AP3-MetDet-2023-1-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Métodos Determińısticos I – 1/2023
Código da disciplina EAD06075
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
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• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula,
Polo e Data.
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cador.
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ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
Respostas.
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pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
• As Folhas de Respostas serão o único material con-
siderado para correção. Quaisquer anotações feitas
fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho,
serão ignoradas.
(Este texto é comum às questões 1 a 4 a seguir.)
Os clientes da empresa de telecomunicações podem contratar planos com TV a cabo, internet e streaming de TV
por internet. Cada cliente pode contratar o plano com TV a cabo, com internet ou com ambos. Apenas os clientes
que contratam o plano de internet mas não contratam TV a cabo podem contratar streaming de TV por internet.
Sabe-se que:
i. 4/5 dos clientes que poderiam contratar streaming de TV por internet, de acordo com a regra acima, realmente
contrataram.
ii. Metade dos clientes que contratam plano de internet contratam streaming de TV por internet.
iii. O número de clientes que contratam TV a cabo é o dobro do número de clientes que não contratam.
iv. Todo cliente contrata pelo menos um dos planos.
v. A empresa possui um total de 90.000 clientes.
Questão 1 (0.5 pt) Represente a situação por meio de uma diagrama de Venn, chamando de I o conjunto dos
clientes que contratam plano de internet, de C o conjunto dos clientes que contratam TV a cabo e de S o conjunto
dos clientes que contratam streaming de TV por internet.
Métodos Determińısticos I AP3 2
Solução: Todo cliente contrata pelo menos um dos planos. Além disso, só pode contratar streaming de TV por
internet o cliente que também contratou plano de internet, mas não contratou TV a cabo. Portanto S ⊂ I − C.
Assim, a situação pode ser descrita pelo diagrama abaixo:
Note que não representamos um conjunto-universo U exterior aos conjuntos I e C, uma vez que não há cliente que
não esteja em algum destes conjuntos.
Questão 2 (1.0 pt) Chame de x o número de clientes que contratam streaming de TV por internet. Escreva, em
função de x, o número de clientes que poderiam ter contratado streaming de TV por internet mas não o fizeram.
Solução: Chamando de x o número de clientes que contrataram streaming de TV por internet, temos, pela afirmação
i que x é 4/5 do número total t de clientes que poderiam ter contratado streaming de TV por internet, que é o número
de elementos do conjunto I − C. Assim,
x = 45 t,
logo, t = 54 x. Lembramos que este é o total de clientes que poderiam ter contratado streaming de TV por internet.
Logo, o número de clientes que poderiam, mas não fizeram, isto é, o número de elementos do conjunto ((I−C)−S),
é dado por
t− x = 54x− x =
5x− 4x
4 =
x
4 .
Representando no diagrama:
Questão 3 (1.0 pt) Escreva, em função de x, o número de clientes que contratam simultaneamente plano de TV a
cabo e de internet.
Solução: Vamos chamar de i o número total de clientes que contrataram plano de internet. Assim, pela afirmação
ii, temos que
x = i2 ∴ i = 2x.
Assim, o número de clientes que contrataram tanto internet quanto TV a cabo é
i− x− x4 = 2x− x−
x
4 =
8x− 4x− x
4 =
3x
4 .
Representando no diagrama:
Questão 4 (1.0 pt) Quantos clientes contratam streaming de TV por internet?
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Métodos Determińısticos I AP3 3
Solução: Observando o diagrama anterior, vemos que o número de clientes que não contrataram TV a cabo é dado
por
x + x4 =
4x + x
4 =
5x
4 .
Chame de y o número de clientes que contrataram apenas TV a cabo. Assim, o número de clientes que contrataram
TV a cabo é dado por y + 3x4 . Pela afirmação iii, temos
y + 3x4 = 2 ·
5x
4 ∴ y +
3x
4 =
10x
4 ∴ y =
10x
4 −
3x
4 ∴ y =
7x
4 .
Representando no diagrama:
Pela afirmação v, temos
x + x4 +
3x
4 +
7x
4 = 90.000 ∴
4x + x + 3x + 7x
4 = 90.000 ∴
15x
4 = 90.000 ∴
∴
x
4 = 6.000 ∴ x = 24.000.
(Este texto é comum às questões 5 a 6 a seguir.)
Um comerciante adquire um produto, junto ao fornecedor, por 200 reais. Ao vender o produto, o comerciante deverá
recolher, como impostos, o equivalente a 40% do valor agregado, isto é, da diferença V − C entre o preço de venda
V e o de compra C.
Questão 5 (1.0 pt) Dê o valor do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja de 350 reais.
Solução: Com o valor de 350 reais para venda, o imposto será dado por
I = 40% · (V − C) = 40100(350− 200) =
2
5 · 150 = 60.
Logo, o imposto será de 40 reais.
Questão 6 (1.5 pt) Escreva a expressão do imposto I e do lucro L (dado por L = V − C − I), em função apenas
de V . Depois, dê o valor de V para o qual o comerciante obterá um lucro de 72 reais na venda.
Solução: O imposto é de 40% da diferença V − C, logo é dado por
I = 40% · (V − C) = 25(V − C) =
2
5(V − 200) =
2V
5 − 80.
O lucro do vendedor será dado por
L = V − C − I = V − 200−
(
2V
5 − 80
)
= V − 200− 2V5 + 80 = V −
2V
5 − 120 =
3V
5 − 120.
Vamos descobrir então o valor de V para que tenhamos L = 72:
L = 72⇔ 3V5 − 120 = 72⇔
3V
5 = 192⇔ 3V = 960⇔ V = 320.
O preço de venda deverá ser de 320 reais.
(Este texto é comum às questões 7 a 10 e a seguir.)
Considere que as funções de demanda e de oferta de um determinado produto são dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 4P + 5 e Q(P ) = 2 P − 4,
onde P é o preço do produto em reais e D e Q são a demanda e a oferta, respectivamente, em milhões de unidades.
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Métodos Determińısticos I AP3 4
Questão 7 (1.0 pt) Qual é o preço máximo do produto (valor acima do qual não há demanda pelo mesmo)? E qual
é o preço ḿınimo (valor abaixo do qual não há oferta)?
Solução: Preço máximo:
D(P ) = 0⇔ −P 2 + 4P + 5 = 0⇔ P =
−4±
√
42 − 4(−1)(5)
2 · (−1) =
−4±
√
36
−2 =
−4± 6
−2 ⇔
⇔ P = 5 ou P = −1.
Como P > 0, temos, como preço máximo, P = 5, isto é, R$5,00.
Preço ḿınimo:
Q(P ) = 0⇔ 2P − 4 = 0⇔ 2P = 4⇔ P = 2.
Temos então, como preço ḿınimo, R$2,00
Questão 8 (1.0 pt) A partir de uma análise da função quadrática D, que representa a demanda, determine a
demanda máxima do produto e o preço para o qual ela ocorre.
Solução: Sabemos que a demanda deste produto é dada por D(P ) = −P 2 + 4P + 5. Considerando os coeficientes
a = −1, b = 4 e c = 5, a demanda máxima é dada por
Dmax = −
∆
4a = −
b2 − 4ac
4a = −
16− 4(−1)(5)
4(−1) = −
36
−4 = 9.
Ou seja, a demanda máxima é de 9 milhões de unidades. Esta demanda máxima ocorre para
P = − b2a = −
4
2(−1) = 2,
isto é, para o preço de R$2,00.
Questão 9 (1.0 pt) Qual é o preço de equiĺıbrio para este produto? Considere
√
10 = 3.16.
Solução: O preço de equiĺıbrio P é tal que
D(P ) = Q(P )⇔ −P 2 + 4P + 5 = 2 P − 4⇔ −P 2 + 2P + 9 = 0⇔ P 2 − 2P − 9 = 0⇔
⇔ P =
2±
√
22 − 4(1)(−9)
2 · 1 =
2±
√
4 + 36
2 =
2±
√
40
2 =
2± 2
√
10
2 = 1±
√
10⇔
⇔ P ≈ 1− 3.16 = −2.16 ou P ≈ 1 + 3.16 = 4.16.
Como P não pode ser negativo, o preço de equiĺıbrio será de R$4,16.
Questão 10 (1.0 pt) Esboce em um mesmo plano cartesiano as curvas de demanda e de oferta deste produto,
identificando cada uma delas. Destaqueos pontos onde a oferta ou a demanda são iguais a zero, os pontos de
equiĺıbrio e o ponto de demanda máxima.
Solução: A função demanda, de expressão D(P ) = −P 2 + 4P + 5, é uma função quadrática cujo gráfico tem
concavidade para baixo. Suas ráızes já foram calculadas na questão 7, e são −1 e 5. Seu máximo, calculado na
questão 8, é 9, obtido quando P = 2.
A função oferta, de expressão Q(P ) = 2P − 4 tem como gráfico uma reta. Sabemos, pela questão 7, que Q(2) = 0.
Para obtermos outro ponto do gráfico desta função, vamos substituir o preço de equiĺıbrio:
Q(4.16) = 2 · 4.16− 4 = 4.32.
Assim, podemos traçar os gráficos das duas funções, definidos para 2 6 P 6 5 (preços ḿınimo e máximo), e que se
encontram no ponto de equiĺıbrio (4.16, 4.32).
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