 
extremidade direita, áreas do diagrama de Esforço 
Cortante que produzirão Momento Fletor positivo 
correspondem às áreas de Esforço Cortante negativo. 
Exemplo: 
Desenhe os diagramas de solicitações para a viga ao lado 
usando o Método das Áreas. 
 
 
Esforço Cortante em B: 
BV 41,67kN
 
Esforço Cortante em C: 
C1V 41,67 10.4 1,67kN  
; 
C2V 1,67 50 48,33kN   
 
Esforço Cortante em D: 
D1V 48,33 15.2 78,33kN    
; 
D2V 78,33 108,33 30kN   
 
Esforço Cortante em E: 
EV 30kN
 
 
Momento Fletor em A: 
AM 50 .kN m 
 
Momento Fletor em B: 
BM 50 .kN m 
 
Momento Fletor em C: 
C
41,67 1,67
M 50 .4 36,68 .
2
kN m
 
    
 
 
Momento Fletor em D: 
 
D
48,33 78,33
M 36,68 .2 90 .
2
kN m
 
    
 
 
Momento Fletor em E: 
EM 90 30.3 0   
 
 25 
4.3 Método da Análise de Carga 
Neste método, os diagramas de solicitações são obtidos a partir da análise do tipo de carga aplicada 
em diferentes trechos da estrutura. Além disso, considera-se também o valor das solicitações em 
alguns pontos importantes, o que pode ser feito usando-se um dos métodos apresentados 
anteriormente. 
Os diagramas de solicitações apresentam, em geral, as seguintes características (ver figura abaixo): 
 Uma carga concentrada seguida por um trecho sem carga gera um diagrama de Esforço 
Cortante constante e um diagrama de Momento Fletor linear. 
 Uma carga uniformemente distribuída gera um diagrama de Esforço Cortante linear e um 
diagrama de Momento Fletor parabólico. 
 Uma carga concentrada causa uma 
descontinuidade no diagrama de Esforço Cortante de 
mesmo valor em módulo e mesmo sentido. 
 Uma carga concentrada causa uma quebra 
(ponto de inclinação dupla ou angulação) no diagrama 
de Momento Fletor. 
 Um momento aplicado não tem efeito sobre o 
diagrama de Esforço Cortante e causa uma 
descontinuidade no diagrama de Momento Fletor. 
 Em extremidades livres o Esforço Cortante é 
nulo ou igual em módulo a qualquer carga 
concentrada ali aplicada. O Momento Fletor é nulo ou 
igual a qualquer momento aplicado neste ponto. 
 Em extremidades apoiadas o Esforço Cortante 
é igual em módulo à reação vincular. O Momento 
Fletor é nuloa menos que ali esteja aplicado um 
momento. 
 O ponto de máximo Momento Fletor coincide 
com o ponto de Esforço Cortante nulo. 
 O diagrama de Momento Fletor sobre um 
apoio interno sofre uma quebra ou angulação. 
 A concavidade do diagrama de Momento Fletor está sempre voltada para a carga distribuída. 
 Uma carga distribuída linear (carga triangular) gera um diagrama de Esforço Cortante 
parabólico e um diagrama de Momento Fletor cúbico. 
 Em extremidades engastadas o valor do Momento Fletor é igual em módulo ao da reação 
momento do vínculo e o Esforço Cortante é igual em módulo à reação de força. 
 O Momento Fletor em rótulas internas é nulo. 
Exemplo: 
Esboçar os diagramas de solicitações para o pórtico abaixo utilizando o Método da Análise de Carga. 
 
 26 
Inicialmente devem ser calculadas as reações vinculares observando que a presença de uma rótula 
no ponto E possibilita a solução através da decomposição da estrutura em duas partes. Além disso, 
vale lembrar que em qualquer rótula tem-se que 
0rotzM 
. 
Impondo um somatório de momentos nulo da parte EF do pórtico em relação à rótula (ponto E), 
obtém-se que: 
, 0E EFzM 
 2
F. q. 0
2
l
l  
 2320,2
F.320,2 0,2. 0
2
 
 
F 32,02 kgf 
 
Esta força está direcionada na direção perpendicular ao eixo da barra EF. Para obter as componentes 
desta força nas direções x e y deve ser feita uma decomposição trigonométrica. Observando a figura 
do pórtico, conclui-se que a inclinação da barra EF em relação ao eixo x é dada por: 
250
51,34º
200
arctg    
 
. Portanto, tem-se que: 
F F.cos(51,34) 20 kgfy  
 
F F.sen(51,34) 25 kgfx  
 
Aplicando agora as equações de equilíbrio de força para o pórtico completo, tem-se: 
0xF 
 
A F q. .sen(51,34) 0x x l  
 
A 0,2.320,2.sen(51,34) 25x  
 
A 25 Kgfx 
 
0yF 
 
A F 75 q. .cos(51,34) 0y y l   
 
A 75 0,2.320,2.cos(51,34) 20y   
 
A 95 Kgfy 
 
Usando a decomposição do pórtico em duas partes, a partir da posição da rótula em E, e tomando 
apenas a parte ABCDE, a condição de momento nulo em E (rótula) resulta 
em: 
, 0E ABCDzM 
 
A75.100 5000 M 25.250 95.200 0    
 
 
AM 250 Kgf.mm
 
Para a determinação dos diagramas de solicitações, o pórtico é decomposto em 3 barras e diagramas 
de corpo livre são montados para cada uma delas. 
Na primeira barra, observa-se que só existe a reação Ay (95 kgf) 
como força atuante na direção do eixo da barra. Logo, o esforço 
normal será constante e igual a essa reação, caracterizando um 
estado de compressão para a barra ABC. 
O valor do Esforço Cortante em A é igual ao valor da reação Ax, 
sendo negativo em função da convenção de sinais adotada. Como 
não há mais cargas de força neste trecho, o diagrama permanece 
constante. 
O Momento Fletor em A é igual à reação de momento no engaste 
(MA), tendo sinal negativo pois traciona as fibras superiores da 
seção transversal. A reação Ax irá gerar uma variação linear no 
diagrama de Momento Fletor no trecho ABC. Porém, a presença 
de um momento aplicado no ponto B produz uma descontinuidade 
no valor deste momento (5000 kgf.mm), sendo também negativo 
uma vez que traciona as fibras superiores da seção. Os valores de Momento Fletor nos pontos B e C 
podem ser obtidos somando-se aos momentos aplicados em A e em B as áreas do diagrama de 
Esforço Cortante naqueles mesmos trechos. 
As solicitações atuantes no ponto C representam as forças de interação entre as partes ABC e CDE 
da estrutura. Assim, quando desenhamos o diagrama de corpo livre da barra CDE, observa-se que as 
 27 
forças internas que aparecem no ponto C correspondem às forças internas observadas na parte ABC 
neste mesmo ponto, porém com sentidos contrários. Como as barras ABC e CDE são 
perpendiculares entre si, a força que representa o Esforço Normal na barra ABC no ponto C passa a 
representar o Esforço Cortante em C para a barra CDE. Da mesma maneira, o Esforço Cortante em C 
para a barra ABC passa a ser o Esforço Normal, neste mesmo ponto, para a barra CDE. 
Observa-se que o Esforço Normal é constante e negativo no trecho 
CDE, já que a barra está submetida a uma única força na direção 
longitudinal e em compressão. 
No ponto C o Esforço Cortante tem o valor da carga ali aplicada (95 
kgf). O diagrama segue constante até o ponto D, onde devido à 
aplicação de uma carga concentrada, há uma descontinuidade no 
valor da força atuante (75 kgf). Todo o diagrama apresenta valores 
positivos para o Esforço Cortante porque a força aplicada em C gera 
um momento horário nas diferentes seções transversais da barra. 
Além disso, a força aplicada em D, que gera momento anti-horário 
nas seções transversais a partir do ponto D, não é capaz de inverter 
o sinal do diagrama. 
O Momento Fletor em C tem o valor do Momento Fletor obtido no 
mesmo ponto C na análise da barra ABC, já que o diagrama 
representa funções contínuas a menos que haja algum momento 
aplicado em um ponto do trecho. Devido à carga vertical de 95 kgf 
aplicada em C, o diagrama de Momento Fletor é linear, sendo seu 
valor em D obtido através da área do diagrama de Esforço Cortante 
entre os pontos C e D, acrescido do momento em C. A partir de D, com uma nova carga concentrada, 
o diagrama mantém a variação linear, porém com uma inclinação diferente. No ponto E, o Momento 
Fletor é nulo, reproduzindo corretamente a condição de momento nulo em rótulas. 
Para a determinação das solicitações no trecho EF, adota-se a coordenada x na direção do eixo da 
barra, percorrendo a mesma no sentido FE. Portanto, o seccionamento será pela esquerda da 
barra, tomando-se apenas a parte do pórtico à direita da seção. 
Como não há reação no vínculo F atuando na direção do eixo da 
barra e nenhuma carga atuando nesta direção ao longo da barra, o 
Esforço Normal é nulo no trecho EF. 
O Esforço Cortante em F é igual à reação vertical agindo no vínculo, 
sendo negativo de acordo com a convenção utilizada. No trecho FE 
o diagrama é linear devido à carga uniformemente distribuída 
aplicada na barra. O valor do esforço cortante em E é dado pela 
reação no vínculo F mais a área da distribuição de carga (-32,02 kgf 
+ 0,2 kgf/mm x 320,2 mm = 32,02 kgf). 
O diagrama de Momento Fletor neste trecho é parabólico em função 
da atuação de uma carga uniformemente distribuída, com valores 
nulos nos pontos E e F (rótula e apoio) e máximo ocorrendo no 
ponto de cortante nulo (x = V/q = 32,02/0,2 = 160,1 mm). 
 
 
 28 
AULA 04 – SISTEMAS ESTRUTURAIS: VIGAS 
1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS DE BARRAS 
As estruturas de barras apresentam, a princípio, 6 tipos de solicitações atuando nas seções 
transversais: Esforço Normal (N), Esforço Cortante (Vy e Vz), Momento Fletor (My e Mz) e Momento 
Torçor (Mt). Entretanto, modelos simplificados podem ser criados em razão do comportamento da 
estrutura e, conseqüentemente, da predominância de determinadas solicitações sobre outras. 
Dependendo das solicitações consideradas, as estruturas de barras podem ser classificadas em: 
- Vigas; 
- Pórticos (planos ou espaciais); 
- Grelhas; 
- Treliças (planas ou espaciais); 
- Cabos. 
As vigas são elementos estruturais de geometria linear representados por barras dispostas de forma 
isolada ou seqüencialmente, cujas cargas de força atuantes (Fx, Fy) estão aplicadas em um plano 
contendo o eixo geométrico da barra e momentos eventualmente aplicados (Mz) têm sua direção 
normal a este plano. Os movimentos de corpo rígido admitidos neste modelo são translações no 
plano de análise e giros em torno do eixo normal ao plano. As solicitações consideradas são o 
Esforço Normal (N), o Esforço Cortante (V) e o Momento Fletor (M). 
 
Pórticos planos são estruturas reticuladas compostas por barrasdispostas de tal maneira que todos 
os seus eixos geométricos estão contidos em um mesmo plano. As cargas admitidas são forças no 
plano de análise e momentos perpendiculares ao plano. Os movimentos de corpo rígidos e as 
solicitações consideradas neste 
modelo são os mesmos usados 
nas vigas. Os Arcos podem ser 
considerados como casos 
particulares de pórtico plano 
onde as barras são curvas ou 
poligonais. São empregados 
quando deseja-se a 
preponderância do Esforço 
Normal frente ao Momento 
Fletor, favorecendo o uso de materiais de baixa resistência à tração. Nos pórticos espaciais, as barras 
apresentam direções arbitrárias e todos os tipos de cargas e solicitações são consideradas, além de 
todos os movimentos de corpo rígido existentes. Portanto, o pórtico espacial é o modelo de estrutura 
de barras mais geral possível. 
Grelhas são estruturas reticuladas planas que admitem cargas de 
força perpendiculares ao plano da estrutura e momentos com 
direções contidas neste plano. Os movimentos de corpo rígido 
possíveis são deslocamentos lineares na direção perpendicular 
ao plano da estrutura e giros em torno dos eixos que definem este 
plano. As solicitações consideradas nas seções transversais das 
barras de uma grelha são o Esforço Cortante, o Momento Fletor e 
o Momento Torçor. 
 
 
As Treliças Planas são estruturas reticuladas formadas por barras retas articuladas em suas 
extremidades e dispostas em um único plano. As barras são unidas entre si através de rótulas 
chamadas de nós. As cargas admitidas são forças contidas no plano da treliça e aplicadas apenas 
 29 
nos nós. Consequentemente, a única solicitação considerada é o Esforço Normal. Os movimentos de 
corpo rígido possíveis a uma treliça plana são translações no plano da treliça e giros em torno do eixo 
normal a este plano. No caso das Treliças Espaciais, a disposição das barras se dá de forma 
espacial, admitindo assim todos os movimentos de corpo rígido e apenas o Esforço Normal como 
solicitação atuante. 
 
Os cabos são elementos estruturais unidimensionais usados para transmitir apenas o Esforço Normal 
em tração. Nos cabos, a rigidez à flexão é desprezada frente à rigidez axial, assumindo forma em 
função das cargas aplicadas. Assim, quando suspenso pelas extremidades e sob forças 
concentradas, apresenta forma poligonal (polígono funicular); quando submetido apenas ao peso 
próprio, toma a forma denominada catenária; quando sob a ação de força vertical uniformemente 
distribuída na direção horizontal assume a forma parabólica; quando apenas tracionado em suas 
extremidades, apresenta forma retilínea, sendo denominado tirante. 
 
Na tabela abaixo, encontram-se resumidos todos os modelos de estruturas de barras e as respectivas 
solicitações a serem consideradas. 
Modelos de estruturas de barras Solicitações atuantes 
Viga M, V e N 
Pórtico Plano M, V e N 
Pórtico Espacial N, Vy e Vz, My e Mz, T 
Grelha V, M e T 
Trelia Plana e Treliça Espacial N 
Cabo N 
2. ANÁLISE DE VIGAS 
Como foi mencionado anteriormente, 
as vigas são barras disposta 
seqüencialmente em uma mesma 
linha horizontal reta, sendo 
submetidas a cargas de força em um 
plano vertical e momentos com 
direção normal a este plano. De 
acordo com a disposição dos 
vínculos, as vigas são classificadas 
em biapoiadas (também 
simplesmente apoiadas), 
biengastadas, em balanço (também 
engastada livre) ou contínuas. A 
distância entre dois apoios 
consecutivos é chamada de vão e o trecho compreendido entre os apoios recebe o nome de tramo. 
 
 
 30 
As solicitações consideradas nos modelos de viga são o Esforço Normal, o Esforço Cortante e o 
Momento Fletor, seguindo a convenção de sinais indicada na figura abaixo. 
 
O Momento Fletor provoca a curvatura do eixo da barra quando esta é submetida a carga, fazendo 
com que parte da seção apresente um estado de tração e outra parte um estado de compressão. 
Quando em um trecho de barra ocorre apenas Momento Fletor, diz-se que há flexão pura. Contudo, 
este momento geralmente ocorre acompanhado de Esforço Cortante, quando há então flexão 
simples. Por outro lado, quando o Momento Fletor é acompanhado de Esforço Normal, ocorre a 
flexão composta. 
 
EXEMPLOS: 
1) Determine os diagramas de solicitações para a viga simplesmente apoiada abaixo: 
 
Cálculo das reações: 
A A
p.
0 R . p. . 0 R
2 2
B
z
l l
M l l      
 
A B B
p.
0 R p. R 0 R
2
y
l
F l      
 
Para a obtenção dos diagramas de solicitações, utiliza-se uma seção genérica S posicionada à direita 
do apoio A, considerando-se o trecho da viga à esquerda desta seção. Aplicando-se as equações de 
equilíbrio para esta configuração obtém-se: 
   2A
p
0 M p. . R . 0 M . 0
2 2
S
z
x
M x x l x x x l         
 
 A
p.
0 V p. R 0 V p. 0
2
y
l
F x x x l         
 
Pode-se observar que a expressão que define o Esforço Cortante ao longo da viga é igual à derivada 
do Momento Fletor em relação à coordenada x, que tem sua origem no ponto A. O momento máximo 
é obtido derivando a expressão acima em relação a x e igualando a zero a expressão obtida, ou seja: 
 
M p
0 2. 0
2 2
d l
l x x
dx
     
 
Neste ponto, o Esforço Cortante é nulo e o Momento Fletor vale: 
 31 
2 2p p.
M . M
2 2 2 8
l l l
l
  
     
   
 
Nas extremidades da viga, o Esforço Cortante vale: 
 
 
p.
V 0
2
p.
V
2
l
x
l
x l
  
   
 
Com estas informações, os diagramas podem ser finalmente desenhados: 
 
2) Determine os diagramas de solicitações para viga simplesmente apoiada com carga 
concentrada: 
 
Cálculo das reações: 
A A0 H P.cosα 0 H P.cosαxF      
 
A A
P.sen(α).b
0 R . P.sen(α).b 0 RBzM l
l
      
 
A B B
P.sen(α).a
0 R P.sen(α) R 0 RyF
l
      
 
A presença da carga concentrada em C fará com que haja uma descontinuidade nos gráficos de 
Esforço Cortante e Momento Fletor neste ponto. Assim, o equacionamento deverá ser feito em dois 
trechos: AC e CB. 
Para uma seção genérica S em qualquer ponto do trecho AC, considerando-se a configuração de 
cargas e solicitações à esquerda da seção, tem-se: 
 A0 N H 0 N P.cosα 0 axF x        
 
 A
P.sen(α).b
0 V R 0 V 0 ayF x
l
       
 
 A
P.sen(α).b
0 M R . 0 M . 0 aSzM x x x
l
       
 
 32 
Agora, para uma seção genérica S no trecho CB, considerando-se a configuração de cargas e 
solicitações à esquerda da seção, tem-se: 
 0 N 0 axF x l    
 
 A B
P.sen(α).a
0 V R P.sen(α) 0 V R ayF x l
l
           
 
   
A0 M R . P.sen(α).( a) 0
b.
M P.sen(α) a a
S
zM x x
x
x x l
l
     
 
      
 

 
Assim, com as equações obtidas acima, obtêm-se os diagramas de Esforço Normal e Esforço 
Cortante, além do diagrama de Momento Fletor, observando que a carga concentrada em C gera um 
ponto anguloso no diagrama de Momento Fletor e uma descontinuidade no valor da carga no 
diagrama de Esforço Cortante. 
 
3) Determine os diagramas de solicitações para viga simplesmente apoiada com carga de 
momento: 
 
Cálculo das reações: 
A A
M
0 R . M 0 RBzM l
l
      
 
A B B
M
0 R R 0 RyF
l
      
 
A presença da carga de momento em x = a gera uma descontinuidade no diagrama de Momento 
Fletor, fazendo com que o equacionamento seja feito em dois trechos da viga, definidos pela posição 
da carga de momento: 
Para 
0 ax 
: 
 A
M
0 M R . 0 M . 0 aSzM x x x
l
       
 
 A
M
0 V R 0 V 0 ayF x
l
       
 
 
 33 
 
Paraa x l 
: 
 
A0 M R . M 0
M
M .( ) a
S
zM x
l x x l
l
    
     

 
 A
M
0 V R 0 V ayF x l
l
       
 
Após o equacionamento dos trechos, os diagramas são desenhados como segue: 
 
Observa-se que o diagrama de Momento Fletor apresenta uma descontinuidade na seção onde está 
aplicado o momento 
M
, cujo valor é igual a este mesmo momento. Além disso, verifica-se que uma 
mesma equação é válida para o Esforço Cortante nos dois trechos definidos neste problema, já que 
não há mudanças de um trecho para outro na configuração de cargas verticais. 
4) Obter os diagramas de solicitações para viga simplesmente apoiada com carga distribuída 
triangular: 
 
Iniciando com o cálculo das reações: 
0
A 0 A
p .
0 R . p . . 0 R
2 3 6
B
z
ll l
M l      
 
0
A B 0 B
p .
0 R R p . 0 R
2 3
y
ll
F       
 
Tomando uma seção genérica S e a configuração de cargas e solicitações à esquerda da seção, 
obtém-se: 
   2 20 0A
p . p .
0 M R . . . 0 M 0
2 3 6.
S
z
x xx x
M x l x x l
l l
 
          
 

 
   2 20 0A
p . p
0 V R . 0 V 3. 0
2 6
y
x x
F l x x l
l l
         
 
Observa-se que a equação de Momento Fletor ao longo da viga é descrito por uma parábola do 
terceiro grau, enquanto que o Esforço Cortante é descrito por uma parábola do segundo grau. 
Verifica-se também que a equação de Esforço Cortante é igual à derivada da equação de Momento 
Fletor e, portanto, o momento máximo ocorre justamente na seção onde o Esforço Cortante é nulo, ou 
seja: 
 34 
 2 20
p
0 3. 0,577.
6 3
l
l x x l
l
    
 
2 20
2 20
max max 0
p .
p .3
M M 0,064. .
6. 3 243
l
ll
l p l
l
  
      
   
 
A partir das equações e observações acima, obtém-se os seguintes diagramas de solicitações: 
 
5) Obter os diagramas de solicitações para viga em balanço com carga uniformemente 
distribuída: 
 
Calculando as reações de apoio: 
A A0 R p. 0 R p.yF l l     
 
2
A A A
p.
0 R . M p. . 0 M
2 2
B
z
l l
M l l       
 
Tomando uma seção genérica S e a configuração de cargas e solicitações à direita da seção, tem-se: 
 
2 2p. p.
0 M 0 M 0
2 2
S
z
x x
M x l
 
        
 
 0 V p. 0 V p. 0yF x x x l         
 
Observe que neste caso a expressão de define o Esforço Cortante é igual à derivada do Momento 
Fletor em relação a x, porém com sinal trocado. 
Com estas equações é possível obter os diagramas de solicitações abaixo: 
 
 
 
 35 
6) Obter os diagramas de solicitações para viga a biapoiada com balanço mostrada abaixo: 
 
Iniciando com o cálculo das reações de apoio: 
B B
1,5
0 R .4,5 50.2.1 50.1,5 4,5 0 R 109,72
2
A
zM kN
 
        
 

 
A B A0 R R 50.2 50.1,5 0 R 65,28yF kN       
 
Para o equacionamento das solicitações serão usados 3 trechos determinados, como sempre, por 
mudanças na configuração de cargas aplicadas ao longo do comprimento longitudinal da viga. Neste 
exemplo, estas mudanças se dão notadamente nos pontos C e B, como se pode observar acima. As 
seções genéricas S usadas para a obtenção das equações de solicitações serão definidas pela 
coordenada x, que tem como origem o ponto A do eixo da viga. Já as respectivas configurações de 
cargas e solicitações em cada trecho serão tomadas à esquerda da seção S. 
Primeiro trecho: 
0 2x 
 
 
2
20 M 65,28. 50. 0 M 65,28. 25. 0 2
2
S
z
x
M x x x x         
 
 0 V 50. 65,28 0 V 65,28 50. 0 2yF x x x         
 
A equação de Esforço Cortante indica um ponto com valor nulo neste trecho, que corresponde ao 
ponto onde o Momento Fletor é máximo neste mesmo trecho. Portanto: 
0 65,28 50. 1,3056 x x m   
 
2M 65,28.1,3056 25.(1,3056) M 42,615 .kN m   
 
Segundo trecho: 
2 4,5x 
 
 0 M 65,28. 50.2.( 1) 0 M 34,72. 100 2 4,5SzM x x x x           
 
 0 V 50.2 65,28 0 V 34,72 2 4,5yF kN x         
 
Terceiro trecho: 
4,5 6x 
 
 
2
2
( 4,5)
0 M 34,72. 100 109,72.( 4,5) 50. 0
2
M 25. 300. 899,99 4,5 6
S
z
x
M x x
x x x

       
      
 
 
0 V 34,72 109,72 50.( 4,5) 0
V 50. 300 4,5 6
yF x
x x
      
     
 
Observe que em x = 4,5 m há uma descontinuidade entre as equações de Esforço Cortante do 
segundo e do terceiro trecho no valor da reação de apoio RB. Repare também que nesta mesma 
posição o diagrama de Momento Fletor apresenta um ponto anguloso no valor de 56,24 kN.m. 
Finalmente, a partir das equações de solicitações em cada trecho analisado, obtêm-se os diagramas 
a seguir: 
 36 
 
7) Obter os diagramas de Esforço Cortante e Momento Fletor para a viga ilustrada abaixo: 
 
As reações de apoio são calculadas inicialmente utilizando-se as seguintes equações de equilíbrio: 
A A0 R .5 10.7 10.7.3,5 20.2,5 0 R 73
B
zM kN        
 
A B B0 R R 10 20 10.7 0 R 27yF kN        
 
Para identificar a posição de uma seção genérica S ao longo dos trechos de carga da viga acima será 
empregado um eixo de coordenadas x com origem no ponto C, como mostrado na figura. Portanto, as 
configurações de carga e solicitações respectivas a cada trecho estudado serão definidas sempre à 
esquerda da seção S. Neste exemplo, observa-se que as alterações de configuração de carga ao 
longo do eixo longitudinal da viga ocorrem nos pontos A e D, constituindo, por esta razão, 3 trechos 
para o equacionamento das solicitações. 
Primeiro trecho: 
0 2x 
 
 
2
20 M 10. 10. 0 M 5. 10. 0 2
2
S
z
x
M x x x x          
 
 0 V 10. 10 0 V 10. 10 0 2yF x x x          
 
Observe que o Esforço Cortante em C é igual em módulo à carga concentrada aplicada neste mesmo 
ponto. 
Segundo trecho: 
2 4,5x 
 
 
2
2
0 M 5. 10. 73.( 2) 0
M 5. 63. 146 2 4,5
S
zM x x x
x x x
      
      
 
 
M
V V 10. 63 2 4,5
d
x x
dx
      
 
Observe que há uma descontinuidade entre as equações de Esforço Cortante do primeiro trecho e do 
segundo trecho em x = 2,5 m (ponto A) devido ao apoio localizado nesta posição. O valor da 
descontinuidade é igual à reação RA. 
Terceiro trecho: 
4,5 7x 
 
 
2
2
0 M 5. 63. 146 20.( 4,5) 0
M 5. 43. 56 4,5 7
S
zM x x x
x x x
       
      
 
 37 
 
M
V V 10. 43 4,5 7
d
x x
dx
      
 
em x = 4,5 m há novamente uma descontinuidade nas equações de Esforço Cortante, agora entre o 
terceiro trecho e o quarto trecho. O valor da descontinuidade é igual ao valor da carga concentrada 
em D. Repare também que nesta mesma posição o diagrama de Momento Fletor apresenta um ponto 
anguloso no valor de 36,25 kN.m. No ponto B (x = 7 m), a equação de Esforço Cortante neste trecho 
fornece o valor em módulo da reação RB. 
Com as equações de solicitações definidas para cada trecho analisado, obtêm-se os diagramas de 
solicitações abaixo: 
 
8) Obter os diagramas de solicitações para a viga com três apoios e rótula interna ilustrada 
abaixo: 
 
A viga deste exemplo apresenta um apoio de segunda classe em A e dois apoios de primeira classe 
em B e em D, ambos restringindo apenas translações verticais e, consequentemente, gerando 
reações de força verticais nestes mesmos apoios. O número total de incógnitas é igual a 4, 
reduzindo-se a 3 já que pela inexistência de forças ativas horizontais a reação de força horizontal no 
apoio em A é zero.As equações de equilíbrio da estática plana são três, das quais apenas duas são 
relevantes neste problema uma vez que não temos forças atuando na direção horizontal. Com isso, o 
problema parece ser hiperestático, mas a rótula interna em C adiciona uma nova equação ao sistema 
de equações possibilitando a solução estática. 
Para a obtenção das reações de apoio será adotado, neste caso, o método de romper rótulas. 
Rompendo a rótula em C e trabalhando apenas com o trecho CD, obtém-se: 
,
D D0 R .2 20.2.1 0 R 20
C CD
zM kN     
 
Trabalhando agora com a viga completa: 
D B B0 R .7 R .3 20.4.5 40.3.1,5 0 R 146,67
A
zM kN       
 
A B C A0 R R R 40.3 20.4 0 R 33,33yF kN        
 
Em função das mudanças de carregamento observadas ao longo do eixo longitudinal da viga, as 
equações de solicitações serão obtidas a partir da definição de dois trechos de carga, AB e BD. Para 
a identificação da posição de uma seção genérica S ao longo dos trechos de carga definidos acima 
será empregado um eixo de coordenadas x com origem no ponto A, conforme indicado na figura. 
Assim, as configurações de carga e solicitações respectivas a cada trecho estudado serão 
estabelecidas sempre à esquerda da seção S. 
Trecho AB: 
0 3x 
 
 
2
20 M 33,33. 40. 0 M 20. 33,33. 0 3
2
S
z
x
M x x x x          
 
 38 
 0 V 40. 33,33 0 V 40. 33,33 0 3yF x x x          
 
Para x = 0 verifica-se que a equação de Esforço Cortante resulta no valor da reação RA em módulo. 
Além disso, observa-se que neste trecho há um ponto de Esforço Cortante nulo, onde o Momento 
Fletor apresenta um valor máximo: 
0 40. 33,33 0,833x x m    
 
2M 20.(0,833) 33,33.0,833 M 13,886 .kN m    
 
Trecho BD: 
3 7x 
 
 
2
2
( 3)
0 M 20. 33,33. 146,67.( 3) 40.3.( 1,5)
2
M 10. 120. 350,01 3 7
S
z
x
M x x x
x x x

       
      
 
 
M
V V 20. 120 3 7
d
x x
dx
      
 
Neste trecho há um novo ponto com Esforço Cortante nulo e, consequentemente, um valor máximo 
de Momento Fletor: 
0 20. 120 6x x m    
 
2M 10.6 120.6 350,01 M 9,99 .kN m     
 
No ponto B as equações de Esforço Cortante correspondentes aos trechos AB e BD apresentam uma 
descontinuidade com valor igual à reação RB. Já no ponto D, a equação de Esforço Cortante para o 
trecho BD indica o valor da reação RD em módulo. 
Finalmente, com as equações de solicitações obtidas é possível traçar os diagramas mostrados 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Obtenha os diagramas de solicitações para as vigas abaixo 
 
 
 
 
 40 
 
 
 41 
TABELAS 
a) Diagramas de solicitações para vigas simplesmente apoiadas e carregamentos diversos: 
 
 
 42 
 
b) Diagramas de solicitações para vigas em balanço e carregamentos diversos: 
 
 
 43 
 
 
 
 44 
AULA 05 – SISTEMAS ESTRUTURAIS: PÓRTICOS 
1. ANÁLISE DE PÓRTICOS 
Como foi visto anteriormente, os pórticos são estruturas formadas por barras retas ou curvas 
com seus eixos geométricos dispostos ou em plano, quando são chamadas de pórticos planos, 
ou com uma disposição no espaço, quando são chamadas de pórticos espaciais. Além disso, 
nos pórticos planos as cargas atuantes encontram-se no plano que os definem, sendo que os 
momentos apresentam direção normal a este plano. Conseqüentemente, as solicitações 
consideradas são o Esforço Normal, o Esforço Cortante e o Momento Fletor. Já nos pórticos 
espaciais, as cargas têm direções quaisquer e todas as solicitações são possíveis. Portanto, os 
pórticos planos são uma simplificação de um modelo mais geral, o modelo de pórtico 
espacial. Os arcos são considerados como um caso particular dos pórticos planos, quando as 
barras que o constituem são curvas. 
 
Pórticos planos 
 
Pórtico espacial 
 
Arcos 
A convenção de sinais para as solicitações nas 
barras de pórtico plano segue a mesma convenção 
utilizada nas vigas, reproduzida na figura ao lado. 
No entanto, para aplicar corretamente esta 
convenção em pórticos planos é necessário arbitrar 
a posição de observação das barras a fim de 
determinar as zonas superior e inferior da seção 
transversal em relação aos respectivos eixos 
geométricos. A zona inferior é indicada por uma linha tracejada junto a cada barra do pórtico. 
 
Para pórticos espaciais, adota-se uma convenção onde cada barra tem um referencial local 
xyz, onde as solicitações serão positivas quando orientadas segundo o sentido positivo destes 
eixos locais. 
 45 
 
Vale lembrar que quando o pórtico é formado por barras dispostas ortogonalmente entre si, 
observa-se que o Esforço Normal de uma barra é igual, numericamente, ao Esforço Cortante 
da próxima barra e o Esforço Cortante daquela barra é igual ao Esforço Normal desta. Esta 
relação não ocorre quando as barras estão dispostas de uma forma qualquer não ortogonal. 
EXEMPLOS: 
1) Traçar os diagramas de solicitações para o pórtico abaixo: 
 
Calculando as reações de apoio: 
B B0 H 20 0 H 20xF kN      
 
A A0 R .5 20.2 10.5.2,5 0 R 33
B
zM kN       
 
A B B0 R R 10.5 0 R 17yF kN      
 
Para a determinação das solicitações em pórticos planos é necessário definir inicialmente qual 
o lado inferior das barras. Esta indicação é feita através de linhas tracejadas, como mostrado 
na figura acima. O pórtico é então decomposto em trechos definidos pelas barras que o 
compõe, onde cada barra é analisada isoladamente. Neste exemplo, temos as barras AC e CB. 
Para a obtenção das solicitações pode-se empregar qualquer um dos 
métodos apresentados anteriormente. Utilizando o método da análise de 
carga, obtém-se primeiramente o diagrama de corpo livre da barra AC, 
indicando os valores das solicitações junto à seção em C, os quais são 
determinados por equilíbrio interno da barra, como é feito no método das 
equações para uma seção genérica. Pode-se imaginar um eixo de 
coordenadas x alinhado com o eixo longitudinal da barra AC, tendo sua 
origem no ponto A. Observa-se que toda a barra está submetida a um estado 
de compressão constante de 33 kN, de onde podemos concluir que 
N 30kN 
 para 
0 4x 
. Como não há forças transversais entre os 
 46 
pontos A e D, o Esforço Cortante e o Momento Fletor neste trecho são nulos. A partir do 
ponto D, com a incidência apenas da carga concentrada de 20 kN, o Esforço Cortante passa a 
apresentar uma função constante 
V 20kN 
 e o Momento Fletor é dado pela função linear 
M 20.( 2)x  
. 
No trecho CB são aplicados na seção C os mesmos esforços internos obtidos na mesma 
posição da barra AC, porém com sentidos contrários, de 
acordo com a 3ª Lei de Newton. Como as duas barras do 
pórtico estão dispostas ortogonalmente, o valor do Esforço 
Normal em C obtido para a barra AC é igual ao valor do 
Esforço Cortante obtido na barra CB nesta mesma posição. 
Da mesma forma, o Esforço Cortante da barra AC em C é 
igual, numericamente, ao Esforço Normal da barra CB na seção correspondente a C. 
Novamente, imagina-se um eixo de coordenadas x disposto na direção longitudinal da barra 
CB com origem no ponto C, a fim de estabelecer a posição referente ao Esforço Cortante nulo 
neste trecho e, conseqüentemente, o valor do Momento Fletor máximo. Observa-se que há um 
estado de compressão constante de 20 kN atuando nesta barra, de onde conclui-se que 
N 20kN 
 para 
0 5x 
. O Esforço Cortante tem variação linear neste trecho devido à 
atuação de uma carga uniformemente distribuída, valendo + 33 kN