AP3_2012_1_Gabarito.pdf

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP3 - 2012.1
Questa˜o 1 (2 pontos). Resolva e simplifique as expresso˜es:
a) 49−
1
2 ·
√
63 · 27 · 28 · 75 · (312)− 14
b)
[
x4 + y4 − 2x2y2
x2 + y2 + 2xy
− y2
]
1
x2
Soluc¸a˜o:
a)
49−
1
2 ·
√
63 · 27 · 28 · 75 · (312)− 14 = 1
491/2
·
√
7 · 32 · 33 · 22 · 7 · 3 · 52 · 1
(312/4)
=
1√
49
·
√
72 · 36 · 22 · 52 · 1
33
=
1
7
·
√
72 · 36 · 22 · 52 · 1
33
=
1
7
· 7 · 33 · 2 · 5 · 1
33
= 2 · 5 · 1
3
=
10
3
1
b) [
x4 + y4 − 2x2y2
x2 + y2 + 2xy
− y2
]
1
x2
=
[
(x2 − y2)2
(x+ y)2
− y2
]
1
x2
=
{
[(x+ y)(x− y)]2
(x+ y)2
− y2
}
1
x2
=
[
(x+ y)2(x− y)2
(x+ y)2
− y2
]
1
x2
=
[
(x− y)2 − y2] 1
x2
=
(
x2 + y2 − 2xy − y2) 1
x2
=
(
x2 − 2xy) 1
x2
= 1− 2y
x
Questa˜o 2 (2 pontos). Considere os conjuntos A = {19, 21, 23, 25} e B = {17, 19, 23}.
Decida se e´ verdadeira ou falsa cada uma das proposic¸o˜es abaixo e justifique atrave´s da
ana´lise dos elementos dos conjuntos dados.
a) ∀x ∈ B, ∃y ∈ A; y = x+ 2 Verdadeira:
para x = 17 tomamos y = 19 (19 ∈ A),
para x = 19 tomamos y = 21 (21 ∈ A) e
para x = 23 tomamos y = 25 (25 ∈ A).
b) ∃y ∈ A; ∀x ∈ B, y = x+ 2 Falsa:
Para y = 19, tomando x = 19 em B vemos que na˜o vale y = x+ 2;
Para y = 21, tomando x = 17 em B vemos que na˜o vale y = x+ 2;
Para y = 23, tomando x = 19 em B vemos que na˜o vale y = x+ 2;
Para y = 25, tomando x = 19 em B vemos que na˜o vale y = x+ 2.
Logo na˜o existe y ∈ A tal que para todo x ∈ B vale y = x+ 2.
2
c) ∀x ∈ A, (x < 20⇒ x ∈ B) Verdadeira:
O u´nico elemento de A menor que 20 e´ o 19, que tambe´m pertence a B.
d) ∀x ∈ A, (x ∈ B ⇒ x < 20) Falsa:
Tome x = 23 em A. Enta˜o x ∈ B, mas x na˜o e´ menor que 20. Logo existe x pertencente
a A tal que x tambe´m pertence a B, mas na˜o e´ menor que 20.
Questa˜o 3 (2 pontos). Uma pesquisa revela as expectativas dos varejistas com relac¸a˜o a`s
vendas para o dia das ma˜es de 2012. A previsa˜o e´ de que aproximadamente 50% das compras
sejam realizadas com pagamento a` vista, 30% financiadas com uso de carta˜o, e o restante
seja pago com outras formas de financiamento, sem uso de carta˜o (como cheque pre´-datado
e credia´rios.)
a) De acordo com as previso˜es, total de vendas que na˜o sera˜o pagas a` vista, qual e´
a percentagem prevista para pagamentos com uso de carta˜o? Resposta: 60% (pois
as vendas financiadas correspondem a 50% do total e as com carta˜o correspondem a
30% das financiadas, donde conclu´ımos que as financiadas com carta˜o correspondem
(30/50)% = 60% das compras que na˜o sera˜o pagas a` vista.
b) Considerando apenas as compras financiadas (com ou sem uso de carta˜o), segundo as
previso˜es, a quantidade de pagamentos com carta˜o deve ser quantos porcento superior
em relac¸a˜o ao nu´mero de vendas realizadas sem este recurso? Resposta: 50%. Das
compras financiadas, como vimos acima 60% sera˜o com carta˜o, logo restara˜o 40% das
compras a prazo para serem pagas sem uso de carta˜o. A diferenc¸a entre uma forma e
outra representa 20% do total de vendas financiadas e, portanto, (20/40)% = 50% das
vendas financiadas sem uso de carta˜o.
Questa˜o 4 (4 pontos). a) Represente, usando o plano cartesiano dado nesta prova, o
gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2 − 15
2
x+
25
2
.
3
Soluc¸a˜o: Para representar este gra´fico vamos buscar as ra´ızes da func¸a˜o, o ponto em
que ela cruza o eixo y e seu ve´rtice.
Ra´ızes:
Usando Bhaskara, vemos que ∆ = 225
4
− 100
2
= 225−200
4
= 25
4
. Logo as ra´ızes devem ser
dadas por:
x1 =
(
15
2
+
√
25
4
)
1
2
=
(
15
2
+
5
2
)
1
2
= 5
e
x2 =
(
15
2
−
√
25
4
)
1
2
=
(
15
2
− 5
2
)
1
2
= 2, 5
Ve´rtice:
Para achar a coordenada xv do ve´rtice devemos encontrar o ponto me´dio entre as ra´ızes:
xv = (x1 + x2)/2 = 7, 5/2 = 3, 75.
Para achar a coordenada yv do ve´rtice, vamos substituir o valor de xv na func¸a˜o:
f(3, 75) = f(15/4) =
225
16
− 15
2
15
4
+
25
2
=
225− 450 + 200
16
=
25
16
≈ 1, 6
Intersec¸a˜o com o eixo y:
Par achar esta intersec¸a˜o basta calcular f(0).
f(0) =
25
2
= 12, 5
A partir de todos estes dados podemos trac¸ar a para´bola tal como encontramos no fim
da soluc¸a˜o.
b) Seja C = {x ∈ R2;−x + 2y ≤ 11, 3x − 2y ≤ 10 e x + y > −1}. Represente,
ainda no mesmo plano cartesiano, o conjunto C.
4
Soluc¸a˜o:
Para representar o conjunto C temos que trac¸ar as retas que definem seus limites, e
verificar qual a desigualdade presente na inequac¸a˜o para descobrir qual das regio˜es
separadas pela reta nos interessa e ainda, para saber se pontos da pro´pria reta podem
ou na˜o pertencer ao conjunto.
Para a inequac¸a˜o −x + 2y ≤ 11 vamos trac¸ar a reta r1 : −x + 2y = 11. Para trac¸ar
a reta precisaremos de dois pontos. Quando x = 0 temos que y = 5, 5, quando x = 7
temos que y = 9. A partir destes pontos trac¸amos a reta r1 no gra´fico. Observamos que
a inequac¸a˜o equivale a y ≤ (11 + x)/2, logo a regia˜o que buscamos deve restringir-se
aos pontos que esta˜o na reta ou abaixo dela.
Para a inequac¸a˜o 3x−2y ≤ 10 vamos trac¸ar a reta r2 : 3x−2y = 10. Para trac¸ar a reta
precisaremos de dois pontos. Quando x = 2 temos que y = −2, quando x = 10 temos
que y = 10. A partir destes pontos trac¸amos a reta r2 no gra´fico. Observamos que a
inequac¸a˜o equivale a y ≥ (3x − 10)/2, logo a regia˜o que buscamos deve restringir-se
aos pontos que esta˜o na reta ou acima dela.
Para a inequac¸a˜o x + y > −1 vamos trac¸ar a reta r3 : x + y = −1. Para trac¸ar a
reta precisaremos de dois pontos. Quando x = 0 temos que y = −1, quando x = −4
temos que y = 3. A partir destes pontos trac¸amos a reta r3 no gra´fico. Observamos
que a inequac¸a˜o equivale a y > x − 1, logo a regia˜o que buscamos deve restringir-se
aos pontos acima da reta.
Agora podemos marcar o conjunto C como a intersec¸a˜o das regio˜es obtidas. Atente
para a representac¸a˜o da fronteira do conjunto: segmento tracejado para indicar que
na˜o esta´ contido em C e so´lido para o contra´rio. A regia˜o C esta´ representada no
triaˆngulo hachucrado.
5
c) Seja D o conjunto dos pontos (x, y) ∈ C que tambe´m pertencem ao gra´fico de f .
Encontre o ponto M = (x, y) ∈ D para o qual o valor de f(x) e´ ma´ximo. Voceˆ deve
marcar este ponto no gra´fico e encontrar suas coordenadas.
Soluc¸a˜o:
Observando o gra´fico, vemos que o ponto (x, y) da regia˜o C em que f(x) assume
ma´ximo valor esta´ na intersec¸a˜o mais a` direita da para´bola com a reta r1. Para
conhecer a localizac¸a˜o exata deste ponto, temos que resolver o sistema a seguir:


−x+ 2y = 11
x2 − 15
2
x+
25
2
= y
Isolando y na primeira equac¸a˜o (y = (11 + x)/2) e substituindo na segunda, obtemos:
x2 − 15
2
x+
25
2
=
11 + x
2
2x2 − 15x+ 25 = 11 + x
2x2 − 16x+ 14 = 0
x2 − 8x+ 7 = 0
Resolvendo esta equac¸a˜o pelo me´todo da soma e produto, obtemos S = 8 e P = 7,
donde as ra´ızes devem ser x = 1 e x = 7. Lembrando que estamos interessados na
intersec¸a˜o que ocorre mais a` direita, vamos tomar x = 7. Substitu´ımos para encontrar
o valor de y: y = (11 + x)/2 = 9. Logo o ponto que buscamos e´ M = (7, 9).
6
7