Matemática: Funções e Inequações

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1Matemáti caFunções 
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SISTEMA COC DE ENSINO
Direção-Geral: Sandro Bonás
Direção Pedagógica: Zelci C. de Oliveira
Direção Editorial: Roger Trimer
Gerência Pedagódica: Luiz Fernando Duarte
Gerência Editorial: Osvaldo Govone
Gerência Operacional: Danilo Maurin
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Ouvidoria: Regina Gimenes
Conselho Editorial: José Tadeu B. 
Terra, Luiz Fernando Duarte, Osvaldo 
Govone e Zelci C. de Oliveira
PRODUÇÃO EDITORIAL
Autoria: Clayton Furukawa
Editoria: José F. Rufato, Marina A. 
Barreto e Paulo S. Adami
Coordenação editorial: Luzia H. Fávero F. López
Assistente Editorial: George R. Baldim
Projeto gráfico e direção de 
arte: Matheus C. Sisdeli
Preparação de originais: Marisa A. dos Santos 
e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto
Iconografia e licenciamento de texto: 
Cristian N. Zaramella, Marcela Pelizaro 
e Paula de Oliveira Quirino.
Diagramação: BFS bureau digital
Ilustração: BFS bureau digital
Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, 
José S. Lara, Leda G. de Almeida e 
Maria Cecília R. D. B. Ribeiro
Capa: LABCOM comunicação total
Fechamento: Matheus C. Sisdeli
Su
m
ár
io
CAPÍTULO 01 FUNÇÕES 7
1. Introdução: noção de função 7
2.	 Definição	 7
3. Função real 13
4. Raiz (ou zero) da função 14
5. Função crescente, decrescente e constante 14
CAPÍTULO 02 FUNÇÃO AFIM E FUNÇÃO QUADRÁTICA 16
1. Introdução 16
2.	 Função	afim	ou	função	polinomial	do	1º	grau	 16
3. Função constante 18
4.	 Função	quadrática	ou	função	polinomial	do	2º	grau	 20
5.	 Função	do	2º	grau	–	pontos	extremos	 24
6.	 Função	do	2º	grau	–	Aplicações	 27
CAPÍTULO 03 INEQUAÇÕES DO 1º E DO 2º GRAU 31
1. Introdução 31
2. Propriedades 31
3.	 Inequações	do	1º	grau	 31
4.	 Inequação	do	2º	grau	 32
5.	 Inequações	produto	e	quociente		 35
6. Inequação produto 35
7. Inequação quociente 35
8.	 Potências	com	expoentes	inteiros	 36
9.	 Um	método	prático	 36
CAPÍTULO 04 TIPOS DE FUNÇÕES 40
1.	 Função	composta	 40
2.	 Classificação	 41
3. Função inversa 44
4. Função modular 48
5. Função modular 48
6.	 Equações	modulares	e	inequações	modulares	 51
7.	 Equações	modulares	 51
8. Inequação modular 51
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 55
Capítulo	01	 56
Capítulo	02	 64
Capítulo	03	 80
Capítulo	04	 85
GABARITO 103
Teoria
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Funções
7
Matemática
respondência um único elemento y ∈ B, que 
é	denominado	imagem	de	x.
A B
1
2
3
4
a
b
c
d
As	seguintes	denominações	são	importantes:
01. o conjunto A é chamado de domínio 
da função;
02. o conjunto B é chamado de contrado-
mínio da função;
03. o subconjunto do contradomínio for-
mado por todas as imagens dos ele-
mentos do domínio é denominado 
conjunto imagem. 
Observação: o conjunto imagem (Im) é sub-
conjunto do contradomínio (CD).
A função pode ser representada de várias for-
mas, cujas mais importantes são:
01. tabela: em geral, representa-se uma 
tabela com duas colunas; na primei-
ra, coloca-se o domínio e, na segunda, 
colocam-se as respectivas imagens.
02. pares ordenados: a correspondência 
se	dá	na	forma	(x,y)	em	que	o	primeiro	
elemento indica o domínio e o segun-
do, a sua imagem.
03. diagramas de flechas. São usados dois 
diagramas: o primeiro é o domínio e o 
segundo é o contradomínio, no mes-
mo esquema da tabela, sendo que a 
correspondência será indicada por se-
tas,	como	se	vê	no	exemplo	anterior.
04. gráficos. Representa-se a função em 
um plano cartesiano, indicando o do-
mínio	no	eixo	horizontal,	eixo	das	abs-
cissas,	e	o	contradomínio	no	eixo	verti-
cal,	eixo	das	ordenadas.
05. lei de correspondência: é uma senten-
ça matemática que permite que, após 
escolhermos os elementos, tenhamos 
como determinar a imagem desses 
elementos por meio de uma fórmula 
matemática.
1. Introdução: noção de função
Vamos imaginar uma correspondência espe-
cial entre dois conjuntos, A e B, nesta ordem, 
que possui as seguintes características:
a. todo elemento do conjunto A possui 
um elemento correspondente no con-
junto B;
b. qualquer que seja o elemento de A em 
estudo,	 verifica-se	 que	 só	 existe	 um	
único correspondente em B.
Uma correspondência que satisfaz a e b é deno-
minada função entre A e B. Vamos imaginar que 
um pesquisador está estudando uma cultura de 
bactérias e que, a cada minuto, a partir de um 
momento que podemos denominar de tempo 
0,	anote	a	quantidade	de	bactérias	em	estudo.	
Podemos dizer que há uma correspondência 
entre o conjunto A, no caso o tempo, e o con-
junto B, no caso quantidade de bactérias, e que, 
a cada minuto observado, há uma e somente 
uma única quantidade específica de bactérias; 
tal correspondência pode ser denominada fun-
ção entre o tempo, em minutos, e a quantidade 
de bactérias. Vamos imaginar agora que, a par-
tir do nascimento de uma criança, todo mês, o 
pediatra anote, numa tabela, a idade e a altura 
dessa criança. O médico estará promovendo 
o relacionamento entre os elementos de dois 
conjuntos: o conjunto das idades e o conjunto 
das alturas. Temos também aí uma função, ou 
seja, a altura em função da idade. Como esses, 
muitos	outros	exemplos	de	função	podem	ser	
selecionados	 no	 nosso	 cotidiano;	 porém,	 es-
tudaremos função apenas com enfoque ma-
temático,	com	a	certeza	de	que	os	alunos	que	
compreenderem a ideia de função no aspecto 
matemático	estarão	preparados	para	utilizá-la	
de	maneira	correta	em	qualquer	 ramo	de	ati-
vidade. 
2. Definição
Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, de-
nomina-se função uma correspondência espe-
cial, formalmente chamada de relação binária, 
entre os conjuntos A e B, nessa ordem, de tal 
maneira	que	todo	elemento	x	∈ A tem em cor-
CAPÍTULO 01 FUNÇÕES
Funções
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Matemática
A. 	Entendendo	o	símbolo	f(x)
É	 comum	 no	 estudo	 das	 funções	 aparecerem	
símbolos do tipo f(x), g(x), h(x) etc. Será muito 
útil entendermos o significado destas simbolo-
gias. Para facilitar, vamos considerar que no sím-
bolo f(x) a letra f representa o nome da função. 
Deste modo, quando aparecer, em física, o sím-
bolo S(t), o aluno pode automaticamente consi-
derar o nome da função e que, é apenas a pri-
meira letra da palavra espaço na língua inglesa. 
No símbolo f(x), devemos interpretar o seguinte:
01. leitura:	“f	de	x”
02. nome da função: f
03. x:	 um	 elemento	 qualquer	 do	 domínio	
da função (letra que aparece entre pa-
rênteses)
04. f(x):	simboliza	a	imagem	de	x.
Observação
a	letra	x	representa	uma	variável.
Quando aparecer em nossos estudos, por 
exemplo,	 a	notação	 f: A → B,	 com	 f(x)	 =	 2x,	
devemos entender que A é o domínio da fun-
ção, B o contradomínio, f o nome da função e 
que a fórmula que aparece após a igualdade 
de	f(x),	no	nosso	exemplo	2x,	é	a	fórmula,	lei	
ou sentença matemática que será usada para 
calcular as imagens.
Exemplo 
Considere uma função de domínio e contrado-
mínio	real,	definida	por	f(x)	=	x	+	1.	Determine	
f(2013).
Neste	exemplo,	o	domínio	é	o	conjunto	dos	re-
ais; o contradomínio também é o conjunto dos 
reais; o nome da função é f; a letra x represen-
ta um elemento qualquer do domínio; f(x) é o 
símbolo da imagem de x; “x + 1”	é	a	fórmula,	
lei ou sentença matemática da imagem, e é 
com esta fórmula que iremos calcular a ima-
gem de um elemento particular do domínio. 
A	notação	f(2013)	indica	que	devemos	encontrar	
a imagem de um elemento particular do domínio, 
nesse	caso	2013.	Precisamos,	então,	substituir,	na	
fórmula fornecida, o elemento genérico do domí-
nio, a letra x,	pelo	elemento	particular	2013.
f(2013)	=	2013	+	1
f(2013)	=	2014
Resposta
f(2013)	=	2014	
B. Representando um pontodo	gráfico	da	função
Vamos supor que em uma determinada fun-
ção f	tenhamos	f(8)	=	10.	Podemos	represen-
tar	essas	informações	por	um	par	ordenado	(8;	
10)	e,	em	seguida,	colocá-lo	em	um	ponto	do	
plano cartesiano. 
Convenção: 
01. o primeiro elemento do par ordenado, 
que é um elemento do domínio da fun-
ção,	é	representado	no	eixo	horizontal	
(eixo	das	abscissas);	
02. o segundo elemento do par, que é a 
respectiva imagem, é representado no 
eixo	vertical	(eixo	das	ordenadas).		
O	par	ordenado	(8;	10)	fica	assim	representado:
x
y
0
10 (8; 10)
8
O ponto acima representa um ponto do gráfico 
da função f.
C. Gráfico	de	uma	função
É a união de todos os pontos, no plano cartesia-
no,	(x;	y),	em	que	x	é	um	elemento	do	domínio	
da função e y, a respectiva imagem. O número 
de pontos do gráfico depende da quantidade 
de elementos do domínio da função.
Exemplo 
Na	figura	abaixo,	temos	o	gráfico	de	uma	fun-
ção de domínio D x a x b= ∈ < <{ | }.
x
y
0 ba
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Funções
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Matemática
D. Domínio e conjunto imagem: 
conhecendo	o	gráfico	da	função
É comum determinarmos o domínio ou o con-
junto imagem partindo-se do gráfico da função. 
Para encontrar o domínio e o conjunto imagem 
através do gráfico, devemos primeiro entender 
o significado de “projeção ortogonal de um 
ponto	do	gráfico”	respectivamente	no	eixo	ho-
rizontal	e	no	eixo	vertical.
No	exemplo:	
x
y
0
10 (8; 10)
8
01. o	ponto	do	eixo	x,	onde	está	represen-
tado o número 8, é a projeção ortogo-
nal	do	ponto	P(8;	10)	no	eixo	x;	
02. o	ponto	do	eixo	y,	onde	está	represen-
tado	o	número	10,	é	a	projeção	ortogo-
nal	do	ponto	P(8;	10)	no	eixo	x.
x
y
0
10 P (8; 10)
8
Projeção de P em x
Projeção de P em y
Observe que o número representado na proje-
ção	ortogonal	de	P	no	eixo	x é o elemento do 
domínio igual a 8 e que o número represen-
tado	na	projeção	ortogonal	de	P	no	eixo	y é a 
respectiva imagem.
Assim, teremos o domínio da função quando 
considerarmos	 todos	 os	 elementos	 do	 eixo	 x 
correspondentes	à	projeção	do	gráfico	no	eixo	
horizontal, e o conjunto imagem será constituí-
do de todos os elementos oriundos da projeção 
no	gráfico	no	eixo	vertical.
Exemplo
Consideremos	a	função	f(x)	definida	por	A	=	]a;	b]	
em .
y
d
0 x
f (x)
c
a b
Domínio: projeção ortogonal do gráfico da 
função	no	eixo	x.	Assim,	D	=	]a;	b]	=	A.	
0
f(x)
y
d
a b x
c
D = ]a, b]
Conjunto imagem: projeção ortogonal do grá-
fico	da	função	no	eixo	y.	Assim,	Im	=	[c,	d].
0
d
b x
c
f(x)
y
a
Im = [c, d]
Observação
O contradomínio () é representado por todo 
o	eixo	y.
Funções
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Matemática
E. Reconhecimento de uma função 
por	meio	do	diagrama	de	flechas	
As	 condições	 que	 uma	 relação	 representada	
por meio do seu diagrama de flechas deve sa-
tisfazer para ser uma função são: 
1. todo elemento de A deve servir como 
ponto de partida de uma flecha;
2. essa flecha deve ser única.
Exemplos
a. 
A B
1
2
3
4
a
b
c
d
Não é função, pois não parte nenhuma flecha 
do elemento d ∈ A.
b. 
A B
1
2
3
4
a
b
c
Não é função, pois partem duas flechas do ele-
mento c ∈ A.
c. 
A B
1
2
3
4
a
b
c
É	uma	função,	pois	satisfaz	as	condições	enun-
ciadas com:
domínio:	A	=	{a,	b,	c};
contradomínio:	B	=	{1,	2,	3,	4}	e	imagem	=	{1,	2}
F. Reconhecimento de uma função 
por	meio	do	seu	gráfico	cartesiano
Vamos	observar	os	gráficos	das	relações	biná-
rias de A em B, que se apresentam a seguir.
y
B
A
R1
0 x
y
B
A
R2
0 x
y
B
A
R3
0 x
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Funções
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Matemática
Devemos observar que, para localizarmos a imagem de um determinado elemento do domínio, 
representado	no	eixo	horizontal,	basta,	por	meio	de	uma	reta	vertical,	atingirmos	o	gráfico	da	re-
lação e, com o uso de outra reta, agora horizontal, projetarmos este ponto de intersecção da reta 
com	o	gráfico	no	eixo	vertical,	que	representa	o	contradomínio.	Estaremos,	assim,	determinando	
a imagem do elemento considerado.
0 A x0
y0
x
R1
y
Com base neste procedimento, lembrando que, para ser uma função, todo elemento do domínio 
deve ter uma única imagem no contradomínio, podemos estabelecer a seguinte regra: para o re-
conhecimento de uma função por meio de seu gráfico cartesiano, é preciso que toda e qualquer 
reta vertical que passe pelo domínio da relação "corte" uma única vez o gráfico da relação.
0 A x
R1
y
 R1 não é função.
x
R2
y
A0
 R2 não é função.
R3
y
A x0
 R3 é função.
Funções
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Matemática
01. 
Qual dos gráficos não representa uma função de  em ?
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a. y
x0
b. y
x0
c. y
x0
d. y
x0
e. 
Resolução
Gráfico	E	–	Não	é	função.	Toda	reta	vertical	que	
passar à direita da origem interceptará o gráfi-
co mais de uma vez, caracterizando elementos 
do domínio com mais de uma imagem.
Resposta
E
02. 
Considere	abaixo	o	gráfico	da	função	f:	A	→ B. 
f(x)
2 3 x0 1
2
Obter o domínio e o conjunto imagem da função.
Resolução
f(x)
2 3 x0 1
2
Observe que a projeção de todos os pontos do 
gráfico	sobre	o	eixo	x	é	o	 intervalo	 [1;	3],	e	a	
projeção	 no	 eixo	 y	 é	 o	 intervalo	 [0;	 2].	 Deste	
modo,	o	domínio	da	função	é	D	=	[1;	3],	e	o	con-
junto	imagem	é	Im	=	[0;	2].
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Funções
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Matemática
03. Fuvest-SP
Se f(x) = 1
x +12
, quanto vale f( 7)4 ?
Resolução
f
f
( )
( )
( )
7
1
7 1
1
7 1
7 1
7 1
7 1
6
7
7 1
6
4
4 2
4
=
+
=
+
⋅
−
−
=
−
=
−
04. FEI-SP
Se f x
x
x
( ) =
+2 1
, então f 2( ) vale:
05. UFBA
Sobre os preços dos ingressos para certo es-
petáculo, foi estabelecido que, na compra de:
•	 até	um	máximo	de	20	ingressos,	o	pre-
ço	unitário	de	venda	seria	R$	18,00;
•	 mais	 de	 20	 unidades,	 cada	 ingresso	
que	excedesse	os	20	seria	vendido	por	
R$	15,00.
Nessas	 condições,	 a	 expressão	 que	 permite	
calcular, em reais, o gasto de uma pessoa que 
comprar	x	ingressos,	x	>	20,	é:
a. 	15x
b. 	15x	+	60
c. 	15x	+	90
d. 	18x	–	60
e. 	18x	–	90
Resolução
O	gasto	para	comprar	mais	de	20	ingressos	é:
20	⋅	18	+	15	(x	–	20)	=	360	+	15	(x	–	20)
360	+	15x	–	300	=	60	+	15x
Resposta
B
a. 	0
b. 2
3
c. 2 2
3
d. 2
2
e. 3 2
2
Resolução
f x
x
x
f
f f
( ) =
+
⇒ =
+
=
+
⇒ =
2 21
2
2
2 1
2
2
2 1
2
2
3
( )
( )
( ) ( )
Resposta
B
3. Função real 
É a função onde o domínio e o contradomínio são subconjuntos não-vazios dos números reais.
A. Função real e o seu domínio
Se o domínio não aparece na apresentação da função, entende-se que o domínio será o mais 
amplo	subconjunto	real	para	o	qual	são	possíveis	todas	as	operações	indicadas	na	sentença.	
Para encontrarmos o domínio de uma função real, devemos estar atentos às possibilidades das ope-
rações	matemáticas.	Por	enquanto,	ficaremos	atentos	aos	seguintes	problemas	que	podem	surgir:
1. Se houver variável no denominador de uma fração, devemos recordar que o denominador 
não poderá ser zero.
2. Se houver variável no radicando de uma raiz de índice par, devemos recordar que o radi-
cando não poderá ser negativo.
Exemplo
a. O domínio da função real definida por f x
x
é D x x( ) { | },= = ∈ ≠
1
0 pois, na operação 
de divisão, não podemos efetuar a divisão por zero. 
b. O domínio da função real definida por f x x é D x x( ) { | },= = ∈ ≥ 0 pois, na operação de 
radiciação, não podemos efetuar a raiz quadrada de número negativo. 
Funções
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Matemática
4. Raiz(ou zero) da função
Quando	um	elemento	x	do	domínio	tem	ima-
gem igual a zero, dizemos que este elemento é 
raiz ou zero da função.
Exemplo
O número real 2 é raiz, ou zero, da função real 
definida por f x x( ) ,= −2 pois f( ) .2 2 2 0= − =
5. Função crescente, 
decrescente e constante
I. Função crescente:	 a	 função	 f(x),	 num	
determinado intervalo, é crescente se, 
para quaisquer	 x1	 e	 x2 pertencentes a 
este	 intervalo,	 com	 x1	 <	 x2, tivermos 
f(x1)	<	f(x2).
f(x)
f(x1)
f(x2)
y
0 xx1 x2
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
II. Função decrescente:	 função	 f(x),	 num	
determinado intervalo, é decrescente 
se, para quaisquer	x1	e	x2 pertencentes 
a	este	 intervalo,	 com	x1	<	x2, tivermos 
f(x1)	>	f(x2).
f(x)f(x1)
f(x2)
y
0 x
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
x1 x2
III. Função constante:	 função	 f(x),	 num	
determinado intervalo, é constante se, 
para quaisquer	 x1	 e	 x2 pertencentes a 
este	intervalo,	tivermos	f(x1)	=	f(x2).
0
y
f(x1)
x1 x2
f(x2) f(x)
01. 
Encontre o domínio da função real definida 
por f x
x
( ) .=
−
1
1
Resolução 
Há divisão ⇒ o denominador não pode ser 
igual a zero. 
O	denominador	da	fração	é	x	–	1	⇒		x	–	1	≠	0
	 	 	 	 	 x	≠ 1
Resposta
D x x= ∈ ≠{ | } 1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
02. 
Encontre as raízes da função real definida por 
f(x)	=	x2	–	10x.
Resolução
x2	–	10x	=	0
x	⋅	(x	–	10)	=	0
x	=	0	ou	x	–	10	=	0
x	=	0	ou	x	=	10
Resposta
As	raízes	são	0	e	10.
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Funções
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Matemática
03. 
O	gráfico	representa	uma	função	f.
x
y
–1
2
–2
1
2
3
–3
–2
–1
0
1
Pede-se:
a. o domínio da função;
b. a imagem da função;
c. as raízes da função;
d. o	ponto	de	máximo	de	f;
e. o valor mínimo de f;
f. o intervalo onde a função é decrescente.
Resolução
a. Domínio	é	o	conjunto	dos	x,	para	os	quais	
existe	imagem;	logo,	D	=	[–2,	2].
b. Imagem é o conjunto dos y, que são ima-
gem	de	algum	x;	logo,	Im	=	[–3,	3].
c. x	=	–2;	x	=	0	e	x	=	2
d. x	=	–1	e	y	=	3	⇒	P	(–1,	3)
e. x	=	1	e		y	=	–3
f. –1	<	x	<	1
04. UFV-MG
Dos	conjuntos	abaixo,	aquele	que	está	contido	
no domínio f x
x
x
( ) = +
−
1
1 23
 é:
a. 	{x	∈ 	|	–	1	≤	x	≤	1}
b. 	{x	∈ 	|	x	>	1	ou	x	<	–	1}
c. 	{x	∈ 	|	x	≠	–	1	e	x	≠	1}
d. 	{x	∈ 	|	x	>	1}
e. 	{x	∈ 	|	x	>	–	1}
Resolução
x
x
x
x
+ ≥
− ≠
 ⇒
≥ −
≠ ±

1 0
1 0
1
12
∴	Dom.	=	{x	∈ 	|	x	>	–	1	e	x	≠	1}
Assim, o conjunto que está contido no domínio 
é o do item d.
Resposta
D
05. UFCE modificado
O domínio da função real g x
x
x
( ) =
−
−
2
7
é:
a. 	{x	∈ 	|	x	>	7}
b. 	{x	∈ 	|	x	≤	2}
c. 	{x	∈ 	|	2	≤	x	<	7}
d. 	{x	∈ 	|	2	≤	x	ou	x	≥	7}
e. 	{x	∈ 	|	x	≥	7}
Resolução
I. x	–	7	>	0;	x	>	7
II. x	–	2	≥	0;	x	≥	2
(I)
(II)
(I) ∩ (III)
2
7
7
S:	x	>	7
Resposta
A
Funções
PV
-1
3-
11
16
Matemática
1. Introdução
Há	dois	 grupos	 de	 funções	 que	 tem	 incidên-
cia diferenciada na matemática: função afim e 
função quadrática.
2. Função afim ou função 
polinomial do 1º grau
Chama-se função afim ou função polinomial 
do	1º	grau	à	função	real	que	pode	ser	escrita	
na forma:
f(x)	=	ax	+	b,	com	a	≠	0.
D(f)	=	,	CD(f)	=		e	Im	(f)	=	
A. Gráfico
O	gráfico	da	função	afim	é	uma	reta	com	“incli-
nação	para	a	direita”	quando	a é positivo e “in-
clinação	para	a	esquerda”	quando	a é negativo.
Para esboçar o gráfico, é importante destacarmos 
dois pontos distintos. Devemos dar preferencia 
aos		pontos	que	interceptam	o	eixo	x	e	o	eixo	y.
Exemplo
Esboçar	o	gráfico	da	função	real	definida	por	
f(x)	=	2x	–	6.
Exemplo	para	a	>	0.
Consideremos	f(x)	=	2x	–	1
CAPÍTULO 02 FUNÇÃO AFIM E FUNÇÃO QUADRÁTICA 
x y
0 –	6
3 0 x
y
3
– 6
A	função	será	crescente	se	a	>	0	e	decrescente	
se	a	<	0.
x
Raiz
crescente
a > 0
x
Raiz
decrescente
a < 0
x f(x)
–1 –3
0 –1
1 1
2 3
y
x
3
2
1
–1
–2
–3
–1
1 2 30
Exemplo	para	a	<	0		
Consideremos	f(x)	=	–x	+	1
x f(x)
–1 2
0 1
1 0
2 –1
y
–1
–1 1
2
x
2
1
0
B. Raiz
f(x)	=	0	⇒	ax	+	b	=	0	⇒ x
b
a
= − que é a única 
raiz da função.
C. Coeficientes	
Na	lei	matemática	f(x)	=	ax	+	b,	a é denomina-
do coeficiente angular e b é chamado de coe-
ficiente linear.
D. Intersecção com oy
A	intersecção	com	o	eixo	vertical	ocorre	quan-
do	x	=	0;	deste	modo,	teremos:	
x	=	0	⇒	f(0)	=	a	⋅	0	+	b	⇒	f(0)	=	b
Isso	quer	dizer	que	o	gráfico	intercepta	o	eixo	y	
no	ponto	(0,	b).
PV
-1
3-
11
Funções
17
Matemática
E. Resumo
f(x)	=	ax	+	b;	a	≠	0
a	>	0 a	<	0
y
x
b
Crescente
0
–b
a
y
x0
b –b
a
Decrescente
D	=	 Im	=	
D =
=


Im
F. Estudo	do	sinal	da	função	afim
Para o estudo da variação de sinal da função 
afim, seguiremos a convenção adotada para o 
eixo	 das	 ordenadas,	 em	que	 estão	 represen-
tadas as imagens dos elementos posicionados 
no	eixo	x.	Assim,	toda	região	gráfica	acima	do	
eixo	 representará	 uma	 imagem	 positiva,	 ao	
contrário das imagens negativas, que sempre 
estarão	posicionadas	abaixo	do	eixo	x.	A	partir	
deste entendimento, o estudo da variação de 
sinal de uma função afim depende apenas do 
coeficiente angular da reta, que pode ser po-
sitivo (função crescente) ou negativo (função 
decrescente), e da raiz da função.
Consideremos	a	função	f(x)	=	ax	+	b	com	a	≠	0,	
em	que	x0	é	raiz	de	f(x).	Temos	duas	situações	
a analisar:
a	>	0 a	<	0
xx0
+
–
xx0
+
–
x	>	x0 ⇒	f(x)	>	0 x	>	x0 ⇒	f(x)	<	0
x	=	x0 ⇒	f(x)	=	0 x	=	x0 ⇒	f(x)	=	0
x	<	x0 ⇒	f(x)	<	0 x	<	x0 ⇒	f(x)	>	0
Exemplo
Considere	 o	 gráfico	 abaixo	 da	 função	 afim	
f(x)	=	2x	–	1.
x y
0 –1
1
2 0
x
y
–1
1
2
Temos:
f(x)	é	negativo	quando	x	é	menor	que	
1
2
;
f(x)	é	igual	a	zero	quando	x	é	igual	a	
1
2
(raiz da 
função);
f(x)	é	positivo	quando	x	é	maior	que	 1
2
.
Exemplo
Considere	 o	 gráfico	 abaixo	 da	 função	 afim	
f(x)	=	2	–	x.
x y
0 2
2 0 x
y
2
2
Temos:
f(x)	é	positivo	quando	x	é	menor	que	2;
f(x)	é	igual	a	zero	quando	x	é	igual	a	2	(raiz	da	
função);
f(x)	é	negativo	quando	x	é	maior	que	2.
G. Função linear
É um caso particular da função afim e ocorre 
quando	b	=	0,	isto	é,	a	função	real	definida	por	
f(x)	=	ax	é	chamada	de	função	linear.	
Quando uma função é linear os valores do do-
mínio e as respectivas imagens são diretamen-
te proporcionais.
No caso geral da função afim isso não ocorre, 
mas	manter	as	variações	de	x	e	de	y	são	direta-
mente proporcionais e a constante de propor-
cionalidade é a. 
Considere uma função afim definida por 
f(x)	=	ax	+	b.
Funções
PV
-1
3-
11
18
Matemática
D	=	
Im	=	
x
f(x) = x
45o
0
yTemos:
f(x1)	=	ax1	+	b
f(x2)	=	ax2	+	b
f(x2)	–	f(x1)	=	ax2	+	b	–	(ax1	+	b)
f(x2)	–	f(x1)	=	ax2	+	b	–	ax1	–	b
f(x2)	–	f(x1)	=	ax2	–	ax1
f(x2)	–	f(x1)	=	a(x2	–	x1)
f x f x
x x
a
( ) ( )
( )
2 1
2 1
−
−
=
H. Função	identidade
Há um caso particular de função linear deno-
minada função identidade.
–	 Sentença:	 f(x)	 =	 x,	 em	 que	 cada	 elemento	
tem como imagem ele mesmo.
D	=	,	CD	=		e	Im	=	
–	Gráfico
Conclusão: o gráfico de uma função identida-
de é uma reta bissetriz dos quadrantes ímpa-
res do plano cartesiano, passando pela origem 
do sistema. 
3. Função constante
É	a	função	real	definida	por	f(x)	=	k,	em	que	k	
é uma constante. Observe que a função tem 
imagem	k	para	qualquer	valor	de	x.
O	gráfico	será	uma	reta	paralela	ao	eixo	x,	pas-
sando na ordenada k.
Exemplo
Estudar	a	função	f(x)	=	3.
Gráfico
D	=	
CD	=	
Im	=	{3}
x
3
yx f(x)	=	x
–1 –1
0 0
1 1
2 2
x
0
y
PV
-1
3-
11
Funções
19
Matemática
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Domínio:D	=	
Contradomínio:	CD	=	
Conjunto	imagem:	Im	=	
Crescimento: decrescente
b. 
x
y
0
4
Domínio:	D	=	
Contradomínio:	CD	=	
Conjunto	imagem:	Im	=	{	4	}
Crescimento: constante
03. UERGS-RS
Observe	o	gráfico	abaixo.
3
2 x
y
A função representada nesse gráfico é:
a. y x= − +
3
2
3
b. y x= +
3
2
2
c. y x= − +
2
3
3
d. y x= +
2
3
3
e. y x= +
2
3
2
01. UFMG
Sendo	a	<	0	e	b	>	0,	a	única	representação	grá-
fica	correta	para	a	função	f(x)	=	ax	+	b	é:
x x
x
x
x
y
yy
y ya) b)
c) d)
e)
Resolução
Como	a	<	0,	a	função	deve	ser	decrescente.
Como	b	>	0,	a	reta	intercepta	o	eixo	y	na	parte	
positiva	(acima	do	eixo	x).
Resposta
A
02. 
Esboçar	o	gráfico,	determinar	o	domínio,	o	con-
tradomínio,	 o	 conjunto	 imagem	 e	 classificar	
quanto	ao	crescimento	as	seguintes	funções:
a. y	=	5	–	x
b. y	=	4
Resolução
a. 
x
y
0
5
5
Funções
PV
-1
3-
11
20
Matemática
Resolução
f(x)	=	ax	+	b
( , )
( , )
2 0
0 3
2 0
3
⇒
+ =
=

a b
b
2a	+	3	=	0
a = −
3
2
 
y x= − +
3
2
3
Resposta
A
04. UFPI
A função real de variável real, definida por 
f(x)	=	(3	–	2a)x	+	2,	é	crescente	quando:
05. Fefisa-SP
O gráfico mostra como o dinheiro gasto (y) por 
uma empresa de cosméticos na produção de 
perfume varia com a quantidade de perfume 
produzida	(x).	Assim,	podemos	afirmar	que:	
190
105
20
105
x (litros)0
a. quando a empresa não produz, não gasta.
b. para produzir três litros de perfume, a 
empresa	gasta	R$	76,00.
c. para produzir dois litros de perfume, a 
empresa	gasta	R$	54,00.
d. 	se	 a	 empresa	 gastar	R$	170,00,	 então	
ela produzirá cinco litros de perfume.
e. para fabricar o terceiro litro de perfu-
me, a empresa gasta menos do que 
para fabricar o quinto litro.
Resolução
f(x)	=	ax	+	b
b	=	20,	pois	é	o	ponto	que	corta	Oy.
f(5)	=	105	⇒	105	=	5a	+	20	⇒	5a	=	85	⇒	a	=	17
f(x)	=	17x	+	20
A única alternativa correta é a C, pois 
f(2)	=	17	·	2	+	20	⇒	f(2)	=	54
Resposta
C
a. a	>	0
b. a<
3
2
c. a =
3
2
d. a>
3
2
Resolução
Para	f(x)	ser	crescente,	devemos	ter	3	–	2a	>	0.
Logo:	–2a	>	–3	⋅	(–1)
2 3
3
2
a a< ⇒ <
Resposta
B
4. Função quadrática ou função 
polinomial do 2º grau
Definimos função quadrática ou função polino-
mial	do	2º	grau	uma	função	real	que	pode	ser	
expressa	por	f(x)	=	a	⋅	x2	+	b	⋅ x	+	c,	com	a ≠	0.
A. Concavidade	do	gráfico
O gráfico de uma função quadrática é denomi-
nado de parábola. Sua concavidade pode estar 
voltada	para	cima	(a	>	0)	ou	para	baixo	(a	<	0).
x
a > 0: concavidade
para cima
x
a < 0: concavidade
para baixo
PV
-1
3-
11
Funções
21
Matemática
B. Raízes
Para encontramos as raízes ou zeros da função 
quadrática, fazemos a ⋅ x2	+	b	⋅ x	+	c	=	0,	o	que	
nos	leva	a	uma	equação	do	2º	grau.
A	resolução	de	uma	equação	do	2º	grau	é	feita	
com	o	auxílio	da	chamada	“fórmula	resolutiva	
de	Bhaskara”.
x
b
a
em que b a c=
− ± ∆ ∆ = − ⋅ ⋅
2
42
Conforme o valor do discriminante ∆	=	b2	–	4	⋅ a ⋅ c, 
a	 intersecção	 do	 gráfico	 com	 o	 eixo	 x	 pode	
ocorrer em apenas um ponto, em dois pontos 
ou não ocorrer.
∆	>	0	⇔	a	parábola	encontra	o	eixo	x	em	dois	
pontos distintos;
∆	=	0	⇔	a	parábola	encontra	o	eixo	x	em	ape-
nas um ponto;
∆	<	0	⇔	a	parábola	não	encontra	o	eixo	x.
C. Significado	geométrico	das	raízes
Interpretando geometricamente, dizemos que 
as raízes da função quadrática são as abscissas 
dos	pontos	onde	a	parábola	corta	o	eixo	dos	x.
Então:
∆	>	0 ∆	=	0 ∆	<	0
a	>	0 xx1 x2
x
x1 = x2
x
a	<	0 x
x1 x2
x1 = x2 x
Observação
Se, para determinarmos as raízes da função, 
ou	seja,	os	pontos	onde	o	gráfico	intercepta	
o	eixo	x,	fazemos	a	imagem	y	=	0,	para	deter-
minarmos	o	ponto	de	intersecção	do	gráfico	
da	função	com	o	eixo	vertical,	fazemos	x	=	0.	 
Assim, no caso da função quadrática, temos: 
x	=	0	⇒	f(0)	=	a	⋅	02	+	b	⋅	0	+		c	⇒	f(0)	=	c.
Portanto o ponto de intersecção da parábola 
com	o	eixo	vertical	é	o	ponto	dado	pelas	co-
ordenadas	(0;	c),	que	possui	como	ordenada	o	
termo	independente	de	x	na	sentença.
D. A forma fatorada de 
f(x)	=	a	⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c
Como foi visto anteriormente, o trinômio 
a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	pode	ser	fatorado	quando	são	co-
nhecidas as raízes da equação a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	=	0.	
Na ocasião, vimos que:
ax2	+	bx	+	c	=	a	⋅	(x	–	x1)	(x	–	x2),	em	que	x1	e	x2 
são as raízes.
Em	 muitos	 exercícios,	 será	 útil	 utilizarmos	 
f(x)	=	a	⋅	(x	–	x1) ⋅	(x	–	x2) em vez de: 
f(x)	=	ax2	+	bx	+	c.
Exemplo
Escreva a lei de formação de uma função do 
2º	grau	cujo	coeficiente	de	x2 é igual a 1 e que 
possui	raízes	1	e	–3.
Resolução
f(x)	=	a	⋅	(x	–	x1) ⋅	(x	–	x2)
f(x)	=	1	⋅	(x	–	1)	⋅	(x	–	(–3))
f(x)	=	1	⋅	(x	–	1)	⋅	(x	+	3)
f(x)	=	1	⋅	(x2	+	2x	–	3)
f(x)	=	x2	+	2x	–	3
E. Vértice	da	parábola
Chamamos de vértice da parábola o ponto do 
gráfico,	 sobre	o	eixo	de	 simetria,	onde	a	pará-
bola inverte o seu sentido de crescimento, isto 
é, de decrescente para crescente ou vice-versa. 
O vértice corresponde a um ponto especial do 
gráfico, pois, dependendo da concavidade da 
parábola, o vértice pode indicar o ponto mais 
“alto”	do	gráfico	(concavidade	para	baixo)	ou	o	
ponto	mais	“baixo”	(concavidade	para	cima).	No	
primeiro caso, dizemos que a função possui um 
valor	máximo	e	no	segundo	um	valor	mínimo.	
V
Eixo de
simetria 
V
Eixo de
simetria
Para	determinarmos	a	abscissa	do	vértice	(xv), 
usamos o fato de que, sendo o gráfico simétri-
co em relação a esta reta vertical, os valores 
(xv	+	k)	e	(xv	–	k)	apresentam	a	mesma	imagem,	
ou	seja,	f(xv	+	k)	=	f(xv	–	k).	Sendo:
Funções
PV
-1
3-
11
22
Matemática
f(x)	=	ax2	+	bx	+	c,	temos:
f(xv	+	k)	=	a(xv	+	k)2	+	b(xv	+	k)	+	c	=	y1
f(xv	–	k)	=	a(xv	–	k)2	+	b(xv	–	k)	+	c	=	y2
Considerando que y1	=	y2, temos:
x
b
av
= −
2
, que é o valor da abscissa do vérti-
ce	(xv).
Observação
O	 xv é a média aritmética das abscis-
sas de quaisquer dois pontos simétri-
cos na parábola. Sendo assim, pode-
mos escrever também que x
x x
v =
+1 2
2
, 
em	que	x1	e	x2 são as raízes da função.
Para determinarmos a ordenada do vértice 
(yv), usamos o fato de que o vértice é um pon-
to pertencente à parábola e que, portanto, a 
imagem	de	xv é yv, ou seja, yv	=	f(xv).
Assim, temos:
y a x b x c y
av v v v
= + + ⇒ = −
∆
( ) ( )2
4
que é o valor da ordenando do vértice (yv)
y
av
= −
∆
4
É importante também ficar atento ao detalhe 
de que yv é uma imagem da função e utilizar 
yv	 =	 f(xv) pode nos poupar tempo em alguns 
casos; além disso, não será necessário lembrar 
as fórmulas.
Representando	o	vértice	por	V	(xv; yv) e saben-
do que yv	=	f(xv), temos que:
x
b
a
e y
av v
= − = −
∆
2 4
e, portanto, conhecendo yv , obteremos o con-
junto imagem.
Resumo gráfico
f(x) = ax2 + bx + c
∆	>	0 ∆	=	0 ∆	<	0
a > 0
y
x
c
0 x1
yv
xv
x2
y
x
c
= 0 x1 = x2 = xVyv
y
x
c
0 xV
yV
Im	=	{y	∈ R | y ≥ yv};		D	=	R
a < 0
x
y
c
0 x1 x2
x
y
V
c
0
x1 = x2 = xV
xy
c
V
0
xv
yV
Im	=	{y	∈  | y ≤ yv};		D	=	
Conjunto Imagem 
O conjunto imagem de uma função 
polinomial	do	2º	grau	está	associado	
ao	seu	ponto	extremo,	ou	seja,	à	or-
denada do vértice (yv).
y
Im
yv
a > 0 ⇒ Im = {y∈IR | y ≥ yv}
 
a > 0 ⇒ Im = {y∈IR | y ≤ yv}
yv
y
x
Im
PV
-1
3-
11
Funções
23
Matemática
01. 
Esboce	o	gráfico	e	determine	o	conjunto	imagem	
da	função	real	definida	por	f(x)	=	x2	–	2x	+	3.
Resolução
Concavidade	para	cima:	a	=	1,	(a	>	0)	
Raízes:		 x2	–	2x	+	3	=	0
 ∆	=	(–2)2	–	4	⋅ 1 ⋅ 3
 ∆ =	–8
A função não tem raízes reais, portanto não 
interceptao	eixo	x.
Vértice: 
x
b
a
y f x f
Vv
v v
= − = −
−
⋅
=
= = = − ⋅ + =



2
2
2 1
1
1 1 2 1 3 2
1 2
2
( )
( ) ( )
( ; )
Gráfico:
x
y
2
2
3
10
Observe que o ponto (2; 3) foi encontrado por 
simetria.
É importante mencionar mais um ponto além 
do	vértice	e	da	intersecção	com	o	eixo	y	quan-
do a função não tem raízes.
Conjunto imagem: projetando a parábola so-
bre	o	eixo	y,	obtemos	o	intervalo	[2,	+	∞[.
Im	=	{	y	∈  | y ≥	2}
02. 
Determine, em função de p, o vértice da pará-
bola	definida	por	y	=	x2	–	2px.
Resolução
x
b
a
p
p
y f x f p p p p p
v
v v
= − = −
−
⋅
=
= = = − ⋅ ⋅ = −
2
2
2 1
22 2
( )
( ) ( )
Resposta
V(p;	–p2)
03. PUCCamp-SP
Seja a função f, de  em , definida por 
f(x)	=	x2	–	3x	+	4.	Num	sistema	de	coordenadas	
ortogonais, o vértice da parábola que repre-
senta f localiza-se:
a. no primeiro quadrante.
b. no segundo quadrante.
c. no terceiro quadrante.
d. 	sobre	o	eixo	das	ordenadas.
e. 	sobre	o	eixo	das	abscissas.
Resolução
x
b
a
y
a
V
V
V
=
−
=
− −
⋅
=
=
−∆
=
− −
⋅
=





⇒




2
3
2 1
3
2
4
7
4 1
7
4
3
2
7
4
( )
( )
; ⇒⇒ ∈V Q1º
Resposta
A
04. UFMG
O	trinômio	y	=	ax2	+	bx	+	c	está	representado	
na figura.
y 
x0
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Funções
PV
-1
3-
11
24
Matemática
A afirmativa correta é:
a. 	a	>	0,	b	>	0	e	c	<	0
b. 	a	<	0,	b	<	0	e	c	<	0
c. 	a	<	0,	b	>	0	e	c	<	0
d. 	a	<	0,	b	>	0	e	c	>	0
e. 	a	<	0,	b	>	0	e	c	>	0
Resolução
• a	<	0,	pois	concavidade	encontra-se	volta-
da	para	baixo;
• c	<	0;	pois	é	a	ordenada	do	ponto	onde	o	
gráfico	corta	o	eixo	y	(termo	independente);
• as duas raízes são negativas e, portanto, a 
soma delas é negativa.
− < ⇒ >
b
a
b
a
0 0
Assim,	 como	 a	 <	 0,	 para	 que	 o	 quociente	 
b
a
	>	0,	o	sinal	de	b	deve	ser	negativo.
∴	a	<	0,	b	<	0	e	c	<	0
Resposta
B
05. Fameca-SP
Uma pista de skate tem o formato mostrado 
na figura.
y 
x
4
1
A curva descrita é uma parábola e seu ponto 
mais	baixo	é	(5,0).	A	soma	dos	coeficientes	a,	
b e c da função representada por essa curva é:
a. 16
b. 4
c. 	2,025
d. 1,6
e. 	0
Resolução
Seja	y	=	ax2	+	bx	+	c	a	função	que	representa	
a curva:
Observando o gráfico, temos:
•	 f(1)	=	4	⇒	a	+	b	+	c	=	4
•	 f(5)	=	0	⇒	25a	+	5b	+	c	=	0
•	 f(9)	=	4	⇒	81a	+	9b	+	c	=	4
Resolvendo o sistema:
a b c
a b c
a b c
a b c
b c
c
+ + =
+ + =
+ + =



=
+ + =
+ =
=
4
25 5 0
81 9 4
4
20 24 100
128 8000



a	=	0,25,	b	=	–2,5	e	c	=	6,25
∴ = + + = − + =soma a b c 0 25 2 5 6 25 4, , ,
Resposta
B
5. Função do 2º grau – pontos extremos
A	função	do	2º	grau	possui	um	ponto	 importante	denominado	vértice.	Seu	estudo	nos	 leva	à	
análise	de	situações	de	extrema	importância	no	nosso	dia	a	dia.	Se	por	acaso	um	problema	que	
analisa	o	lucro	de	uma	empresa	puder	ser	expresso	por	uma	função	do	2º	grau,	a	<	0,	o	vértice	
nos	dirá	em	que	situação	o	lucro	será	máximo.
A. Vértice	da	parábola
Como vimos anteriormente, a representação gráfica da função quadrática é a parábola, que pos-
sui	um	eixo	imaginário	denominado	eixo	de	simetria,	uma	reta	vertical	que	intercepta	o	gráfico	
em um ponto especial denominado vértice.
PV
-1
3-
11
Funções
25
Matemáti ca
As coordenadas do vértice são:
x
b
a
ou x
x x
v v= − =
+
2 2
1 2 , em	que	x1	 e	 x2 são 
as raízes da função.
y f x
av v
= = −
∆
( )
4
B. Valores	extremos
O	valor	máximo	(mínimo)	de	uma	função	qual-
quer é o maior (menor) valor de imagem que a 
função possui. No caso da função quadrática, 
o	valor	máximo	(mínimo)	é	o	yv , pois o vértice 
é	um	extremo	da	função	quando	o	domínio	é		
o	conjunto	dos	reais.	Quando	a	função	do	2º	
grau tem concavidade para cima, ocorre um 
valor mínimo e, quando a concavidade ocorre 
para	baixo,	temos	um	valor	máximo.
a	>	0 a < 0
Ponto de mínimo
valor da função
V
y
yv
Ponto de
máximo
valor da
função
V
y
yv
Resumo
x
b
a
e y
av v
e yv ve y= − = −
∆
2 4a2 4av v2 4v v
e yv ve y2 4
e yv ve y
ou
y fv vy fv vy fy f=y f( )x( )xv v( )v vxv vx( )xv vx
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. UEPB 
 Um foguete pirotécnico é lançado para cima 
verticalmente e descreve uma curva dada pela 
equação		h	=	–	40t2	+	200t	,	em	que	h	é	a	altura,	
em metros, atingida pelo foguete em t segun-
dos,	após	o	lançamento.	A	altura	máxima	atin-
gida e o tempo que esse foguete permanece 
no ar são, respectivamente:
a. 						250	m	e	2,5	s		
b. 					300	m	e	6	s		
c. 					250	m	e	0	s		
d. 					150	m	e	2	s		
e. 					100	m	e	3	s				
 Resolução 
 
 
h t t
t s
h m
h
máx
máx
m
= − +
=
−
−
= =
=
−
−
=
40 200
200
80
20
8
2 5
40 000
160
250
2
.
.
,
.
ááx m
t s
.
,
=
=
250
2 5
Resposta
A
Funções
PV
-1
3-
11
26
Matemática
02. Unifesp 
As	figuras	A	e	B	representam	dois	retângulos	
de	perímetros	iguais	a	100	cm,	porém	de	áreas	
diferentes,	iguais	a	400	cm2	e	600	cm2, respec-
tivamente.
Figura A
400 cm2
 Figura B
600 cm2
A	 figura	C	 exibe	um	 retângulo	de	dimensões	
(50	–	x)	cm	e	x	cm,	de	mesmo	perímetro	que	
os	retângulos	das	figuras	A	e	B.
Figura C
50 – x
x
a. 	Determine	 a	 lei,	 f(x),	 que	 expressa	 a	
área	 do	 retângulo	 da	 figura	 C	 e	 exiba	
os	valores	de	x	que	fornecem	a	área	do	
retângulo	da	figura	A.
b. Determine a maior área possível para 
um	retângulo	nas	condições	da	figura	C.
a. A	área	de	um	retângulo	de	base	50	–	x	e	altu-
ra	x,	com	0	<	x	<	50,	é	dada	por:	f(x)	=	(50	–	x)	·	x.
	 Essa	área	é	igual	a	400	cm2 se, e somente se:
	 f(x)	=	400
	 (50	–	x)	·	x	=	400
	 x2	–	50x	+	400	=	0
	 x	=	10	ou	x	=	40
	 f(x)	=	(50	–	x)	·	x	e
	 f(x)	=	400	⇔	(x	=	10	ou	x	=	40)
b. 
	 f(x)	=	(50	–	x)	·	x	é	máximo	se,	e	somente	
se,	x	=	25.
	 f(25)	=	(50	–	25)	·	25
	 f(25)	=	625
 625 cm2
03. FGV-SP
A função f, de  em ,	dada	por	f(x)	=	ax2	–	4x	+	a	
tem	um	valor	máximo	e	admite	duas	raízes	reais	
e	iguais.	Nessas	condições,	f(–2)	é	igual	a:
a. 4
b. 2
c. 	0
d. −
1
2
e. –2
Resolução
Se a função admite duas raízes reais e iguais, 
então:
∆	=	(–4)2	–	4	·	a	·	a	=	0	⇒	16	–	4a2	=	0	
a2	=	4	⇒	a	=	±	2
Como	a	função	tem	um	valor	máximo,	temos	
a	<	0.
Assim,	f(x)	=	–	2x2	–	4x	–	2	e
f(–	2)	=	–	2(–	2)2	–	4(–	2)	–	2	=	–	8	+	8	–	2	=	–	2
Resposta
E
04. UFPE
Uma pesquisa sobre a relação entre o pre-
ço e a demanda de certo produto revelou 
que,	 a	 cada	desconto	de	R$	50,00	no	preço	
do produto, o número de unidades vendidas 
aumentava	de	10.	Se,	quando	o	preço	do	pro-
duto	era	R$	1.800,00	o	número	de	unidades	
vendidas	era	de	240,	calcule	o	valor	máximo,	
em reais, que pode ser obtido com a venda 
das unidades do produto e indique a soma 
dos seus dígitos.
Resolução
Sendo	x	o	número	de	descontos	de	50	reais	no	
preço do produto, então a função que repre-
senta o total obtido com a venda será:
f(x)	=	(1.800	–	50x)	⋅	(240	+	10x)
f(x)	=	50(36	–	x)	·	10(24	+	x)
f(x)	=	500(	–x2	+	12x	+	864)	
f(x)	=	–500x2	+	6.000x	+	432.000
PV
-1
3-
11
Funções
27
Matemática
x
b
av
= − =
− ⋅
⋅ − ⋅
=
2
12 500
2 1 500
6
( )
O	 valor	 máximo	 obtido	 com	 a	 venda	 ocorre	
quando	x	=	6.
∴	f(6)	=	(1.800	–	50	·	6)	(240	+	10	·	6)	=	450.000	
reais
Sendo	S	a	soma	dos	dígitos	do	valor	máximo	
obtido com a venda, então:
s	=	4	+	5	+	0	+	0	+	0	+	0	=	9
05. PUC-SP
Ao levantar dados para a realização de um 
evento, a comissão organizadora observou 
que,	se	cada	pessoa	pagasse	R$	6,00	por	sua	
inscrição,	poderia	contarcom	460	participan-
tes,	 arrecadando	 um	 total	 de	 R$	 2.760,00.	
Entretanto, também estimou que, a cada au-
mento	de	R$	1,50	no	preço	de	inscrição,	rece-
beria	10	participantes	a	menos.	Considerando	
tais estimativas, para que a arrecadação seja 
a maior possível, o preço unitário da inscrição 
em tal evento deve ser:
a. 	R$	15,00
b. 	R$	24,50
c. R$ 32,75
d. 	R$	37,50
e. 	R$	42,50
Resolução
Seja	x	o	número	de	aumentos	de	R$	1,50.
Arrecadação:
A	=	(6	+	x	·	1,5)	⋅	(460	–	10x)
A arrecadação será a maior possível para
 x xv= =
− +
=
4 46
2
21 .
Logo, o preço unitário, em reais, deve ser: 
P	=	6	+	21	(1,5)	=	37,50
Resposta
D
6. Função do 2º grau – Aplicações
Diversos	fenômenos	da	natureza	são	descritos	matematicamente	por	meio	da	função	do	2º	grau.
Problemas de física, química, biologia, matemática financeira etc. são resolvidos estudando-se os 
pontos	de	máximo	ou	de	mínimo,	as	raízes,	o	sinal	e	a	taxa	de	variação	dessa	função.	
A	seguir,	por	meio	das	situações-problema,	são	apresentados	exemplos	destas	aplicações.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. UFV-MG
A temperatura de uma estufa, em graus Cel-
sius, é regulada em função do tempo t, de 
acordo com a lei f definida pela sentença 
f t
t
t( ) = − + +
2
2
4 10, sendo t ≥	0.	
É correto afirmar que:
a. a estufa nunca atinge zero grau.
b. a temperatura é sempre positiva.
c. a temperatura mais alta é atingida para 
t	=	2.
d. 	o	 valor	 da	 temperatura	 máxima	 é	 18	
graus.
e. a temperatura é positiva só para 1 < t < 5.
Funções
PV
-1
3-
11
28
Matemática
Resolução
a	<	0	⇒	concavidade	voltada	para	baixo
Raízes
t
t
t e t
t
b
a
y f
v
v
:
( )
− + + =
= − =
=
−
=
−
⋅
−
=
= =

2
1 2
2
4 10 0
2 10
2
4
2 1
2
4
4 18




⇒ V( ; )4 18
Intersecção	com	o	eixo	y:	(0;	10)
Logo,	a	temperatura	máxima	é	de	18	graus.
Resposta
D
02. Uespi
O lucro mensal de uma fábrica é dado por 
L(x)	=	–x2	+	60x	–	10,	em	que	x	é	a	quantidade	
mensal de unidades fabricadas e vendidas de 
um certo bem produzido por esta empresa e L 
é	expresso	em	reais	(obs.:	real	é	unidade	mo-
netária).
O maior lucro mensal possível que a empresa 
poderá ter é dado por:
03. 
Dispõe-se	de	uma	folha	de	papel	retangular	me-
dindo	20	 cm	de	 largura	por	24	 cm	de	 compri-
mento. Deseja-se recortar em cada quina da fo-
lha quatro quadrados iguais (veja figura). Quanto 
deve medir o lado de cada quadrado para que a 
área	da	região	sombreada	seja	máxima?
x x
x x
x
x
x
x
a. 4,5 cm
b. 5 cm
c. 5,5 cm
d. 6 cm
e. 6,5 cm
Resolução
Área	do	retângulo	horizontal:
(24	–	2x)	·	x
Área	do	retângulo	vertical:
(20	–	2x)	·	x
Indicando	por	S(x)	a	área	da	região	sombrea-
da, temos:
S(x)	=	2	·	x	(24	–	2x)	+	2	·	x	(20	–	2x)
S(x)	=	48x	–	4x2	+	40	x	–	4x2
S(x)	=	–	8x2	+	88x
x
b
a
cmv =
−
=
−
−
=
2
88
16
5 5,
Resposta
C
04. ITA-SP
Os	 dados	 experimentais	 da	 tabela	 a	 seguir	
correspondem	às	concentrações	de	uma	subs-
tância	química	medidas	em	intervalos	de	1	se-
gundo. Assumindo que a linha que passa pelos 
três	 pontos	 experimentais	 é	 uma	 parábola,	
tem-se que a concentração (em mols) após 2,5 
segundos é:
a. 	R$	890,00
b. 	R$	910,00
c. 	R$	980,00
d. 	R$	1.080,00
e. 	R$	1.180,00
Resolução
L(x)	=	–x2	+	60x	–	10
∴ Lmáx.	= y a
y
V
V
=
−
= −
− −( ) −( )( )
−( )
=
− −( )
−
=
∆
4
60 4 1 10
4 1
3 600 40
4
3 560
4
2
. .
∴ Lmáx.	=	R$	890,00
Resposta
A
PV
-1
3-
11
Funções
29
Matemática
Tempo (s) Concentração (mols)
1 3,00
2 5,00
3 1,00
a. 	3,60
b. 3,65
c. 	3,70
d. 3,75
e. 	3,80
Resolução
f x ax bx c
c b a
c b a
c b a
c b a
b a
( )= + +
+ + =
+ + = ⇒
+ + =



+ + =
+ =
2
3
2 4 5
3 9 1
3
3 2
2bb a
c b a
b a
a
a b b
c
+ = −



⇒
+ + =
+ =
= −



= − − = ⇒ =
+ −
8 2
3
3 2
2 6
3 9 2 11
11 3
;
== ⇒ = −
= − + −
( )= − ( ) + −
( )= −
3 5
3 11 5
2 5 3 2 5 11 2 5 5
2 5 18
2
2
c
f x x x
f
f
( )
, · , · ,
, ,, ,
, ,
75 27 5 5
2 5 3 75
+ −
( )=f
Resposta
D
TEXTO COMPLEMENTAR
Álgebra do voo à Lua
Muita gente manifesta o temor de 
que seja extremamente difícil acertar exa-
tamente num alvo sideral tão diminuto, já 
que o diâmetro da Lua é percebido por nós 
sob um ângulo de apenas meio grau. No 
entanto, examinando-se o problema com 
mais vagar, verifica-se que o objetivo pro-
posto será sem dúvida alcançado, se se 
conseguir que o foguete ultrapasse o pon-
to em que a força de atração da Terra e da 
Lua são equivalentes. Uma vez consegui-
do isso, a nave cósmica avançará inexora-
velmente na direção da Lua, impulsionada 
pela força de atração desta. Busquemos 
esse ponto de atração equivalente.
De acordo com a lei de Newton, a 
força de atração recíproca de dois corpos 
é diretamente proporcional ao produto das 
massas que se atraem e inversamente pro-
porcional ao quadrado da distância que as 
separa F GM m
d
=
⋅


2 . Se denotarmos por 
M a massa da Terra, m’ a massa da espa-
çonave e por x a distância entre ela e o 
foguete, a força com que a Terra atrai cada 
grama de massa da espaçonave se expri-
mirá por
F
F
m
G
M
x
F
M G
xr r
= = =
⋅
' 2 2
A força com que a Lua atrai cada 
grama do foguete nesse mesmo ponto será 
mG/(d – x)2, onde m é a massa da Lua e d 
a distância que a separa da Terra, na pres-
suposição de achar-se o foguete sobre a 
reta que une os centros da Lua e da Terra. 
O problema exige que
MG
x
mG
d x2 2
=
−( )
,
isto é,
M
m
x
d dx x
=
− +
2
2 22
A relação M/m, segundo a Astrono-
mia, equivale, aproximadamente, a 81,5. 
Aplicando-a, teremos
x
d dx x
2
2 22
81 5
− +
= ,
Daí,
80,5 x2 – 163,0 dx + 81,5 d2 = 0
Equação essa que, resolvida, fornece 
as raízes
x1	=	0,9	d;	x2	=	1,12	d
Assim, chega-se à conclusão de que, 
sobre a reta que une os centros da Lua e 
da Terra, existem dois pontos onde a atra-
ção de ambos os planetas atua sobre o fo-
guete com intensidade idêntica: um a 0,9 
de distância que separa os dois planetas, 
partindo-se do centro da Terra; o outro, a 
1,12 dessa mesma distância. Ora, a distân-
cia d entre os centros da Terra e da Lua 
é aproximadamente igual a 384.000 km; 
portanto, um dos pontos procurados se en-
contra a 346.000 km da Terra, e o outro, a 
430.000 km.
Funções
PV
-1
3-
11
30
Matemática
É possível demonstrar que o lugar 
geométrico dos pontos que satisfazem às 
exigências do problema é uma circunfe-
rência que passa pelos dois pontos acha-
dos, tomados estes como extremidades 
de um diâmetro daquela. Se fizermos gi-
rar essa circunferência em torno do eixo 
constituído pela reta que une os centros 
da Terra e da Lua, a circunferência gera-
rá uma esfera cujos pontos satisfazem às 
exigências do problema.
O diâmetro dessa esfera será igual a
1,12 d – 0,9 d = 0,22 · d ≈ 84.000 km
No momento em que o foguete se 
achar dentro dessa esfera, ele deverá for-
çosamente cair sobre a superfície lunar, 
porque, nessa zona, a força de atração da 
Lua supera a da Terra.
384.000 km
84.000 km
Terra
13.000 km
Aq
ui a
 atração da Lua
é m
aior que a da
 Te
rr
a.
Lua3.500 km
Figura 1
O objetivo visado pelo foguete é mui-
to maior do que se suspeitava. Tal objetivo 
não ocupa meio grau no espaço, mas, sim, 
12 graus, conforme demonstra um simples 
cálculo geométrico. Isto facilita grande-
mente a tarefa dos cosmonautas.
Por acaso pensaram os leitores, ao 
procurarem resolver a equação, que a for-
ça de gravitação da Terraera maior que a 
da Lua, não só na sua frente, mas inclu-
sive por detrás dela? A análise algébrica, 
inesperadamente, revelou-nos tal fato, 
permitindo-nos delimitar, com exatidão, a 
esfera de influência de ambos esses cor-
pos celestes.
Adaptado do livro Aprenda álgebra 
brincando I. Perelman. Editora Hemus.
PV
-1
3-
11
Funções
31
Matemática
1. Introdução
As	propriedades	a	seguir	poderão	nos	auxiliar	
nas	resoluções	de	problemas	envolvendo	de-
sigualdades.
2. Propriedades
Vamos enunciar as propriedades tomando 
como referência um dos sentidos da desigual-
dade (<), porém as propriedades são verdadei-
ras	para	o	outro	sentido	(>).	
1. transitiva: a < b e b < c ⇒ a < c
2. a < b ⇒	a	+	x	<	b	+	x
 a < b ⇒	a	–	x	<	b	–	x	
Observe uma consequência desta propriedade: 
a	+	c	<	b	⇔	a	+	c		–	c	<	b	–	c	⇔	a	<	b	–	c
a	+	c	<	b	⇔	a	<	b	–	c
3. a	<	b	e	c	>	0	⇔ a ⋅ c < b ⋅ c
 a < b e c >	0	⇔ a
c
b
c
<
4. a	<	b	e	c	<	0	⇔	a	·	c	>	b	·	c				(Atenção	
redobrada nesta quarta propriedade)
 a < b e c < 0	⇔ a
c
b
c
>
Ao multiplicarmos ou dividirmos uma desi-
gualdade por uma constante não nula, o sen-
tido será conservado caso a constante seja um 
número positivo, porém deverá ser invertido 
se a constante for um número negativo.
3. Inequações do 1º grau
Denominamos	inequação	do	1º	grau	toda	de-
sigualdade que pode ser escrita em uma das 
formas	abaixo,	em	que	x	é	variável	e	a	e	b	são	
constantes reais.
a ⋅	x	+	b	≤	0,	a	≠	0
a ⋅	x	+	b	≥	0,	a	≠	0
a ⋅	x	+	b	<	0,	a	≠	0
a ⋅	x	+	b	>	0,	a	≠	0
a ⋅	x	+	b	≠	0,	a	≠	0
Aplicando as propriedades enunciadas acima, 
podemos	 isolar	 o	 x	 em	 qualquer	 uma	 delas,	
como,	por	exemplo,	tomando	a	primeira:
a x b
a x b b b
x
b
a
se a
x
b
a
se aa x b
⋅ + ≤
⋅ + − ≤ − ⇔
≤
−
>
≥
−
<




⋅ ≤ −
0
0
0
0
Solução
S x x
b
a
se a
S x x
b
a
se a
:
{ | }
{ | }
= ∈ ≤
−
>
= ∈ ≥
−
<







0
0
CAPÍTULO 03 	INEQUAÇÕES	DO	1º	E	DO	2º	GRAU
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Fuvest-SP
Um	 estacionamento	 cobra	 R$	 6,00	 pela	 pri-
meira	hora	de	uso,	R$	3,00	por	hora	adicional	
e	tem	uma	despesa	diária	de	R$	320,00.	Con-
sidere-se um dia em que sejam cobradas, no 
total,	80	horas	de	estacionamento.	
O número mínimo de usuários necessário para 
que o estacionamento obtenha lucro nesse dia é:
Resolução
Número	de	usuários:	x	
Todos os usuários pagarão a 1ª hora de uso; 
desta	maneira,	das	80	horas	de	estacionamen-
to,	x	horas	serão	consideradas	como	as	horas	
gastas na 1ª hora de uso, ficando, dessa forma, 
(80	–	x)	horas	para	as	horas	adicionais.
Receita:	 R(x)	=	x	⋅	6	+	(80	–	x)	⋅ 3 
	 	 R(x)	=	6	⋅	x	+	240	–	3	⋅	x	
	 	 R(x)	=	3	⋅	x	+	240
Lucro	=	receita	–	despesa
a. 25 
b. 26 
c. 27
d. 28
e. 29
Funções
PV
-1
3-
11
32
Matemática
Lucro:	 L(x)	=	3x	+	240	–	320
											 L(x)	=	3	⋅	x	–	80
Para	haver	 lucro,	L(x)	 tem	que	ser	maior	que	
zero.
3 ⋅	x	–	80	>	0	⇒ 3 ⋅	x	>	80
x >	
80
3
x	>	26,666...
Como a quantidade de usuários é inteira, de-
vemos ter pelo menos 27 usuários.
Resposta
C
02. UFPE
Indique o comprimento do intervalo das solu-
ções	da	desigualdade	0	≤ 2 ⋅	x	–	7	≤	70.
Resolução 
0	≤ 2 ⋅	x	–	7	≤	70
0	+	7	≤ 2 ⋅	x	–	7	+	7	≤ 70	+	7
7 ≤ 2 ⋅	x	≤ 77 
Dividindo todos os termos por 2, temos:
3,5 ≤ x	≤ 38,5 ⇒	38,5	–	3,5	=	35
Resposta
O comprimento do intervalo é 35.
4. Inequação do 2º grau
Denominamos	inequação	do	2º	grau	toda	de-
sigualdade que pode ser escrita em uma das 
formas	abaixo,	em	que	x	é	variável	e	a, b e c 
são constantes reais.
a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	≤	0,	a	≠	0
a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	≥	0,	a	≠	0
a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	<	0,	a	≠	0
a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	>	0,	a	≠	0
a ⋅	x2	+	b	⋅	x	+	c	≠	0,	a	≠	0
Para	resolver	uma	inequação	do	2º	grau	pode-
mos recorrer ao estudo do sinal de uma fun-
ção	quadrática,	f(x)	=	a ⋅	x2	+	b ⋅	x	+	c.
Para o estudo da variação de sinal da função 
do	2º	grau,	adotaremos	algumas	simplificações	
para a construção do gráfico: não é necessário 
que	tenhamos	a	posição	exata	do	vértice,	bas-
ta	que	ele	esteja	do	lado	certo	do	eixo	x;	não	é	
preciso estabelecer o ponto de intersecção do 
gráfico	da	função	com	o	eixo	y;	e,	considerando	
que	as	imagens	acima	do	eixo	x	são	positivas	e	
as	abaixo	do	eixo	x	são	negativas,	podemos	dis-
pensar	a	colocação	do	eixo	y.	Em	resumo,	para	
estabelecermos a variação de sinal de uma fun-
ção	do	2º	grau,	basta	conhecermos	a	posição	da	
concavidade da parábola, voltada para cima ou 
para	baixo,	e	a	existência	e	quantidade	de	raízes	
que ela apresenta.
Consideremos	a	função	f(x)	=	ax2	+	bx	+	c,	com	
a ≠	0.
a > 0 a < 0
∆	>	0
xx1 x2
x	<	x1	ou	x	>	x2 ⇒	f(x)	>	0
x	=	x1	ou	x	=	x2 ⇒	f(x)	=	0
x1	<	x	<	x2 ⇒	f(x)	<	0
x
x2x1
x	<	x1	ou	x	>	x2 ⇒	f(x)	<	0
x	=	x1	ou	x	=	x2 ⇒	f(x)	=	0
x1	<	x	<	x2 ⇒	f(x)	>	0
∆ =	0 xx1 = x2
x	=	x1 ⇒	f(x)	=	0
x	≠	x1 ⇒	f(x)	>	0
x
x1 = x2
x	=	x1 ⇒	f(x)	=	0
x	≠	x1 ⇒	f(x)	<	0
∆ <	0
x
f(x)	>	0	para	∀	x	∈ 
x
f(x)	<	0	para	∀	x	∈ 
PV
-1
3-
11
Funções
33
Matemática
Finalmente, tomamos como solução para a 
inequação	as	regiões	do	eixo	x	que	atenderam	
às	exigências	da	desigualdade.
Exemplo 
Estudar	o	sinal	da	função	f(x)	=	x2	–	3	⋅ x	–	10.
Raízes:			 	x2	–	3	⋅ x	–	10	=	0
S
P
x
ou
x
=
= −



= −
=
3
10
2
5
1
2
–2 5–
+ +
Estudo do sinal:
x ou x f x
x ou x f x
x f x
< − > ⇔ >
= − = ⇔ =
− < < ⇔ <



2 5 0
2 5 0
2 5 0
( )
( )
( )
Para	resolver	a	inequação	x2	–	3	⋅	x	–	10	>	0,	uti-
lizamos o estudo do sinal da função que leva a 
imagem	de	f(x)	=	x2	–	3	⋅	x	–	10	a	valores	maio-
res	que	zero,	isto	é,	no	exemplo	acima	os	va-
lores	de	x	são	tais	que	x	<	–	2	ou	x	>	5.	Se,	por	
outro lado, queremos resolver a inequação 
x2	–	3	 ⋅	x	–	10	≤	0,	 teremos	como	solução	os	
valores	de	x	tais	que	–2	≤	x	≤ 5.
Observação
A	simbologia	de	(+)	ou	(–	)	utilizada	no	esboço	
do gráfico acima representa o sinal da imagem 
da função na região adotada e deve ser uma 
convenção usada por nós para a resolução dos 
demais	exercícios.	Não	confundir	esses	sinais	
com o sinal de domínio. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. PUC-RS 
A solução, em ,	da	inequação	x2 < 8 é:
a. { , }−2 2 2 2
b. [ ; ]−2 2 2 2
c. ( ; )−2 2 2 2
d. ( ; )−∞ 2 2
e. ( ; )−∞ 2 2
Resolução
x2 < 8 ⇒	x2	–	8	<	0
Função	auxiliar:	f(x)	=	x2	–	8	
Raízes:		 x2	–	8	=	0	⇒	x2	=	8
 x x= ± ⇒ = ± ⋅8 2 2
–2 2
–
+ +
2 2
S x x= ∈ − ⋅ < < ⋅ = − ⋅ ⋅{ | } ( ; ) 2 2 2 2 2 2 2 2
Observação
A notação de parêntese também é usada para 
indicar	intervalo	aberto	em	sua	extremidade.
Resposta
C
02. UEPB
A desigualdade 3 ⋅	(2x	+	2)	>	(x	+	1)	⋅	(5	–	x)	é	
verdadeira para:
a. x	=	–1.
b. todo	x	real.
c. todo	x	∈ 	–	{1}.
d. todo	x	∈ 	–	{–1}.
e. todo	x	≤	–1.
Resolução
3 ⋅	(2x	+	2)	>	(x	+	1)	⋅	(5	–	x)
6 ⋅	x	+	6	>	5	⋅	x	–	x2	+	5	–	x	
x2	+	6	⋅	x	+	6	–	5	⋅	x	+	x	–	5	>	0
x2	+	2	⋅	x	+	1	>	0
Função	auxiliar:	f(x)	=	x2	+	2	⋅	x	+	1
Raízes:	x2	+	2	⋅	x	+	1	=	0	
S
P
x
ou
x
= −
=



= −
= −
2
1
1
1
–1
+ +
As	 imagens	 de	 f(x)	 são	 positivas	 para	 todo	 x	
real,	exceto	para	x	=	–	1,	em	que	f(x)	=	0	;	desta	
forma,	x2	+	2	⋅	x	+	1	>	0	é	verdadeira	para	todo	
x	real	diferente	de	–	1.
Resposta
D
Funções
PV
-1
3-
11
34
Matemática
03. UEL-PR modificado
Seja S o conjunto solução do sistema:
3 2 7 2
48 3 10
11 2 3 1 3 5
x x
x
x x
+ < −
< +
− − > − −


 ( ) ( )
Dessa forma, S é o conjunto de todos os núme-
ros	reais	x,	tais	que:
a. 	–1	<	x	<	0
b. 	–1	<	x	<	1
c. − < <1 x
2
9
d. − < <1 x
1
3
e. − < <1 x
9
4
Resolução
3 2 7 2 5 5 1
48 3 10 45 10
2
9
11 2 3 1 3 5
x x x x
x x x x
x x+ < − ⇒ < ⇒ <
< + ⇒ < ⇒ <
− − > − − ⇒( ) ( ) xx
S x x
> −
= ∈ − < <


1
1
2
9
|
Resposta
C
04. FGV-SP
Quantos números inteiros satisfazem a inequa-
ção	x2		–	10x	<	–	16?
a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
e. 7
Resolução
x2	–	10x	<	–	16
x2	–	10x	+	16	<	0
x2	–	10x	+	16	=	0
S
P
x
x
=
=
 ⇒
=
=

10
16
2
8
1
2
+ +
2 8
x
–
2	<	x	<	8
∴ 5 números inteiros
Resposta
C
05. FCC-SP
Quantos números inteiros satisfazem o siste-
ma	de	inequações	abaixo?
2 1 3 2
6 8 02
x x
x x
+ > −
− + ≤

a. 	0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
Resolução
2x	+	1	>	3x	–	2	⇒	–	x	>	–	3	⇒	x	<	3
x2	–	6x	+	8	≤	0
2 4 x
+ +
–
2	≤	x	≤	4
S	=	{x	∈ 	|	2	≤	x	<	3}	⇒ uma única solução 
inteira
x	=	2
Resposta
B
PV
-1
3-
11
Funções
35
Matemática
5. Inequações produto e quociente 
Em	 algumas	 situações,	 podemos	 encontrar	
inequações	 que	 apresentam	 expressões	 que	
fogem	da	forma	de	1º	e	2º	graus.	Nessas	situa-
ções,	se	pudermos	reescrever	a	expressão	em	
fatores	e/ou	quocientes	de	expressões	de	grau	
menor, poderemos ter nossa tarefa facilitada. 
Algumas	dessas	situações	são	conhecidas	com	
inequações	produto	e	inequações	quociente.
6. Inequação produto
Podemos definir uma inequação produto 
como sendo uma desigualdade que pode ser 
encontrada	 em	 uma	 das	 formas	 abaixo,	 em	
que	x	é	variável	e	f(x)	e	g(x)	são	sentenças	ma-
temáticas	de	funções	reais.
f(x)	⋅	g(x)	≤	0
f(x)	⋅	g(x)	≥	0	
f(x)	⋅	g(x)	<	0	
f(x)	⋅	g(x)	>	0	
f(x)	⋅	g(x)	≠	0
Observação
A quantidade de fatores que se apresentam do 
lado esquerdo das desigualdades pode variar 
dependendo	do	problema.	Nas	situações	aci-
ma,	indicamos	apenas	dois	fatores:	f(x)	e	g(x).
Um modo de resolver uma inequação produto 
consiste em estudar os sinais de cada um dos 
fatores e em seguida analisar o produto dos 
sinais.
Por	exemplo,	resolver	a	inequação:
(x	–	1)	⋅	(2	–	x)	≥	0
Denominaremos	x	–	1	de	f(x)	e	2	–	x	de	g(x).
Assim, o problema se resume em analisar 
f(x)	⋅	g(x)	≥	0.
Vamos	estudar	o	sinal	de	f(x)	e	g(x).
f(x)	=	x	–	1	⇒	raiz:	x	=	1	⇒ gráfico:
x1
+
– 
g(x)	=	2	–	x	⇒	raiz:	x	=	2	⇒ gráfico:
x2
+
–
Agora	que	temos	os	sinais	de	f(x)	e	de	g(x),	vamos	
estudar	o	sinal	do	produto	f(x)	·	g(x).	Para	isso,	será	
útil utilizar uma tabela do tipo que se segue.
f(x) –
–
+
+
+
+
+
–
–g(x)
f(x) · g(x)
2
1
1 2
Observe que pela tabela temos:
I. f(x)	é	negativa	para	x	<	1,	é	nula	para	x	=	1	
e	é	positiva	para	x	>	1;
II. g(x)	é	positiva	para	x	<	2,	é	nula	para	x	=	2	
e	é	negativa	para	x	>	2;
III. f(x)	·	g(x)	é	negativa	para	x	<	1	ou	x	>	2,	
é	nula	para	x	=	1	ou	x	=	2	e	é	positiva	
para	1	<	x	<	2.
Como	queremos	f(x)	⋅	g(x)	≥	0	,	o	intervalo	que	
nos interessa é: 1 ≤	x	≤ 2.
Portanto:	S	=	{x	∈  | 1 ≤	x	≤	2}
7. Inequação quociente
Podemos definir uma inequação quociente 
como sendo uma desigualdade que pode ser 
encontrada	 em	 uma	 das	 formas	 abaixo,	 em	
que	x	é	variável	e	f(x)	e	g(x)	são	sentenças	ma-
temáticas	de	funções	reais.
f x
g x
f x
g x
f x
g x
f x
g x
f x
g x
( )
( )
,
( )
( )
,
( )
( )
,
( )
( )
,
( )
( )
≤ ≥ < > ≠0 0 0 0 0
Observação
A quantidade de fatores e/ou quocientes que 
se apresentam do lado esquerdo das desigual-
dades pode variar dependendo do problema. 
Nas	 situações	 acima	 indicamos,	 apenas	 um 
quociente: 
f x
g x
( )
( )
.
A resolução de uma inequação quociente é 
parecida com a resolução de inequação pro-
duto, pois a regra do sinal da divisão de dois 
termos é a mesma para o produto de dois fa-
tores. Mas há uma observação importante a 
se fazer no caso da inequação quociente: nun-
ca poderá(ão) ser usada(s) a(s) raiz(raízes) 
proveniente(s) do denominador. O motivo é 
simples, embora esquecível, pois não está de-
finida no conjunto dos reais a divisão por zero.
Para	exemplificar,	vamos	“transformar”	a	ine-
quação produto anterior em uma inequação 
quociente.
Exemplo
Resolver em  a inequação 
x
x
−
−
≥
1
2
0.
Funções
PV
-1
3-
11
36
Matemática
Resolução
x
x
−
−
≥
1
2
0
Denominaremos	x	–	1	de	f(x)	e	2	–	x	de	g(x).
Agora, o problema se resume em analisar 
f x
g x
( )
( )
.≥ 0
Os	sinais	de	f(x)	e	g(x)	foram	estudados	ante-
riormente.
f(x)	=	x	–	1;	
sinais	de	f(x)																		
0
1
+–
g(x)	=	2	–	x;	
sinais	de	g(x)
0
2
–+
Com	os	sinais	de	f(x)	e	de	g(x),	vamos	analisar	
o sinal do quociente 
f x
g x
( )
( )
. Novamente, será 
útil utilizar uma tabela de sinais. 
f(x) –
–
+
+
+
1 2
+
+
–
–g(x)
F(x)/g(x)
E
1 2
0
Observe que pela tabela temos:
I. f(x)	é	negativa	para	x	<	1,	é	nula	para	x	=	1	
e	é	positiva	para	x	>	1;
II. g(x)	é	positiva	para	x	<	2,	é	nula	para	x	=	2	
e	é	negativa	para	x	>	2;
III. f x
g x
( )
( )
é	negativa	para	 x	<	1	ou	 x	>	2,	 é	
nula	para	x	=	1,	é	positiva	para	1	<	x	<	2	
e	não	está	definida	para	x	=	2.
Quando 1 ≤	x	<	2,	temos	
f x
g x
( )
( )
.≥ 0
Portanto:	S	=	{	x	∈  | 1 ≤	x	<	2}
Observe	que	a	raiz	de	g(x),	que	está	no	deno-
minador, não foi utilizada.
8. Potências com expoentes inteiros
Na inequação produto e na inequação quo-
ciente, é comum encontrarmos termos como 
(x	–	3)5,	(4	–	5x)6,	(x2	–	5x	+	6)9 etc.
Para	resolver	essas	inequações,	basta	lembrar	
duas propriedades das potências de base real 
e	expoente	inteiro:
01. Toda	potência	de	base	real	e	expoente	
ímpar conserva o sinal da base.
 a	>	0	⇒ a2n+1	>	0
 a	=	0	⇒ a2n+1	=	0
 a	<	0	⇒ a2n+1	<	0
02. 	Toda	potência	de	base	real	e	expoente	
par é um número não negativo.
 a ∈  ⇒ a2n ≥	0	(n	∈ N)
Exemplo
Resolver a inequação:
(2x	–	6)7 ⋅	(x	+	2)8 ≥	0
Fazemos y1	=	(2x	–	6)7 e y2	=	(x	+	2)8
Devemos	lembrar	que	a	potência	de	expoente	
ímpar e base real tem o sinal da base, então o 
sinal	de	(2x	–	6)7	é	igual	ao	sinal	de	2x	–	6.
y1 3
+
–
A	potência	de	base	real	e	expoente	par	é	um	
número	não	negativo.	Então,	(x	+	2)8 é nulo se 
x	=	–2	e	positivo	se	x	≠	–2.
y1 0
–2 ++
Fazendo o quadro de sinais:
y1 –
–
+
–
–
+
–2 3
–2 3
+
+
+y2
P
S x x ou x= ∈ = − ≥{ }| 2 3
9. Um método prático
Há um método prático, baseado em propriedades 
dos	sinais	das	funções	nas	proximidades	das	raí-
zes, que pode economizar tempo na resolução de 
exercícios	de	inequações	produto	ou	quociente.
O método consiste em representar as raízes 
em uma reta real. Entre duas raízes consecu-
tivas, devemos escolher um valor arbitrário e 
avaliar se o sinal da imagem da sentença mate-
mática que está, em geral, à esquerda da desi-
gualdade e o zero; sobre a reta real, colocamos 
o sinal do valor encontrado na região entre as 
PV
-1
3-
11
Funções
37
Matemáti ca
raízes estudadas. Procedemos de modo seme-
lhante	nas	demais	raízes,	sendo	que	nas	extre-
midades	haverá	estudo	entre	raiz	e	“+	∞”	 	e	
entre	raiz	e	“–	∞”	.	Destacamos	da	reta	real	a	
região que indica a solução procurada.
Observação
Quando uma raiz tem multiplicidade par, isto é, 
quando uma raiz aparece uma quantidade par de 
vezes, o sinal da sentença matemática não muda 
na vizinhança da raiz, ou seja, do lado esquerdo 
e do lado direito da raiz o sinal é o mesmo. Lem-
brando que essa propriedade é válida para a re-
gião	“bem”	próxima	da	raiz.	E	no	caso	de	raiz	de	
multiplicidade ímpar, a raiz aparece uma quanti-
dade ímpar de vezes e o sinal deve ser trocado.
Exemplo
Resolver em  a inequação:
(x	–	1)	⋅	(x	–	3)2 ≤	0.
Resolução
Raízes da sentença matemática: 
(x	–	1)	⋅	(x	–	3)2	=	0
(x	–	1)	=	0	ou	(x	–	3)2	=	0	
(x	–	1)	=	0	ou	(x	–	3	)	⋅	(x	–	3)	=	0
x	–	1	=	0	ou	x	–	3	=	0	ou	x	–	3	=	0
x	=	1	ou	x	=	3		ou	x	=	3	
A raiz 1 aparece uma vez: 1 é raiz de multipli-cidade ímpar.
A raiz 3 aparece duas vezes: 3 é raiz de multi-
plicidade par.
Representando as raízes na reta real:
1 3 x
Vamos	escolher	x	=	0;	x	=	2	e	x	=	4	para	analisar	
o sinal da sentença matemática em cada uma 
das	regiões	“separadas”	por	raízes.
Denominaremos	 a	 sentença	 (x	 –	 1)	 ⋅	 (x	 –	 3)2 
por	f(x).
f(x)	=		(x	–	1)	⋅	(x	–	3)2
f(0)	=		(0	–	1)	⋅	(0	–	3)2 ⇒	f(0)	<	0
f(2)	=		(2	–	1)	⋅	(2	–	3)2 ⇒	f(2)	>	0
f(4)	=		(4	–	1)	⋅	(4	–	3)2 ⇒	f(4)	>	0
Agora, em cada região acima da reta real, va-
mos indicar os sinais das imagens encontradas.
1 2 40
– + +
3 x
Observamos que, na vizinhança da raiz 1, o si-
nal foi trocado, pois a raiz tem multiplicidade 
ímpar, mas, na vizinhança da raiz 3, o sinal não 
mudou, pois a raiz tem multiplicidade par.
Resolver	a	inequação	(x	–	1)	⋅	(x	–	3)2 ≤	0	é	o	
mesmo	que	resolver	f(x)	≤	0.
Assim,	a	 inequação	está	 resolvida	para	 x	≤ 1 
ou	x	=	3.
S	=	{x	∈ 	|	x	≤	1	ou	x	=	3}
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Resolver, em ,	as	inequações	abaixo:
 
a. (x	+	1)	⋅	(x2	–	3x	+	2)	≥	0
b. 
x
x x
+
− +
<
1
3 2
0
2
 
c. 
2 3
1
4
+
−
≥
x
x
 
 Resolução 
 a. 		(x	+	1)	⋅	(x2	–	3x	+	2)	≥	0
 x	+	1	=	0
 x2	–	3x	+	2	=	0	
1
1
2
2
1 2–1
+
+ + +
++
++
+
+
+
–
– –
–
– ––1
–1
S	=	{x	∈ 	|	–1	≤	x	≤	1	ou	x	≥	2}
Funções
PV
-1
3-
11
38
Matemáti ca
 b. 
x
x x
+
− +
<
1
3 2
0
2 
Aproveitando o quadro de sinais do item (a), 
temos:
1 2–1
+
+
+
+
+
+
+
–
– EE
1 2–1
–
+
–
		S	=	{x	∈ 	|	x	<	–	1	ou	1	<	x	<	2}		
 c. 2 3
1
4
2 3
1
4
1
0
2 3 4 4
1
0
7 2
1
0
+
−
≥ ⇔
+
−
− ≥ ⇔
⇔
+ − +
−
≥ ⇔
−
−
≥
x
x
x
x
x x
x
x
x
 
1
1
1
I
II
I/II
2
1
+
+
+
+
–
–
+
–
–
E
2
7 2
7
S	=	{	x	∈  | 
2
7
	≤	x	<	1}					
02. FM Jundiaí-SP
O número a pertece ao conjunto solução da 
inequação apresentada a seguir se, e somente 
se: − +
− +
≤
x
x x
3
4 3
0
2
.
a. a	>	1
b. a	>	1	e	a	≠ 3
c. 1 < a < 3
d. a ≤	1	ou	a	>	3
e. a ≤	–1	ou	a	≥ 3
Resolução
− +
− +
≤
= − + ⇒ =
x
x x
h x x raiz x
3
4 3
0
3 3
2
( ) :
3
+
–
g(x)	=	x2	–	4x	+	3	⇒	raízes:	x	=	1	ou	x	=	3	
31
+ +
–
Análise dos sinais 
–
+
–
+
–
– E
31
31
+
+
+
h
g
Eh
g
S	=	{	x	∈  |	x	>	1	e	x	≠	3}
Se a	pertence	a	S,	então	a	>	1	e	a ≠ 3
Observe	 que	 neste	 exercício	 houve	 uma	 raiz	
de multiplicidade par, raiz 3, e o sinal na vizi-
nhança da raiz não mudou.
Resposta
B
03. UFRGS-RS 
 O domínio da função real de variável real de-
finida por P x x x( ) = −( ) +( )1 3 é o intervalo:
a. 						(–	∞,	–	3]		
b. 					[–	3,	–	1)		
c. 					(–	3,	0)		
d. 					[–	3,	1]		
e. 					[1,	+	∞)				
Resolução
 P x x x( ) = −( ) +( )1 3
1	–	x	=	0
x	=	1	
1
+
– 
	3	+	x	=	0
x	=	–	3	
 –3
+
–
 
–3 1
I
II
I-II
–
––
– ++
++
+ 
–	3	≤	x	≤	1		
Resposta
D
PV
-1
3-
11
Funções
39
Matemática
04. UEPB
O	conjunto	de	todos	os	valores	reais	de	x	que	
satisfazem a desigualdade −
−
≥
5
4
0
2x
 é:
a. {x	∈  |	x	>	2}
b. {x	∈  |	x	<	–	2	ou	x	>	2
c. 	{x	∈  |	x	≠	2}
d. 	{x	∈  |	–	2	<	x	<	2}
e. vazio.
Resolução
Para que a desigualdade seja verdadeira, o de-
nominador deve ser menor que zero. 
Logo: 
x2		–	4	<	0	
x
2–2 –
+ +
{x	∈ 	|	–	2	<	x	<	2}
Resposta
D
05. UFC-CE
O	domínio	da	função	real	g(x)	=	
x
x
−
−
2
7 é:
a. 	{x	∈ 	|	x	>	7}
b. 	{x	∈ 	|	x	≤	2}
c. 	{x	∈ 	|	2	≤	x	<	7}
d. 	{x	∈ 	|	x	≤	2	ou	x	>	7}
e. 	{x	∈ 	|	x	<	2	ou	x	≥	7}
Resolução
Condição: y :
y :
1
2
( )
( )
x
x
−
−
≥
2
7
0
Resposta
D
Funções
PV
-1
3-
11
40
Matemáti ca
1. Função composta
Consideremos	duas	funções	reais:
(D	 =	R	 e	 CD	=	R), definidas pelas sentenças 
f(x)	=	2x	+7	e	g(x)	=	x2	–1.	
Vamos	determinar,	pelo	uso	da	sentença	f(x),	a	
imagem	do	elemento	–2,	ou	seja:	
f(–2)	=	2	·	(–2)	+	7	=	3.
Agora,	pelo	uso	da	sentença	g(x),	vamos	deter-
minar	g(3)	=	32	–	1	=	8.
Assim:	g(3)	=	g	[	f(–2)	]	=	8
Função composta de f e g é uma sentença h 
capaz	de	diretamente	conduzir	o	elemento	–2	
até a imagem 8.
h
gf
–2 f(–2) = 3 g(3) = 8
Só	é	possível	compormos	as	funções	g com f 
se o conjunto da imagem f for o domínio da 
função g,
A. Notação 
A notação usual para indicar a composição da 
função	g(x)	com	a	função	f(x)		é	gof	(x)	–	lê-se	“g	
bola	f	na	variável	x”	ou	“g	círculo	f	na	variável	x”	
–,	mas	podemos	encontrar	a	indicação	apenas	
como	gof	ou	um	pouco	mais	sofisticada	(gof)(x).	
O importante é sabermos que:
gof	(x)	=	g	[	f(x)	]
B. Determinação da composta
Para	 exemplificar	 a	 determinação	 da	 função	
composta,	 vamos	 utilizar	 as	 funções	 já	 apre-
sentadas:
f(x)	=	2x	+	7	e	g(x)	=	x2	–	1
Assim:
gof	(x)	=	g[f(x)]	=	f(x)2	–	1	=	(2x	+	7)2	–	1	=
=	4x2	+	28x	+	49	–	1	⇒	gof	(x)	=	4x2	+	28x	+	48
Aproveitando	as	mesmas	duas	funções	e	ain-
da	 servindo	 como	exemplo	 de	 determinação	
da sentença que representa a composição de 
funções,	vamos	determinar	a	sentença	fog(x).
Assim:
fog(x)	=	f	[g(x)]	=		2g(x)	+	7	=	2(x2	–	1)	+	7	=
	 	 =	2x2	–	2	+	7	=
 ⇒	fog(x)	=	2x2	+	5
É	bom	compararmos	esses	dois	exemplos	de	
composição	de	funções	para	notarmos	que	a	
composição não admite a propriedade comu-
tativa, ou seja, em geral fog ≠ gof.
CAPÍTULO 04 TIPOS DE FUNÇÕES
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. AMAN-RJ modificado
Se	f(x)	=	3x	+	1	e	g(x)	=	2x2,	então	f[g(–1)]	–	g[f(–1)]	
é igual a:
a. –1
b. 1
c. 15
d. 0
e. –15
Resolução
Cálculos	auxiliares:
g(–1)	=	2	⋅	(–1)2	=	2
f(–1)	=	3	⋅	(–1)	+	1	=	–2
f[g(–1)]	=	f(2)	=	3	⋅	2	+	1	=	7
g[f(–1)]	=	g[–2]	=	2	⋅	(–2)2	=	8
Logo:
f[g(–1)]	–	g[f(–1)]	=	7	–	8	=	–1
Resposta
A
PV
-1
3-
11
Funções
41
Matemática
02. EESC-SP
Se	f(x)	=	x2	e	g(x)	=	x3,	então	f[g(2)]	é:
04. 
Considerando	que	f(x)	=	x	+	2	e	f[g(x)]	=	2x	–	3,	
então	g(x)	é	igual	a:
a. 5	–	x
b. 4x	–	2
c. 2x	–	5
d. x2
e. 2	–	4x
Resolução
f[g(x)]	=	g(x)	+	2
2x	–	3	=	g(x)	+	2	⇒	g(x)	=	2x	–	5
Resposta
C
05. 
Sendo	g(x)	=	x	–	7	e	f[g(x)]	=	3x	–	1,	determinar	
a	função	f(x).
Resolução
g(x)	=	x	–	7	⇒	x	=	g(x)	+	7
f[g(x)]	=	3x	–	1	⇒	f[g(x)]	=	3[g(x)	+	7]	–	1
f[g(x)]	=	3g(x)	+	20	⇒ f(x)	=	3x	+	20
a. 16
b. 128
c. 12
d. 64
e. 32
Resolução
f[g(2)]	=	f(23)	=	f(8)	=	82	=	64
Resposta
D
03. FGV-SP
Considere	as	funções	f(x)	=	2x	+	1	e	g(x)	=	x2	–	1.
Então,	as	raízes	das	equação	f[g(x)]	=	0	são:
a. inteiras.
b. negativas.
c. racionais não inteiras.
d. inversas uma da outra.
e. opostas.
Resolução
f g x f x
x x
x x x
[ ( )] [ ]
( )
= ⇒ − =
⋅ − + = ⇒ − + =
= ⇒ = ⇒ = ±
0 1 0
2 1 1 0 2 2 1 0
2 1
1
2
1
2
2
2 2
2 2 ⇒⇒ = ±x
2
2
Logo, as raízes são opostas.
Resposta
E
2. Classificação
A. Injetora
Uma função é chamada injetora quando ele-
mentos distintos do domínio apresentarem 
imagens também distintas no contradomínio.
x1 ≠	x2 ⇒	f(x1) ≠	f(x2)
a
b
c
d
1
2
3
Reconhecemos, graficamente, uma função in-
jetora quando uma reta horizontal, qualquer 
que seja, interceptar o gráfico da função, uma 
única vez.
x0
y
f(x)
f(x) é injetora.
Funções
PV
-1
3-
11
42
Matemática
0
y
g(x)
x
g(x) não é injetora.
Interceptou o gráfico mais de uma vez.
B. Sobrejetora
Uma função é chamada sobrejetora quando 
todos os elementos do contradomínio forem 
imagens de pelo menos um elemento do do-
mínio.
a
b
c
1
2
3
4
Reconhecemos, graficamente, uma função 
sobrejetora quando, qualquer que seja a reta 
horizontal	que	interceptar	o	eixo	no	contrado-
mínio,interceptar, também, pelo menos uma 
vez o gráfico da função.
y
x0
f(x)
f(x) é sobrejetora.
Interceptou o gráfico.
x
y
0
g(x)
g(x) não é sobrejetora.
Não interceptou o gráfico.
C. Bijetora
Uma função é chamada bijetora quando apre-
sentar as características de função injetora e 
ao, mesmo tempo, de sobrejetora, ou seja, 
elementos distintos têm sempre imagens dis-
tintas e todos os elementos do contradomínio 
são imagens de pelo menos um elemento do 
domínio.
1
2
3
1
2
3
Observação
Uma função bijetora apresenta o que chama-
mos de relação biunívoca: para cada elemen-
to, há uma única imagem e vice-versa.
D. Complemento
Devemos	 lembrar	 que	 existem	 funções	 que	
não são injetoras nem tampouco sobrejetora. 
Elas não recebem uma classificação especial; 
são ditas, apenas, nem injetora ou nem sobre-
jetora.
1
2
3
4
a
b
c
d
PV
-1
3-
11
Funções
43
Matemática
01. 
Os	gráficos	abaixo	representam	funções	de	 
em .
a) y
x
x
yc)
b) y
x
3
4–1
–1
4
Verifique se elas são ou não sobrejetoras, inje-
toras ou bijetoras. Justifique.
Resolução
a. D(f)	=	
 Im(f)	=	{3}
 Não é sobrejetora, pois Im(f) ≠	CD(f)	=	.
 Não é injetora, pois todos os elementos 
do domínio têm como imagem o elemento 3.
 Como não é injetora e sobrejetora, não é 
bijetora.
b. D(f)	=	
 Im(f)	=	
 CD(f)	=	
 É	sobrejetora,	pois	Im(f)	=	CD(f).
 É injetora, pois todos os elementos distin-
tos	x	do	domínio	 têm	 imagens	g	distintas	do	
contradomínio.
 Logo, é bijetora.
c. D(f)	=	
 Im(f)	=	 y y∈ ≥ −

|
1
4
 CD(f)	=	
 Não é sobrejetora, pois Im(f) ≠ CD(f).
 Não	é	injetora,	pois	existem	elementos	de	
Im(f) que são imagens de dois valores distintos 
de	x.
 Logo, não é bijetora.
02. 
Determinar o conjunto B de modo que a sen-
tença	f(x)	=	x2 defina uma função sobrejetora 
de	A	=	{x	∈ 		|	–3	≤	x	≤	4}	em	B.
Dizer	se,	nessas	condições,	ela	é	bijetora.
y
x
16
9
–3 40
Resolução
B	=	CD	=	Im	=	{y	∈ 	|	0	≤	y	≤	16}
Não é bijetora, pois não é injetora.
x
y
–3 40
9
16
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Funções
PV
-1
3-
11
44
Matemática
3. Função inversa
A. Conceito
Vamos considerar uma função f com domínio 
A e contradomínio B, para a qual cada elemen-
to	x	pertencente	ao	conjunto	A	apresenta	uma	
imagem	 y	 =	 f(x)	 pertencente	 ao	 conjunto	 B.	
Podemos	pensar	na	existência	de	uma	função	
que, a partir da imagem y, determine o ele-
mento	x,	ou	seja,	uma	função	g	tal	que	g(y)	=	x.	 
Essa função g, que faz o caminho inverso da 
função f, é chamada função inversa de f e re-
cebe a notação f –1.
f–1 (x) = g(x)
A B
f(x)
x y
B. Condição	de	existência
Devemos	 notar	 que,	 para	 existir	 a	 inversa,	 é	
necessário que todos os elementos do contra-
domínio da função f sejam imagens de algum 
elemento do domínio, e mais, de um único 
elemento. Desta forma, concluímos que só 
pode	existir	 inversa	da	função	f	se	a	função	f	
for bijetora.
Dessa forma, notamos que o domínio da fun-
ção f é o contradomínio de f –1 e que o contra-
domínio de f é o domínio de f –1.
Assim:
D(f)	=	CD(f	–1)	=	Im(f	–1)
CD(f)	=	D(f	–1)	=	Im(f)
f–1
f
x y
C. Determinação da inversa
Para a determinação da sentença que repre-
senta a inversa da função f, usaremos o con-
ceito de função inversa. Enquanto a função f 
toma	o	elemento	x	e,	por	meio	da	sentença	f,	
apresenta-nos o valor de sua imagem y, a fun-
ção inversa f–1 tem como tarefa tomar a ima-
gem y e, por meio da sentença f–1, apresentar 
o	elemento	x.	Vejamos	essa	ideia	utilizada	no	
exemplo	a	seguir.
Determinar a função inversa da função:
f(x)	=	2x	–	4.	
1º Vamos substituir a notação de imagem 
de	f(x)	por	y.	Assim:	y	=	2x	–	4.	
2º Para determinar a inversa, devemos 
“isolar”	o	x.
 Logo, 2 4
4
2
x y x
y
= + ⇒ =
+
3º Podemos dizer que já encontramos a 
sentença que representa a inversa de 
f, pois, para cada imagem y dada, po-
demos	obter	o	elemento	x	para	o	qual	
y serve de imagem. Porém, para efeito 
de notação, é comum permutarmos as 
letras x e y.
Então: y
x
=
+ 4
2
4º. Retornando à notação inicialmente 
usada para a função, vamos substituir 
y por f –1(x).
Finalmente, teremos f x
x
−
=
+
1
4
2
( ) .
D. Propriedades
P1. Evidentemente, se o par (a, b) perten-
cer à função f, o par (b, a) pertencerá à 
função f–1 e isso representado no plano 
cartesiano nos proporcionará uma si-
metria dos pontos representados pelos 
pares (a, b) e (b, a) em relação à reta 
y	 =	 x	 (bissetriz	 dos	 quadrantes	 ímpa-
res). Isso feito para todos os pares or-
denados	de	cada	uma	das	funções	nos		
garante que o gráfico de uma função e 
da sua inversa são simétricos em rela-
ção	à	reta	y	=	x	(função	identidade).
PV
-1
3-
11
Funções
45
Matemática
0
y f
x
y = x
f–1
P2. Considerando que a função leva o ele-
mento à imagem e a inversa traz a ima-
gem ao elemento, se compusermos a 
função com a inversa, retornaremos, 
sempre, ao elemento de onde parti-
mos.
Assim: fof –1(x)	=	f	–1of(x)	=	x
Pode-se provar ainda que:
P3. (f –1(x))–1	=	f(x)
P4. (fog)–1	=	g	–1of –1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Determine	a	inversa	das	funções:
a. f(x)	=	4x	–	1
b. y
x
x
com x=
+
−
≠
2 3
5
5
Resolução
a. f(x)	=	4x	–	1
 y	=	4x	–	1	⇒	4x	=	y	+	1
 
x
y
y
x
f x
x
=
+
∴ =
+
=
+
−
1
4
1
4
1
4
1( )
b. y
x
x
yx y x
yx x y
x y y
x
y
y
y
x
x
=
+
−
− = +
− = +
⋅ − = +
=
+
−
∴ =
+
2 3
5
5 2 3
2 5 3
2 5 3
5 3
2
5 3
( )
−−
=
+
−
≠−
2
5 3
2
21f x
x
x
com x( ) ,
Resposta
a. f x
x
−
=
+
1
1
4
( )
b. f x
x
x
com x− =
+
−
≠1
5 3
2
2( ) ,
02. Cesesp
Seja f:  →  a função dada pelo gráfico se-
guinte.
0
y
x
Assinale a alternativa que corresponde ao grá-
fico da função inversa de f.
a. 
0
y
x
b. 
0
y
x
Funções
PV
-1
3-
11
46
Matemática
c. 
x
y
0
d. 
x
y
0
e. 
x
y
0
Resolução
O gráfico de uma função e o da sua inversa são 
simétricos	em	relação	à	reta	y	=	x.
y
x
f (x)
y = x
f–1 (x)
0
Resposta
C
03. FM Jundiaí-SP
Sejam	as	 funções	 f	e	g	de	 em , definidas 
por	f(x)	=	2x	–	1	e	g(x)	=	kx	+	t.	A	função	g	será	
inversa de f se, e somente se:
a. k t: =
1
4
b. k	–	t	=	1
c. k	=	2t
d. k	+	t	=	0
e. k t= =
1
2
Resolução
f x x
x y
x
y
y
x
Logo f x g x
x
x
Ma
( )
: ( ) ( )
= −
= +
=
+
∴ =
+
= =
+
= +−
2 1
2 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ss g x kx t
Logo k e t
( )
,
= +
= =
1
2
1
2
Resposta
E
04. UPF-RS
Seja f:  → 	bijetora,	definida	por	f(x)	=	x3	+	1.
Seja g:  →  bijetora, definida por g x
x
( ) .=
+4 1
3
Então, f g f− + 






1 9
1
2
( ) vale:
a. 23
6
b. 11
6
c. 33
2
d. 9
8
e. 22
3
Resolução
Cálculos	auxiliares
 –	Cálculo	da	inversa:
 
f x x
y x x y y x
y x
( ) = +
= + ⇒ = + ⇒ = −
= −
3
3 3 3
3
1
1 1 1
1
PV
-1
3-
11
Funções
47
Matemática
Logo:
f x x
f
f
g f
−
−
= −
= − = =



 =



 + = + =
1 3
1 3 3
3
1
9 9 1 8 2
1
2
1
2
1
1
8
1
9
8
( )
( )
11
2
9
8
4 9
8
1
3
9
2
1
3
11
2
3
11
6







 =



 =
⋅ +
=
+
= =g
Por to ftan , −− + 





 = + =
1 9
1
2
2
11
6
23
6
( ) g f
Resposta
A
05. 
A função f, definida em 	–	{2}	por	 f x
x
x
( ) =
+
−2
2
é invertível. O seu contradomínio é 	 –	 {a}.	
Calcule a.
Resolução
Da teoria, sabemos que o contradomínio de uma 
função é igual ao domínio de sua inversa. Então:
1º passo:
 Determinação da inversa:
 
y
x
x
y xy x
x xy y
x y y x
y
y
=
+
−
⇒ − = +
+ = −
+ = − ⇒ =
−
+
2
2
2 2
2 2
1 2 2
2 2
1
( )
Finalmente: f x
x
x
−
=
−
+
1
2 2
1
( )
2º passo:
 
Df CD
Df x x
Df x x Logo
CD e a
f
f
−
−
−
=
+ ≠ ⇒ ≠ −
= ∈ ≠ −{ }
= − −{ } ∴ =
1
1
1
1 0 1
1
1
:
| . :
 −−1
06. 
Dada a função f:  →	B	com	f(x)	=	x2	–	4x	+	3,	
resolver	as	questões	a	seguir:
a. Determinar o conjunto B para que a 
função f seja sobrejetora.
b. Considerando	o	conjunto	B	nas	condições	
do item a, como definir um novo domínio 
de f para que a função seja bijetora?
c. Tomando	f	nas	condições	dos	itens	a	e	
b, ou seja, como função bijetora, de-
terminar a sentença que representa a 
inversa f –1.
Resolução
a.
0
–1
3
3
2
1
y
x
Para que f seja sobrejetora, devemos ter 
CD	=	Im,	ou	seja,	B	=	{y	∈  | y ≥	–1}.
b. 
0
–1
3
3
2
1
y
x
Respeitadas	as	condições	do	 item	a,	para	que	
f seja bijetora basta que também seja injetora. 
Para isso, basta escolher a região crescente ou a 
região	decrescente,	ou	seja,	A	=	{x	∈ 	|	x	≥	2}	
ou	A	=	{x	∈ 	|	x	≤	2}.
c. f x x x
y x x
x x y
x
y
x y
y x
f
( ) = − +
= − +
− + − =
=
± +
= ± +
= ± +−
2
2
2
1
4 3
4 3
4 3 0
4 2 1
2
2 1
2 1
−−
−
= + +
= − +
1
1
2 1
2 1
( )
( )
x x
ou
f x x
Funções
PV
-1
3-
11
48
Matemática
4. Função modular 
A. Introdução 
Em diversos problemas matemáticos, precisa-
mos	avaliar	apenas	a	distância	entre	dois	pon-
tos, números, lugares etc. Nesses casos, o uso 
de valor absoluto é muito útil. A ideia de dis-
tância	aparece	em	diversas	situações,	 inclusi-
ve	na	própria	matemática,	como,	por	exemplo,	
em geometria analítica.
B. Módulo de um número real
O	módulo	de	um	número	real	é	igual	à	distân-
cia do ponto que o representa até o ponto que 
representa zero, considerando-o na reta real 
orientada.	Denota-se	o	módulo	de	x	por	|x|.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
Exemplos 
Calcule:
a. |85|
b. 	|–85|
Resolução
a. 	|85|=	85,	pois	a	distância	de	85	até	o	
zero é igual a 85.
b. |–85|=	85,	pois	a	distância	de	–85	até	o	
zero é igual a 85.
A	distância	de	um	número	 real	 não	negativo	
até o zero é dado pelo próprio número e a dis-
tância	de	um	número	real	negativo	até	o	zero	é	
dado pelo oposto do número. Assim, pode-se 
definir:
|x|	=	x	se	x	≥	0
|x|	=	–x	se	x	<	0
Exemplos
Calcule:
a. | |1 8−
b. | |8 1−
Resolução
a. | |1 8−
8 2 2 2 2 1 1 8 0
1 8 1 8 1 8
= ⋅ ⇒ ⋅ > ⇒ − <
− = − − = − +| | ( )
b. | |8 1−
8 2 2 2 2 1 8 1 0
8 1 8 1
= ⋅ ⇒ ⋅ > ⇒ − >
− = −| |
C. Uma propriedade importante
x x2 = | |, para	qualquer	valor	real	de	x.
Exemplos:
01. ( ) | |− = = = −8 64 8 82
02. 8 64 8 82 = = =| |
5. Função modular 
Em	matemática,	há	diversas	 funções	que	en-
volvem os módulos. Podemos definir a função 
módulo da seguinte forma:
f:  →  
				x	→	f(x)	=	|x|
Gráfico:
x < 0
|x| = – x
f(x) = – x
f (–1) = – (–1) = 1
x > 0
|x| = x
f(x) = x
f (1) = 1
f (0) = 0
0
O gráfico é constituído de uma semirreta de 
origem	 em	 (0,	 0),	 passando	 pelo	 ponto	 (–1,	
1),	para	x	≤	0,	e	outra	semirreta	de	origem	em	
(0,	0)	passando	pelo	ponto	(1,	1),	quando	x	≥	0.
x
y
0–1 1
1
PV
-1
3-
11
Funções
49
Matemática
01. Cesgranrio-RJ
Seja f a função definida no intervalo aberto 
(–1,	1)	por f x
x
x
( ) =
−1 | |
.
Então, f −


1
2
 é:
03. UEL-PR modificado
Construa o gráfico da função real definida por 
f(x	)	=	|x	–	1|.
Resolução
x < 1
x – 1 < 0
|x – 1| = – x + 1
f (x) = – x + 1
f (0) = – 0 + 1 = 1
x > 1
x – 1 > 0
|x – 1| = x – 1
f (x) = x – 1
f(2) = 2 – 1 =1
f (1) = 0
1
Para	x	≤ 1, temos uma semirreta que passa pe-
los	pontos	(1,	0)	e	(0,	1).
Para	x	≥ 1, temos uma semirreta que passa pe-
los	pontos	(1,	0)	e	(2,	1).
Resposta
x
y
1 2
1
0
04. UFLT-MG
Faça um esboço, no plano cartesiano, da curva 
definida pela equação: y x x
x
=
− +
−
2 5 6
3| |
.
Resolução
y
x x
x
y
x x
x
Para x y
x x
x
=
− +
−
⇒ =
− ⋅ −
−
> ⇒ =
− ⋅ −
−
2 5 6
3
2 3
3
3
2 3
3
| |
( ) ( )
| |
( ) ( )
( ))
( ) ( )
( )
⇒ = −
< ⇒ =
− ⋅ −
− −
⇒ = − +
y x
Para x y
x x
x
y x
2
3
2 3
3
2
3
2
1
0
–1
1 2 3 4 5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a. 1
2
b. 1
4
c. 
−
1
2
d. 	–1
e. 	–2
Resolução
f x
x
x
f
( )
| |
=
−
−



 =
−
− −
=
−
−
=
−
= −
1
1
2
1
2
1 1
2
1
2
1 1
2
1
2
1
2
1
Resposta
D
02. Fuvest modificado 
Reescreva	a	expressão	y	=	|	x	–	2|	+	|	2x	+	1|,	
sem	o	uso	das	barras	de	módulos,	quando	x	é	
um número real do intervalo −
1
2
	<	x	<	2.	
Resolução
a. |x	–	2|	
x	<	2	⇒	x	–	2	<	0	⇒	|x	–	2|	=	–	(	x	–	2)	=	–x	+	2	=	
=	2	–	x	
|x	–	2|	=	2	–	x
b. |2x	+	1|	
–1/2	<	x	⇒	–1	<	2x	⇒	0	<	1	+	2x	
2x	+	1	>	0	⇒	|2x	+	1|	=	2x	+	1
|2x	+	1|	=	2x	+	1
De	“a”	e	“b”,	temos:	y	=	|	x	–	2|	+	|	2x	+	1|=
	 	 	 											=	2	–	x	+	2x	+	1	
Resposta
y	=	x	+	3
Funções
PV
-1
3-
11
50
Matemática
05. UFC-CE
Seja	f	uma	função	real	de	variável	real	cujo	gráfico	está	representado	abaixo.
–1
1
1 2 3 4 x
f(x)
Se	g(x)	=	2f(x)	–	1,	assinale	a	alternativa	cujo	gráfico	melhor	apresenta	|g(x)|.
a. 
x42
–1
–3
1
1
2
7
2
b. 
x42
3
1
–1
1
2
7
2
c. 
x
3
1
1 2 3 4
d. 
x1 2 3 4
1
e. 
x
1
3
421
2
7
2
Resolução
x
2
– 2
43
2
10
2f(x)
y
x
1
– 3
2
4
2f(x) – 1y
x
1
3
2 4
|2f(x) – 1 | = | g(x)|y
Resposta
E
PV
-1
3-
11
Funções
51
Matemática
6. Equações modulares e 
inequações modulares
Recordando
–	 Interpretação	 geométrica:	 módulo	 de	 um	
número real é a “distância”	do ponto que re-
presenta	o	número	no	eixo	real	à	origem	desse	
eixo.
–	Definição:	| |x
x se x
x se x
=
≥
− ≤

0
0
A. Propriedades de módulos 
de número real
P1. |x|≥	0	para	qualquer	x	real	e	|x|	=	0	⇔	x	=	0
P2. |x|=	a	⇒	x	=	a	ou	x	=	–a,	com	a	≥	0
P3. |x|=|y|	⇒	x	=	y	ou	x	=	–y
P4. |x|>	a	⇒	x	>	a	ou	x	<	–a,	com	a	≥	0
P5. |x|<	a	⇒	–a	<	x	<	a,	com	a	≥	0
P6. |x	⋅	y|	=	|x|	⋅ |y|
P7. x
y
x
y
com y= ≠, 0
P8. x x2 =| |
P9. |x|2n	=	|x2n|	=	x2n
Para	a	 resolução	das	equações	e	das	 inequa-
ções	modulares,	vamos	agir	de	duas	maneiras:	
utilizaremos as propriedades para a resolução 
das	equações	e	inequações	que	apresentarem	
um único módulo comparado a uma constan-
te e utilizaremos a definição de módulo quan-
do a sentença apresentar mais de um módulo 
ou, se além do módulo, aparecer uma expres-
são com variável.
7. Equações modulares
Uma equação modular é uma equação onde 
há incógnita entre as barras que denotam o 
símbolo do módulo. O tipo mais simples de 
equação	modular	tem	a	forma:	|x|	=	a.
Resolução
A principal meta na resolução de uma equação 
modular é a eliminação das barras de módulo 
pelo	estudo	do	sinal	da	expressão	matemática	
que está contida nelas.
No	caso	|x|=	a,	quando	a é não negativo, pode-
se	“desmembrar”	a	equação	em	duas	outras:
x	≥	0	⇒ |x|	=	x	⇒	x	=	a
x	<	0	⇒ |x|	=	–x	⇒	–x	=	a	⇒	x	=	–a	
Como é possível observar pelos resultados 
obtidos	acima,	a	equação	do	tipo	|x|	=	a	tem	
como	solução	x	=	a	ou	x	=	–a.
Exemplo
Resolverem 	a	equação	|x|	=	78.
Resolução 
x	=	78	ou	x	=	–78
S	=	{	–78;	78}	
Observação
O método acima pode ser usado toda vez que 
em uma equação for possível estabelecer a 
igualdade entre um símbolo de módulo con-
tendo a variável e um número real. 
Exemplo
Resolver em 	a	equação	|x	–	30|	=	100.
Resolução 
x	–	30	=	–100	ou	x	–	30	=	100
x	=	–70	ou	x	=	130
S	=	{	–70;	130}
Caso o valor de a	seja	negativo,	a	equação	|x|	=	a 
não tem solução, uma vez que do lado esquerdo 
da igualdade temos um valor não negativo e do 
lado direito um valor negativo.
Exemplo
Resolver em 	a	equação	|x|	=	–78.
Resolução
Não	existe	x	que	verifique	a	igualdade,	portan-
to a solução é o conjunto vazio.
S	=	∅
8. Inequação modular
Uma inequação modular é uma desigualda-
de	onde	existe	 incógnita	entre	as	barras	que	
denotam o símbolo do módulo. Os tipos mais 
simples	de	inequações	modulares	são:	|x|	≥ a, 
|x|	≤	a,	|x|	>	a	e	|x|	<	a.
Resolução
Em	inequações	modulares,	devemos	trabalhar	
de	modo	semelhante	ao	aplicado	às	equações,	
isto é, a meta também é eliminar as barras do 
módulo	pelo	estudo	do	sinal	da	expressão	ma-
temática que está contida entre elas.
Funções
PV
-1
3-
11
52
Matemática
No	caso	|x|	≤ a, a não negativo, temos:
x	≥	0	⇒|x|	=	x	⇒	x	≤ a (I)
x	<	0	⇒|x|	=	–x	⇒	–x	≤ a ⇒	x	≥	–a	(II)
Analisando (I) e (II), concluímos que a solução 
de	inequações	do	tipo	|x|≤	a	é:	–a	≤	x	≤ a.
Exemplo
Resolver em 	a	inequação	|x|≤	70.
Resolução
–70	≤	x	≤	70
S	=	{	x	∈ 	|	–70	≤	x	≤	70	}
No	caso	|x|	≥ a, a não negativo, temos:
x	≥	0	⇒|x|	=	x	⇒	x	≥ a (III)
x	<	0	⇒|x|	=	–x	⇒	–x	≥ a ⇒	x	≤	–a	(IV)
Analisando (III) e (IV) temos, que a solução de 
inequações	do	tipo	|x|	≥	a	é:	x	≤	–a	ou	x	≥ a.
Exemplo
Resolver em 	a	inequação	|x|	≥	70.
Resolução
x	≤	–70	ou	x	≥	70
S	=	{	x	∈ 	|	x	≤	–70	ou	x	≥	70}
01. 
Resolver a equação:|3x	+	1|	=	–4.
Resolução 
Como	|3x	–	1|	≥	0,	para	∀x,	x	∈ , 
temos	S	=	∅
02. 
Resolva a equação: 
| |x
x
−
+ =
1
2
7.
Resolução 
x
x
x
x x x
x
x
x
x x x
≥
−
+ =
− + = ⇒ =
≤
− −
+ =
− + + = ⇒ =
1
1
2
7
1 2 14 5
1
1
2
7
1 2 14 13
:
( )
:
( )
(nnão convém
V
)
{ }= 5
03. 
Resolver	a	equação	|x	+	5|	=	|2x	–	7|.
Resolução
x x x x
ou
x x x x x
S
+ = − ⇒ − = − ⇒ =
+ = − − ⇒ + = − + ⇒ =
=

5 2 7 12 12
5 2 7 5 2 7
2
3
2
3
12
( )
; 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
04. UFG-GO
Sejam	f(x)	=	x	e	g(x)	=	x	⋅|x|	–	2	⋅	x	+	1	funções	
definidas para todo número real. O número de 
pontos	de	interseção,	entre	os	gráficos	de	f(x)	
e	g(x),	é:
a. zero.
b. um.
c. dois.
d. três.
e. quatro.
Resolução 
Para encontrar os pontos comuns aos gráficos, 
vamos analisar a situação em que as imagens 
têm	mesmo	valor,	isto	é,	g(x)	=	f(x)	.
x.|x|	–	2	⋅	x	+	1	=	x
x.|x|	–	3	⋅	x	+	1	=	0
x x x x x x
x x
x ou x
≥ ⇒ = ⇒ ⋅ − ⋅ + =
− ⋅ + −
∆ =
=
+
=
−
0 3 1 0
3 1 0
5
3 5
2
3 5
2
2
| |
Para	cada	valor	de	x	encontrado	acima,	tere-
mos	dois	pontos	distintos	(x;	f(x))	comuns	aos	
gráficos	de	f(x)	e	g(x).
x x x x x x
x x
x x
x o
< ⇒ = − ⇒ ⋅ − − ⋅ + =
− − ⋅ + =
+ ⋅ − =
∆ =
=
+
0 3 1 0
3 1 0
3 1 0
13
3 13
2
2
2
| | ( )
uu x =
−3 13
2
PV
-1
3-
11
Funções
53
Matemática
Há apenas um ponto comum aos gráficos de 
f(x)	e	g(x),	pois	 x =
+3 13
2
 não serve.
Como	os	três	valores	de	x	encontrados	são	dis-
tintos, os três pontos também são distintos. 
Assim, há 3 pontos na intersecção dos gráficos 
de	f(x)	e	g(x).
Resposta
D
05. 
Resolva	a	inequação:	|x	–	1|	>	2.
Resolução 
x	–	1	<	–	2		ou		x	–	1	>	2
∴	x		<		–	1		ou		x	>	3
S	=	{x	∈ 	|	x	<	–1	ou	x	>	3}
06. 
Resolva	a	inequação:	|x	–	1|	<	–2.
Resolução 
Como	|x	–	1|	≤	–2,	para		∀x,	x	∈	R,	temos	S	=	∅.
07. FGV-SP
Multiplicando	os	valores	inteiros	de	x	que	sa-
tisfazem simultaneamente as desigualdades 
|x	–	2|	≤	3	e	|3x	–	2|	>	5,	obtemos:
a. 12
b. 	60
c. –12
d. –60
e. 	0
Resolução
| |
| |
x x x
x x ou x
x ou x
− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
− > ⇔ − < − > ⇔
⇔ < − >
2 3 3 2 3 1 5
3 2 5 3 2 5 3 2 5
3 3 3 77 1
7
3
⇔ < − >x ou x
− ≤ ≤
< − >





⇔ < ≤
∈ < ≤
 =
1 5
1
7
3
7
3
5
7
3
5 3 4 5
x
e
x ou x
x
x x| { , , }
O	produto	dos	valores	inteiros	de	x	que	satis-
fazem simultaneamente as desigualdades é: 
3 ⋅ 4 ⋅	5	=	60
Resposta
B
08. 
Resolva em 	a	inequação	|x|	>	x.
Resolução 
x	≥	0	⇒	|x|	=	x	⇒	x	>	x	⇒	0	>	0	(a	desigualda-
de é falsa).
x	<	0	⇒	|x|	=	–x	⇒	–x	>	x	⇒ 
⇒	–2x	>	0	⇒	2x	<	0	⇒	x	<	0	(a	desigualdade	é	
verdadeira	para	x	<	0).
S	=	{	x	∈ 	|	x	<	0}	=

−
*
Funções
PV
-1
3-
11
54
Matemática
ANOTAÇÕES
Exercícios Propostos
Funções
PV
-1
3-
14
56
Matemática
V. 
a
c
b
d
x
z
y
w
X Y 01. 
Considere	os	conjuntos	A	=	{0,	1,	2}	e	B	=	{–	1,	1},	
as correspondências f: A → A, tal	que	f(x)	=	x	+	1,	
e g: B →	B,	tal	que	[g(x)]2	=	x2. Faça o que se pede.
a. Calcule:	f(0),	f(1),	f(2),	g(–1);	g(1)
b. Represente as correspondências f e g 
em diagramas de flechas.
c. A correspondência f é uma função de A 
em A? Justifique.
d. A correspondência g é uma função de B 
em B? Justifique.
02. UFU-MG
Quais dos seguintes diagramas definem uma 
função	 de	 X	 em	 Y,	 com	 X	 =	 {a,	 b,	 c,	 d}	 e	 
Y	=	{x,	y,	z,	w}?
I. 
a
c
b
d
x
z
y
w
X Y
II. 
a
c
b
d
x
z
y
w
X Y
III. 
a
c
b
d
x
z
y
w
X Y
IV. 
a
c
b
d
x
z
y
w
X Y
CAPÍTULO 01 
a. II, III e IV
b. IV e V
c. I, II e V
d. I e IV
e. I, IV e V
03. 
Observe os gráficos, de 

 em 

, apresentados 
a seguir. Identifique os que representam função 
e, para eles, determine o conjunto imagem.
a. 
0 x
y
b. 
0 x
y 
c. 
0 x
y
PV
-1
3-
14
Funções
57
Matemática
d. 
0
3
– 4
x
y
e. 
0 x
y
f. 
0–2
–3
1
4
5 x
y
04. UFPE
Considere os conjuntos:
A	=	{a,	b,	c,	d}	e	B	=	{1,	2,	3,	4,	5}
Assinale a única alternativa que define uma 
função de A em B.
a. {(a,	1),	(b,	3),	(c,	2)}
b. {(a,	3),	(b,	1),	(c,	5),	(a,	1)}
c. 	{(a,	1),	(b,	1),	(c,	1),	(d,	1)}
d. {(a,	1),	(a,	2),	(a,	3),	(a,	4),	(a,	5)}
e. {(1,	a),	(2,	b),	(3,	c),	(4,	d),	(5,	a)}
05. UFRN
O triatlo é uma modalidade de competição 
que envolve três etapas. Na primeira etapa, 
os competidores enfrentam 1,5 km de natação 
em mar aberto; na segunda etapa, eles percor-
rem	40	km	de	corrida	ciclística;	e,	na	terceira	
etapa, participam de uma meia maratona de 
10	km.
O	 gráfico	 que	 melhor	 representa,	 aproxima-
damente,	a	distância	percorrida,	em	quilôme-
tros, por um atleta que completa a prova du-
rante as duas horas da competição é:
a. 
Di
st
ân
ci
a
Tempo
b. 
Di
st
ân
ci
a
Tempo
c. 
Di
st
ân
ci
a
Tempo
d. 
Di
st
ân
ci
a
Tempo
Funções
PV
-1
3-
14
58
Matemática
06. 
Considere	o	gráfico	abaixo,	de	uma	função	de	
domínio	[–1;	3].
x
y
16
12
A D B
C
V
E
–1 1 2 3
Determine:
a. f(–1)
b. f(1)
c. f(2)
d. f(3)
e. as raízes da função.
07. UFMG
Uma fábrica vende determinado produto so-
mente	 por	 encomenda	 de,	 no	 mínimo,	 500	
unidades	e	de,	no	máximo,	3.000	unidades.
O preço P, em reais, de cada unidade desse 
produto	é	fixado,	de	acordo	com	o	número	x	
de unidades encomendadas, por meio da se-
guinte equação:
P x
se x
x se x
( )
, .
, , . .
=
≤ ≤
− < ≤

90 500 1 000
100 0 01 1 000 3 000
O	custo	C,	 em	 reais,	 relativo	à	produção	de	 x	
unidades desse produto, é calculado pela 
equação	C	=60	x	+	10.000.
O	lucro	L,	apurado	com	a	venda	de	x	unidades	
desse produto, corresponde à diferença entre 
a receita apurada com a venda dessa quanti-
dade e o custo relativo à sua produção.
Considerando	essas	informações,	escreva	a	ex-
pressão do lucro L correspondente à venda de 
x	unidades	desse	produto	para	500	≤	x	≤	1.000	
e	para	1.000	<	x	≤	3.000.
08. Insper-SP
No	gráfico	a	seguir	estão	representadas	a	entrada	e	a	saída	de	água	da	caixa-d’água	de	um	edifí-
cio,	durante	as	24	horas	de	um	dia.	A	linha	tracejada	indica	o	fluxo	de	água	que	abastece	a	caixa-	
-d’água	e	a	linha	cheia	indica	o	fluxo	que	está	sendo	consumido.
6
5
4
3
2
1
m3/hora
Hora1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Nesse	dia,	o	horário	em	que	o	nível	da	caixa-d’água	esteve	mais	alto	ocorreu:
a. entre	0h	e	1h.
b. entre 5h e 6h.
c. entre	10h	e	11h.
d. entre 15h e 16h.
e. entre	20h	e	21h.
PV
-1
3-
14
Funções
59
Matemática
09. FGV-SP
Para determinado produto, o número de uni-
dades vendidas está relacionado com a quan-
tia gasta em propaganda, de modo que, para x 
milhares de reais investidos em propaganda, a 
receita R é dada por R x
x
( ) = −
+
50
50
5
 milhares 
de reais.
Pode-se dizer então que a receita, ainda que 
nenhuma quantia seja investida em propa-
ganda, será igual a:
a. R$	40.000,00
b. R$	50.000,00
c. R$	0,00
d. R$	10.000,00
e. R$	100.000,00
10. UFRJ
Um ponto P desloca-se sobre uma reta nume-
rada, e sua posição (em metros) em relação à 
origem é dada, em função do tempo t (em se-
gundos),	por	P(t)	=	2(1	–	t)	+	8t.
8P(t)2
Determine a posição do ponto P no instante 
inicial	(t	=	0).
11. Insper-SP modificado
A figura a seguir representa o gráfico de uma 
função	f(x),	de	grau	3	e	coeficientes	reais.
– 2 – 1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
1 32 4 x
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
10
Com	base	exclusivamente	no	gráfico	anterior,	
o número de raízes da função e o número de 
soluções	da	equação	 f(x)	=	3	são,	 respectiva-
mente:
a. 1 e 3
b. 0	e	3
c. 1 e 2
d. 0	e	4
e. 2 e 3
12. ENEM
Nos processos industriais, como na indústria 
de	 cerâmica,	 é	 necessário	 o	 uso	 de	 fornos	
capazes de produzir elevadas temperaturas 
e,	em	muitas	situações,	o	tempo	de	elevação	
desta temperatura deve ser controlado, para 
garantir a qualidade do produto final e a eco-
nomia no processo.
Em	uma	indústria	de	cerâmica,	o	forno	é	pro-
gramado para elevar a temperatura ao longo 
do tempo de acordo com a função:
T t
para t
t t para t
( )
,
,
=
+ ≤ <
− + ≥





7
5
20 0 100
2
125
16
5
320 1002
t
em que T é o valor da temperatura atingida 
pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em 
minutos, decorrido desde o instante em que o 
forno é ligado.
Uma peça deve ser colocada nesse forno quan-
do a temperatura for 48 °C e retirada quando a 
temperatura	for	200	°C.
O tempo de permanência dessa peça no forno 
deve ser, em minutos, igual a:
a. 100
b. 108
c. 128
d. 130
e. 150
13. ENEM
O termo agronegócio não se refere apenas 
à agricultura e à pecuária, pois as atividades 
ligadas a esta produção incluem fornecedo-
res de equipamentos, serviços para a zona 
rural, industrialização e comercialização dos 
produtos.
Funções
PV
-1
3-
14
60
Matemática
O gráfico seguinte mostra a participação per-
centual do agronegócio no PIB brasileiro:
30
25
20 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
21,33
27,79
25,83
23,92
24,74
26,46
22,24 22,87
23,26
25,31
28,28
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). 
Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36. Adaptado.
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual 
o orador ressaltou uma queda da participação 
do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior 
recuperação dessa participação, em termos 
percentuais. 
Segundo o gráfico, o período de queda ocor-
reu entre os anos de:
16. UFPR
100	litros	de	uma	solução	contêm	inicialmen-
te 75% de álcool e 25% de água. Indiquemos 
por	f(x)	a	concentração	de	água	nessa	solução	
após	x	litros	da	água	serem	removidos,	isto	é,
f(x) =
volume da água na solução após x litros da água serem remmovidos
volume da solução após x litros da água serem removiidos
a. Qual	o	valor	de	f(0)?
b. Obtenha	a	expressão	de	f(x)	em	termos	
de	x.
17. Unicamp-SP
Define-se	 como	ponto	 fixo	de	uma	 função	 f	o	
número	real	x	tal	que	f(x)	=	x.	Seja	dada	a	função
f x
x
( ) =
+ 
+
1
1
2
1
Calcule	os	pontos	fixos	de	f(x).
18. Insper-SP
O gráfico a seguir representa a função f(x) =
4
x
, 
definida no conjunto dos números reais posi-
tivos.
y
x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1– 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sejam a, b e c três números inteiros positivos, 
dois a dois distintos, tais que f(a), f(b) e f(c) são 
inteiros.
Então,	f(a	+	b	+	c):
a. é menor ou	igual	a	0,25.
b. é	maior	do	que	0,25	e	menor	ou	igual	
a	0,5.
c. é	maior	do	que	0,5	e	menor	ou	igual	a	
0,75.
d. é	maior	do	que	0,75	e	menor	ou	igual	a	1.
e. é maior do que 1 e menor ou igual a 1,25.
14. FGV-SP modificado
A curva de Gompertz é o gráfico de uma fun-
ção	expressa	por	N C AKt= ⋅ , em que A, C e K 
são constantes. É usada para descrever fenô-
menos como a evolução do aprendizado e o 
crescimento do número de empregados de 
muitos	tipos	de	organizações.
Suponha que, com base em dados obtidos 
em empresas de mesmo porte, o diretor de 
recursos humanos da Companhia Nacional de 
Motores (CNM), depois de um estudo estatís-
tico, tenha chegado à conclusão de que, após 
t anos, a empresa terá N t
t( ) = ⋅( )10 000 0 01 0 5. , , 
funcionários (t ≥	0).
Segundo esse estudo, o número inicial de fun-
cionários empregados pela CNM foi de:
a. 10.000
b. 200
c. 10
d. 500
e. 100
a. 1998	e	2001.
b. 2001	e	2003.
c. 2003	e	2006.
d. 2003	e	2007.
e. 2003	e	2008.
15. 
Seja f n
n
n
( ) = −
+
2 1
1
 definida no conjunto dos nú-
meros	naturais.	O	valor	de	f(2n	+ 1) é:
a. n
b. n	–	1
c. 2n	+	1
d. 2n	–	1
e. 2n
PV
-1
3-
14
Funções
61
Matemática
19. EFOMM-RJ
Sabendo-se	que	f(0)	=	3	e	 f(n	+	1)	=	 f(n)	+	7,	
então	f(201)	é	igual	a:
a. 1.206
b. 1.307
c. 1.410
d. 1.510
e. 1.606
20. EFOMM-RJ modificado
Seja a função f: � �→ (sendo  o conjunto 
dos números inteiros e Q o conjunto dos nú-
meros racionais) com a seguinte propriedade 
definida por f(x 1)+1 =
f(x 1)
f(x)
−
− −1
. Sabendo-
se que	f(0)	=	4, determine o valor de f(1).
21. 
Determine o domínio da função real definida 
por f(x) =
1
x + 1
2
 
+1.
22. 
Determine o domínio da função real definida 
por f(x) =
2
16 x +
.
23. UFRJ
Considere o programa representado pelo se-
guinte	fluxograma:
Entre com
o valor de x
Calcule
x 1−
x 1 > 1?−
Verifique
Sim Não
Calcule
2x−2
Calcule
(x + 2)1/3
Determine	os	valores	reais	de	x	para	os	quais	é	
possível	executar	esse	programa.
24. UFMG
Nesta figura, está representado o gráfico da 
função	 y	 =	 f(x),	 cujo	 domínio	 é	 o	 conjunto	
{x ; x∈ − ≤ ≤ 6 6}, e cuja imagem é o conjun-
to {y ; y∈ − ≤ ≤ 2 3}:
– 6
– 3 0
1
3
– 2
2 4
6
y
x
Sendo	g(x)	=	f(x)	+	2	e	h(x)	=	f(x+2),	faça	o	que	
se pede.
01. Determine	g(0)	e	h(0).
02. Esboce o gráfico de:
a. y	=	g(x)
b. y	=	h(x)
03. Determine	os	domínios	das	funções	g	e	h.
25. AFA-SP modificado
Considere o gráfico da função real p: A → B.
a0
− a
− c
− r
b c x
r
c
b
y = p(x)
a. Determine o domínio da função.
b. Determine o conjunto imagem da função.
26. 
Dê	o	domínio	das	seguintes	funções	reais:
a. f(x)	=	3x	–	11
b. f x
x
x
( ) =
+
+
1
2 10
c. f x x( ) = −4 2 1
d. f x
x
x
( ) =
−
−
3 64
e. f x
x
x
( ) =
−
5 3 12
Funções
PV
-1
3-
14
62
Matemática
27. UFV-MG
Para	avaliar	a	 taxa	do	nível	de	aprendizagem	
de certos animais, estudantes de psicologia 
desenvolveram	a	seguinte	experiência:	fizeram	
uma cobaia percorrer um labirinto repetidas 
vezes. Observaram que, na enésima tentativa, 
o tempo gasto, em minutos, para atravessar 
esse labirinto obedeceu à lei f dada por:
f n
n
( ) = +3
12
a. Para	quais	valores	de	n,	o	contexto	da	
experiência	f	tem	significado?
b. Quanto tempo a cobaia gastou para 
percorrer o labirinto na 2ª tentativa?
c. A partir de qual tentativa, o animal gas-
tou um tempo menor ou igual a 4 mi-
nutos para percorrer o labirinto?
d. A cobaia pode fazer o percurso todo em 
menos que 3 minutos? (Justifique a sua 
resposta.)
28. 
Determine	o	domínio	das	funções	reais	defini-
das por f x x x( ) = − − +( )2 6 9 .
29. ESPM-SP
Qual o domínio de validade da função 
f x
x
x
( ) =
+
+
1
33
 real?
30. 
Determine	o	domínio	das	funções	reais	defini-
das por f x
x
x x
( ) =
+
+ +
5 1
22
.
31. Mackenzie-SP
Se os números reais a e b são tais que a função 
f x
a bx
ax b
( ) =
+ +
−
4
2
 tem domínio 	–	{–	2}	e	f(1)	=	2,	
então	a	·	b	é igual a:
32. 
Dada a função f x
x x
x( ) =
−
+
−
+ −
1
1
1
9
22 , de-
termine o seu domínio, na forma de sentença 
matemática,	e	represente-o	no	eixo	real.
33. Mackenzie-SP
Se y
x
x
=
−
−
2 1
, então, o conjunto de todos os 
números	reais	x,	para os quais y é real, é:
a. {x	∈

	|	x	≤	0	e	x	≠	–1}
b. {x	∈

	|	x	≠	1	e	x	≠	–1}
c. {x	∈

	|	x	<	0	e	x	≠	–1}
d. {x	∈

	|	–1	<	x	<	1}
e. ∅
34. PUC-RS
A função real f é definida por f x g x( ) ( )= . A re-
presentação gráfica de g está na figura abaixo:
4
– 4
– 8
– 12
– 2– 4 2
x
4
y
0
O domínio da função f é:
a. 4
7
b. 7
6
c. 5
6
d. 
−
5
9
e. 
−
4
9
a. [–12;	4]
b. [0;	4]
c. (0;	4)
d. (–2;	2)
e. [–2;	2]
35. 
O domínio da função real definida por 
f x
x x
x x
( ) =
− +
− +
2
2
3
2 6
5 6
 é: 
a. 

	–	{2,	3}
b. 

*
c. 

d. 

*	–	{2,	3}
e. 

	–	{–2,	–3}
PV
-1
3-
14
Funções
63
Matemática
Texto	para	as	questões	36 e 37.
Durante um programa nacional de imuni-
zação contra uma forma virulenta de gripe, 
representantes do Ministério da Saúde cons-
tataram	que	o	custo	de	vacinação	de	“x”	por	
cento	da	população	era	de,	aproximadamente,		
f x
x
x
( ) =
−
150
200
	milhões	de	reais.
36. FAAP-SP
O domínio da função f é:
a. todo	número	real	x.
b. todo	número	real	x,	exceto	os	positivos.
c. todo	número	real	x,	exceto	os	negativos.
d. todo	número	real	x,	exceto	x	=	200.
e. todo	número	real	x,	exceto	x	≠	200.
37. FAAP-SP
Para	que	valores	de	x,	no	contexto	do	proble-
ma,	f(x)	tem	interpretação	prática?
38. PUC-SP
Qual o domínio da função real: f: x x→ − −( )3 21 ?
39. Unifor-CE
Se f é uma função real de variável real, tal que 
f x
f x
x
( )
( )
−
+
=
5
1
, é correto afirmar que o domínio 
de f é:
a. *
b. +
c. 
d. 	–	{5}
e. 	–	{1}
40. Fuvest-SP
Considere a função f dada por: 
f x
x
x
x
x x
( ) =
+ −
+
+
+
−
5 12
1
9
1
5
Determine o seu domínio de validade.
a. 0	≤	x	<	200
b. 0	≤	x	≤	200
c. 0	≤	x	≤	100
d. 0	<	x	<	100
e. 100	<	x	<	200
Funções
PV
-1
3-
14
64
Matemática
CAPÍTULO 02 
41. 
Esboçar o gráfico, determinar o domínio, o 
contradomínio, o conjunto imagem e classifi-
car quanto ao crescimento as seguintes fun-
ções:
a. f(x)	=	2	+	3x
b. f(x)	=	–	2
42. PUC-RS
Instrução: responder à questão com base na 
tabela a seguir, que apresenta dados sobre as 
funções	g,	h,	k,	m,	f.
t g(t) h(t) k(t) m(t) f(t)
1 23 10 2,2 –	1 4,0
2 24 20 2,5 1 4,5
3 26 29 2,8 –	2 5,5
4 29 37 3,1 2 6,5
5 33 44 3,4 –	3 7,5
6 38 50 3,7 3 8,5
A função cujo gráfico está sobre uma mesma reta é:
a. g
b. h
c. k
d. m
e. f
43. UFSM-RS
Os dados da tabela indicam a temperatura mé-
dia global nos últimos anos.
2000
Hoje
Concentração
de CO2
(em ppm)*
Temperatura
média**
Circunstância
A concentração de CO2 
atinge níveis recordes.
O Ford Modelo T dava
início à era do automóvel.
397
295
14,6°
13,6°
1900
1908
Revista Veja,	11	de	abril	de	2007.	p.	85.	Adaptado.
Suponha que a temperatura média global 
(em °C)	seja	expressa	por	f(x)	=	0,01x	+	14,6,	
sendo	 x	 em	 anos,	 x	 =	 0	 correspondente	 a	
2000,	 x	 =	 1	 correspondente	 a	 2001	 e	 assim	
por diante.
De acordo com esse modelo, a temperatura 
média	global	prevista	para	2150	é	igual	a:
a. 14,7 °C
b. 15,6 °C
c. 16,1 °C
d. 16,6 °C
e. 17 °C
44. UEL-PR
Sobre	um	polinômio	p(x)	de	grau	1,	sabe-se	que:
•	 sua raiz é igual a 2;
•	 p(–	2)	é	igual	ao	dobro	de	sua	raiz.
Nessas	condições,	é	correto	afirmar:
a. p(x)	=	–	x	+	2
b. p(x)	=	2x	–	4
c. p(x)	=	x	–	2
d. p(x)	=	x2	–	x	–	2
e. p(x)	=	–	x2	+	x	+	2
45. PUC-RS
Um ponto, ao se deslocar sobre uma reta, re-
aliza um deslocamento "d" (medido em me-
tros) proporcional ao tempo "t" (medido em 
segundos).	 Uma	 expressão	 que	 representa	
esta situação é dada por:
a. d	=	t2	+	1
b. d	=	t2
c. d	=	2t	+	1
d. d	=	2t
e. d	=	2t	–	1
46. FGV-SP
No	final	do	ano	2000,	o	número	de	veículos	
licenciados	em	uma	cidade	era	400	e,	no	final	
de	2008,	 esse	número	passou	para	560	 veí-
culos. Admitindo que o gráfico do número de 
veículos em função do tempo seja formado 
por pontos situados em uma mesma reta, po-
demos	afirmar	que,	no	final	de	2010,	o	número	
de veículos será igual a:
a. 580
b. 590
c. 600
d. 610
e. 620
PV
-1
3-
14
Funções
65
Matemática
47. PUC-SP
Um	 grupo	 de	 amigos	 “criou”	 uma	 nova	 uni-
dade de medida para temperaturas: o grau 
Patota. Estabeleceram, então, uma correspon-
dência entre as medidas de temperaturas em 
graus Celsius (°C), já conhecida, e em graus Pa-
tota	(°P),	mostrada	na	tabela	abaixo:
°C °P
20 40
60 48
Lembrando	que	a	água	ferve	a	100	°C,	então,	
na unidade Patota ela ferverá a:
a. f é crescente, ∀ x	∈.
b. 3
4
	é	raiz	da	equação	f(x)	=	0.	
c. o ponto	 (–10;	 41)	 pertence	 ao	 gráfico	
de f.
d. f(x)	<	0	se	x	< 1
4
e. f(x)	≤	0	se	x	≥	–	1
4
50. Mackenzie-SP
Considere as sentenças	abaixo,	relativas	à	fun-
ção	y	=	f(x)	,	definida	no intervalo 
−



3
11
2
, e 
representada, graficamente, na figura.
y
x
3
3
1 2 4
2
– 3
– 2
– 1 11
2
I. Se	x	<	0,	então	f(x)	<	0
II. f(1)	+	f(3)	=	f(4)
III. A	imagem	de	f	é	o	intervalo	[–	4,	3].
É correto afirmar que:
a. apenas III é verdadeira.
b. apenas I e II são verdadeiras.
c. apenas I e III são verdadeiras.
d. apenas II e III são verdadeiras.
e. todas as sentenças são verdadeiras.
51. ENEM
As frutas que antes se compravam por dúzias, 
hoje em dia, podem ser compradas por qui-
logramas,	 existindo	 também	 a	 variação	 dos	
preços de acordo com a época de produção. 
Considere que, independentemente da épo-
ca ou da variação de preço, certa fruta custa 
R$ 1,75 o quilograma.
a. 96°
b. 88°
c. 78°
d. 64°
e. 56°
48. UFSM-RS
O gráfico a seguir mostra a evolução das notas 
em matemática de dois grupos de estudantes, 
denominados grupo I e grupo II.
0 2010200920082007 Ano
90
85
80
75
70
65
60
Nota
Grupo I
Grupo II
Analisando o gráfico e considerando o período 
de	2007	a	2010,	é	possível	afirmar:
a. Os dois grupos melhoraram as notas.
b. A	nota	do	grupo	I,	em	2008,	foi	80.
c. A	nota	do	grupo	I	aumentou	de	2008	a	
2009	e	diminuiu	de	2009	a	2010.
d. A nota do grupo II não sofreu alteração.
e. A nota do grupo I aumentou, enquanto 
a nota do grupoII diminuiu.
49. FGV-SP
Seja a função f, de  em ,	dada	por	f(x)	=	kx	+	t,	
onde k e t são constantes reais. Se os pontos 
(–1,	 3)	 e	 (0,	 –1)	 pertencem	 ao	 gráfico	 de	 f,	
então:
Funções
PV
-1
3-
14
66
Matemática
Dos gráficos a seguir, o que representa o preço 
m pago em reais pela compra de n quilogra-
mas desse produto é:
a. 
1,75
1 n
m
b. 
1,75
n
m
c. 
1,75
1 n
m
d. 
1,75
1 n
m
e. 
1,75
1 n
m
52. Unicamp-SP
O	custo	de	uma	corrida	de	 táxi	é	constituído	
por	um	valor	inicial	fixo,	Q0, mais um valor que 
varia	proporcionalmente	à	distância	D	percor-
rida nesta corrida. Sabe-se que, em uma corri-
da na qual foram percorridos 3,6 km, a quantia 
cobrada foi de R$ 8,25, e que em outra corrida, 
de 2,8 km, a quantia cobrada foi de R$ 7,25.
a. Calcule o valor inicial Q0.
b. Se,	em	um	dia	de	trabalho,	um	taxista	
arrecadou	 R$	 75,00	 em	 10	 corridas,	
quantos quilômetros seu carro percor-
reu naquele dia?
53. ENEM
Uma indústria fabrica um único tipo de pro-
duto e sempre vende tudo o que produz. O 
custo total para fabricar uma quantidade q 
de produtos é dado por uma função, simbo-
lizada por CT, enquanto o faturamento que a 
empresa obtém com a venda da quantidade 
q também é uma função, simbolizada por FT. 
O lucro total (LT) obtido pela venda da quan-
tidade	q	de	produtos	é	dado	pela	expressão	
LT(q)	=	FT(q)	–	CT(q).
Considerando-se	 as	 funções	 FT(q)	 =	 5q	 e	
CT(q)	 =	 2q	 +	 12	 como	 faturamento	 e	 custo,	
qual a quantidade mínima de produtos que 
a indústria terá de fabricar para não ter pre-
juízo?
a. 0
b. 1
c. 3
d. 4
e. 5
PV
-1
3-
14
Funções
67
Matemática
54. Sistema COC
Com a crescente concentração de veículos nas 
regiões	 centrais	 das	 grandes	 cidades,	 é	 cada	
vez mais comum a utilização de estacionamen-
tos	privados.	Então,	se	um	deles	cobra	R$	5,00	
pela	primeira	hora	e	R$	0,05	para	cada	minu-
to	excedente,	o	gráfico	que	pode	descrever	o	
preço a ser pago é:
a. 
t (min)
Pr
eç
o 
(R
$)
5
60
b. 
t (min)
Pr
eç
o 
(R
$)
5
6030
c. 
Pr
eç
o 
(R
$)
5
60 90 t (min)
d. 
Pr
eç
o 
(R
$)
5
60 t (min)
e. 
Pr
eç
o 
(R
$)
5
60 t (min)
55. UEL-PR
Os produtos farmacêuticos devem especifi-
car as dosagens recomendadas para uso de 
adultos e de crianças. As fórmulas a seguir 
são utilizadas para modificar a dosagem de 
uso dos adultos para a dosagem de uso por 
crianças (y).
Fórmula A: y t a= ⋅ +( )⋅1
24
1
Fórmula B: y t a= ⋅ ⋅
1
21
Onde a denota a dosagem de adulto em mili-
gramas e t a idade da criança em anos.
Assinale a alternativa que apresenta a idade 
da criança na qual as duas fórmulas especifi-
cam a mesma dosagem.
a. 2 anos
b. 6 anos
c. 7 anos
d. 8 anos
e. 10	anos
56. Mackenzie-SP
9600
x
y
y = R(x)
y = C(x) = 2.400 + 5,5 x
Número de CDs
A	figura	mostra	os	gráficos	das	funções	custo	
total	C(x)	e	receita	total	R(x)	de	uma	empresa	
produtora de CDs. Se, produzindo e comercia-
lizando	960	CDs,	o	custo	e	a	receita	são	iguais,	
o	lucro	pela	venda	de	2.000	CDs	é:
Funções
PV
-1
3-
14
68
Matemática
a imagem	do	 intervalo	fechado	[–1,	 3],	 isto	é,	
Im([–1,	3]),	é	dada	por:
a. {1}	∪	{y	∈P: 3 < y ≤	5}
b. {y	∈P: 3 < y ≤	5}
c. {1}	∩	{y	∈P: 3 ≤ y ≤	5}
d. {y	∈P: y ≥	3}
e. {y	∈P:	–	2	<	y	≤	5}
60. Fuvest-SP
Uma função f satisfaz a identidade f(a . x)	=	a	. f(x)	
para	todos	os	números	reais	a	e	x.	Além	disso,	
sabe-se	que	f(4)	=	2.	Considere	ainda	a	função	
g(x)	=	f(x	–	1)	+	1	para	todo	o	número	real	x.
a. Calcule g(3).
b. Determine	f(x),	para	todo	x	real.
c. Resolva	a	equação	g(x)	=	8.
61. 
Esboçar o gráfico, apresentar seu domínio e 
determinar o conjunto imagem da função real 
definida por f(x)	=	x2	–	10x	+	25.
62. 
Encontre os valores de a, b e c da função 
f(x)	=	ax2	+	bx	+	c,	representada	a	seguir.
10x1 3 x
5
y
63. 
Determine o conjunto imagem da função do 
2o grau representada	pelo	gráfico	abaixo.
– 1 0 x
3
y
a. 1.400
b. 2.500
c. 3.000
d. 2.600
e. 1.580
57. ENEM
O prefeito de uma cidade deseja construir 
uma rodovia para dar acesso a outro muni-
cípio. Para isso, foi aberta uma licitação na 
qual concorreram duas empresas. A primeira 
cobrou	R$	100.000,00	por	km	construído	(n),	
acrescidos	de	um	valor	fixo	de	R$	350.000,00,	
enquanto	 a	 segunda	 cobrou	 R$	 120.000,00	
por km construído (n), acrescidos de um va-
lor	 fixo	de	R$	150.000,00.	As	duas	empresas	
apresentam o mesmo padrão de qualidade 
dos serviços prestados, mas apenas uma delas 
poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação 
possibilitaria	 encontrar	 a	 extensão	 da	 rodovia	
que tornaria indiferente para a prefeitura esco-
lher qualquer uma das propostas apresentadas?
a. 100n	+	350	=	120n	+	150
b. 100n	+	150	=	120n	+	350
c. 100(n	+	350)	=	120(n	+	150)
d. 100(n	+	350.000)	=	120(n	+	150.000)
e. 350(n	+	100.000)	=	150(n	+	120.000)
58. FGV-SP
Chama-se custo médio de produção o custo 
total dividido pela quantidade produzida.
Uma fábrica de camisetas tem um custo total 
mensal	dado	por	C	=	F	+	8	 .	 x,	em	que	x	é	a	
quantidade	produzida,	e	F	o	custo	fixo	mensal.	
O	custo	médio	de	fabricação	de	500	unidades	
é	R$	12,00.	Se	o	preço	de	venda	for	R$	15,00	
por camiseta, qual o lucro mensal da fabrica-
ção	da	venda	de	600	unidades?	
59. UEL-PR
Seja f: A → B uma função e D um subconjunto 
de A. A imagem de D pela função f é o con-
junto	definido	e	denotado	por	Im(D)	=	{y	∈B: 
existe	 x	∈D	tal	que	f(x)	=	y}.	Quando	a	 função	
f: P → P for definida por:
f x
x se x
se x
x se x
( ) =
+ >
− ≤ ≤
− + < −



2 1
1 1 1
1 1
PV
-1
3-
14
Funções
69
Matemáti ca
64. 
Qual	 das	 funções	 reais	 definidas	 abaixo	 tem	
como gráfico a parábola representada na figu-
ra	abaixo?
A
0 B x
y
a. y =	x2	+	7x	+	10
b. y	=	x2	–	7x	+	10
c. y	=	–	x2	+	x
d. y	=	x2	+	x
e. y	=	x2	–	2	. x	
65. Cefet-SP
Um avião sobrevoou um campo onde havia um 
alvo	 desenhado.	 Quando	 estava	 exatamente	
25 m acima do alvo, soltou uma bomba que 
caiu em queda livre formando uma trajetória 
parabólica. Se a bomba caiu 5 m distante do 
alvo, qual a função que descreve a trajetória 
da bomba?
y
x50
25 m
a. y	=	–	x2	+	25
b. y	=	x2	–	25
c. 	y	=	x2	–	10x	+	25
d. y	=	–	x2	+	10x	–	25
e. y	=	–	10x2	+	50x	–	60
66. Mackenzie-SP
Na	figura,	temos	o	gráfico	de	y	=	x2	–	2px,		de	
vértice	A.	A	área	do	triângulo	OAB	é:
y
x0
– 1
A
B
67. FURB-SC
O	gráfico	abaixo	representa	uma	função	qua-
drática:	y	=	ax2	+	bx	+	c.	Os	valores	de	a,	b	e	c,	
repectivamente, são:
y
x
0 1 2
– 1
a. –1,	–2	e	–1
b. 1,	–2	e	1
c. 	–1,	–2	e	1
d. –1,	2	e	–1
e. 1, 2 e 1
68. ESPM-SP
O	 gráfico	 abaixo	 representa	 a	 função	 real	
f(x)	=	x2	+	kx	+	p,	com	k	e	p	reais.	O	valor	de	
p	–	k	é:
4
x
y
f(1)21 
a. 2
b. 3
2
c. 4
d. 4
3
e. 1
a. –12	
b. 15
c. 18
d. –18
e. 3
Funções
PV
-1
3-
14
70
Matemática
69. Insper-SP
O	gráfico	da	função	dada	pela	lei	y	=	ax2	+	bx	+	c,	
com a ≠	0,	é	a	parábola	esboçada	abaixo,	que	
tem vértice no ponto V. A partir do esboço, 
pode-se concluir que:
x
y
V
0
a. a	>	0,	b	>	0	e	c	>	0
b. a	>	0,	b	>	0	e	c	<	0
c. a	>	0,	b	<	0	e	c	>	0
d. a	>	0,	b	<	0	e	c	<	0
e. a	<	0,	b	<	0	e	c	<	0
70. FGV-SP
O	gráfico	de	uma	função	quadrática	f(x)	tem	as	
seguintes características:
•	 o	vértice	é	o	ponto	(4;	–1);
•	 intercepta	o	eixo	das	abscissas	no	pon-
to	(5;	0).
O	ponto	de	intersecção	do	gráfico	com	o	eixo	
das ordenadas é:
a. (0;	14)
b. (0;	15)
c. (0;	16)
d. (0;	17)
e. (0;	18)
71. Mackenzie-SP
x
y
0 k
Na figura, temos os esboços dos gráficos das 
funções	f(x)	=	4	–	x2e	g(x)	=	x2	–	4x	+	m,	que	se	
interceptam em um único ponto de abscissa k. 
O	valor	de	k	+	m	é:
a. 8
b. 6,5
c. 5,5
d. 7
e. 6
72. UEL-PR
Considere a função real definida por 
f(x)	=	ax2	+	bx	+	c,
cujo gráfico é o seguinte:
x
y
Com	base	na	situação	exposta	e	nos	conheci-
mentos sobre o tema, considere as seguintes 
afirmativas:
I. D	=	b2	–	4ac	>	0
II. a(b	+	c)	>	0
III. f
b a
a
f
b a
a
− +  =
− − 
2
2
2
2
IV. a ∆ > 0
Assinale a alternativa que contém todas as 
afirmações	corretas.
a. I e III
b. III e IV
c. I, II e III
d. I, II e IV
e. II, III e IV
73. UFF-RJ
Se um cabo suporta um peso homogêneo mui-
to maior que o seu próprio peso, ele toma a 
forma de uma parábola.
As torres AD e BC de uma ponte pênsil medem 
200	m	e	são	perpendiculares	à	pista	de	rola-
PV
-1
3-
14
Funções
71
Matemática
mento CD	que	mede	1.000	m.	O	cabo	de	sus-
tentação preso às torres nos pontos A e B tem 
a forma de uma parábola com vértice no pon-
to médio O de CD, conforme a figura a seguir.
200 m
x
y
0
200 m
A
E
D
B
CF
1.000 m
a. Determine,	em	relação	ao	sistema	Oxy,	
a equação da parábola de vértice O que 
passa pelos pontos A e B.
b. Se o fio de aço EF de 72 m de compri-
mento é preso ao cabo de sustentação 
no ponto E e é perpendicular à pista de 
rolamento no ponto F (conforme mos-
tra a figura), calcule a medida de FC.
74. UFSCar-SP
A figura representa, em sistemas coordenados 
com	a	mesma	escala,	os	gráficos	das	funções	
reais	f	e	g,	com	f(x)	=	x2	e	g(x)	=	x.
f(x)
0 k 2k x 0 x
T
g(x)
Sabendo que a região poligonal T demarca um 
trapézio	de	área	igual	a	120,	o	número	real	k	é:
76. UFF-RJ modificado
A relação entre o preço p de determinado pro-
duto e a quantidade q disponível no mercado 
obedece à seguinte lei: 5q	=	p2	+	2p	–	3,	sendo	
p e q quantidades positivas e q ∈	[1,	9	].
Determine	 uma	 expressão	 que	 defina	 p	 em	
função de q.
77. Unicamp-SP
A	função	y	=	ax2	+	bx	+	c,	com	a	≠	0,	é	chama-
da função quadrática. Encontre a função qua-
drática	cujo	gráfico	passa	pelos	pontos	A(0,	2),	
B(–1,	1)	e	C(1,	1).
78. Unifesp
A	tabela	mostra	a	distância	s	em	centímetros	
que uma bola percorre descendo por um pla-
no inclinado em t segundos.
t 0 1 2 3 4
s 0 32 128 288 512
A	distância	s	é	função	de	t	dada	pela	expressão	
s(t)	=	at2	+	bt	+	c,	onde	a,	b,	c	são	constantes.	
A	distância	s	em	centímetros,	quando	t	=	2,5	se-
gundos, é igual a:
a. 248
b. 228
c. 208
d. 200
e. 190
79. Fuvest-SP
Suponha que um fio suspenso entre duas colu-
nas	da	mesma	altura	h,	situadas	à	distância	d	
(ver figura), assuma a forma de uma parábola.
h h
a
Suponha também que:
I. a altura mínima do fio ao solo seja igual 
a 2;
II. a altura do fio sobre um ponto no solo 
que dista d
4
 de uma das colunas seja 
igual a h
2
.
a. 0,5
b. 1
c. 2
d. 1,5
e. 2
75. Fuvest-SP modificado
No	plano	 cartesiano	Oxy,	 considere	 a	 função	
de	equação	f(x)	=	–	4x2	+	8x	+	12	e	a	função	de	
equação	g(x)	=	3x	+	6.	Determine:
a. os pontos A e B, de intersecção da fun-
ção	f(x)	com	o	eixo	coordenado	Ox.
b. o ponto C, de abscissa positiva, que 
pertence	à	intersecção	de	f(x)	com	g(x).
(Sugestão: O ponto de intersecção de dois grá-
ficos	 representa	 um	par	 ordenado	 (x;	 y),	 em	
que	x	é	elemento	do	domínio	e	y	a	respectiva	
imagem	simultaneamente	das	duas	funções.)
Funções
PV
-1
3-
14
72
Matemática
Se h d= 38
, então d vale:
a. Quais	são	os	valores	extremos	da	função?
b. Em que valores do domínio ocorrem o 
valor	máximo	e	o	valor	mínimo?
82. 
Determine	o	valor	máximo	da	função	real	defi-
nida	por	f(x)	=	–	x2	+	80	.	x.
83. Ibmec-SP modificado
Uma companhia de telefonia celular está pro-
curando o melhor ponto de um determinado 
quarteirão retangular de São Paulo para insta-
lar uma antena de comunicação. O alcance es-
férico r de uma antena como esta é dado como 
função da altura c que a antena dista do chão 
através da função
r	=	34c	–	c2
Considere que as grandezas c e r são dadas em 
metros.
A que altura a antena deve ser instalada para 
se obter o maior alcance esférico?
84. UFU-MG
Considere uma parábola e uma reta descri-
tas	 respectivamente	 pelas	 equações	 y	 =	 x2 e 
y	 =	 2x	 –	 3.	 Dentre	 todos	 os	 segmentos	 com	
extremidades	na	parábola	e	reta	dadas,	sendo	
esses	segmentos	paralelos	ao	eixo	das	ordena-
das y, determine o de menor comprimento.
85. Unifei-MG
Considere	a	figura	abaixo,	em	que	os	lados	do	
retângulo	medem	10	e	3x	metros,	e	determine	
para a área hachurada:
a. a	função	de	x	que	fornece	a	área;
b. o	valor	de	x	para	que	a	área	seja	máxima;
c. o	valor	da	área	máxima.
a. 14
b. 16
c. 18
d. 20
e. 22
80. FGV-SP
Sejam	 f	 e	 g	 funções	 quadráticas,	 com	 
f(x)	=	ax2 +	bx	+	c.	Sabe-se	que	o	gráfico	de	
g	é	simétrico	ao	de	f	em	relação	ao	eixo	y,	
como mostra a figura.
 
y
x
fg
Os pontos P e Q localizam-se nos maiores ze-
ros	das	funções	f	e	g,	e	o	ponto	R	é	o	intercep-
to	de	 f	e	g	com	o	eixo	y.	Portanto,	a	área	do	
triângulo	PQR,	em	função	dos	parâmetros	a,	b	
e c da função f, é:
a. ( )a b c− ⋅
2
b. ( )a b c+ ⋅
2
c. 
−
⋅ ⋅a b c
2
d. 
−
⋅
⋅
b c
a2
e. c
a
2
2 ⋅
81. UFMG modificado
Nesta figura, está representado o gráfico da 
função	y	=	 f(x),	 cujo	domínio	é	o	conjunto	 
{x	∈:	–	6	≤	x	≤	6}	e	cuja	imagem	é	o	con-
junto	{y	∈

:	–	2	≤ y ≤	3}:
– 6
– 3 0
1
3
– 2
2 4
6
y
x
PV
-1
3-
14
Funções
73
Matemática
86. ESPM-SP
O	 preço	 cobrado	 por	 um	 lote	 de	 x	 unida-
des de uma certa peça é dado pela função 
p x x x( ) = − +
2
5 2 15
, em milhares de reais. Um 
comerciante	precisa	adquirir	30	unidades	des-
sa peça. Ele fará maior economia se dividir sua 
compra em:
a. 6 lotes de 5 peças.
b. 4	lotes	de	5	e	1	lote	de	10	peças.
c. 2	lotes	de	10	e	2	lotes	de	5	peças.
d. 3	lotes	de	10	peças.
e. 2 lotes de 15 peças.
87. PUC-SP
Considere que o material usado na confecção 
de um certo tipo de tapete tem um custo de 
R$	40,00.	O	fabricante	pretende	colocar	cada	
tapete	à	venda	por	x	reais	e,	assim,	conseguir	
vender	(100	–	x)	tapetes	por	mês.	Nessas	con-
dições,	 para	 que,	 mensalmente,	 seja	 obtido	
um	lucro	máximo,	cada	tapete	deverá	ser	ven-
dido por:
a. R$	55,00
b. R$	60,00
c. 	R$	70,00
d. R$	75,00
e. R$	80,00
88. Insper-SP
Considere a função:
f x x( ) = − −1 12
2
Determine	o	menor	 e	 o	maior	 valor	 que	 f(x)	
assume, ou seja, determine o valor mínimo e 
o	valor	máximo	do	conjunto	imagem	de	f(x).
89. UEM-PR
Um artesão produz lembranças que vende a tu-
ristas	por	x	reais	cada	uma.	Com	esse	preço,	ele	
sabe,	por	experiência,	que	seu	 lucro	mensal	é	
obtido	da	expressão	L(x)	=	400	·	(15	–	x)	·	(x	–	3).	
Determine, em reais, o preço pelo qual ele de-
verá vender cada lembrança para obter o maior 
lucro mensal possível.
90. Uespi
A função f, definida em 	por	f(x)	=	x2	–	6x	+	(k	–	1),	
tem	ponto	de	mínimo	P(3,	–	1).	Nessas	condi-
ções	o valor de k é: 
a. 7
b. 8
c. 9
d. 10
e. 11
91. Espcex-SP modificado
Dada	 a	 expressão	
1
3
4 2 
−x x
,	 em	 que	 x	 é	 um	
número real qualquer, podemos afirmar que:
a. o	maior	valor	que	a	expressão	pode	as-
sumir é 3.
b. o	 menor	 valor	 que	 a	 expressão	 pode	
assumir é 3.
c. o	 menor	 valor	 que	 a	 expressão	 pode	
assumir é 1
81
.
d. o	maior	valor	que	a	expressão	pode	as-
sumir é 1
27
.
e. o	 menor	 valor	 uqe	 a	 expressão	 pode	
assumir é 1
9
.
92. Unimontes-MG
Uma	indústria	fabrica	x	peças	por	dia.	O	pre-
ço total da produção é R x x$
2
4 35 25+ +
  e o 
de venda de uma peça é R x$ 50 12−
  . Qual 
é a produção diária dessa indústria, para que 
se	 obtenha	 um	 lucromáximo	na	 venda	 de	 x	
peças?
a. 10	peças	por	dia
b. 71 peças por dia
c. 50	peças	por	dia
d. 15 peças por dia
93. Insper-SP
Considere a função f x
x se x p
x se x p
( )
,
,
=
− ≤
− >

9
3
2
, em 
que p é uma constante real. 
a. Desenhe, no plano cartesiano dado a 
seguir,	o	gráfico	de	f(x)	para	o	caso	em	
que	p	=	3.
Funções
PV
-1
3-
14
74
Matemática
– 2– 3– 4– 5– 6 – 1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
– 9
10 32 4 5 6 x
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
b. Determine p	 de	modo	 que	 o	máximo	
valor	atingido	pela	função	f(x)	seja	igual	
a 5.
94. UFSM-RS
Segundo especialistas, a agricultura será bas-
tante afetada com o aquecimento global. Além 
de mais calor e menos chuvas, as lavouras so-
frerão com as pragas. Suponha que o número 
de pragas em uma determinada plantação, 
após aplicado um certo produto químico, seja 
dado por:
N(t)	=		–	5t2	+	100t	+	625
sendo	t	em	dias	e	t	=	0	o	início	da	aplicação.
Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) em cada 
uma	das	afirmações	a	seguir.
( ) O	número	máximo	de	pragas	é	625.
( ) O	 número	 máximo	 de	 pragas	 ocorre	
após	 10	 dias	 de	 aplicação	 do	 produto	
químico e é igual a 1.125.
( ) Após 25 dias de aplicação do produto 
químico, as pragas são dizimadas.
( ) Logo após a aplicação do produto quími-
co, o número de pragas começa a dimi-
nuir.
A sequência correta é:
a. F	–	V	–	V	–	F
b. V	–	F	–	F	–	F
c. F	–	V	–	F	–	V
d. V	–	F	–	V	–	V
e. V	–	V	–	V	–	F
95. Vunesp
Considere	um	retângulo	cujo	perímetro	é	10	cm	e	
em	que	x	é	a	medida	de	um	dos	lados.	Determine:
a. a	área	do	retângulo	em	função	de	x;
b. o	valor	de	x	para	o	qual	a	área	do	retân-
gulo	seja	máxima.
96. 
Determine	 o	 ponto	 extremo	 do	 gráfico	 da	
função	real	definida	por	y	=	x2	–	3x	+	2.
97. UFF-RJ
A tabela a seguir mostra as estatísticas de três 
times num torneio de futebol.
Time
Gols 
sofridos 
GS
Finalizações 
em gol FG
Gols a 
favor 
GF
Campestre 2 48 12
Praiano 6 50 13
Serrano 3 35 9
Não satisfeito com o resultado do torneio, João 
criou, para cada time, a função quadrática:
P x x x( ) = −( ) + + +( )  ∈12 2
2 2GS FG GF 
substituindo GS, FG e GF pelos valores corres-
pondentes na tabela. Segundo o critério de 
João, o desempenho de cada time é represen-
tado	pelo	valor	mínimo	de	P(x),	de	modo	que,	
quanto	maior	o	valor	mínimo	de	P(x),	melhor	
será o desempenho do time correspondente.
Considerando a função quadrática correspon-
dente a cada time da tabela e o critério de 
João, pode-se afirmar que:
a. Praiano obteve o melhor desempenho.
b. Serrano obteve o melhor desempenho.
c. Campestre obteve o melhor desempenho.
d. Serrano e Praiano ficaram com o segun-
do e terceiro lugares, respectivamente, 
em termos de seus desempenhos.
e. Praiano e Campestre ficaram com o se-
gundo e terceiro lugares, respectivamen-
te, em termos de seus desempenhos.
PV
-1
3-
14
Funções
75
Matemática
98. UFSM-RS
Durante um passeio noturno de barco, diver-
são preferida de um grupo de jovens, surgiu 
uma situação de perigo, em que houve neces-
sidade de disparar um sinalizador para avisar o 
restante do grupo que ficara no acampamen-
to. A função que descreve o movimento do si-
nal	luminoso	é	dada	por	h(t)	=	30t	–	3t2, onde 
h é a altura do sinal em metros e t, o tempo 
decorrido em segundos, desde o disparo até 
o momento em que o sinalizador cai na água. 
Assim,	a	altura	máxima	atingida	pelo	sinaliza-
dor e o tempo decorrido até cair na água são, 
respectivamente:
a. 75	m	e	10	s
b. 75 m e 5 s
c. 74	m	e	10	s
d. 74 m e 5 s
e. 70	m	e	5	s
99. FGV-SP
Para uma determinada viagem, foi fretado um 
avião	com	200	lugares.	Cada	pessoa	deve	pagar	
R$	300,00	mais	a	taxa	de	R$	6,00	para	cada	lu-
gar que ficar vago.
a. Qual a receita arrecadada se compare-
cerem	150	pessoas	para	a	viagem?
b. Qual	 a	 máxima	 receita	 que	 pode	 ser	
arrecadada	nas	condições	do	problema?
100. UFJF-MG
Um clube recreativo vai colocar piso numa área 
externa	retangular	e	vai	cercar	as	laterais	com	
uma	 tela,	 com	 exceção	 de	 uma	 abertura	 de	
entrada. Essa área está representada na figura 
abaixo	com	suas	dimensões	dadas,	em	metros,	
em função do comprimento L. A empresa con-
tratada	para	o	serviço	cobra	R$	10,00	por	metro	
quadrado	de	piso	e	R$	2,50	por	metro	colocado	
de	tela.	A	expressão	que	fornece	o	preço	total	
do serviço, em função do comprimento L, é:
L
L
5
L
2Entrada
a. 10L2	+	5L
b. 5L2	+	7L
c. L2	+	14L	
d. 10L2	+	L	
e. 5L2	+	7,5L
101. UFBA
v(t)
200
100
0 10 20 t
O gráfico representa uma projeção do valor 
de mercado, v(t), de um imóveI, em função do 
tempo t, contado a partir da data de conclusão 
de sua construção, considerada como a data 
inicial	t	=	0.	O	valor	v(t)	é	expresso	em	milhares	
de reais, e o tempo t, em anos.
Com base nesse gráfico, sobre o valor de mer-
cado projetado v(t), pode-se afirmar: 
01. Aos dez anos de construído, o imóvel 
terá	valor	máximo.
02. No vigésimo quinto ano de construído, o 
imóvel terá um valor maior que o inicial.
 04. Em alguma data, o valor do imóvel cor-
responderá a 37,5% do seu valor inicial.
 08. Ao completar vinte anos de construído, 
o imóvel voltará a ter o mesmo valor 
inicial.
 16. Se	v(t)=	200	 ·	2
10
100
2
−
−( )t
, então, ao com-
pletar trinta anos de construído, o valor 
do imóvel será igual a um oitavo do seu 
valor inicial.
102. UFPE
Um laboratório farmacêutico, após estudo do 
mercado, verificou que o lucro obtido com a 
venda	de	x	milhares	do	produto	A	era	dado	pela	
fórmula:	L	(x)	=	100	·	(12.000	–	x)	·	(x	–	4.000).
Analisando-se	as	afirmações,	tem-se	que:
Funções
PV
-1
3-
14
76
Matemática
( ) o laboratório terá lucro para qualquer 
quantidade vendida do produto A.
( ) o laboratório terá lucro se vender mais 
de	4.000	e	menos	de	12.000	unidades	
do produto A.
( ) se	o	laboratório	vender	mais	de	12.000	
unidades do produto A, ele terá prejuízo.
( ) o	 lucro	do	 laboratório	será	máximo	se	
forem	vendidas	8.000	unidades	do	pro-
duto A.
( ) se	o	laboratório	vender	4.000	unidades	
do produto A, não terá lucro.
103. Mackenzie-SP
A	figura	mostra	os	gráficos	de	y	=	x2	e	y	=	–	x2	+	p.	
A medida de AB é:
2
A
B
0 x
y
a. 2 5
b. 4 5
c. 6
d. 3 6
e. 5 2
104. UFMT
Em uma partida do campeonato mato-gros-
sense de futebol, um goleiro bateu um tiro de 
meta e a bola descreveu uma trajetória cuja 
equação	é	h(t)	=	–2t2	+	6t,	em	que	t	é	o	tem-
po medido em segundos e h(t) é a altura, em 
metros, da bola no instante t. A partir desses 
dados, julgue os itens.
( ) A trajetória descrita pela bola é uma 
parábola de concavidade voltada para 
baixo.
( ) A	altura	máxima	atingida	pela	bola	é	6	
metros.
( ) A bola toca o solo 3 segundos após o 
lançamento.
105. UERJ
Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 
0	e,	em	seguida,	toca	o	solo	nos	pontos	A	e	B,	
conforme	 representado	no	 sistema	de	eixos	
ortogonais.
C
0 A B
D
35 x (m)
y (m)
Durante sua trajetória, a bola descreve duas 
parábolas com vértices C e D. A equação de 
uma dessas parábolas é:
y x x= − +
2
75
2
5
Se	a	abscissa	de	D	é	35	m,	a	distância	do	ponto	
0	ao	ponto	B,	em	metros,	é	igual	a:
a. 38
b. 40
c. 45
d. 50
106. ESPM-SP
Na	figura	abaixo,	fazendo-se	o	valor	de	x	variar	
de	0	a	4,	a	área	da	região	sombreada	também	
varia.	O	 valor	máximo	 que	 essa	 área	 poderá	
ter é:
2x
4
8
x
a. 30
b. 24
c. 	20
d. 18
e. 16
PV
-1
3-
14
Funções
77
Matemática
107. 
Para promover um baile, um clube fez o se-
guinte levantamento de gastos:
Banda R$	3.000,00
Decoração R$	2.400,00
Iluminação R$	400,00
Além dos gastos acima, o buffet	cobrará	R$	35,00por pessoa. O preço do convite individual é 
R$	70,00.	O	número	mínimo	de	convites	que	
o clube deve vender para que o baile não dê 
prejuízo é:
a. 165
b. 166
c. 168
d. 170
e. 175
108. Ufla-MG
A superfície de uma rampa de skate tem o for-
mato de uma parábola, cuja equação é do tipo 
y x ax a= − −( )14 22 2 . A altura h da rampa é:
 
 
5 m
1 m
h
x
y
14,4 cm e que a altura dos postes é de 9 m, 
então é correto afirmar que o ponto mais bai-
xo	do	cabo,	com	relação	ao	solo,	ficará	a	uma	
altura de:
a. 7,35 m
b. 8,6 m
c. 8,35 m
d. 7,6 m
e. 8,3 m
110. ESPM-SP
Um sitiante quer construir, ao lado de um 
muro retilíneo, dois viveiros retangulares para 
a criação de galinhas e patos, sendo que a área 
destinada	 aos	 patos	 (P)	 tem	 de	 ter	 40	m2 a 
mais que a destinada às galinhas (G). Para isso, 
ele	dispõe	de	60	metros	lineares	de	uma	tela	
apropriada, que deverá ser usada para as cer-
cas	AB,	CD,	EF	e	BF,	conforme	a	figura	abaixo.
A
B D F
C
G P
E
Muro
Para conseguir a maior área possível para os 
viveiros, a medida DF deverá ser de:
a. 3 m
b. 4 m
c. 5 m
d. 3,5 m
e. 6 m
109. UFMS
Um cabo está suspenso entre dois postes de 
mesma	altura	e	que	distam	20	m	entre	si.
2 m
14,4 cm
20 m
9 m
O cabo foi feito com um material especial, de 
modo que a curva por ele representada é uma 
parábola.	Sabendo-se	que	a	flexão	do	cabo	a	
uma	distância	de	2	m	de	um	dos	postes	é	de	
a. 15 metros.
b. 16 metros.
c. 17 metros.
d. 18 metros.
e. 19 metros.
111. Vunesp
Suponha que um projétil de ataque partiu da 
origem do sistema de coordenadas cartesianas, 
descrevendo uma parábola, conforme a figura.
y
x
45
25
0 5 6 15 Alvo
a. Sabendo-se que o vértice da parábola 
do projétil de ataque é dado pelas coor-
denadas (15, 45) e baseado nos dados 
da figura, calcule a equação da parábo-
la do projétil de ataque.
Funções
PV
-1
3-
14
78
Matemática
b. Um projétil de defesa é lançado a partir 
das	coordenadas	(6,	0)	e	sua	trajetória	
também descreve uma parábola se-
gundo	a	equação	y	=	–	0,25x2	+	9x	–	45.	
Considerando-se que o projétil de defe-
sa atingirá o projétil de ataque, calcule 
as coordenadas onde isto ocorrerá e 
diga se o alvo estará a salvo do ataque.
112. 
Considere	a	expressão	E
x x
=
− −
10
4 52
, deter-
mine	o	valor	de	x	que	dá	o	maior	valor	possível 
para E e, em seguida, encontre este valor de E.
113. Fuvest-SP
Num terreno,	na	forma	de	um	triângulo	retân-
gulo	com	catetos	de	medidas	20	e	30	metros,	
deseja-se construir uma casa retangular de di-
mensões	x	e	y,	como	indicado	na	figura.
30 m
y
x
20 m
a. Exprima	y	em	função	de	x.
b. Para	que	valores	de	x	e	de	y,	a	área	ocu-
pada	pela	casa	será	máxima?
114. UEL-PR
Para um certo produto comercializado, a fun-
ção receita e a função custo estão representa-
das	a	seguir	em	um	mesmo	sistema	de	eixos,	
onde q indica a quantidade desse produto.
35.000
45.000
500 q250 350 500
105.000
125.000
R,C
Receita
Custo
Com	base	nessas	 informações	e	consideran-
do que a função lucro pode ser obtida por 
L(q)	=	R(q)	–	C(q),	assinale	a	alternativa	que	
indica essa função lucro.
a. L(q)	=	–	2q2	+	800q	–	35.000
b. L(q)	=	–	2q2	+	1.000q	+	35.000
c. L(q)	=	–	2q2	+	1.200q	–	35.000
d. L(q)	=	200q	+	35.000
e. L(q)	=	200q	–	35.000
115. UFMG
Neste plano cartesiano, estão representados o 
retângulo	ABCD	e	as	retas	r	e	s:
A B
CD
r
s x
y
Sabe-se que:
•	 a	equação	de	r	é	y	=	x	+	4	e	a	equação	
de	s	é	y	=	–	2x	+	6	;
•	 os pontos D e C pertencem, respectiva-
mente, às retas r e s e têm ordenadas 
positivas; 
•	 A	=	(a,	0)	e	B	=	(b,	0),	sendo	a	<	b.
a. Calcule	 a	 área	 do	 retângulo	ABCD	em	
função apenas de b.
b. Determine o valor de b para que a área 
do	retângulo	ABCD	seja	máxima	e	cal-
cule esta área.
116. UFPR
Um determinado tipo de canhão para artilha-
ria antiaérea dispara projéteis que descrevem 
uma trajetória parabólica.
Após vários disparos, um grupo de engenhei-
ros militares constatou que, desprezando-se 
a resistência do ar, os projéteis lançados a 
partir do solo descrevem uma parábola de 
PV
-1
3-
14
Funções
79
Matemática
equação	y	=	16k2x	–	kx2,	sendo	x	e	y	dados	em	
metros e k um fator positivo relacionado à in-
clinação que pode ser ajustado diretamente 
no canhão.
a. Que valor se deve atribuir a k para que 
um projétil lançado por esse canhão 
atinja	 o	 solo	 a	 exatamente	 400	m	 do	
ponto de disparo?
b. Qual é o menor valor que se deve atri-
buir a k para que um projétil lançado por 
esse	canhão	atinja	a	altura	de	1.000	m?
117. Unicamp-SP
Durante um torneio de arremesso de peso, 
um atleta teve seu arremesso filmado. Com 
base na gravação, descobriu-se a altura (y) 
do	 peso	 em	 função	 de	 sua	 distância	 hori-
zontal	 (x),	medida	 em	 relação	 ao	 ponto	 de	
lançamento.	Alguns	valores	da	distância	e	da	
altura	são	fornecidos	na	tabela	abaixo.	Seja	
y(x)	=	ax2	+	bx	+	c	a	 função	que	descreve	a	
trajetória (parabólica) do peso:
Distância (m) Altura (m)
1 2,0
2 2,7
3 3,2
a. determine os valores de a, b e c;
b. calcule	a	distância	total	alcançada	pelo	
peso nesse arremesso.
118. FGV-SP
Um banco capta dinheiro de aplicadores, pa-
gando	a	eles	uma	taxa	anual	de	juros	igual	a	i. 
O	prazo	das	aplicações	é	de	1	ano.	O	dinheiro	
captado é emprestado a empresas, por 1 ano, 
à	taxa	de	20%	ao	ano.	Sabe-se	que	o	dinhei-
ro	captado	é	dado	por	C	=	5.000	·	 i	unidades	
monetárias. Desprezando-se outros custos, 
responda	às	questões.
a. Qual	 o	 lucro	do	banco,	 se	 a	 taxa	 i for 
igual a 5% ao ano?
b. Qual	a	taxa	i	que	dá	ao	banco	o	máximo	
lucro?
119. ESPM-SP
Um jardim quadrado medindo 12 m de lado 
será dividido em 2 partes, como mostra a fi-
gura a seguir.
x
x
A
B
No	retângulo	A,	serão	plantadas	flores	que	cus-
tam	R$	2,00	o	m2 e, na regiao B, serão plantadas 
flores	de	R$	3,00	o	m2. Podendo-se variar ape-
nas	as	medidas	designadas	por	x,	o	custo	míni-
mo que esse plantio poderá ter será de:
a. R$	390,00
b. R$	392,00
c. R$	394,00
d. R$	396,00
e. R$	398,00
120. AFA-SP modificado
Considere a função quadrática f: A → B de raí-
zes	x1	=	1	ou	x2	=	3,	cujas	coordenadas	do	vértice	
são iguais. 
Se	f(x)	≥	0,	∀	x	∈A, então podemos afimar que:
a. a função possui um valor mínimo quan-
do	x	=	2.
b. a	 função	 possui	 um	 valor	 máximo	
quando	x	=	2.
c. a função possui um valor mínimo quan-
do	x	=	–2.
d. a	 função	 possui	 um	 valor	 máximo	
quando	x	=	–2.
Funções
PV
-1
3-
14
80
Matemática
CAPÍTULO 03 
121. UFMG
Considere	a	função	y	=	f(x),	que	tem	como	do-
mínio o intervalo { }x x∈ − < ≤: 2 3 e que se 
anula	somente	em	x	=	
−
3
2
	e	x	=	1,	como	se	vê	
nesta figura:
f(x)
x
1
1 2 3–1
–2 – 32
– 2
1 2
1
Assim	sendo,	para	quais	valores	reais	de	x	se	
tem	0	<	f(x)	≤ 1?
a. x x∈ − < ≤ −{ }: 32 1 ∪ x x∈ ≤ <{ }: 12 1 ∪ 
{ }x x∈ < ≤: 1 2
b. x x∈ − ≤ ≤ −{ }: 2 32 ∪ x x∈ − ≤ ≤{ }: 1 12 ∪ 
x x∈ ≤ ≤{ }: 2 3
c. x x∈ − ≤ ≤ −{ }: 32 1 ∪ x x∈ ≤ ≤{ }:12 2
d. x x∈ − < ≤ −{ }: 32 1 ∪ x x∈ ≤ ≤{ }: 12 2
122. UFPR modificado
Abaixo	estão	representados	os	gráficos	das	fun-
ções	f	e	g	definidas	no	intervalo	real	[–	10;	10].
y
x
2
3 100– 10
y = g(x)
y = f(x)
Com base no gráfico, determine o conjunto so-
lução	da	inequação	f(x)	–	g(x)	<	0.
123. Vunesp
Observe	o	gráfico	da	 função	 f(x)	e	analise	as	
afirmações	a	seu	respeito.
x
y
0 1–1
–1
2–2
–2
3–3
1
2
f(x)
I. Se	 x1,	 x2 ∈ Dom(f)	 e	 x2	 >	 x1, então 
f(x2)	>	f(x1).
II. Se	x	>	1,	então	f(x)	<	0.
III. O	ponto	 (2,	 –2)	 pertence	 ao	 gráfico	
de	f(x).
IV. A	lei	de	formação	de	f(x)	representada	
no gráfico é dada por f x x( ) ( )= − −121
.
A alternativa que corresponde a todas as afir-
mações	verdadeiras	é:
a. I e III, apenas.
b. I, II e III, apenas.
c. I e IV, apenas.
d. II, III e IV, apenas.
e. II e IV, apenas.
124. PUC-MG
O número p de barris de petróleo produzi-
dos diariamente por uma empresa é tal que 
3(p	–	2.500)	≤	2(p	+	2.400).	A	maior	produ-
ção diária dessa empresa, em barris de pe-
tróleo, é:
a. 10.000
b. 11.500
c. 	12.300
d. 12.310
PV
-1
3-
14
Funções
81
Matemática
125. UFF-RJ
Um restaurante cobra, no almoço, até as 16h, 
o	preço	fixo	de	R$	15,00	por	pessoa.	Após	as	
16h,	esse	valor	cai	para	R$	12,00.
Em	 determinado	 dia,	 50	 pessoas	 almoçaram	
no restaurante, sendo X o número de pessoas 
que almoçaram até as 16h.
Sabendo	que	o	custo	de	um	almoço	é	R$	8,00	
por pessoa e o lucro obtido pelo restaurante 
naquele	dia	foi	maior	que	R$	250,00	e	menor	
que	R$	300,00,	determine	o	menor	e	o	maior	
valores possíveis de X.
126. Unicamp-SP
O	perfil	lipídico	é	um	exame	médico	que	ava-
lia a dosagem dos quatro tipos principais de 
gorduras (lipídios) no sangue: colesterol total 
(CT), colesterol HDL (conhecido como “bom 
colesterol”),	 colesterol	 LDL	 (o	 “mau	 coleste-
rol”)	 e	 triglicérides	 (TG).	 Os	 valores	 desses	
quatro indicadores estão relacionados pela 
fórmula	de	Friedewald:	CT	=	LDL	+	HDL	+	TG/5.	
A	tabela	abaixo	mostra	os	valores	normais	dos	
lipídios sanguíneos para um adulto, segundo o 
laboratório SangueBom.
Indicador Valores normais
CT Até	200	mg/dL
LDL Até	130	mg/dL
HDL Entre	40	e	60	mg/dL
TG Até	150	mg/dL
O perfil lipídico de Pedro revelou que sua dosa-
gem de colesterol total era igual a 198 mg/dL, e 
que	a	de	triglicérides	era	igual	a	130	mg/mL.	Sa-
bendo que todos os seus indicadores estavam 
normais, qual o intervalo possível para o seu 
nível de LDL?
127. UFPE
O	preço	da	corrida	de	táxi	na	cidade	R	é	calcu-
lado	adicionando-se	um	valor	fixo	de	R$	2,50	a	 
R$	1,30	por	cada	quilômetro	rodado,	enquan-
to na cidade S o preço é obtido adicionando-se 
um	valor	fixo	de	R$	3,40	a	R$	1,25	por	quilô-
metro rodado. A partir de quantos quilôme-
tros	 rodados	 o	 táxi	 da	 cidade	R	deixa	 de	 ser	
mais barato que o da cidade S?
128. UFSCar-SP modificado
Considere a função real f, definida por:
f x x
x
( ) = −
−
2
2
Determine o domínio da função f.
129. UEL-PR
Um	comerciante	pagou	R$	600,00	por	150	cai-
xas	de	um	produto.	Em	qual	intervalo	de	valo-
res deverá ser escolhido o valor V, de venda de 
cada	caixa,	para	que	o	comerciante	tenha	um	
lucro	entre	R$	150,00	e	R$	300,00?	
a. R$	3,00	<	V	<	R$	4,50
b. R$	4,00	<	V	<	R$	5,00
c. R$	4,00	<	V	<	R$	4,50
d. R$	5,00	<	V	<	R$	6,00
e. R$	6,00	<	V	<	R$	7,00
130. FGV-SP
a. Determine todos os números naturais 
que satisfazem simultaneamente as ine-
quações:	10–1	·	x	≥	0,06	e	10–1	·	x	≤	0,425.
b. Os	 sistemas	 de	 inequações	 são	 úteis	
para resolver antigos problemas como 
este,	aproximadamente,	do	ano	250:
Três estudantes receberam cada um uma mes-
ma lista de palavras sinônimas que deveriam 
ser escolhidas em pares. Cada palavra tinha 
uma única palavra sinônima correspondente. 
Dentro do tempo permitido, o primeiro colo-
cado conseguiu 21 pares corretos; o segundo 
colocado tinha dois terços dos pares corretos 
e o terceiro, quatro a mais do que a metade do 
número de pares corretos. Qual era o total de 
pares corretos de palavras sinônimas?
131. AFA-SP
Luíza possui uma pequena confecção artesa-
nal	de	bolsas.	No	gráfico	abaixo,	a	reta	c	repre-
senta o custo total mensal com a confecção de 
x	bolsas	 e	 a	 reta	 f	 representa	o	 faturamento	
mensal	de	Luíza	com	a	confecção	de	x	bolsas.
Funções
PV
-1
3-
14
82
Matemática
f
c
x
y(reais)
1000
10
810
2.000
(no de bolsas
confeccionadas)
Com base nos dados acima, é correto afirmar 
que Luíza obtém lucro se, e somente se, vender:
a. no mínimo 2 bolsas.
b. pelo menos 1 bolsa.
c. exatamente	3	bolsas.
d. no mínimo 4 bolsas.
132. 
Resolver em 	a	inequação	x2	–	3x	≥	0.
133. 
Resolver em 	a	inequação	–x2	+	3x	–	4	≥	0.
134. 
Considere a função real definida por:
 f x k x k x( ) = ⋅ − ⋅ −2 12
,
onde	k	é	um	parâmetro	real.	Determine	o	con-
junto	dos	valores	de	k	para	que	se	tenha	f(x)	>	0	
para	todo	x	∈.
135. FGV-SP
A receita mensal (em reais) de uma empresa é 
R	=	20.000p	–	2.000p2, em que p é o preço de 
venda	de	cada	unidade	(0	≤	p	≤	10).
a. Que preço p deve ser cobrado para re-
sultar	em	uma	receita	de	R$	50.000,00?
b. Para que valores de p a receita é infe-
rior	a	R$	37.500,00?
136. ESPM-SP
Define-se	max.(a;	b)	=	a,	se	a	≥	b	e	max.(a;	b)	=	b,	
se b ≥	a.	A	soma	dos	valores	de	x,	para	os	quais	
se	tem	max.(x2	−	2x	+	2;	1	+	x2)	=	50,	é	igual	a:
137. ESPM-SP
Considere	as	funções	f:	A	→  e g: A →  tais 
que f(x)	=	 3 2x x− 	e	g(x)	=	4x	–	x2	+	5.	Se	A	⊂ R 
é o mais amplo domínio de f, o conjunto 
imagem de g é:
a. 1
b. 0
c. 2
d. –13
e. 15
a. [0,	3]
b. ]–	∞,	9]
c. [5,	8]
d. [5,	9]
e. [8,	9]
138. FGV-SP
Considere	a	função	y	=	f(x),	tal	que:	
f(x)	=	x3	–	2x2	–	x	+	2
e cujo gráfico está representado na figura a se-
guir. Determine o conjunto solução da inequa-
ção	0	≤	x3	–	2x2	–	x	+	14	≤ 12. 
y
x0
f(x)
– 12
– 2
– 1
139. Espcex-SP
A represa de uma usina hidrelétrica está situa-
da em uma região em que a duração do período 
chuvoso	é	100	dias.	A	partir	dos	dados	hidro-
lógicos dessa região, os projetistas concluíram 
que a altura do nível da represa varia, dentro do 
período chuvoso, segundo a função real:
N t
t para t
t t para t
t para
( )
,
,
,
=
+ ≤ <
− + ≤ <
− + ≤
5 8 0 20
100
4
5 20 50
3
25 21 50
2
tt <




 100
em que N(t) é a altura do nível da represa, me-
dido em metros, t é o número de dias, con-
tados a partir do início do período chuvoso. 
Segundo esse modelo matemático, o número 
de dias, dentro do período chuvoso, em que a 
altura do nível da represa é maior ou igual a 
12 metros é:
a. 40	
b. 41 
c. 53 
d. 56 
e. 60
PV
-1
3-
14
Funções
83
Matemática
140. 
Determine	os	valores	reais	do	parâmetro	k,	na	
função	f(x)	=	–	x2	+	k,	para	que	se	tenha	f(x)	<	0	
para	todo	x	∈. 
141. UFMG
Neste plano cartesiano, estão representados 
os	gráficos	das	funções	y	=	f(x)	e	y	=	g(x),	am-
bas	definidas	no	intervalo	aberto	]0,	6[	:
y
x
gg
1 2 6
g
f
3 4 5
f
f
0
Seja S o subconjunto de números reais defini-
do	por	S	=	{x	∈;	f(x)	·	g(x)	<	0}
Então, é correto afirmar que S é:
a. {x	∈;		2	<	x	<	3}	∪	{x	∈;	5	<	x	<	6}
b. {x	∈;	1	<	x	<	2}	∪	{x	∈;	4	<	x	<	5}
c. {x	∈;	0	<	x	<	2}	∪	{x	∈;	3	<	x	<	5}	
d. {x	∈;	0	<	x	<	1}	∪	{x	∈;	3	<	x	<	6}		
142. UFF-RJ modificado
Uma parte do esboço do gráfico de uma fun-
ção polinomial f x x x x( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ − ⋅ +14 2 3 3 é 
dada na figura:
4,5
2,0
0 1 2 x
y
Determine o(s) intervalo(s) em que f é positiva.
143. Fuvest-SP
Os	gráficos	de	duas	funções	polinomiais	P	e	Q	
estão representados na figura a seguir. 
P
Q
y
x
– 4 – 2 – 1 0 2 4 5 6 8
Então,	no	intervalo	[–4,	8],	P(x)	·	Q(x)	<	0	para:
a. 	–2	<	x	<	4
b. 	–2	<	x	<	–1	ou	5	<	x	<	8
c. 	–4	≤	x	<	–2	ou	2	<	x	<	4
d. 	–4	≤	x	<	–2	ou	5	<	x	≤	8
e. 	–1	<	x	<	5
144. UFU-MG modificado
Sejam	f	e	g	duas	funções	reais definidas para 
todo número real, cujos gráficos no intervalo 
fechado	[–	4,	4]	estão	representados	na	figura	
abaixo,	em	que	a	linha	mais	fina	corresponde	
ao gráfico de g e a linha mais grossa ao de f.
y
x– 1 1 2 3 4– 2– 3– 4
g
f
– 1
2
1
2
Resolva	a	inequação	f(x)	·	g(x)	>	0.
145. 
Resolver em :	(x	–	4)	·	(–	x	+	2)	≥	0.
146. Ibmec-SP
O	número	de	soluções	inteiras	da	inequação	
(x2	–	25)	·	(x2	–	81)	·	(1	–	x2)	>	0	é	igual	a:
a.2
b. 3
c. 5
d. 7
e. 11
Funções
PV
-1
3-
14
84
Matemática
147. 
Resolver em : 2 2 1 2 2 1 0x x− +( )⋅ − −( ) < .
148. 
Resolva,	para	x	real,	a	inequação:
(x2	–	2x	–	8)	·	(2	–	x)	>	0
149. 
Resolver em  a inequação x3	–	2	·	x2	<	x	–	2.
150. 
Resolver em 	a	inequação	(x	+	1)2 ≤ 4.
151. 
Resolver em  a inequação 
(x	+	2)20 ·	(x	–	2)12	·	(x –	4)5 ≥	0.
152. Uespi
A	 função	 f	 definida	 por	 f(x)	 =	
1
3 2x x−( ) −( ) 
tem por conjunto domínio o intervalo real:
a. ]2,	3]
b. ]2,	3[
c. [2,	3[
d. (–	∞,	2[	∪	]3,	+	∞)
e. (–	∞,	2]	∪	[3,	+	∞)
153. ESPM-SP
Ao resolver a inequação 
( ) ( )x x
x x
+ ⋅ −
> −
1 3 1, 
um aluno efetuou as seguintes passagens:
( ) ( )x x
x x
+ ⋅ −
> −
1 3 1 (1)
(x	+	1)	·	(x	–	3)	>	x2	–	x		 (2)
							x2	–	2x	–	3	>	x2	–	x		 (3)
												–2x	–	3	>	–x		 (4)
														2x	+	3	<	x			 (5)
																							x	<	–3		 (6)
Podemos afirmar que esse aluno:
a. cometeu um erro apenas, na passagem 
de 4 para 5.
b. cometeu erros nas passagens de 3 para 
4 e de 4 para 5.
c. cometeu erros nas passagens de 1 para 
2 e de 4 para 5.
d. cometeu um erro apenas, na passagem 
de 1 para 2.
e. não cometeu erro algum.
154. 
Resolver em  a inequação: 
( ) ( )x x
x
− ⋅ −
+
≥2 32 1 0 .
155. UFMG
O	número	real	x	satisfaz	
4 3
1 2
x
x
−
+
> .
Assinale a alternativa em que estão incluídas 
todas	as	possibilidades	para	x.
a. 
− < <1 x 52
b. x < 1ou x > 5− 2
c. x > 52
d. x< − 1
156. PUC-RJ
Determine	para	quais	valores	reais	de	x	a	ine-
quação é satisfeita:
x x
x
2 6 11
1 1
− +
−
<
157. EFOMM-RJ
O conjunto solução da inequação 11 1
+
−
≥xx é:
a. [0,	+	∞]
b. [0,	1)
c. (1,	+	∞)
d. [0,	1]
e. (–	∞,	0]	∪	(1,	+	∞)
158. 
Resolver em  a inequação x
x x
10
2 3 2
0
− ⋅ +
≤ .
159. FGV-SP
Dê	o	domínio	da	função	f(x)	=	 x
x x
−
− +
1
7 122
.
160. Unicamp-SP
Sejam	dadas	as	funções	f(x)	=	p	·	x	e	g(x)	=	2x	+	5,	
em	que	p	é	um	parâmetro	real.
a. Supondo	que	p	=	–	5,	determine	para	
quais	valores	reais	de	x	tem-se	f(x)	·	g(x)	<	0.
b. Determine para quais valores de p te-
mos	g(x)	≤	f(x)	para	todo	x	∈	[–	8,	–	1].
PV
-1
3-
14
Funções
85
Matemática
CAPÍTULO 04 
161. Uniube-MG
Seja	k	uma	constante	real,	f	e	g	funções	defini-
das em 	tais	que	f(x)	=	kx	+	1	e	g(x)	=	13x	+	k.	
Os	valores	de	k	que	tornam	a	igualdade	fog	=	gof	
verdadeira são:
a. f(0)	=	1
b. fof(0)	=	1
c. 	fof(2)	=	1
d. fof(3)	=	1
e. f[2	·	f(2)]	=	1
166. UFMG
Sejam	f(x)	=	x2	+	3x	+	4	e	g(x)	=	ax	+	b	duas	fun-
ções.	Determine	as	constantes	reais	a	e	b	para	
que	(fog)(x)	=	(gof)(x)	para	todo	x	real.
167. UFRR
Os	gráficos	a	seguir	representam	as	funções	f	e	
g, respectivamente.
x
y
1
1
– 1 0
x
y
1
3
0
De acordo com os seus conhecimentos, é cor-
reto	afirmar	que	a	função	h(x)	=	(fog)(x)	é	dada	
por:
a. h(x)	=	9x2	+	9
b. h(x)	=	9x2	–	18x	+	9
c. 	h(x)	=	–	3x2	+	3
d. h(x)	=	3x2	+	3
e. h(x)	=	x2	–	2x	+	1
a. –	3	ou	3
b. –	4	ou	4
c. –	4	ou	3
d. –	3	ou	4
e. –	4	ou	–	3
162. Unimep-SP
Sabendo	 que	 f(x)	 =	 x2	 e	 g(x)	 =	 3x	 +	 2,	 então	
f[g(x)]	é	definida	por:
a. 9x2	+	12x	+	4
b. 3x2	+	2
c. x4
d. 9x	+	29
e. x2	+	x	+	1
163. UEL-PR
Seja	h(x)	 =	 [f	o	 g]	 (x)	 · [g o f] (x),	 em	que	
f(x)	 =	 (x	 +	 0,5)	 (x	 –	 0,5)	 e	 g(x)	 =	
1
0 252x + , . 
Qual	é	o	valor	de	h(0,	5)?
a. 15
b. 15
8
c. 16
d. − 34
e. −154
164. 
Dadas	as	funções	reais	definidas	por	f(x)	=	3x	+	2	
e	g(x)	=	2x	+	a,	determine	o	valor	de	a	de	modo	
que	se	tenha:	fog	=	gof.
165. ESPM-SP
Seja	y	=	f(x)	uma	função	cujo	gráfico	está	re-
presentado	 na	 figura	 abaixo.	 Podemos	 afir-
mar que:
1
– 2
– 1
2 3
y
x
Funções
PV
-1
3-
14
86
Matemática
168. UFU-MG
Sejam	 f	 e	 g	 duas	 funções	 reais	 definidas	 para	
todo	número	real.	Se	f	é	dada	por	f(x)	=	2x	+	1	–	3	
e a função composta fog é dada por 
(fog)(x)	=	x2	+	1,	então	o	valor	de	g(–2)	·	g(2)	é	
igual a:
a. 4
b. 8
c. 16
d. 32
169. ESPM-SP
A	figura	abaixo	representa	o	gráfico	cartesiano	
da	função	f	(x).
y
x
3
2 4
Sabendo-se	 que	 f(1)	 =	 2,	 o	 valor	 de	 f[f(π)]	 é	
igual a:
c. 
1
–1
1
d. 
e. 1
– 2
171. Ibmec-SP
f	e	g	são	funções	de	

 em .	Se	f(2x	–	1)	=	4x	+	2	
e	f(g(x))	=	2x2	–	4,	o	gráfico	que	melhor	repre-
senta a função g é:
a. 
g(x)
4
0 x
b. 
g(x)
20 x
c. 
g(x)
x
– 1 0
a. 1
b. 3
2
c. 3
4
d. 2
e. 5
2
170. PUC-PR
Sejam	as	funções	reais	definidas	por	f(x)	=	x	–	1	
g(x)	=	ax	+	b	e	f(g(x))	=	–	2x.	O	gráfico	de	g(x)	é:
a. 
1
1
b. 
1
–1
PV
-1
3-
14
Funções
87
Matemática
d. 
g(x)
40 x
e. 
g(x)
– 2 x2
0
172. Fuvest-SP
Sejam	f(x)	=	2x	–	9	e	g(x)	=	x2	+	5x	+	3.	A	soma	
dos valores absolutos das raízes da equação 
f(g(x))	=	g(x)		é	igual	a:
176. UECE
Seja f: 	–	{1}	→  a função definida por f x xx( ) =
+
−
2
1 
e seja g(x)	=	f(f(x)).	A	figura	que	melhor	repre-
senta o gráfico da função g é:
a. 1
1
y
x
 
b. 
1
1
y
x
 
c. 1
1
y
x
d. 
–1
1
y
x
177. FGV-SP
Sejam	y	=	g(u)	=	2u3	e	u	=	h(x)	=	x2	–	2x	+	5.
a. Determine	o	valor	de	y,	para	x	=	0.
b. Determine	o	valor	de	g	[h(	–	3)].
178. Unicamp-SP
Suponha que f:  →  seja uma função ímpar 
(isto	é,	f(–	x)	=	–	f(x))	e	periódica,	com	período	
10	(isto	é,	f(x)	=	f(x	+	10)).	O	gráfico	da	função	
no	intervalo	[0,	5]	é	apresentado	a	seguir.
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
173. UFRGS-RS
Se a função f: * →  é tal que f x xx( ) =
+2 2, 
então f(2x)	é:
a. 2
b. 2x
c. 2 1x
x
+
d. 4 12
x
x
+
e. 2 2x
x
+
174. UEPB
Se	g	e	f	são	funções	definidas por g x xx( ) =
− +
+
1
1 , 
com	x	≠	–1,	e	f(x)	=	x–	1,	com	x	≠	0,	então	g(f(x))	
é igual a:
a. f(g(x))
b. f(x)
c. g(x)
d. –	g(x)
e. –	f(x)
175. UFV-MG
Considere	as	funções	reais		f		e		g		definidas	por	 
f(x)	=	x2	–	5x	e	g(x)	=	2x	+	3.	As	soluções	da	
equação f x f g
g f
( ) ( ( ))
( ( ))
−
=
2
2 2
 são:
a. 2 e 4
b. 1 e 5
c. 1 e 4
d. 1 e 2
e. 2 e 3
Funções
PV
-1
3-
14
88
Matemática
F(x)
x
5
5– 5– 10 0
– 5
a. Complete o gráfico, mostrando a fun-
ção	no	 intervalo	 [–10,	10],	e	calcule	o	
valor de f(99).
b. Dadas	 as	 funções	 g(y)	 =	 y2	 –	 4y	 e	
h(x)	=	g(f(x)),	calcule	h(3)	e	determine	
a	expressão	de	h(x)	para	2,5	≤	x	≤ 5.
179. 
Sejam	 as	 funções	 reais	 g(x)	 =	 3x	 –	 2	 e	
fog(x)	 =	 15x	 –	 14.	 Determine	 a	 sentença	
que	representa	a	função	f(x).
180. ITA-SP
Sejam f, g: 

 → 

		funções	tais	que:	g(x)	=	1	–	x	
e	f(x)	+	2f(2	–	x)	=	(x	–	1)3,	para	todo	x	∈.
Então	f[g(x)]	é	igual	a:
a. (x	–	1)3
b. (1	–	x)3
c. x3
d. x
e. 2	–	x
181. UFMA
Considere a função f:  →  definida por:
f x
x se x
x se x
( )
,
,
=
≥
<

2 0
0
Então é correto afirmar que essa função:
a. não é injetiva nem sobrejetiva.
b. é injetiva, mas não é sobrejetiva.
c. é bijetiva.
d. é sobrejetiva, mas não é injetiva.
e. é	decrescente	no	conjunto	{x	∈;	x	<	0}.
182. Unifor-CE 
Considere	 a	 função	 f,	 de	 [–1,	 6[	 em	, dada 
pelo gráfico a seguir.
1
2
1
0
– 1
– 2
– 1 2 3 4
5 6
y
x
É correto afirmar que:
a. f é crescente para todo x ∈


5
2
9
2
, .
b. o conjunto imagem de f é o intervalo 
[–2,	2].
c. f é bijetora.
d. f	admite	exatamente	três	raízes	reais.
e. f(–1)	+	f(2)	+	f(4)	+	f(–6)	=	0
183. 
Toda função real crescente é injetora? Justifique.
184. Unifesp
Há	funções	y	=	f(x)	que	possuem	a	seguinte	
propriedade:	 “a	 valores	 distintos	 de	 x	 cor-
respondem	valores	distintos	de	y”.Tais	fun-
ções	 são	 chamadas	 injetoras.	 Qual,	 dentre	
as	 funções	 cujos	 gráficos	 aparecem	abaixo,	
é injetora?
a. 
y
x1
b. 
y
x1
PV
-1
3-
14
Funções
89
Matemática
c. 
y
x1
d. 
y
x1
e. 
y
x1
185. UEL-PR
Observe a imagem a seguir, utilizada como 
peça publicitária em uma campanha para 
venda associada de jornais e livros de litera-
tura, e responda à questão.
Desentorte 
os óculos.
Desligue a TV.
S T Q Q
Troque a 
lâmpada
do abajur.
Desencoste
o pufe da parede.
S S D
Abra 
espaço 
na 
estante.
Tire o gato
da poltrona.
Pode se preparar. Sua semana está prestes a se tornar muito mais emocionante.
Descubra onde 
fica a banca 
mais 
próxima.
Peça publicitária veiculada pelo jornal 
Folha de S. Paulo, em 18 de maio de 2003, p. A 21.
Na disposição dos elementos que integram a 
peça publicitária, considere:
A	=	conjunto	formado	pelos	dias	da	semana.
B	=	conjunto	formado	pelas	ações	associadas	
aos dias da semana.
Sobre esses conjuntos, é correto afirmar:
a. Existe	uma	função	f:	A	→ B bijetora.
b. Existe	uma	função	 f:	A	→ B injetora e 
não sobrejetora.
c. Existe	uma	função	f:	B	→ A sobrejetora 
e não injetora.
d. Existe	uma	função	 f:	B	→ A injetora e 
não sobrejetora.
e. Existe	uma	relação	R:	A	→ B que não é 
uma função.
186. UFMG 
Considere a função real f definida por 
f x x( )2 3
1
1+ = + .
É correto afirmar que:
01. não	 existe	 um	 número	 real	 x	 tal	 que	
f(x)	=	0.
02. Se	x	≠	1	e	x ≠ 3, então f(f(x))	=	2 1
3
( )x
x
−
−
.
 04. f é uma função injetora.
 08. a	equação	xf(x)	–	x2	=	0	tem,	no	máxi-
mo, duas raízes reais.
 16. f(–1)	=	1
187. 
Demonstre	que	a	 função	afim	 f(x)	=	ax	+	b	é	
injetora.
188. 
Demonstre	que	a	 função	afim	 f(x)	=	ax	+	b	é	
sobrejetora.
189. ITA-SP
Qual das alternativas a seguir representa uma 
função bijetora?
a. f:  → *	com	f(x)	=	x2
b. f: * → *	com	f(x)	=	x +	1
c. f:	[1;	3]	→	[2;	4]	com	f(x)	=	x +	1
d. f:	[0;	2π]	→ 

	com	f(x)	=	sen	x
e. f:  → 	com	f(x)	=	x2 –	1
190. ITA-SP
Seja	D	=		–	{1}	e	f	:	D	→ D uma função dada 
por f x xx( ) =
+
−
1
1.
Considere as afirmações:
I. f é injetiva e sobrejetiva.
II. f é injetiva, mas não sobrejetiva.
III. f x f x( )+
  =1 0,	para	todo	x	∈D,	x	≠	0.
IV. f(x)	·	f(–x)	=	1,	para	todo	x	∈D.
Funções
PV
-1
3-
14
90
Matemática
a. somente injetora.
b. somente sobrejetora.
c. bijetora.
d. nem injetora nem sobrejetora.
e. sem classificação.
194. UFSC
Dada a função f, de  em , definida por 
f(x)	=	x2	+	1,	determine	a	soma	das	alterna-
tivas verdadeiras.
 01. A função f é sobrejetora.
 02. A imagem da função f é R+.
 04. A função f é bijetora.
 08. Para	x	=	5,	temos	f(x)	=	26.
 16. O gráfico da função é uma reta.
 32. O gráfico da função f é simétrico em re-
lação	ao	eixo	y.
195. 
Verifique	se	as	funções,	de	 em , represen-
tadas nos gráficos são bijetoras.
a. 
x
y
b. 
x 
y
c. 
x 
y
196. 
Seja a função f: A →	B	definida	por	f(x)	=	x2	–	6x	+	5.
a. Sendo	A	=	, determine o conjunto B 
para que f seja sobrejetora.
b. Sendo A x x k= ∈ ≤{ }| e B o conjunto 
determinado no item anterior, obtenha 
o maior valor de k para que f seja bijetora.
Então, são verdadeiras:
a. tabela 1.
b. tabela 2.
c. tabela 3.
d. tabela 4.
193. Mackenzie-SP
A aplicação f, de 

 em 

, definida por: 
f n
n se n é umnúmero par
n se n é umnúmero ímpar
( )
,
,
=
+



2
1
2
 é:
a. apenas I e III.
b. apenas I e IV.
c. apenas II e III.
d. apenas I, III e IV.
e. apenas II, III e IV.
191. 
A	função	quadrática	f(x)	=	x2	+	2x	+	1	é	injetora?	
Justifique.
192. Unimontes-MG
As tabelas a seguir representam algumas con-
jugações	do	verbo	estar.
Tabela 1
A B
eu estou
tu estás
ele está
nós estamos
vós estais
eles estão 
Tabela 2
A B
eu estava
tu estavas
ele estava
nós estávamos
vós estáveis
eles estavam
Tabela 3
A B
eu estivesse
tu estivesses
ele estivesse
nós estivéssemos
vós estivésseis
eles estivessem 
Tabela 4
A B
eu estaria
tu estarias
ele estaria
nós estaríamos
vós estaríeis
eles estariam
Das tabelas acima, a única que representa 
uma bijeção de A em B é a:
PV
-1
3-
14
Funções
91
Matemática
197. 
A	função	real	definida	por	f(x)	=	x3 é sobrejeto-
ra? Justifique.
198. 
A	função	real	definida	por	f(x)	=	x3 é injetora? 
Justifique.
199. 
Classifique	cada	uma	das	funções	a	seguir	em	
injetora, sobrejetora, bijetora ou sem classifi-
cação.
a. f: 

* → 	com	f(x)	=	 1x
b. f: * → *	com	f(x)	=	 1x
200. 
Dada	a	função	f(x)	=	x2	–	4x	+	3,	definida	de	A	
em B, determine:
a. o mais amplo conjunto B para que f seja 
uma função sobrejetora;
b. os mais amplos conjuntos A para que f 
seja injetora.
201. Unifor-CE
Sejam	 f	 e	 g	 funções	 de	 em , tais que 
f(x)	=	–2x	+	3	e	g(f(x))	=	4x.	Nessas	condi-
ções,	a	função	inversa	de	g	é	dada	por:
a. g x x− = +1 6 2( )
b. g x
x
−
=
−1 6
2( )
c. g x
x
−
=
+1 6
4( )
d. g x x
−
=
−
1 2
6 2( )
e. g x x
−
=
+
1 2
6 2( )
202. UEBA
Seja a função 
f: R B definidapor f x xx− { } → ⊂ = −13 3 1 ( ) .
Se f admite inversa, então o conjunto B é:
a. 
b. *
c. 	–	
1
3{ }
d. 	–	 −{ }13
e. 	–	{3}
203. UECE
Sejam	f(x)	=	x2	para	x	>	0	e	g(x)	a	inversa	de	f,	
então	o	valor	de	f(g(4))	+	g(f(4))	está	no	inter-
valo:
a. [0,	6[
b. [6,	12[
c. [12,	18[
d. [18,	24[
204. Mackenzie-SP
Dada a função f:  → , bijetora definida por 
f(x)	=	x3	+	1,	sua		inversa	f	–	1: 

 →  é definida 
por:
a. f x x− = +1 33 1( )
b. f x
x
−
=
+
1
3
1
1
( )
c. f x x− = −1 33 1( )
d. f x
x
−
=
+
1
33
1
1
( )
e. f x x− = −1 3 1( )
205. UEPB
A	função	f	definida	para	x	≥ 1 por f x x( ) = −1 
tem inversa f–1(x);	 então	 a	 imagem	 de	 f–1(x)	
será:
a. {y	∈

|y ≤	0}
b. {y	∈

|y ≤	1}
c. {y	∈

|y ≥	0}
d. {y	∈

|y ≥	1}
e. {y	∈

|y ≥	–1}
206. Cefet-PR
Qual a relação entre a e b para que a função 
f x axx b( ) =
+
+
1
2
 coincida com sua inversa?
a. a	=	b	+	1
b. a	=	b	–	2
c. a	=	b	–	1
d. a	=	–b
e. a	=	b
Funções
PV
-1
3-
14
92
Matemática
207. ITE-SP
Dadas	 as	 funções	 bijetoras	 f(x)	 =	 2x	 –	 3	 e	
g(x)	=	x3, determine (fog)–1(x).
208. 
Sejam	as	funções	f,	g:	 → . Se g é a função 
inversa	de	f,	então	o	valor	de	f(g(2))	+	g(f(3))	
é igual a:
a. 5
b. 6
c. 2
3
d. 3
2
209. 
Considere	a	função	definida	por	f(x)	=	x3.
a. Qual é a lei que define f –1?
b. Represente, no mesmo plano cartesia-
no, os gráficos de f e f –1.
210. UFF-RJ
Sejam	f	e	g	funções	reais	de	uma	variável	real	
dadas por:
f x
x se x
x se x
( )
,
,
=
+ ≥
+ <

3 4 1
5 2 1
 
 
 e g x
x se x
x se x
( )
,
,
=
+ >
− ≤

2 1 3
5 5 3
 
 
Pede-se: 
a. g[f(2)]
b. f –1[g(0)]
211. Uneb-BA
Considerando a função real f x x( ) =
1, assinale 
com V as afirmativas verdadeiras e com F as 
falsas:
( ) x	=	0	pertence	ao	conjunto	imagem	de	f.
( ) Se	x	é	um	número	real	não	nulo,	então	
f x x
−
=
1 1( ) .
( ) Existe	 um	único	 número	 real	 x	 tal	 que	
f x f x
1  = ( ).
A alternativa que indica a sequência correta, 
de	cima	para	baixo,	é	a:
212. UFU-MG
Considere f a função real de variável real defi-
nida	no	 intervalo	[–1,1],	cujo	gráfico	está	de-
senhado	abaixo.
y
1
1
–1
–1
x
Assinale a alternativa que corresponde ao grá-
fico	da	função	y	=	f	–1	(–x),	em	que	f	–1 é a inver-
sa da função f.
a. 
y
1
1
–1
–1
x
b. 
y
11
–1
–1
x
c. 
y
1
1
–1
–1
x
d. 
y
1
1
–1
–1
x
01. V F F
02. F V F
03. F V V
04. V F V
05. V V V
PV
-1
3-
14
Funções
93
Matemática
213. UFRGS-RS
Se	x	é	um	número	real,	então	
x
x +1 nunca as-
sume o valor:
a. –	2
b. –	1
c. 0
d. 1
e. 2
214. 
Encontre	a	inversa	de	f(x)	=	3x	+	2.
215. 
Encontre	a	inversa	de	f(x)	=	
1
3x +
,	para	x	≠	–	3.
216. UPF-RS
Dadas	as	funções	
f x x x( ) =
+
−
2 3
2 e 
g x x x( ) = − −2 4 5, considere as 
afirmativas a seguir.
I. O	domínio	de	f(x)	é	

*.
II. f x xx
−
=
−
+
1 2 3
2( )
III. O domínio	de	g(x)	é:	
													{x	∈|x	≤ –	1	ou	x ≥	5}.
Está(ão) correta(s) a(s) alternativa(s):
a. I, apenas.
b. I e II, apenas.
c. II e III, apenas.
d. II, apenas.
e. I, II e III.
217. 
Sabendo-se que g f x x
x
e g x x
x
[ ( )] ( ) ,= −
+
=
+
−
−
2 2
2 2
2 1
1
1
determine f g( )5 72+ −
  .
218. 
Encontre	a	inversa	de	f(x)	=	x2	+	2x,	para	x	<	–	1.
219. Unicap-PE
Considere	a	 função	definida	por	 f(x)	=	x2	+	x,	
tendo como domínio e contradomínio o con-
junto dos números reais, classifique como V 
ou F.
(0) Existe	um	número	real	a	tal	que	f(a)	=	1.
(1) Considerando o domínio da função, ela 
é sobrejetora.
(2) Considerando o domínio da função, ela 
admite inversa.
(3) A função possui uma raiz não nula.
220. 
Encontre a inversa de f x
x
x
( ) =
+ 2
,	para	x	≠	0.
221. PUC-SP
Para definir o módulo de um número real x, 
posso dizer que:
a. é	igual	ao	valor	de	x	se	x	é	real.
b. é o maior valor do conjunto formado 
por	x	e	o	oposto	de	x.
c. é	o	valor	de	x	tal	que	x	∈

.
d. é	o	oposto	do	valor	de	x.
e. é	o	maior	inteiro	contido	em	x.
222. UPE modificado
Seja	f	a	função	real	definida	por	f(x)	=	||x	+	2|	–	2|.	
Determine	f(e	–	2),	onde	e	=	2,718281...	é	um	
número irracional.
223. UFPE
Sejam	x	e	y	números	reais	 tais	que	x	>	y	e	
x(x	–	y)	=	0.	Analise	a	veracidade	das	afirma-
ções	abaixo.
( ) x	=	0
( ) y	<	0
( ) x	–	y	<	0
( ) |x|	>	|y|
( ) |x	–	y|	>	0
224. FGV-SP
Considere	a	função	dada	por:	f(x)	=	 x −( )3 2
Esboce o gráfico da função.
225. UFAL modificado
Tendo por base a função, de  em , dada por 
f(x)	=	|x	–	1|+	2,	esboce	o	gráfico	e	determine	
o conjunto imagem de f.
Funções
PV
-1
3-
14
94
Matemática
226. UFES
O	gráfico	da	função	real	dada	pela	expressão	
f x
x x
x
( ) =
− +
−
2 2 1
1
 pode ser representado por:
a. 
y
0
 – 1
1 x
b. 
y
0
 – 1
1
x
c. 
y
0
1
1 x
d. 
y
0 1 x
 – 1
e. 
y
0 1
1
x
 – 1
227. PUC-RS
O domínio da função real f definida por 
f x
x
x
( ) = é:
a. *
b. +
c. [1;	+	∞)
d. (1;	+	∞)
e. (0;	+	∞)
228. Fuvest-SP
O	módulo	|x|	de	um	número	real	x	é	definido	
por	|x|	=	x,	se	x	≥	0,	e	|x|	=	–	x,	se	x	<	0.	Das	
alternativas a seguir, a que melhor representa 
o	gráfico	da	função	f(x)	=	x	·	|x|	–	2x	+	2	é:
a. 
f(x)
0 1
1
x
b. 
y
0 1
1
x
PV
-1
3-
14
Funções
95
Matemática
c. 
y
1
1
x
0
d. 
y
1
1
x
0
e. 
y
1
1
x
0
229. UFTM-MG
Observe,	na	figura,	o	gráfico	da	função	f(x),	de	
domínio	[–	4;4]
2
1
– 1
– 2
– 4 – 3 – 2 – 1 1 42 3
x
O	 gráfico	 da	 função	 g(x),	 dada,	 para	 todo	
x	∈[–	4;	4],	pela	lei	g(x)	=	f(x)	+	|f(x)|,	está	
mais bem representado por:
a. x
2
1
– 1
– 2
– 4 – 3 – 2 – 1 1 42 3
b. x
2
1
– 1
– 2
– 4 – 3 – 2 – 1 1 42 3
c. 
2
1
– 1
– 2
– 4 – 3 – 2 – 1 1 42 3
x
d. 
2
1
– 1
– 2
– 4 – 3 – 2 – 1 1 42 3
x
e. x
2
1
– 1
– 2
– 4 – 3 – 2 – 1 1 42 3
230. UEL
Seja f:  → 	dada	por	 f(x)	=	|x2|	+	|x|.	O	
gráfico da função g:  → , definida por 
g(x)	=	–	f(x	+	1),	é:
Funções
PV
-1
3-
14
96
Matemática
a. 
6
5
4
3
2
1 1 2 3 4
– 1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 2– 3– 4
b. 
6
5
4
3
2
1 1 2 3 4
– 1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 2– 3– 4
c. 
6
5
4
3
2
1 1 2 3 4
– 1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 2– 3– 4
d. 
6
5
4
3
2
1 1 2 3 4
– 1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 2– 3– 4
e. 
6
5
4
3
2
1 1 2 3 4
– 1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 2– 3– 4
231. UFBA
Esboce o gráfico da função f:  →  definida 
por f(x)	=	|–	x2	+	5x	–	4|,	incluindo	as	inter-
secções	com	os	eixos	coordenados.
y
x0
PV
-1
3-
14
Funções
97
Matemática
232. Unimontes-MG
Qual	dos	esboços	abaixo	melhor	representa	o	
gráfico da função real de variável real que, a 
cada	x,	associa	a	distância	de	x	ao	número	2?
a. 
y
2
0 2 x
b. 
y
0– 2 x
c. 
y
0 x
d. 
y
0 x
2
233. Ufla-MG
O	gráfico	da	expressão	|x|	+	|y|	=	4	é	dado	por:
a. 
y
x
4
4
 – 4
 – 4
b. 
y
x4
 – 4
 – 4
c. 
y
x
4
4
 – 4
 – 4
d. 
y
x4 – 4
e. 
y
x
4
4
 – 4
Funções
PV
-1
3-
14
98
Matemática
234. Mackenzie-SP
A melhor representação gráfica da função 
f x x( ) = é:
a. 
y
x0
b. 
y
x0
c. 
y
x0
d. 
y
x0
e. 
y
x0
235. Fuvest-SP
Esboce,	 para	 x	 real,	 o	 gráfico	 da	 função	 
f(x)	=	|x	–	2|	+	|2x	+	1|	–	x	–	6.	O	símbolo	|a|	
indica o valor absoluto de um número real a 
e	é	definido	por	|a|	=	a,	se	a	≥	0	e	|a|	=	–	a,	
se	a	<	0.
236. Mackenzie-SP
Na figura 1, temos o esboço do gráfico de uma 
função f, de  em . O melhor esboço gráfico 
da	função	g(x)	=	f(|x|)	é:
y
x0
Figura 1
a. 
y
x0
b. 
y
x0
c. 
y
x0
PV
-1
3-
14
Funções
99
Matemática
d. 
y
x0
e. 
y
x0
237. UFES
y
0 1
1
2
x
 – 1 – 2
O gráfico acima representa a função:
a. f(x)	=	||x|	–	1|
b. f(x)	=	|x	–	1|	+	|x	+	1|	–	2
c. f(x)	=	||x|	+	2|–	3
d. f(x)	=	|x	–	1|
e. f(x)	=	||x|	+	1|	–	2
238. Mackenzie-SP
Dadas	as	funções	reais	definidas	por:	
f(x)	=	|x|2	–		4|x|	e	g(x)	=	|x2	–	4|,
esboce	o	gráfico	de	cada	uma	dessas	funções.
239. UPE
Dos	gráficos	abaixo,	o	que	mais	se	assemelha	
ao	da	função	f(x)	=	||x	+	2|–	2|	no	intervalo	
–	5	<	x	<	5	é:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
240. FGV-SP
O	conjunto	dos	valores	assumidos	pela	expres-
são algébrica a
a
b
b
ab
ab
+ − , sendo a e b dois 
números reais diferentes de zero, é:
a. {–3,	–1,	1,	3}
b. {–1,	1}
c. {–1,	3}
d. {–3,	1}
e. {–3,	3}
241. 
Resolver, em ,	a	equação	|2x	–	1|	=	7.
242. 
Resolver, em ,	a	equação	|2x	–	3|	=	1	–	x.
243. UFAL
Determine, no universo , o conjunto solução 
da equação x x2
5
4
5
8
1
4
− + = .
244. UFU-MG
Qual	é	a	soma	das	soluções	reais	da	equação	
|x2	+	3x	+	2|	–	|6x|	=	0?
a. 3
b. –6
c. –3
d. 6
245. CFTCE
O	conjunto	de	soluções	da	equação
|x	–	1|	+	|x	–	2|	=	3	é:
a. {0,	1}
b. {0,	3}
c. {1,	3}
d. {3}
e. {		}
Funções
PV
-1
3-
14
100
Matemática
246. Unifei-MG
O módulo do produto das raízes da equação 
|x|2	+	|x|	–	|–12|	=	0	é	 igual	ao	número	de	
lados	de	um	polígono	convexo.	Quantas	diago-
nais tem esse polígono?
247. UFAM
As raízes da equação |x|2	+	|x|–	12	=	0:
a. têm soma igual a zero.
b. são negativas.
c. têm soma igual a um.
d. têm produto igual a menos doze.
e. são positivas.
248. Mackenzie-SP
O	 número	 de	 soluções	 reais	 da	 equação	
x2	=	1	–	|x|	é:
g(x)	=	x3	+	2x2	+	4x,	determine	o	conjunto	solu-
ção	da	equação	f(x)	=	g(x).
254. UFSCar-SP
Sejam	f	e	g	funções	modulares	reais	definidas	
por	f(x)	=	|x	+	2|	e	g(x)	=	2|x	–	2|.
a. Resolva	a	equação	f(x)	=	g(x).
b. Construa o gráfico da função real h, de-
finida	por	h(x)	=	|x	+	2|–	2|x	+	2|.
255. UFG-GO modificado
Seja 

 o conjunto dos números reais. Considere 
a função f:  →,	definida	por	f(x)	=	|1	–	|x||.	
Analise	a	veracidade	das	afirmações	abaixo.
( ) f(–	4)	=	5
( ) o valor mínimo de f é zero.
( ) f	é	crescente	para	x	no	intervalo	[0,	1].
( ) a	equação	f(x)	=	1	possui	três	soluções	
reais distintas.
256. UFRJ
Seja	f	a	função	real	dada	por	f(x)	=	ax2	+	bx	+	c,	
com	a	>	0.	Determine	a,	b	e	c	sabendo	que	as	
raízes	da	equação	|f(x)|	=	12	são	–	2,	1,	2	e	5.	
Justifique.
257. ITA-SP
Determine todos os valores reais de a para os 
quais	a	equação	(x	–	1)2	=	|x	–	a|	admita	exata-
mente	três	soluções	distintas.
258. Unesp
Sejam a e b dois números reais positivos tais 
que	a	<	b	e	a	+	b	=	4.	Se	o	gráfico	da	função	 
y	=	|x	–	a|	+	|x	–	b|	coincide	com	a	função	 
y	=	2	no	intervalo	a	<	x	<	b,	calcule	os	valores	
de a e b.
259. 
A	equação	|2x	+	3|	=	ax	+	1:
a. não possui solução para a < 2.
b. possui duas soluções	para	a	maior	que	2.
c. possui solução única para a < 
2
3
.
d. possui	solução	única	para		–	2	<	a	<	2
3
.
e. possui	duas	soluções	para		–	2	<	a	<	
2
3
.
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
251. Espcex-SP
A soma dos quadrados de todas as raízes da 
equação	x2	+	4x	–	2	·	|x	+	2|	+	4	=	0	é	igual	a:
a. 16
b. 20
c. 24
d. 28
e. 36
252. Mackenzie-SP
O	número	de	soluções	reais	da	equação	
x x
x x
x
2
2
1 2
2 1
1
− + =
− +
−
 é:
a. 2
b. 0
c. 1
d. 4
e. 3
249. Unirio-RJ modificado
Sejam	f	e	g	funções	definidas	por:
f x x x e g x x( ) ( )= − + = −2 2 1 1 
Calcule	 todos	 os	 valores	 de	 x	 reais	 tais	 que	
f(x)	=	g(x).
250. PUC-SP
O	número	de	soluções	da	equação	||	x	|	–	1|	=	1,	
no universo , é:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. maior que 3.
253. UFBA modificado
Considerando-se	as	funções	f:	 →  e g:  →  
definidas	pelas	equações	f(x)	=	|2x2	–	2x|	+	7x	e	
PV
-1
3-
14
Funções
101
Matemática
260. ITA-SP
Sobre	a	equação	na	variável	real	x,
|||x	–	1|	–	3|	–	2|	=	0,
podemos afirmar que:
a. ela não admite solução real.
b. a	soma	de	todas	as	suas	soluções	é	6.
c. ela	admite	apenas	soluções	positivas.
d. a	soma	de	todas	as	soluções	é	4.
e. ela	admite	apenas	duas	soluções	reais.
261. 
Resolva em  a inequação: x ≥ 5.
262. UFF-RJ
Com relação aos conjuntos P x x= ∈ ≤{ } 7 
e Q x x= ∈ ≤{ } 2 0 333, ... afirma-se:
I. P ∪	Q	=	P
II. Q	–	P	=	{0}
III. P ⊂ Q
IV. P ∩	Q	=	Q
Somente são verdadeiras as afirmativas:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
267. UFAL
Leia		o	texto	abaixo.
Alagoas
O estado de Alagoas situa-se a leste 
da região Nordeste. É o sexto estado mais 
populoso da região, com um total de qua-
se 3.000.000 de habitantes. Apresenta a 
quinta maior média de crescimento anu-
al da região: cerca de 1,20%. Em quatro 
anos, a população cresceu em torno de 
140.000 habitantes nos 102 municípios.
O mais populoso deles é Maceió, com 
cerca de 885.000 habitantes, ocupando 
uma área de aproximadamente 500 km2.
Dentre as Unidades de Conservação 
Federais, a maior é a Área de Proteção Am-
biental Costa dos Corais, com 413.563 hec-
tares (1 ha = 104 m2).
Na estatura média H da população do litoral 
norte de Paripueira a Maragogi verifica-se a 
desigualdade H− ≤
172
6
1, em que H é medi-
da em centímetros. O intervalo da reta real em 
que essas alturas se situam está contido no 
intervalo:
a. I e III.
b. I e IV.
c. II e III.
d. II e IV.
e. III e IV.
263. 
Resolva em  a inequação: x < 2.
264. UFF-RJ modificado
Considere a função f definida por:
f x
x se x
x se x
( )
,
,
=
<
≥

4 4
43
Pede-se:
a. f(0)
b. a	=	f(–2)
c. f(a)
265. FGV-SP
A	soma	dos	valores	inteiros	de	x	que	satis-
fazem simultaneamente as desigualdades: 
|x	–	5|	<	3	e	|x	–	4|	≥ 1 é:
266. Mackenzie-SP
Dadas	 as	 funções	 reais	 definidas	 por	 
f(x)	=	|x|2	–	4|x|	e	g(x)	=	|x2	–	4x|,	considere	
I,	II,	III	e	IV	abaixo.
I. Ambas	 as	 funções	 possuem	 gráficos	
simétricos	em	relação	ao	eixo	das	or-
denadas.
II. O	número	de	soluções	reais	da	equa-
ção	f(x)	=	g(x)	é	3.
III. A	soma	de	todas	as	raízes	das	funções	
dadas é 4.
IV. Não	existe	x	real	tal	que	f(x)	<	g(x).
O	número	de	afirmações	corretas	é:
a. 25
b. 13
c. 16
d. 18
e. 21
a. [160;	175]
b. [164;	176]
c. [166;	176]
d. [166;	179]
e. [168;	180]
268. UFU-MG
O domínio da função real definida por 
f x x( ) = − −2 1 3 é:
Funções
PV
-1
3-
14
102
Matemática
a. {x	∈ 	|	x	≥	2}
b. {x	∈  | –	1	≤ x	≤	2}
c. {x	∈  |	x	≤ –	1	ou	x	≥	2}
d. x x∈ ≤ <{ }|12 3
e. 
269. Ibmec- SP
A soma dos números naturais que não perten-
cem	ao	conjunto	solução	de	2	–	|x	–	1|	≤	0	é	
igual a:
275. FURG-RS
O	conjunto	de	 todos	os	números	 reais	 x	que	
satisfazem a inequação x2 2 1– < é:
a. 10
b. 6
c. 5
d. 3
e. 1
270. Inatel-MG
Resolva	a	inequação	|3x	+	2|	≤ 4.
271. FGV-SP
Resolva	as	inequações:
a. 1
4
2
8<
−
<
x b. |2	–	5x|	>	10
272. UFPI
O	conjunto	solução	da	inequação|x2	–	4x	+	3|< 3 
é: 
a. {x	∈ | 1 <	x	<	2}
b. {x	∈ | 1 <	x	<	3}
c. 	{x	∈	|	–	1	<	x	<	3}
d. {x	∈ | 1 <	x	<	4}
e. {x	∈	|	0	<	x	<	4}
273. PUC-RJ
A	inequação	–|x|	<	x:
a. nunca é satisfeita.
b. é	satisfeita	em	x	=	0.
c. é	satisfeita	para	x	negativo.
d. é	satisfeita	para	x	positivo.
e. é sempre satisfeita.
274. UFC-CE
A soma dos inteiros que satisfazem a desigual-
dade	|x	–	7|	>	|x	+	2|	+	|x	–	2|	é:
a. 14
b. 0
c. –2
d. –15
e. –18
a. [0,1]
b. [–	5,	6]
c. [–	5,	0]	∪	[1,	∞)
d. (–	∞,	0]	∪	[1,	6]
e. [–	5,	0]	∪	[1,	6]
278. Fuvest-SP
a. Esboce,	para	x	real,	o	gráfico	da	função:
f(x)	=	|x	–	2|	+	|2x	+	1|	–	x	–	6
O símbolo |a| indica o valor absoluto de um 
número real a	e	é	definido	por	|a|	=	a		se	a	≥	0		
e	|a|	=	–	a		se		a	<	0.
b. Para	que	valores	reais	de	x,	f(x)	>	2x	+	2?
279. 
Resolva em 	a	inequação	|x|	<	x.	
280. PUC-RJ
O	 conjunto	 dos	 números	 reais	 x	 tais	 que	
|x	–	2|	<	|x	–	5|é:
a. vazio.
b. finito.
c. o conjunto de todos os números reais 
menores que 7
2
.
d. o conjunto de todos os números reais 
entre 2 e 5.
e. o conjunto de todos os números reais.
a. −( )1 3,
b. −( )3 3,
c. 	(–1,	1)
d. – 3 0 0, ,( ) ∪ ( )3
e. – –3 1 1 3, ,( ) ∪ ( )
276. Efoa-MG
Seja f:  → 	a	função	definida	por		f(x)	=	x2	–	1.	
O	conjunto	solução	da	inequação	f(f(x))	+	x2 ≥	0	é:
a. {x	∈||x|	=	0	ou	|x|	≥	1}
b. {x	∈||x|	≤	1}
c. 	{x	∈||x|	≥	1}
d. {x	∈

|	x	=	0	ou	x	≤	–	1}
e. {x	∈||x|	≥	–	1	ou	x	≥	1}
277. ITA-SP
Os valores	de	x	∈  , para os quais a função 
real dada por f x x( ) || | |= − − −5 2 1 6 está de-
finida, formam o conjunto:
PV
-1
3-
14
Funções
103
MatemáticaR:
CAPÍTULO 01 
01. a. f(0)	=	0	+	1	=	1
	 f(1)	=	1	+	1	=	2
	 f(2)	=	2	+	1	=	3	 	 	 	 	 	
 
g g
g
g ou g
g
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
−[ ] = − ⇒ −[ ] = ⇒
⇒ − = ±



− = − − =
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
2 2 2
(( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
2 2 2[ ] = ⇒ [ ] = ⇒
⇒ = ±



= − =
g
g
g ou g
b. 
0
1
2
0
1
2
A f A 
−1
1 −1
1
B g B
 c. A correspondência f não é uma função, pois o elemento 
2	do	conjunto	A	da	“esquerda”	não	tem	correspondente	
no	conjunto	A	da	“direita”.
 d. A correspondência g não é uma função, pois o elemento 
–1	do	conjunto	B	da	“esquerda”	tem	mais	de	um	corres-
pondente no conjunto	B	da	“direita”.
02. D
03. a.	 É	função	com	Im	=	
b. Não é função.
c. É	função	com	Im	=		+
d. É	função	com	Im	=	{y	∈|	y	=	–	4	ou	y	≥	3}
e. Não é função.
f. É	função	com	Im	=	{–	3,	1,	4}
04. C
05. C
06. a.	 0
b. 16
c. 12
d. 0
e. –	1;	3
07. L x
x se x
x x se x
( )
. .
, . . .
=
− ≤ ≤
− + − < ≤
30 10 000 500 1 000
0 01 40 10 000 1 000 32 0000

08. B
09. A
10. A posição do ponto é 2.
GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS11. A 12. D 13. C 14. E
15. E
16. a.		 0,25	ou	25%
b. f x
x
x
x
( )
( )
=
−
−
≤ ≤
25
100
0 25
17. Os	pontos	fixo	são	x	=	
3
2
 e 
x	=	–	1.
18. C
19. C
20. f(1)	= 
3
5
21. D x x= ∈ ≠ −
|
1
2
22. D	=	{x	∈|	x	>	–	1}
23. É	possível	executar	o	pro-
grama	para	x	≥	0.
24. 01.	g(0)	=	F(0)	+	2	=	0	+	2	=	2
 h(0)	=	F(0	+	2)	=	f(2)	=	–	2
02. 
a. y	=	g(x)
– 6 – 3 0
5
2
2
6
y
x
3
b. y	=	h(x)
– 8
– 2– 5
– 2
0 4
y
x
3
03. a. D(g)	=	{x	∈

|–	6	≤	x	≤	6}	
 b. D(h)	=	{x	∈|–	8	≤	x	≤	4}
Funções
PV
-1
3-
14
104
Matemática R:
25. a.		 D	=	{x	∈|	x	≤	r}
b. Im	=	{y	∈

| –	c < y ≤ c 
ou	y	=	–	r}
26. a.	 D	= 
b. 2	x	+	10	≠	0	⇒	x	≠	–	5
 D	=		–	{–	5}
c. 2	x	–1	≥	0 ⇒	x	≥ 
1
2
 
D x x= ∈ ≥{ }| 12
d. 3	x	–	6	≥	0	⇒	x	≥ 2
 	4	–	x	>	0 ⇒	x	< 4
 	D	=	{x	∈|	2	≤	x	<	4}
e. 3	x	–	12	≠	0	⇒	x	≠ 4
 	D	=		–	{4}
27. a.	 A	experiência	 tem	sig-
nificado para n natural e não 
nulo, ou seja, natural e positivo.
 b. Para	n	=	2,	temos:
f( )2 3
12
2
9= + =
 c. Portanto, na 2ª tenta-
tiva, a cobaia gastou 9 
minutos.
 
f n
n
n
n
( ) = + ≤ ⇒
⇒ ≤ ⇒ ≥
3
12
4
12
1 12
 O tempo será menor ou 
igual a 4 minutos a par-
tir da 12ª tentativa.
 d. Considerando que 12 0
n
> , 
para n ∈

*, jamais o tem-
po de percurso será menor 
que 3 minutos.
28. D	=	{3}
29. 1 0 1
3 0 3
1
+ ≥ ⇒ ≥ −
+ ≠ ⇒ ≠ −
 ⇒
⇒ = ∈ ≥ −{ }
x x
x x
D x x|
30. D	=	, pois:
x2	+	x	+	2	≠	0;	∀x,	x	∈
(D	=	1	–	8	=		–	7)
31. E
32. 
x 1 0 x 1
x 9 0 x 3 e x 3
x 2 0 x 2
2
− ≠ ⇒ ≠
− ≠ ⇒ ≠ − ≠
− ≥ ⇒ ≥



D	=	{x	∈|x	≥	2	e	x	≠	3}
2 3 
33. A 34. E 35. A 36. D 37. C
CAPÍTULO 02 
41. a.	 f(x)	=	2	+	3x
x y
0 2
−
2
3
0
D(f)	=	
CD	=	
Im(f)	=	
Função crescente
38. − −( ) ≥ ⇒ −( ) ≤ ⇒ − =
− = ⇒ = ⇒ = ⇒ = { }
x x x
x x x D
3 2 3 2 3
3 3
1 0 1 0 1 0
1 0 1 1 1
39. E
40. x
x x
x e x
x e x
x x x
x x
x x
+
+
− ≠ ⇒ ≠ + ≠ ⇒
⇒ ≠ ≠ −
⋅ +( ) − +( )
⋅ +( ) ≠
⋅ +
9
1
5
0 0 1 0
0 1
9 5 1
1
0
99 5 1 0
9 5 5 0
4 5 0
4
5
5
1
5
2
2
1
2
( ) − +( ) ≠
+ − − ≠
+ − ≠
= −
= −
= −
=
∴ = − −
x
x x x
x x
S
P
x
x
D  ;; ; ;−{ }1 0 1
 
x
y
2
2
3
−
b. f(x)	=	–2
 D(f)	=	
 CD	=	
 Im(f)	=	{–2}
 Função constante
x
y
– 2
PV
-1
3-
14
Funções
105
MatemáticaR:
42. C
43. C
44. A
45. D
46. C
47. E
48. E
49. E
50. D
51. E
52. a. O valor inicial Q0 é 
R$ 3,75.
b. O	 taxista	 percorreu	
30	km	naquele	dia.
53. D
54. A
55. C
56. D
57. A
58. O	lucro	será	de	R$	2.200,00.
59. A
60. a.	 g(3)	=	2
b f(x)	=	x
2
	para	todo	x	real.
c. S	=	{15}
61. Raízes:	x2	–	10x	+	25	=	0				
25
x
y
1050
S
P
x
ou
x
x
y f x f
v
v v
=
=

=
=
=
+
=
= = =
10
25
5
5
5 5
2
5
5 0( ) ( )
S
P
x
ou
x
x
y f x f
v
v v
=
=

=
=
=
+
=
= = =
10
25
5
5
5 5
2
5
5 0( ) ( )
D	=	
										Im	=	{y	∈|y ≥	0}
62. a b e c= − = =
5
6
5
3
5
2
;
63. Im	=	{y	∈| y ≤	3}
64. E
65. A
66. E
67. D
68. B
69. B
70. B
71. D
72. C
73. a. f x
x
( )
.
=
2
1 250
b. FC=	200	m
74. E
75. a.	 A	(3;	0)	e	B(–	1;	0)
b. C	=	(2;	12)
76. p q q
q
( ) ,
,
= − + + ⋅
∈[ ]
1 4 5
1 9
77. y	=	–	x2	+	2
78. D
79. B
80. D
81. a. De acordo com o gráfi-
co	há	dois	extremos,	um	valor	
máximo	 igual	 a	 3	 e	 um	 valor	
mínimo	igual	a	–2.
b. O	 valor	 máximo	 3	
ocorre	quando	x	=	–3	e	o	valor	
mínimo	–2	ocorre	em	dois	valo-
res	de	x,	um	em	x	=	–6	e	outro	
em	x	=	6.
82. O	valor	máximo	é	1.600.
83. A antena deve ser posicio-
nada a uma altura de 17 m.
84. O menor comprimento é 2.
85. a.	 Área	=	30x	–	2x2
b. x b
a
metrosmáx. ,= − =2
7 5
c. Áreamáx.	=	112,5	m2
86. D
87. C
88. f fmáx. min.;= = −
1
2
1
2
89. Cada lembrança deverá 
ser vendida por 9 reais.
90. C
91. C
92. A
93. a.
– 2– 3– 4– 5– 6 – 1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
– 9
10 32 4 5 6 x
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
b. p	=	–2
94. A
Funções
PV
-1
3-
14
106
Matemática R:
95. Sejam	 x	 e	 y	 as	 medidas	
(em centímetros) dos lados do 
retângulo	e	A	a	área	do	mesmo	
(em centímetros quadrados).
Temos:
1. 2 2 10 5
5 0 5
x y x y
y x x
+ = ⇔ + = ⇔
⇔ = − < <( )
2. A x xy A x x x
A x x x x
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= ⇒ = − ⇒
⇒ = − + < <
5
5 0 52
 
x
x
y y
b. O gráfico da área A em 
função	de	x	é	o	arco	de	parábo-
la mostrado na figura 2.
x0 5xmáx.
Amáx.
A
A	área	máxima	é	obtida	em	xmáx.
Graficamente: 
x x cmmáx máx. . ,=
+
⇔ =
0 5
2
2 5
Algebricamente:
x
b
a
x
x cm
máx máx
máx
. .
.
( )
,
=
−
⇔ =
−
−
⇔
⇔ =
2
5
2 1
2 5
96. O ponto de mínimo do 
gráfico da função é 3
2
1
4
; −  .
97. A
98. A
99. a.	 R$	90.000,00
b. R$	93.750,00
100. B
101. 29	(01	+	04	+	08	+	16)
102. F, V, V, V, V
103. A
104. a. Verdadeiro
b. Falso
c. Verdadeiro
105. B
106. C
107. B
108. B
109. B
110. C
111. a. f x x x( ) = − +
1
5
62
b. O projétil de defesa 
atingirá o projétil de ataque no 
ponto	P	 (10,	30)	e	o	alvo	não	
estará a salvo.
112. Para	 que	 E	 seja	 máxima,	 
(x2	–	4x	–	5)	 tem	que	ser	míni-
mo.	Assim	o	valor	de	x	que	torna	 
(x2	–	4x	–	5)	mínimo	é	o	x
b
av
=
−
2
.
∴ = =
− −( )
⋅
= =
=
− ⋅ −
= −
x x
E
v
4
2 1
4
2
2
10
2 4 2 5
10
92
113. a. Pela semelhança dos 
triângulos	ADE	e	ABC,	vem:
y x
20
30
30
=
−
 
Resolvendo, obtemos:
y x= − +
2
3
20
A
30
 m 3
0 
– 
x
D
B C
E
F
x
y
x
20 m
 b. Seja	S	a	área	do	retân-
gulo BDEF, então:
	 S	=	x	·	y
Substituindo y pelo resultado 
obtido no item a, vem:
S x x= ⋅ − + 
2
3
20
ou seja:
S x x= − +
2
3
202
cujo gráfico é parte de uma 
parábola de concavidade vol-
tada	para	baixo,	 como	mostra	
a figura:
Smáximo
S
V
xv x
Portanto, xv =
−
⋅ −
 
=
20
2 2
3
15 e 
y =
− ( ) + =2
3
15 20 10, ou seja, 
x	=	15	e	y	=	10.
114. A
115. 1.		 A(b)	=	–	6b2	+	22b	–	12
2. xv é o valor de b 
que	 fornece	 a	 área	 máxima:	
xv =
−
⋅ −( ) =
22
2 6
11
6
A áxm . =
49
6
116. a. 	 k	=	25
b. O menor valor para k 
é 2,5.
117. a.		 a	=	–	0,1;	b	=	1,0	e	c	=	1,1
b. A	distância	percorrida	
pelo peso equivale a 11 m.
118. a.	O	lucro	é	de	37,50	unida-
des monetárias.
b. Lucro	 máximo	 será	
dado	quando	i	=	10%	a.a..
119. D
120. B
PV
-1
3-
14
Funções
107
MatemáticaR:
CAPÍTULO 03 
121. A
122. S	=	{x	∈[–		10;	10]	|	2	<	x	≤	10}
123. E
124. C
125. O menor valor possível de x é 17 e o maior possível é 33.
126. O nível de LDL de Pedro, em mg/dl, pertence ao intervalo 
[112,	130].
127. 18
128. D	=	{x	∈	|	x	>	2}
129. D
130. a.	 S	=	{1,	2,	3,	4}
b. O	total	de	pares	corretos	de	palavras	sinônimas	é	30.
131. B
132. S	=	{x	∈	/	x	≤	0	ou	x	≥	3}
133. S	=	{		}
134. {		}	(vazio)
135. a. 5
b. 0
5
2
15
2
10≤ < < ≤p ou p
136. A
137. D
138. 
Temos	que	f	(	x)	=	x3	–	2x2	–	x	+	2	=	x2	·	(	x	–	2)	–	(	x	–	2)	=	(	x	–	2)	·	(	x2	–	1),	
cujas	raízes	–	1,	1	e	2	são	as	abscissas	dos	pontos	de	intersecção	
do	gráfico	de	f	(x)	com	o	eixo	x.
Dessa forma, considerando o gráfico dado:
0 x 2x x + 14 12
0 f(x) + 12 12 f(x) 0
2 x 1 ou 1 
3 2≤ − − ≤ ⇔
⇔ ≤ ≤ − ≤≤ ⇔
⇔ − ≤ ≤ − ≤ x 2, uma vez que f (x) é
crescente para x 1 e para x 2
≤
≤ − ≥ ..
Portanto V = [ 2; 1] [ 1 ; 2].− − ∪
139. D
140. k ∈;	k	<	0
141. A
142. ]–	3;	2[	∪	]3;	+	∞[
143. C
144. S	=	{x	∈	[–	4;	4]	|	–	3	<	x	<	–	2	ou	
–	
1
2
 <	x	<	
1
2
 	ou	1	<	x	<	3}
145. S	=	{x	∈|2 ≤ x	≤	4}	
146. D
147. S x x= ∈ − < < +


|
2 1
2
2 1
2
148. y1	=	x2	–	2x	–	8
– 2 4
x
y2 =	1	–	x	
x
1 –
+
+
+
–
+
–
–
–
+
+
–
–
y1:
y2:
P:
x– 2 1 4
V	=	{x	∈|	x	<	–	2	ou	1	<	x	<	4}
149. S	=	{x	∈

|x	<	–	1	ou	1	< x	< 2}
150. S	=	{x	∈

|	–	3	≤	x	≤ 1}
151. S	=	{x	∈

|x	=	–	2	ou	x	=	2	
ou	x	≥ 4}
152. B
153. D
154. S x x ou x= ∈ − < ≤ ≥
|
1
2
2 3
155. B
156. S	=	{x	∈|	x	< 1 ou 3 < x	<	4}
157. B
158. S	=	{x	∈ |	x	=	0	ou	1	< x	<	2}
159. D	=	{x	∈

 | 1 ≤ x	<	3	ou	x	>	4}
160. a. f x g x para
x ou x
( )· ( ) <
<
−
>
0
5
2
0
b. p ≤	–	3
Funções
PV
-1
3-
14
108
Matemática R:
CAPÍTULO 04 
161. D
162. A
163. A
164. a	=	1
165. E
166. a	=	1	e	b	=	0
167. B
168. A
169. D
170. C
171. E
172. D
173. C
174. D
175. C
176. C
177. a.		 y	=	250
b. g[h(–3)]	=	16.000
178. Note que, dado que a fun-
ção é ímpar:
f(–	5)	=	–	f(5)	=	0
f(–	2,5)	=	–	f(2,5)	=	–	5
Logo, podemos apresentar o 
seguinte gráfico:
5
5–5
–5
10 10 x
y
0
Agora, para calcular f(99), lem-
bre-se	de	que	o	período	é	10,	
então:	f(99)	=	f(89)	=	f(79)	=	...	
=	f(9)	=	f(–	1)
Assim,	a	abscissa	–1	está	sobre	
a	reta	y	=	2x,	x	∈	 [–	2,5;	2,5],	
então	f(99)	=	f(–	1)	=	–	2.
b. Inicialmente, definamos 
f(x)	no	intervalo	2,5	≤	x	≤ 5:
f x x f x x( )
,
( )=
−
+ ⇔ = − +
5
2 5
10 2 10
Assim, podemos calcular h(3):
h(3)	=	g(f(3))	=	g(4)	=	42	–	4	·	4	=	0
E	também	determinar	uma	expressão	para	h(x):
h(x)	=	g(f(x))
h(x)	=	f(x)2	–	4f(x)
h(x)	=	(–2	x	+	10)2	–	4(–	2x	+	10)
h(x)	=	4x2	–	32x	+	60
∴	h(3)	=	4	·	(3)2	–	32(3)	+	60
⇒	h(3)	=	0
179. g x x x
g x
f g x x
f g x
g x
( )
( )
( ( ))
( )
= − ⇒ =
+
( )( ) = − ⇒
⇒ =
+ 
3 2
2
3
15 14
15
2
3
−−
= + −
= −
= −
14
5 2 14
5 4
5 4
f g x g x
f g x g x
f x x
( ( )) ( ( ) )
( ( )) ( )
( )
180. C
181. C
182. D
183. Sim
184. E
185. A
189. C
190. A
191. Não
192. A
193. B
194. 40	(08	+	32)
186. 7	(01	+	02	+	04)
187. Demonstração:
x1 ≠	x2 ⇒	ax1 ≠	ax2 ⇒	ax1	+	b	≠	ax2	+	b	⇒	f(x1) ≠	f(x2)
Portanto,	f(x)	é	injetora.
188. Demonstração:
z é um real qualquer
z	=	ax	+	b
z –	b	=	ax
x
z b
a
f
z b
a
a
z b
a
b z b b z
=
−
−  =
−  + = − + =
Dado	z	real	qualquer,	existe	x	real	do	domínio,	onde	 x
z b
a
=
−
 
que satisfaz:
f
z b
a
z
−  =
Portanto,	f(x)	é	sobrejetora.
PV
-1
3-
14
Funções
109
MatemáticaR:
210. a.	 g[f(2)]
b. f–1[g(0)]
211. 02
212. B
213. D
214. f x
x
− ( ) = −( )1 2
3
215. f x
x
x
− ( ) = −1 1 3
216. C
217. f g5
7
2
10( ) + −  =
218. f x x− ( ) = − − +1 1 1
219. V, F, F, V
220. f x
x
− ( ) =
−
1 2
1
221. B
222. f(e		–	2)	=	e	–	2
223. V, V, F, F, V
224. 
f(x)
3
3
4
1
x
225. y
0 1
3
2
2
x
Im	=	[2;	+	∞[
226. E
227. A
228. E
229. A
230. A
195. a. não
b. não
c. sim
196. a.		 B	=	{y ∈|y ≥	–	4}
b. k xmáx v. = = 3
197. Sim. 
198. Sim. 
199. a. x x
x x
injetora1 2
1 2
1 1
≠ ⇒ ≠ ⇒
 Im	=	* ≠ CD ⇒ não é sobrejetora
b. x x 1
x
1
x
injetora
Im = =CD sobrejetora
bijetora1 2 1 2
≠ ≠ ≠



⇒
⇒*
200. a.	 B	=	{	y	∈|	y	≥	–1}
b. A	=	{	x	∈|	x	≥	2}	
 ou	A	=	{	x∈|	x	≤	2}
201. B
202. D
203. B
204. E
205. D
206. D
207. fog x
x( ) ( ) = +−1 3 3
2
208. A
209. a. Lei de f–1:
	 f(x)	=	x3 ⇒
 ⇒ y x
x y
y x
f x x f
=
=
=
∴ ( ) = →− −
3
3
3
1 3 1; :  
b. Gráficos de f e f–1:
 
8
2
20–1 8
–8
– 2
–2
– 8 1
Bissetriz
(8; 2)
(–8; –2)
(2; 8)
(–2; –8)
f: y = x3
−
=
31f : y x
x
y
Funções
PV
-1
3-
14
110
Matemática R:
231. f: , x + 5x 4
f 0 x + 5x 4 = 0 
x=1 ou x = 4, P
2
2
 → − −
⇒ − −
f x( ) =
( ) =x
11 2
3
(1,0), P (4,0)
x=0 (0) = 4, P (0,4)⇒ ƒ
0
1
1
2
2
3
3
4
4
Ay
Ax
232. A
233. A
234. B
235. 
f(x)
x0
– 3
25
4−
7
2
1
2−
236. E
237. A
238. Gráfico da função h:  →  
definida	por	h(x)	=	x2	–	4x
y = h(x) = x2 – 4x
0
–1
–2
1 2 3 4 x
–3
–4
I. Gráfico da função g:  → 	definida	por	g(x)=|x2	–	4|
y = g(x) = |x2 – 4x|
–4
–3
–2
–1
0 1 2 3 4 x
II. Gráfico da função f:  → 	definida	por	f(x)	=	|x|2	–	4|x|
 	Para	x	≥	0,	temos:	f(x)	=	x2	–	4x
 	Para	x	<	0,	temos	f(x)	=	x2	+	4x
 
– 4 – 3 – 2 – 1
– 1
– 2
– 3
– 4
1 2 3 4 x0
y = f(x) = |x|2 – 4|x|
239. C
240. D
241. 2x	–	1	=	–	7	⇒	x	=	–	3
ou	2x	–	1	=	7	⇒	x	=	4
S	=	{–	3;	4}
242. x x x x não convém
x x x x não conv
≤ ⇒ − −( ) = − ⇒ = ( )
≥ ⇒ −( ) = − ⇒ =
3
2
2 3 1 2
3
2
2 3 1
4
3
éém
S
( )
= ∅
243. S = { }34 12;
PV
-1
3-
14
Funções
111
MatemáticaR:
244. B
245. B
246. 27 diagonais
247. A
248. A
249. f(x) = x 2x+1
f(x) = x 1
f(x) = x 1
f(x) = g x
x 1 = x 1
Assim éneces
2
2
−
−( )
−
( )
− −
ssário que
x 1 0 x 1− ≥ ⇔ ≥
250. D
251. B
252. C
253. S	=	{–	5;	–	1;	0;	1}
254. a. f(x)	=	g(x)	⇔	|x	+	2|	=	
2|x	–	2|⇔	x	+	2	=	2(x	–	2)	ou
x	+	2	=	–	2(x	–	2)	⇔	x	=	6	ou	x	=	
2
3
 
Logo, V = 

2
3
6,
b. 
0
4
y
x
3
3
– 8
– 9
2
–2–3
255. F, V, F, V
256. a	=	2,	b	=	–	6,	c	=	–	8
257. a ou a ou a= = =
3
4
1
5
4
258. a	=	1	e	b	=	3
259. E
260. D
261. x x x x
x x x x
x
≥ ⇒ = ⇒ ≥
< ⇒ = − ⇒ − ≥ ⇒
⇒ ≤ −
0 5
0 5
5
Considerando	as	duas	situações	acima:	x ou x≤ − ≥5 5
S x x ou x= ∈ ≤ − ≥{ }| 5 5
262. B
263. x x x x
x x x
x x
≥ ⇒ = ⇒ <
< ⇒ = − ⇒
⇒ − < ⇒ > −
0 2
0
2 2
Combinando	as	duas	situações	acima:	− < <2 2x .
S x x= ∈ − < <{ }| 2 2
264. a.		 f(0)	=	0
b. a	=	–	8
c. f(a)	=	–	512
265. E
266. B
267. D
268. C
269. C
270. |3x	+	2|	≥	4
3x	+	2	≥	4
3x	≥	2
x	≥	
2
3
ou
3x	+	2	≤	–	4
3x	≤	–	6
x	≤	–	2
S x x ou x= ∈ ≤ − ≥{ } / 2 23
Funções
PV
-1
3-
14
112
Matemática R:
271. a. Vamos multiplicar a desigualdade por 2, somar (– 4) a cada membro e depois multiplicar 
por (– 1), não esquecendo neste caso de mudar o sentido das desigualdades:
1
4
2
8 2 4 16 2 4 16 4
2 12 2 12 12 2
<
−
< ⇔ < − < ⇔ − < − < − ⇔
⇔ − < − < ⇔ > > ⇔ − < <
= ∈
x
x x
x x x
S x |− < <{ }12 2x
b. Lembrando	de	que	|x|	>	a,		a	>	0		⇔		x	< –	a	ou	x	> a, temos:
2 5 10 2 5 10 2 5 10
5 12 5 9
5 12 5 8
− > ⇔ − < − − > ⇔
⇔ − < − − > ⇔
⇔ > > − ⇔
⇔
x x ou x
x ou x
x ou x
x << < − ⇔
< − >
= ∈ < − >


12
5
8
5
8
5
12
5
8
5
12
5
ou x
x ou x
S x x ou x|
278. a. x
f x x x x
f x x
x
f x x x
< −
= − −( ) − +( ) − −
= − −
− ≤ <
= − −( ) +
1
2
2 2 1 6
4 5
1
2
2
2 2
( )
( )
( ) ++( ) − −
= −
≥
= −( ) + +( ) − −
= −
1 6
3
2
2 2 1 6
2 7
x
f x
x
f x x x x
f x x
( )
( )
( )
 
y
x
f(x) f(x)
2
0 1 2 3 47
2
5
4 – 1
–1
– 2
– 3
– 1
2
–
g(x)
b. Fazendo	g(x)	=	2x	+	2,	temos,	agora,		que	resolver	f(x)	>	g(x).
Pelo	gráfico,	f(x)	=	g(x),	para	x	<	–	
1
2
.
Assim,		f(x)	=	g(x)	⇒	–	4x	–	5	=	2x	+	2	⇒ –	6x	=	7	⇒ x	=	−
7
6
Logo,	f(x)	>2x	+	2	para	x	<	−
7
6
.
279. x	≥	0	⇒	|x|	=	x	⇒	x	<	x	⇒ 0	<	0,	que	é	falso	para	qualquer	valor	de	x	≥	0.
x	<	0	⇒	|x|	=	–	x	⇒	–	x	<	x	⇒ 2x	>	0	⇒ x	>	0, que	é	falso	para	qualquer	valor	de	x	<	0.
S	=	∅
280. C
272. E 273. D 274. E 275. E 276. A 277. A