alg lin 4

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3 -  MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR 
Definição 1 - Matriz complementar de um elemento aij de A,  é a  matriz
indicada por Aij, obtida quando se elimina a linha i e a coluna j da matriz A.  
Definição 2 - Co-fator ou complemento algébrico do elemento aij, que se 
 indica por aij, calculado por:                                          aij = (-1)i+j.det(Aij) 
Seja, por exemplo, a matriz A, tal que:
= 1.(0 – 2.8) = -16
= (-1).(3.8 – 5.7) = 11
EXERCÍCIO
1 – Calcule a13.a13 + a23.a23 + a33.a33
2 – Calcule a21.a21 + a22.a22 + a23.a23
3 – Calcule det(A).
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OBSERVE:
No exercício 1 você usou a 3ª coluna da matriz A, obtendo então a soma
dos produtos dos elementos dessa fila pelos respectivos complementos
algébricos.
No exercício 2 você usou a 2ª linha da matriz A, obtendo então a soma
dos produtos dos elementos dessa fila pelos respectivos complementos
algébricos.
4 – Calcule a13.a12 + a23.a22 + a33.a32
5 – Calcule a21.a32 + a22.a32 + a23.a33
Qual foi o resultado comparando com o do exercício 3?
Nos exercícios 4 e 5, multiplicou-se uma fila pelos complementos algébricos
de uma fila paralela.
Qual foi o resultado?
Que conclusões podem ser tiradas?
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CONCLUSÃO 1 – TEOREMA DE LAPLACE
O determinante de uma matriz é igual à soma dos 
elementos de uma fila multiplicados pelos respectivos 
complementos algébricos. 
CONCLUSÃO 2
A soma dos elementos de uma fila 
multiplicados pelos complementos algébricos de uma fila paralela, na mesma 
ordem, é igual a zero.
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Exercícios 
1 - Usando as propriedades calcule os determinantes das matrizes: 
2 - Aplicando as propriedades, calcule os determinantes das matrizes: 
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3 - Crie duas matrizes quadradas de ordem 2x2 e verifique 
 se as igualdades a seguir são falsas ou verdadeiras.      a) det(A + B) = det(A) + det(B)              
 b) det(AB) = det(BA)  
 c) det(AB) = det(A).det(B)            
 c) det(A) = det(AT) 
4 - Mostre que o determinante de uma matriz A = [aij] é igual a 
 a11a22a33...ann se aij = 0 quando i > j. 
5 – Calcule o determinante da matriz 
6 - Qual é o valor do determinante da matriz identidade?