Cálculo Diferencial e Integral I

Prévia do material em texto

Regina Maria Sigolo Bernardinelli 
Sandra Regina Leme Forster
Cálculo Diferencial 
e Integral I
Adaptada/Revisada por Sandra Regina Leme Forster (janeiro/2013)
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Cálculo Diferencial 
e Integral I, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmi-
co e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) 
alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
APRESENTAÇÃO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 5
1 CONJUNTOS NUMÉRICOS ............................................................................................................... 7
1.1 Conjunto dos Números Naturais ...............................................................................................................................7
1.2 Conjunto dos Números Inteiros .................................................................................................................................8
1.3 Conjunto dos Números Racionais ..........................................................................................................................10
1.4 Números Irracionais .....................................................................................................................................................12
1.5 Conjunto dos Números Reais ...................................................................................................................................12
1.6 Desigualdades ...............................................................................................................................................................16
1.7 Aplicações das Desigualdades ................................................................................................................................17
1.8 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................18
1.9 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................18
2 FUNÇÃO ..................................................................................................................................................... 19
2.1 Par Ordenado .................................................................................................................................................................19
2.2 Produto Cartesiano ......................................................................................................................................................20
2.3 Relação .............................................................................................................................................................................23
2.4 Função ..............................................................................................................................................................................24
2.5 Funções do 1° Grau ......................................................................................................................................................28
2.6 Função Constante.........................................................................................................................................................37
2.7 Função Quadrática .......................................................................................................................................................40
2.8 Função Exponencial ....................................................................................................................................................48
2.9 Função Logarítmica .....................................................................................................................................................51
2.10 Função Modular ..........................................................................................................................................................57
2.11 Aplicações das Funções ...........................................................................................................................................61
2.12 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................70
2.13 Atividades Propostas ................................................................................................................................................70
3 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .................................................. 73
3.1 Triângulo Retângulo ....................................................................................................................................................73
3.2 Círculo Trigonométrico ...............................................................................................................................................74
3.3 Algumas Relações Trigonométricas do Triângulo Retângulo ......................................................................76
3.4 Algumas Funções Trigonométricas .......................................................................................................................77
3.5 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................84
3.6 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................84
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 87
REFERÊNCIAS ...........................................................................................................................................103
SUMÁRIO
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5
Caro(a) aluno(a), 
Esta apostila destina-se aos(às) alunos(as) dos cursos de Engenharia de Ambiental e Engenharia de 
Produção, com a finalidade de servir de orientação aos estudos da disciplina Cálculo Diferencial e Inte-
gral I. Ela foi elaborada com o objetivo de fornecer ferramentas para ampliar os conhecimentos e auxiliar 
o(a) aluno(a) do Ensino a Distância (EaD). 
Em sua elaboração, procurou-se criar uma linguagem diferenciada daquela que normalmente apa-
rece nos livros, a fim de lhe proporcionar uma melhor compreensão.
A apresentação dos conteúdos está estruturada em partes teóricas, aplicações em forma de exercí-
cios resolvidos que aparecem como exemplos e exercícios de aprendizagem para melhor compreensão 
dos assuntos abordados. 
Espera-se, com este material, contribuir de forma expressiva no seu aprendizado, porém sua parti-
cipação nas aulas ao vivo, realização dasatividades e interação no correio, fóruns de discussões e chats 
são fundamentais para o seu sucesso.
Objetiva-se também que você reconheça e utilize a linguagem algébrica como a linguagem das 
ciências, necessária para expressar as relações entre grandezas e modelar situações-problema, construin-
do modelos descritivos e fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da matemática. 
Embora a apostila seja um pouco extensa, ela se divide em apenas dois capítulos. No capítulo 1, 
estudaremos os conjuntos numéricos, pois é necessário que se entenda com clareza o número real, já 
que em todas as disciplinas de Cálculo a referência será esse conjunto. No capítulo 2, será tratado com 
detalhes o estudo de algumas funções, tais como: a função polinomial do 1º grau, do 2º grau, exponen-
cial, logarítmica e modular. A função racional, tão importante como as anteriormente citadas, não está 
presente nesta apostila, mas será apresentada na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II, em aula 
web, junto ao limite de uma função. No capítulo 3, será apresentado um breve estudo de algumas fun-
ções trigonométricas.
Caso discorde de algo apresentado nesta apostila, comunique ao professor da disciplina, pois de-
sejamos ouvi-lo(la) para que possamos melhorar o curso a cada trimestre.
Sandra Regina Leme Forster
INTRODUÇÃO
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Caro(a) aluno(a),
A disciplina Cálculo, a qual será desenvolvi-
da ao longo deste curso, está dividida em quatro 
grandes tópicos, pois cada um deles tratará um 
conteúdo específico, com aprofundamentos por 
meio de poucas demonstrações de algumas pro-
priedades e por aplicações diversas pertinentes a 
cada uma delas. 
Mas o que será que esses tópicos terão em 
comum?
Se você “arriscou” a responder que são os 
números reais, muito bem! Você acertou! Por esse 
motivo, este primeiro capítulo apresentará uma re-
visão acerca dos conjuntos numéricos, já que não 
teria lógica iniciarmos nossos estudos pelos núme-
ros reais, pois estes estão formados por elementos 
pertencentes aos números naturais, inteiros, racio-
nais e irracionais.
Então, vamos lá? Ou melhor, então vamos 
estudar um pouquinho de cada um desses conjun-
tos?
1.1 Conjunto dos Números Naturais
Você está lembrado(a) desse conjunto? Faz tempo, não é? Você o estudou quando criança. Aliás, 
antes de estudá-lo, você já fazia uso desse tipo de número.
Ele é indicado pela letra N e, caso esteja em dúvida de qual conjunto estamos falando, aqui está ele: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }.
Vejam sua representação na reta:
Quando excluímos o zero, obtemos o conjunto dos naturais não nulos, que é indicado por: N* = {1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... }.
Sejam m e n dois números naturais. Então, podemos ter:
 m = n ou m > n ou m < n
sendo que: m > n e m < n 
CONJUNTOS NUMÉRICOS1
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Observação:
Ao justificar as afirmações anteriores, temos que m > n ⇔ (m - n) ∈ N*, pois como o m > n, o resul-
tado m – n obrigatoriamente será um número positivo, já que está sendo realizada a subtração de um 
número menor em relação a um número maior. 
Ainda, temos que m < n ⇔ (m - n) ∉ N, pois, nessa operação, o resultado será negativo, e vimos 
anteriormente que o conjunto N é constituído de números positivos e o zero. 
Exemplos
Bom, agora que relembramos o conjunto dos números naturais e algumas de suas propriedades 
operatórias, vamos ao próximo conjunto.
Qual é a diferença do conjunto dos números 
naturais e dos números inteiros?
Bom, o número natural também é um núme-
ro inteiro, mas, no conjunto dos números inteiros, 
teremos os números positivos e negativos. 
Esse conjunto é indicado pela letra Z, e pode 
ser escrito como:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
Vejam sua representação na reta:
1.2 Conjunto dos Números Inteiros
 0 1 3 2 4 5 ∙∙∙ ∙∙∙ -1 
-2 -3 -4 
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O conjunto dos números inteiros tem diversos subconjuntos, mas, na sequência, apresentaremos 
os principais:
Exemplos
Antes de apresentarmos o próximo conjunto numérico, que tal pensarmos um pouco em como 
explicar as afirmações contidas em cada retângulo. Elas são importantes para você ter certeza que enten-
deu o que foi apresentado sobre os números inteiros e seus subconjuntos. Vamos a elas.
Sejam m e n dois números inteiros. Então, podemos ter: m = n ou m > n ou m < n sendo que:
Agora, escreva como se lê cada uma das sentenças contidas nos retângulos.
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Prezado(a) aluno(a), quais são as lembranças 
que você tem desses números? Talvez não seja uma 
das melhores, mas acredite, é muito importante 
entendê-los e saber operar com eles, já que nosso 
dia a dia está “lotado” de situações que envolvem 
esses números. Quando somamos nosso dinheiro, 
quando fazemos uma receita de culinária, ao me-
dirmos as dimensões de um terreno para determi-
nar a área e o perímetro e em muitas outras.
Indicado pela letra Q, é o seguinte conjunto:
1.3 Conjunto dos Números Racionais
Exemplos
AtençãoAtenção
Observando os exemplos anteriores, convém notar que, quando escrevemos um 
número racional na forma decimal, este pode apresentar um número finito de ca-
sas decimais (decimal exato, como nos exemplos 1 e 2) ou um número infinito de 
casas decimais (dízimas periódicas simples e compostas, como nos exemplos 5 e 
6). É conveniente observar também que todo número inteiro é racional, pois pode 
ser escrito na forma m ∈ Z e n ∈ Z*}. Logo, Z ⊂ Q. 
 É importante saber que o número racional não representa apenas uma “di-
visão”, mas também pode representar “parte e todo”, uma “razão” e um “operador”.
Q = {x | x = , ou seja, é 
todo número obtido pela divisão de dois inteiros, 
com “n” diferente de zero.
Mas, você sabe por que o “n” deve ser dife-
rente de zero?
 Se não se lembra, fique tranquilo! Mas o “n” 
deve ser diferente de zero pois, nesse caso, o “n” é 
divisor do “m” e não é possível dividir por zero.
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Agora, sugiro que, antes da leitura dos próximos exemplos, você tente entender o que afirmamos 
a seguir.
 Sejam x e y dois números racionais. Então, podemos ter:
Exemplos
1. Comparar x = e y = x - y = 
Antes de apresentarmos o conjunto dos números racionais, nós o(a) convidamos a responder às 
questões a seguir, pois com elas poderá verificar como estão seus conhecimentos sobre os números 
racionais.
 As questões são:
ƒƒ Dê dois exemplos de números racionais nas formas decimal finita, decimal infinita periódica 
simples e decimal infinita periódica composta. Justifique o porquê de cada exemplo dado ser 
um número racional.
ƒƒ Compare os números racionais e apresente o caminho utilizado para fazer essa comparação.
Se você não conseguiu respondê-las, poderá retornar ao tópico sobre os “Números Racionais”, mas, 
se isso não for suficiente, que tal entrar em contato com o seu professor? Um bom local para essa discus-
são é o fórum de discussões.
- -
- = = < ⇒ <
3 5 33 35 2 0 x y
7 11 77 77
3
7
5
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Você sabe quais são esses números?
São os números não periódicos que podem 
ser escritos na forma decimal com infinitas casas 
decimais. Esses números não são racionais (não 
podem ser obtidos pela divisão de dois inteiros) e 
umadas formas de indicá-los é por Q (não racio-
nais).
1.4 Números Irracionais
1.5 Conjunto dos Números Reais
Exemplos
Agora, para instigá-lo(la), propomos que classifique cada número a seguir como racional ou irracio-
nal e, em seguida, explique a sua resposta.
Caso não tenha conseguido classificar ou explicar algum item proposto, convido-o(a) a buscar uma 
discussão sobre o tema no fórum de discussão desta disciplina.
Bom, você deve ter percebido que chegamos 
ao tema que deu origem a este capítulo, ou seja, os 
números reais.
O número real é todo número racional ou ir-
racional. Desse modo, indicado pela letra R, é a re-
união do conjunto dos números racionais (Q) com 
o conjunto dos números irracionais (Q ). 
 QQ ∪=ℜ 
Convém notar que os números reais podem 
ser representados numa reta de tal modo que todo 
número real corresponde a um ponto da reta, todo 
ponto da reta corresponde a um número real e, 
ainda, que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. 
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Uma propriedade dos números reais é que 
eles se apresentam ordenados: 0 é menor do que 1, 
-2 é menor do que - 1,8, π é maior do que 1,45327... 
e assim por diante. Na reta real, podemos observar 
que a é menor do que b, se, e somente se, a está à 
esquerda de b.
Sejam a e b dois números reais. Então, pode-
mos ter:
a = b ou a > b ou a < b 
O conjunto dos números inteiros tem diver-
sos subconjuntos, mas, na sequência, apresentare-
mos apenas alguns:
a) o conjunto dos números naturais;
b) o conjunto dos números inteiros;
c) o conjunto dos números racionais;
d) o conjunto dos números irracionais;
e) os infinitos intervalos numéricos.
Mas, o que é um intervalo numérico? Tente 
entender com a leitura do próximo quadro.
Sejam a e b dois números reais com a < b. Te-
mos:
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Vamos estudar como é que se opera com esses intervalos?
Exemplos
1. Dados os intervalos: I = [2, 7] e J = ]5, 9[, determine I ∩ J .
Explicando a resposta:
O símbolo ∩ é para indicar a operação de in-
terseção entre dois conjuntos. Nessa operação, é 
considerado como resposta o conjunto contendo 
os elementos que são comuns aos conjuntos. Nos 
conjuntos I e J, os elementos que se repetem vão 
do 5 ao 7, incluindo o 7, pois o conjunto I = [2, 7] 
está formado por todos os números reais entre 2 e 
7, incluindo os extremos, pois esse intervalo é fe-
chado. Já o conjunto J = ]5, 9[ está composto por 
todos os números entre 5 e 9, sem incluir os extre-
mos, pois o intervalo é aberto. Ao representarmos 
isso graficamente, o intervalo fechado tem extre-
mos com “bolas” fechadas e o intervalo aberto tem 
extremos com “bolas” abertas. Note que, na repre-
sentação gráfica, fica evidente qual é o intervalo 
numérico comum aos conjuntos ou, se preferir, aos 
intervalos I e J. Isso pode ser facilmente observado 
ao traçarmos segmentos pontilhados pelos pon-
tos extremos de cada um dos intervalos. Para esse 
exemplo, o intervalo de números que se repetem 
está entre o 5 e o 7. Note que o conjunto I tem o 
número 5, mas o conjunto J não tem esse número, 
pois em 5 o intervalo é aberto, o que significa que 
números maiores do que 5, mas bem próximos 
dele, são elementos desse intervalo; por exemplo: 
5,0000001. Em relação ao número 7, este pertence 
aos dois conjuntos, pois, em I, ele é um extremo 
com “bola” fechada, o que significa que pertence 
ao conjunto. Isso justifica o porquê de a resposta 
ser ]5,7], o que informa que são todos os números 
entre 5 e 7, incluindo o 7.
Explicando a resposta:
O símbolo ∪ é para indicar a operação de 
união entre dois conjuntos. Nessa operação, é con-
siderado como resposta o conjunto contendo to-
dos os elementos dos conjuntos. Nos conjuntos I e 
J, todos os elementos vão do -1 ao 8, incluindo o -1, 
pois o conjunto I = [-1, 6] está formado por todos 
os números reais entre -1 e 6, incluindo os extre-
mos, pois esse intervalo é fechado. Já o conjunto 
J = ]3, 8[ está composto por todos os números en-
tre 3 e 8, sem incluir os extremos, pois o intervalo 
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é aberto. Note que, na representação gráfica, fica 
evidente qual é o intervalo numérico com todos os 
elementos dos conjuntos apresentados ou, se pre-
ferir, dos intervalos I e J. Para esse exemplo, o inter-
valo contendo todos os números dos dois conjun-
tos está entre o -1 e o 8. Note que o conjunto I tem 
o número -1, mas o conjunto J não tem esse núme-
ro, mas, na união, deve ser considerada a “junção 
dos conjuntos”, logo não importa se há ou não a 
repetição dos elementos. Em relação ao número 8, 
este não pertence a nenhum dos conjuntos, pois 
observe que, em J, o 8 está representado por uma 
“bola” aberta. Como o 8 não pertence a nenhum 
dos conjuntos, ele não pertence à união dos dois 
conjuntos. Isso justifica o porquê de a resposta ser 
[-1,8[, o que informa que são todos os números en-
tre -1 e 8, incluindo o -1.
Bom, caso você queira testar se o que foi es-
tudado em intervalos numéricos e as operações de 
interseção e união ficaram bem entendidos, res-
ponda aos testes a seguir com F para as alternati-
vas falsas e V para as alternativas verdadeiras.
1. ( ) A = [2,10[ é um intervalo semiaberto, 
em que o extremo esquerdo pertence ao 
conjunto A e o extremo direito não per-
tence.
2. ( ) B = (2,3) é um conjunto com um 
número infinito de elementos.
3. ( ) C = [2,4] = {2, 3, 4}
4. ( ) Sejam A, B e C os conjuntos dos itens 
anteriores, pode-se afirmar que 
A ∪ B ∪ C = A
Em caso de dúvidas, não deixe para amanhã. 
Poste, agora mesmo, seus questionamentos e ob-
servações no fórum de dúvidas.
Saiba maisSaiba mais
Um pouco de história
Registros arqueológicos datam de 50.000 anos a capacidade do homem em contar. Essa capaci-
dade se desenvolveu ao longo da história humana conforme as atividades práticas e sociológicas 
foram acontecendo.
O conceito de sistema numérico surgiu para atender às necessidades em sistematizar a contagem. 
A partir daí, cada civilização criou sua forma particular de representação escrita (símbolos), com o 
intuito de facilitar as operações matemáticas. Surgia, então, o que chamamos números naturais.
Já com os Pitagóricos, surgiu o culto místico ao número; eles acreditavam que o universo era uma 
relação harmoniosa entre eles. Esse conceito foi fortemente abalado quando o próprio Pitágoras 
ou um dos pitagóricos calculou a medida da diagonal de um quadrado de lado unitário.
A partir da invenção da moeda e, mais tarde, com a expansão comercial do mundo conhecido, a 
circulação de dinheiro aumentou, isso obrigou os comerciantes a se adaptarem às situações en-
volvendo lucros e prejuízos. Dessa evolução, surgiu o que denominamos números inteiros.
Com o considerável desenvolvimento da geometria e da álgebra, surgiu a necessidade de expres-
sar a razão entre segmentos e quantidades; surgiam, então, os números racionais.
No século XVII, a geometria analítica estabeleceu a relação entre o geométrico e o algébrico, 
surgindo, então, a ideia de número incomensurável, mas somente no século XVIII Newton reco-
nheceu a existência de três conjuntos de números: os inteiros, os racionais e os irracionais. Nesse 
mesmo período, surgiu o número complexo, provado apenas geometricamente, que mais tarde 
se tornaria uma teoria aceita.
O conjunto dos números reais é a designação da união do conjunto dos números racionais e do 
conjunto dos números irracionais. Esse conjunto numérico existe para criar condições de resolu-
ção para equações e funções. 
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Querido(a) aluno(a),
Você já resolveu problemas sobre desigual-
dades?
Cuidado, aqui a questão não é sobre desi-
gualdade social ou algo similar, o que seria muito 
mais complicado do que a que estamos propondo!
Uma desigualdade, em matemática, é o mes-
mo que inequação. Isso mesmo, inequação, que 
são aquelas sentenças matemáticas envolvendo, 
normalmente, os sinais de > (maior), < (menor), ≥ 
(maior ou igual) e ≤ (menor ou igual).
Muitas vezes, devemos resolver desigualda-
des que envolvem expressões como 2x – 5 < 9. O 
número a é uma solução de uma desigualdade se 
esta é verdadeira quando substituímos x por a. O 
conjunto de todos os valores de x que satisfazem 
uma desigualdade é chamado conjunto solução 
da desigualdade. Na resolução da desigualdade, 
aplicam-se as propriedades apresentadas na tabe-
la a seguir:
Exemplo
Determine o conjunto solução da desigualdade 9x + 3 > 11x + 5.
Solução:
1.6 Desigualdades
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AtençãoAtenção
O processo de resolução usado nesse exemplo pode parecer absurdo e trabalhoso, 
mas trata-se de uma forma para que você, aluno(a) desta disciplina, entenda o por-
quê das mudanças de “operações” quando se “passa” os números de um membro 
para o outro nas resoluções das equações e das inequações. Isso não significa que 
terá que resolver dessa forma. Que tal você colocar no papel a resolução dessa ine-
quação, mas da forma que você aprendeu? 
1.7 Aplicações das Desigualdades
As desigualdades têm aplicação frequente 
para definir condições que ocorrem em diversas 
áreas; um exemplo disso está em analisarmos os 
níveis de produção.
Exemplo
Além do custo administrativo fixo, de R$ 
720,00, o custo da produção de x unidades de cer-
to item é R$ 3,00 por unidade. Durante o mês de 
outubro, o custo total da produção variou entre o 
máximo de R$ 1.155,00 e o mínimo de R$ 1.120,00 
por dia. Determine os níveis de produção máximo 
e mínimo durante o mês.
Resolução:
Como o custo de produção de uma unidade 
é R$ 3,00, a produção de x unidades é 3x. Além dis-
so, como o custo fixo diário é R$ 720,00, o custo 
total da produção de x unidades é C = 3.x + 720.
Ora, como o custo variou de R$ 1.120 a R$ 
1.155, podemos escrever que:
1.120 ≤ 3.x + 720 ≤ 1.155
1.120 - 720 ≤ 3.x + 720 – 720 ≤ 1.155 – 720
400 ≤ 3.x ≤ 435
133,33 ≤ x ≤ 145
400 3 435
3 3 3
x⋅
≤ ≤
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1.8 Resumo do Capítulo
1.9 Atividades Propostas
Assim, os níveis de produção diária durante 
o mês variam entre um mínimo de 133 unidades e 
um máximo de 145 unidades.
 
Produção diária 
máxima 
Produção diária 
mínima 
Produção de cada dia durante o 
mês recaiu nesse intervalo 
0 100 150 200 
133 145 
Neste capítulo, estudamos os conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais), 
que serão explorados ao longo das disciplinas Cálculo Diferencial e Integral. 
Além desses conjuntos, também revisamos como se opera com intervalos numéricos e como são 
resolvidas as inequações do 1º grau e aplicadas em problemas relacionados à economia.
Vamos, agora, avaliar a sua aprendizagem?
1. Forme o subconjuntos de Z para F = {x ∈ Z | -2 < x ≤ 3}.
2. Determine os elementos do conjunto A ={x ∈ Q | x . (x - 1) . (4x + 1) . (2x - 4) =0}
3. Represente na reta o subconjunto ℜ_ = {x ∈ ℜ | x ≤ 0} =] - ∞, 4[ .
4. Sendo I = ]0, 2] e J = [5, + ∞ [, determine: a) I ∩ J; b) I ∪ J. 
5. Determine o conjunto solução da desigualdade 
3
1
5
2
5
1
3
2
+≤- xx .
6. A receita da venda de x unidades de um produto é R = 120,20x e o custo da produção de x uni-
dades é C = 98x +800. Para que haja lucro, a receita de venda há de ser maior do que o custo. 
Para que valores de x esse produto dará lucro?
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Caro(a) aluno(a),
Você sabia que as funções são as melhores 
ferramentas para descrever o mundo real em ter-
mos matemáticos? 
Esse é um dos motivos que nos leva a relem-
brar vários tópicos importantes sobre esse tema e 
apresentar um capítulo com as ideias básicas das 
funções, seus gráficos, seus métodos para transla-
dá-los, mas, ao contrário do que normalmente se 
apresenta, existirá uma preocupação em apresen-
tar a função em suas diversas representações, ou 
seja, a partir de uma função representada alge-
bricamente, será solicitado seu gráfico; a partir do 
gráfico de uma função, será pedida a sua represen-
tação numérica; ou a partir de sua representação 
numérica, será solicitada a sua representação algé-
brica. 
Iniciaremos este capítulo com algumas de-
finições que irão nos auxiliar na compreensão do 
conceito de função.
Imaginem a seguinte situação: “para formar 
a equipe de basquete de um colégio, vamos sele-
cionar 5 alunos entre os da 3ª série A e da 3ª série 
B, indicando as quantidades de alunos escolhidos 
em cada classe do seguinte modo: anotamos entre 
parênteses, primeiramente, o número de selecio-
nados da 3ª série A e, depois, o da 3ª série B”.
Então, (3, 2) indicará que foram selecionados 
3 alunos da 3ª A e 2 alunos da 3ª B, enquanto (2, 3) 
indicará que foram selecionados 2 alunos da 3ª A e 
3 alunos da 3ª B. Assim, em (3, 2) e (2, 3) temos as 
mesmas quantidades, 3 e 2, porém dispostas em 
ordens diferentes. Por isso, dizemos que (3, 2) e (2, 
3) são dois pares ordenados diferentes. No nosso 
exemplo, podem ocorrer os seguintes pares orde-
nados: (5, 0), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) e (0, 5).
 Com esse exemplo, podemos formar a ideia 
de par ordenado como sendo um conjunto de 
dois elementos considerados numa dada ordem. 
Para lembrar que na representação de um par or-
denado a ordem é importante, usamos parênteses 
ao invés de chaves, como nos conjuntos em geral. 
Assim, (x, y) é o par ordenado de 1º termo x e 2º ter-
mo y, enquanto (y, x) é o par ordenado de 1º termo 
y e 2º termo x.
Podemos representar os pares ordenados de 
números reais por pontos de um plano.
Consideremos duas retas orientadas (eixos) x 
e y, perpendiculares e que se cortam num ponto O. 
Então, essas duas retas concorrentes determinam 
um único plano α cujos pontos serão associados 
aos pares ordenados (a, b) de números reais do se-
guinte modo:
1. marcamos em x o ponto P1 correspon-
dente ao número a e, por ele, traçamos a 
reta y’ paralela a y;
2. marcamos em y o ponto P2 correspon-
dente ao número b e, por ele, traçamos a 
reta x’ paralela a x.
Desse modo, as retas x’ e y’ interceptam-se 
num ponto P, que é associado ao par (a, b).
2.1 Par Ordenado
FUNÇÃO2
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20
•	 A cada par de números reais fazemos corres-
ponder um ponto do plano α e, também, a 
cada ponto do plano corresponde um par de 
números reais. Essa correspondência é deno-
minada sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais (ou sistema cartesiano ortogo-
nal). O plano α é chamado plano cartesiano.
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto 
A x B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence a A e o 
segundo elemento pertence a B.
2.2 Produto Cartesiano
Temos então:
ƒƒ P é o ponto de coordenadas (a,b);
ƒƒ o número a é a abscissa de P;
ƒƒ o número b é a ordenada de P;
ƒƒ o eixo x é o eixo das abscissas;
ƒƒ o eixo y é o eixo das ordenadas;
ƒƒ o ponto O é a origem e tem coorde-
nadas (O, O).
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Exemplos
1. Se A = {1, 2} e B = {2, 3, 4}, o produto cartesiano:
2. Se A = {x ∈ ℜ/2 ≤ x < 4} e B = {3},apresente em diferentes representações:
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3. Se A = {x ∈ ℜ/2 < x ≤ 4} e B = {x ∈ ℜ/2 ≤ x < 6}, apresente em diferentes representações:
Olá, agora que você estudou um pouquinho sobre produto cartesiano, seria interessante ter certe-
za que você entendeu o que foi lido. Aproveite esse momento para verificar se já está preparado(a) para 
passar para o próximo tópico. Leia e responda aos questionamentos a seguir.
1. Observando o exemplo (1), o que se pode concluir em relação à quantidade de elementos de 
um produto cartesiano, ou seja, se o conjunto A tem m elementos e o conjunto B tem n ele-
mentos, então o conjunto A x B será formado por quantos pares ordenados?
2. Se o conjunto A é diferente do conjunto B, então A X B e B X A são diferentes? Explique deta-
lhadamente a sua resposta.
3. Se o conjunto A está composto por 3 elementos e o conjunto B por 4 elementos, então a 
quantidade de elementos, ou seja, de pares ordenados de A X B e de B x A é diferente? Justi-
fique a sua resposta.
4. Explique o porquê de o gráfico do exemplo (2) ser um segmento de reta a, além do fato de 
conter a extremidade esquerda e não conter a extremidade direita.
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5. Justifique o fato de os gráficos do exemplo (3) serem representados pela área de uma região 
retangular. Explique, ainda, as linhas tracejadas em cada retângulo.
Caso tenha tido dificuldade em responder a algum dos questionamentos, discuta-os com seus co-
legas de curso e com seus professores. Não se esqueça de usar os fóruns para socializar seus conhecimen-
tos e suas ansiedades.
2.3 Relação
Você está lembrado(a) desse assunto?
Caso sua resposta seja negativa, não se preocupe.
Denominamos relação de A em B todo subconjunto R de A x B.
Exemplos
1. Se A = {1, 2} e B = {2, 3, 4}, determine R = {(x, y) ∈ A x B / x < y}, que está sendo apresentada em 
uma linguagem simbólica, nas representações numéricas e gráficas
A x B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}.
 R é uma relação de A em B BAR ×⊂⇔ 
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2. Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7}, represente numericamente e em forma de diagrama de 
flechas as relações de A em B:
a) R = 
b) S = 
a) A relação R é formada pelos pares (x, y), x ∈ A e y ∈ B, com a soma dos termos x + y = 8. Esses 
pares são: (1, 7) e (3, 5). Logo, R = {(1, 7), (3, 5)}.
b) A relação S é formada pelos pares (x, y), x ∈ A e y ∈ B, com o produto dos termos ≤ 10. Esses 
pares são: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3) e (4, 1) Logo, 
S = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (4, 1)}.
Agora, faça mais uma rápida leitura sobre produto cartesiano e relação e, por meio da observação 
do exemplo (1), tente explicar qual é a diferença do produto cartesiano e da relação. 
2.4 Função
Agora que revisamos alguns pré-requisitos 
para o ensino da função, vamos defini-la?
Uma função ou aplicação de A em B é uma 
relação que a todo elemento x de A faz correspon-
der um único elemento y de B.
Observação: A e B são dois conjuntos, com A 
≠ 0 e B ≠ 0.
Exemplo
“O perímetro (y) de um quadrado é função 
do lado (x) desse quadrado. Se o lado medir 2 cm, o 
perímetro será 8 cm; se o lado medir 10 cm, o perí-
metro será 40 cm; para cada x, o perímetro será y = 
4x, onde x pode ser qualquer número real positivo.” 
Observações
1. Em relação ao diagrama de flechas, uma 
relação de A em B é uma função se:
a) todo elemento de A é ponto de par-
tida de flecha;
b) cada elemento de A é ponto de par-
tida de uma única flecha.
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3. Em relação à representação cartesiana, 
uma relação de A em B é uma função se:
“A reta paralela ao eixo y conduzida pelo 
ponto (x, 0), onde x ∈ A, encontra sempre o gráfi-
co da função em um só ponto.”
4. A seguinte linguagem é utilizada:
a) o conjunto A é o domínio da função; 
b) o conjunto B é o contradomínio da 
função;
c) o elemento y de B, associado ao ele-
mento x de A, é denominado ima-
gem de x;
d) o subconjunto de B formado pelos 
elementos que são imagens dos ele-
mentos de A é denominado conjun-
to imagem (ou apenas imagem) da 
função.
5. Notações
ƒƒ Função: em geral, usamos as letras f, g, 
h e outras para designarmos as funções.
Também podemos escrever:
f : A → B (leia: f de A em B), para indicar 
uma função f de A em B;
y = f (x) (leia: y = f de x), para indicar que 
y é a imagem de x.
ƒƒ Domínio: utilizamos D ou D (f ) (leia: D de 
f ) para indicarmos o domínio da função f.
ƒƒ Imagem: utilizamos Im ou Im (f ) (leia: 
imagem de f ), para indicarmos a imagem 
da função f.
Assim, para uma função f : A → B, temos: 
D (f ) = A e Im (f ) = {y y)}(x)f/Ax(/B =∈∃∈
Para uma função f ficar bem definida, deve-
mos dizer quem é o domínio (A), o contradomínio 
(B) e a lei (ou regra) pela qual a cada x de A corres-
ponde o elemento y = f (x) de B.
Observe ainda que, quando temos uma fun-
ção f : A → B, tal que y = f (x), x e y recebem o nome 
variável, com x como variável independente e y, 
variável dependente. 
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Exemplos
1. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3}, verifique pelo diagrama de flechas, quais 
das seguintes relações definidas a seguir são funções.
Resolução:
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2. Dadas as representações cartesianas das relações f de A em ℜ, verifique quais são funções:
Observe que o item (a) representa uma função, pois qualquer reta traçada paralelamente a y por 
pontos do intervalo [-1, 2] intercepta o gráfico cartesiano num único ponto. O item (b) não representa 
uma função, pois, se traçarmos retas paralelas a y por pontos do intervalo [-1, 1], estas interceptam o 
gráfico cartesiano em dois pontos. O item (c) também não representa uma função, pois retas traçadas 
paralelamente a y por pontos do intervalo [0, 2[ não interceptam o gráfico cartesiano em ponto algum. 
Se, no item (c), tivéssemos A = {x ∈ ℜ / 2 ≤ x ≤ 3}, daí teríamos uma função.
3. Dado A = {-1, -2, -3, -4}, consideremos a função f : A → ℜ definida por f (x) = 2 x. Qual a imagem 
dessa função?
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Atribuindo a x os valores do D (f ) = A, temos:
Querido(a) aluno(a),
Que tal, antes de iniciar a leitura do próximo tópico, você verificar se o tema sobre funções realmen-
te está aprendido?
Para isso, tente responder às duas questões a seguir.
1. Com base nas observações constantes no tópico sobre funções, justifique as respostas do 
exemplo (1).
2. Qual é a diferença de uma relação e de uma função? Toda função é uma relação? E toda rela-
ção é uma função?
É muito importante que responda às duas questões e, se houver algum tipo de dificuldade, não 
deixe para depois. Faça uma pesquisa sobre o assunto e compartilhe com todos os resultados adquiridos.
2.5 Funções do 1° Grau
Agora, vamos iniciar o estudo de diversos ti-
pos de funções. Todos os exemplos que apresen-
taremos neste capítulo você já estudou no ensino 
médio, mas precisamos relembrá-los, pois todo o 
Cálculo Diferencial e Integral desenvolveu-se em 
torno de dois conceitos fundamentais: o conceito 
de função e o conceito de limite.
Então, vamos, a partir de agora, estudar um 
pouquinho de cada uma das funções que apare-cerão ao longo das disciplinas Cálculo Diferencial e 
Integral deste curso.
Como já foi enunciado anteriormente, apre-
sentaremos, neste momento, a função do primeiro 
grau.
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Definição da função do 1º grau e “afim”
Uma aplicação de ℜ em ℜ recebe o nome função afim quando a cada x ∈ ℜ estiver associado o 
elemento (ax + b) ∈ ℜ, com a≠0, isto é:
Exemplos
Apresente as funções dos itens (a), (b) e (c) nas representações algébrica, numérica e gráfica.
-3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
-2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
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Bom, será que você entendeu o conceito e os exemplos de representações de uma função afim? 
Para ter certeza, tente responder às questões a seguir.
Observando os exemplos anteriores, podemos notar que, para representar essa função por meio 
de um gráfico, apenas dois pontos foram utilizados. O que ocorreria se utilizássemos mais de 2 pontos? 
O que garante que apenas dois pontos sejam necessários para o esboço do gráfico da função polinomial 
do 1° grau?
Domínio e imagem da função afim: D (f ) = ℜ e Im (f ) = ℜ.
Coeficientes da função afim: f (x) = ax + b.
ƒƒ a: coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano;
ƒƒ b: coeficiente linear (ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y).
Exemplos
1. Obter a equação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, -2).
Resolução:
A equação da reta é da forma: y = ax + b.
2. Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem coeficiente angular igual a 2.
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Resolução:
A equação da reta é da forma: y = ax + b.
Se o coeficiente angular é igual a 2, temos que a = 2.
Portanto, a equação fica: y = 2x + b.
Como o ponto (1, 3) pertence à reta, vem: 3 = 2 . 1 + b ⇒ b = 1.
Portanto, a equação da reta é: y = 2x + 1 
3. Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4.
Resolução:
A equação da reta é da forma: y = ax + b.
Se o coeficiente linear é igual a 4, temos que b = 4.
Portanto, a equação fica: y = ax + 4.
Como o ponto (-2, 1) pertence à reta, vem: 1 = -2a + 4 ⇒ -2a = -3 ⇒ a = 
2
3
.
Portanto, a equação da reta é: y = 
2
3
 x + 4
Zero da função afim: é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f (x) = 0.
x é zero de y = f (x) ⇔ f (x) = 0 
Exemplo
 y = f (x) = 2x – 2
f (x) = 0 ⇒ 2x – 2 = 0 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
Graficamente, o zero da função afim é a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x.
Funções crescentes ou decrescentes
ƒƒ Função crescente: a função f: A → B definida por y = f (x) é crescente no conjunto A1 ⊂ A se, 
para dois valores quaisquer x1 e x2 de A1, com x1 < x2, tivermos f (x1) < f (x2);
ƒƒ Função decrescente: a função f: A → B definida por y = f (x) é decrescente no conjunto A1 ⊂ A 
se, para dois valores quaisquer x1 e x2 de A1, com x1 < x2, tivermos f (x1) > f (x2).
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Teorema: “A função afim é crescente ou decrescente se, e somente se, o coeficiente angular é res-
pectivamente positivo ou negativo.”
Exemplos
a. y = 2x – 3; a = 2 > 0 ⇒ y é crescente;
b. y = -3x +3; a = -3 < 0 ⇒ y é decrescente.
Sinal da função afim: seja y = f (x) = ax + b.
Portanto, podemos resumir os dois casos anteriores em um único caso:
 
a
b
- 
c/a m/a y = 0 
x 
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Exemplos 
Estude as funções:
a. y = f (x) = 2x – 2;
b. y = f (x) = -3x +6.
Resolução:
AtençãoAtenção
Estudar uma função do 1º grau é, no mínimo, apontar sua raiz (ou zero), verificar 
se a função é crescente ou decrescente e escrever para qual intervalo a função é 
positiva e negativa.
Para estudarmos o sinal da função, inicialmente a igualamos a zero. Quando igua-
lamos a zero a função y = f(x) para determinar sua raiz (interseção da reta com o 
eixo x), passamos a ter uma equação do 1º grau na incógnita x, a qual queremos 
determinar. Ao conhecermos essa raiz, fica fácil fazer o estudo do sinal.
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Agora que você já teve a oportunidade de revisar um pouquinho a função do 1º grau e ”afim”, antes 
de iniciar a leitura sobre a função do 1º grau e “linear”, convido-o(a) a verificar se está apto(a) a prosseguir 
com suas leituras. Para isso, responda às questões a seguir e, em caso de dúvidas, por favor, enumere-as 
no fórum de discussão sobre “A função do 1º grau”.
Então, vamos trabalhar esse assunto?
Dados os gráficos das funções dos itens (a) e (b) a seguir:
1. represente a função algebricamente;
2. determine os coeficientes (angular e linear);
3. determine o zero de cada uma das funções;
4. as funções são crescentes ou decrescentes? Por quê?
Definição da função do 1º grau e “linear”
Se, na função afim y = f (x) = ax + b, a ≠ 0, tivermos b = 0, teremos a função linear, que é uma apli-
cação de ℜ em ℜ e que associa a cada elemento x ∈ ℜ o elemento a ∈ ℜ, a ≠ 0.
0aax,(x)fyx
:f
≠==
ℜ→ℜ

Domínio e imagem da função linear: D (f ) = ℜ e Im (f ) = ℜ.
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Exemplos 
Represente as funções a seguir dadas de forma algébrica nas formas numérica e gráfica:
Prezado(a) aluno(a),
Como pode ser observado nos exemplos anteriores, o gráfico da função linear também é represen-
tado por uma reta, mas esse gráfico apresenta uma particularidade em relação à função afim. Qual é essa 
particularidade? Se você conseguiu perceber qual é a diferença entre esses dois tipos de função, estude, 
então, o próximo tipo de função do 1º grau.
Definição da função do 1º grau e “identidade”
Se, na função afim y = f (x) = ax + b, a ≠ 0, tivermos b = 0 e a = 1, teremos a função identidade, que 
é uma aplicação de ℜ em ℜ e que associa a cada elemento x ∈ ℜ o próprio x.
x(x)fyx
:f
==
ℜ→ℜ

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Gráfico da função do 1º grau e “identidade”
O gráfico da função identidade também é uma reta que contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes 
e que passa pela origem.
Domínio e imagem da função do 1º grau e “identidade”: D (f ) = ℜ e Im (f ) = ℜ.
Exemplos
Construir o gráfico das funções:
a) y = x b) y = -x
Para cada item, vamos atribuir valores a x.
Bom, agora que você já revisou o que é uma função do 1º grau afim, linear e identidade, com certe-
za se sentirá muito à vontade em responder aos próximos questionamentos. Vamos a eles?
1. Existe diferença entre as funções linear e identidade? Em caso afirmativo, quais?
2. Toda função linear é identidade? E toda função identidade é linear? Por quê?
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3. Por que o domínio de uma função linear é todos os números reais?
4. Se uma função linear estiver definida para x ∈ ℜ/ 3 < x < 10, a sua imagem estará composta 
por todos os números reais? Por quê?
5. Se uma função linear estiver definida para x ∈ ℜ/ 3 < x < 5, a sua imagem estará composta por 
um número finito de elementos? Por quê?
E então, você respondeu com facilidade? Ainda restam dúvidas? Em caso afirmativo, entre em con-
tato com o seu professor, ele terá um imenso prazer em discutir cada uma de suas dúvidas para que você 
possa dar sequência às leituras desta apostila.2.6 Função Constante
Definição
Se, na função afim y = f (x) = ax + b, tivermos a = 0, teremos a função constante, que é uma aplica-
ção de ℜ em ℜe que associa a cada elemento x ∈ ℜ sempre o mesmo elemento b ∈ ℜ.
)(constante b(x)fyx
:f
==
ℜ→ℜ

Gráfico
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0, b).
Domínio e imagem: D (f ) = ℜ e Im (f ) = {b}.
Exemplos
Construir os gráficos das funções:
a. y = 2 b. y = -1 
Observe que as duas funções não dependem de x, isto é, para qualquer x ∈ ℜ, em (a), o y vale sem-
pre 4 e, em (b), vale sempre -2.
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Agora, responda: a função constante é uma função polinomial do 1° grau? Por quê?
Saiba maisSaiba mais
Declividade
Declividade da reta é a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo Ox. Na função polinomial 
do primeiro grau, essa tangente coincide com a própria reta do gráfico da função e tem valor igual 
ao coeficiente angular “a”.
A partir do gráfico da função do 1º grau, é possível determinar o valor do coeficiente angular. Para 
isso, tomamos dois pontos A e B da função ou da reta.
Para determinar a declividade ou coeficiente angular de uma reta, prosseguimos conforme pode 
ser lido a seguir.
Seja “a” o coeficiente angular da reta, então
 , onde A = (x1,y1) e B = (x2,y2).
Note que o triângulo ABC destacado da figura é um triângulo retângulo. Assim, temos: 
 
12
12
xx
yya
-
-
=
2 1
2 1
y y BC cateto oposto aa a a tag
x x AC cateto adjacente a
α α
α
-
= ⇒ = = ⇒ =
-
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Exemplos (Declividade)
1. Determine a inclinação da reta apresentada no gráfico a seguir.
Resolução:
2. Determine a equação da reta do exemplo anterior.
Resolução:
Uma das formas de determinar a equação de uma reta é usar a equação reduzida da reta, dada por: 
y – y0 = m(x – x0), onde m é o coeficiente angular da reta, também conhecido por “a”, e as coordenadas 
(x0,y0) representam as coordenadas de qualquer ponto conhecido da reta. Para o exemplo em questão, 
conhecemos as coordenadas dos pontos A e B, portanto pode-se usar qualquer um dos dois pontos. 
Ainda, temos o coeficiente angular m = a = 2. Substituindo o 2 e o ponto A, por exemplo, teremos: y – y0 
= m(x – x0), ⇒ y – (0) = 2(x – (-2)) ⇒ y = 2x + 4.
Portanto, a equação da reta é dada por: y = 2x + 4.
Querido(a) aluno(a),
Antes de continuar seus estudos sobre função, faça uma reflexão acerca de seus conhecimentos 
referentes às funções do 1º grau e constante. Você se sente motivado(a) a prosseguir em sua leitura? 
Então, vamos a ela.
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Definição
Uma aplicação f de R em R recebe o nome função quadrática ou do 2º grau quando associa a cada 
x ∈ ℜ o elemento (ax2 + bx + c) ∈ ℜ, onde a ≠ 0.
Exemplos
a. f (x) = x2 – 2x + 3; a = 1; b = -2; c = 3;
b. f (x) = -2x2 + 5x – 1; a = -2; b = 5; c = -1;
c. f (x) = x2 – 4; a = 1; b = 0; c = -4 ;
d. f (x) = -2x2 + 3x; a = -2; b = 3; c = 0;
e. f (x) = -4x2; a = -4; b = 0; c = 0.
Gráfico
O gráfico da função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, é uma parábola.
Concavidade
a. a > 0 ⇒ concavidade voltada para cima (boca para cima)
b. a < 0 ⇒ concavidade voltada para baixo (boca para baixo)
2.7 Função Quadrática
 
x 
y 
 y 
x 
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Zeros da função do 2° grau
Os zeros ou raízes da função quadrática y = f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, são os valores de x reais tais 
que f (x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do 2º grau 
ax2 + bx + c = 0 na incógnita x.
Discussão:
Exemplo
Determine os valores de m para que a função quadrática f (x) = mx2 + (2m – 1)x + (m – 2) tenha dois 
zeros reais e distintos.
Resolução:
Para a função ser quadrática, devemos ter a = m ≠ 0.
Para que a função tenha dois zeros reais e distintos, devemos ter ∆ > 0.
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Vértice da parábola
O ponto V = ( ) é chamado vértice da parábola representativa da função quadrática.
 Máximo e mínimo
Dizemos que o número yM ∈ Im (f ) (ou ym ∈ Im (f )) é o valor de máximo (ou mínimo) da função y = f 
(x) se, e somente se, yM ≥ y (ou ym ≤ y) para qualquer y ∈ Im (f ) e o valor xM ∈ D (f ) (ou xm ∈ D (f )) tal que yM 
= f (xM) (ou ym = f (xm)) é chamado ponto de máximo (ou mínimo) da função.
Teorema: 
A função quadrática y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 admite um valor máximo (ou mínimo)
 y = em x = se, e somente se, a < 0 (ou a > 0).
Exemplos
1. Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo da 
função a seguir, definida em ℜ.
a. y = 4x2 – 8x + 4 
Resolução:
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43
Olá,
Verifique, a seguir, se você entendeu o conceito e como se faz para determinar o valor de máximo 
e mínimo de uma função. 
1. Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo da 
função a seguir, definida em ℜ: y = -3x2 + 12x.
2. Determine o valor de m na função real f (x) = (m – 1)x2 + (m + 1)x - m para que o valor mínimo 
seja 1.
Caso não tenha conseguido responder a alguma questão anterior, sugiro que leia novamente a 
resolução dos exemplos sobre máximo e mínimo e, em permanência das dúvidas, não hesite em fazer 
seus questionamentos.
Domínio e imagem
D (f ) = ℜ. Para determinarmos a Im (f ), fazemos: f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0
a. a > 0 ⇒ y ;
b. a < 0 ⇒ y . 
Exemplos
1. Obter a imagem da função f de ℜ em ℜ definida por: f (x) = 2x2 – 8x + 6.
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2. Determine m na função f (x) = 3x2 – 4x + m definida em ℜ para que a imagem seja 
Im (f ) = {y ∈ ℜ / y ≥ 2}.
Sinal da função quadrática
 f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0
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46
Exemplos 
Faça o estudo completo das funções:
1. f (x) = x2 – 2x + 1;
2. f (x) = x2 – x – 6.
Resolução:
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Sinal: 
Para x < 1 ⇒ f (x) > 0.
Para x = 1 ⇒ f (x) = 0.
Para x > 1 ⇒ f (x) > 0.
Vértice: V = ( ) = (1, 0) ⇒ ponto de mínimo da função.
Imagem: Im (f ) = .
2. f (x) = x2 – x – 6; a = 1 > 0 ⇒ a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Vamos achar as raízes da função. Para isso, fazemos f (x) = 0 e obtemos a seguinte equação na in-
cógnita x:
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Sinal: 
Para x < -2 ⇒ f (x) > 0. Para x = -2 ⇒ f (x) = 0.
Para -2 < x < 3 ⇒ f (x) < 0. Para x = 3 ⇒ f (x) = 0.
Para x > 3 ⇒ f (x) > 0.
Vértice: V = ( ) = ⇒ ponto de mínimo da função.
Imagem: Im (f ) = .
Querido(a) aluno(a),
Se você entendeu os exemplos anteriores, agora é sua vez de resolver: faça o estudo completo da 
função definida por: f (x) = -2x2 + 3x – 2. Conseguiu? Caso a resposta seja negativa, faça uma nova leitura 
do tópico da função do 2º grau, pois, embora as demais funções a serem estudadas a seguir sejam im-
portantes, as funçõespolinomiais do 1º e 2º graus, nessa fase inicial, serão as mais utilizadas. Por isso, não 
deixe para entendê-las apenas no próximo módulo. 
Então, antes de iniciar a leitura sobre a função exponencial, procure ter certeza que não existem 
dúvidas sobre o assunto anterior.
2.8 Função Exponencial
Definição
Chama-se função exponencial de base a, com { }1a -ℜ∈ ∗+ , a função f de ∗+ℜ→ℜ definida por 
xaf(x) = .
AtençãoAtenção
É importante diferenciar rapidamente a função potência e polinomial de grau “n” da 
função exponencial.
Na função exponencial, a base é um número real e o expoente é a variável; já na 
função polinomial, o expoente é um número inteiro. 
Veja a diferença:
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Exemplos
1. Construa os gráficos das funções exponenciais ∗+ℜ→ℜ:f definidas por 
x2f(x) = e x)
2
1(g(x) = 
e, em seguida, comparando-os, escreva algumas conclusões.
Conclusões:
a) O gráfico da função exponencial está sempre acima do eixo Ox, pois ℜ∈∀> x,0ax ;
b) O gráfico da função exponencial sempre intercepta o eixo Oy no ponto (0,1), pois 
{ }1a,1a0 -ℜ∈∀= ∗+ ;
c) Se a > 1, a função exponencial é estritamente crescente;
d) Se 0 < a < 1, a função exponencial é estritamente decrescente;
e) A função exponencial é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto imagem são, ambos, 
iguais a ∗+ℜ ;
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f ) A função exponencial é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta seu gráfico no máxi-
mo uma vez;
g) A função exponencial é, pois, bijetora;
h) 21
xx xxaa 21 =⇔= , pois a função exponencial é injetora;
i) Se a > 1, então 21
xx xxaa 21 ≥⇔≥ , pois a função exponencial é estritamente crescente;
j) Se 0 < a < 1, então 212
x1x xxaa ≤⇔≥ , pois a função exponencial é estritamente decrescente.
Observação:
Todas essas observações são válidas desde que não seja somada uma constante real e diferente 
de zero à função exponencial e, também, desde que essa mesma função não seja multiplicada por um 
número negativo.
2. Determine m ∈ ℜ para que a função f (x) = (2m – 1)x seja crescente em ℜ.
Resolução:
Vimos que a função exponencial f (x) = ax é estritamente crescente quando a > 1.
Na função dada, a = 2m – 1. Logo, fazemos:
2m – 1 > 1 ⇒ 2m > 2 ⇒ m > 1 
Caro(a) aluno(a),
Aproveite o exemplo 1 e verifique o que acontece com o gráfico das duas funções exponenciais 
apresentadas anteriormente, nas situações a seguir:
1. ao adicionar a constante (-4) em cada um dos exemplos;
2. ao multiplicar cada uma das funções pela constante (-1);
Alguma conclusão anterior sofreu alterações? Qual(is)?
Bom, caso não tenha entendido o proposto ou não tenha conseguido esboçar os gráficos solicita-
dos em (1) e (2), entre em contato.
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Definição
Chama-se função logarítmica de base a, com a > 0 e 1a ≠ , a função ℜ→ℜ∗+:f definida por 
xlog(x)f a= .
Definição de logaritmo
Se 010,, >≠<ℜ∈ beaba , então baxb xa =⇔=log . (lê-se: logaritmo de b na base a
balog→ ), onde: b é o logaritmando; a é a base do logaritmo; x é o logaritmo.
Exemplos de gráficos
Construa os gráficos das funções ℜ→ℜ∗+:f definidas por xlog(x)f 2= e xlog(x)
2
1=g e, em 
seguida, comparando-os, escreva algumas conclusões.
2.9 Função Logarítmica
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Conclusões:
a) O gráfico da função logarítmica está sempre à direita do eixo Oy, pois seu domínio é ∗+ℜ ;
b) O gráfico da função logarítmica sempre intercepta o eixo Ox no ponto (1,0), pois 
{ }1a,01log a -ℜ∈∀= ∗+ ;
c) Se a > 1, a função logarítmica é estritamente crescente;
d) Se 0 < a < 1, a função logarítmica é estritamente decrescente;
e) A função logarítmica é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto imagem são ambos 
iguais a ℜ.
f ) A função logarítmica é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta o seu gráfico no máxi-
mo uma vez;
g) A função logarítmica é, pois, bijetora;
h) A função exponencial de ℜ em 
∗
+ℜ e a função logarítmica de 
∗
+ℜ em ℜ são inversas uma da 
outra.
De fato: xx aya(x)f =⇒= .
Trocando-se x por y e vice-versa, vem: yax = . Isolando-se y, temos: xlogy a= .
xlog(x)fa(x)f a
1x =⇔=∴ - 
i) Por serem inversas uma da outra, o gráfico da função exponencial e o gráfico da função loga-
rítmica são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, que é a reta de equação 
y = x. Veja:
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j) 0xxxlogxlog 212a1a >=⇔= , pois a função logarítmica é injetora;
k) Se a > 1, então 0xxxlogxlog 212a1a >>⇔> , pois a função logarítmica é estritamente 
crescente;
l) Se 0 < a < 1, então 212a1a xx0xlogxlog <<⇔> , pois a função logarítmica é estritamente 
decrescente.
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Condições de Existência (CE) do logaritmo
blogy a= , CE





≠<
>
1a0
e
0b
Observação:
Todas as observações anteriores são válidas desde que não seja somada uma constante real e di-
ferente de zero ao logaritmando da função e, também, desde que essa mesma função não seja multipli-
cada por um número negativo.
Caro(a) aluno(a),
Aproveite o exemplo anterior e verifique o que acontece com o gráfico das duas funções logarítmi-
cas, nas situações a seguir:
1. ao adicionar a constante (3) no logaritmando em cada um dos exemplos;
2. ao multiplicar cada uma das funções pela constante (-1).
Alguma das conclusões anteriores sofreu alterações? Qual(is)?
Bom, caso não tenha entendido o proposto ou não tenha conseguido esboçar os gráficos solicita-
dos em (1) e (2), entre em contato.
Vamos estudar mais alguns exemplos?
Nos exemplos a seguir, você verá como se determina o domínio de uma função logarítmica e o 
valor da função em diversos pontos.
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1. Qual é o domínio da função ? 
Resolução:
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2. Seja f (x) = )(2xlog 2 . Determine:
a. o domínio de f;
b. os valores de x, tais que f (x) = 1.
Observação:
Quando a base do logaritmo não é especificada, vale 10. Por exemplo, 
= 10log 3 log 3 .
Também usamos a seguinte notação:
 5ln5log e = , onde e = 2,7182818284590453..., chamado número de Nepper, é um número real 
irracional para o qual usamos a seguinte aproximação: 2,718e ≅ .
Resolução:
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2.10 Função Modular
Definição
Uma aplicação de ℜ em ℜ recebe o nome função módulo ou modular quando a cada x ℜ∈ 
associa-se o elemento ℜ∈x .
xx
:f

ℜ→ℜ
Utilizando o conceito de módulo de um número real, a função modular pode ser definida da se-
guinte forma:
Gráfico da função modular
O gráfico da função modular (f(x) = |x|) é a reunião de duas semirretas de origem O, que são as 
bissetrizes do 1º e 2º quadrantes.
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Domínio e imagem
Domínio: D (f ) = ℜ .
Imagem: Im (f ) = +ℜ .
Exemplos
1. Construa o gráfico da função real definida por: 2x(x)f += .
Resolução:
Portanto, a função f (x) será a reta x +2, para valores de x ≥ -2, e a função f (x) será a reta –x – 2, para 
valores de x < -2.
Cálculo Diferencial e Integral I
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2. Construa o gráfico da função definida em ℜ por: f (x) = |x – 1| + 1.
Resolução:
3. Construa o gráfico da função definida em ℜ por: f (x) = |x + 2| + x – 1.
Resolução:
 
f (x) = 2x + 1 
f (x) 
= -3 
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4. Construa o gráfico da função definida em ℜ por: f (x) = |2x + 1| + |x – 1|.
Resolução:
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Prezado(a) aluno(a), 
Agora que já tivemos a oportunidade de revisar o estudo das principais funções que serão utiliza-
das ao longo da realização das disciplinas Cálculo Diferencial e Integral, que tal conhecermos algumas 
de suas aplicações no dia a dia?
Vamos a elas, então.
2.11 Aplicações das Funções
Já escrevemos anteriormente que as funções são os principais instrumentos para descrever mate-
maticamente o mundo real. Com as funções, podem-se estudar, por exemplo, as alterações na frequência 
cardíaca, o crescimento populacional de uma bactéria, o movimento dos planetas e muito mais. Muitas 
funções são importantes devido ao comportamento que descrevem; as funções exponenciais e loga-
rítmicas, por exemplo, descrevem o crescimento e declínio, e as funções polinomiais podem aproximar 
estas e muitas outras funções.
Aplicação da função polinomial do 1º grau
Exemplos
1. Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. 
Condições dos planos: 
ƒƒ Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 150,00 e R$ 22,00 por consulta num certo período;
ƒƒ Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 128,00 e R$ 27,00 por consulta num certo período. 
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Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do 
período pré-estabelecido. 
Vamos determinar:
a) a função correspondente a cada plano;
b) em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois se equiva-
lem;
c) esboce um gráfico de comparação das duas funções dos dois planos;
d) para uma pessoa que tem certeza que usará no máximo 3 consultas por mês, qual é a melhor 
opção de plano?
Resolução:
a) Para determinar a função correspondente a cada plano, vamos adotar a função do plano A como 
PA(x) e a função correspondente ao plano B como PB(x). Então teremos:
ƒƒPlano A: PA(x) = Valor fixo mensal + Valor de uma consulta X a quantidade de consultas realizadas, 
ou seja, PA(x) = 22x + 150;
ƒƒPlano B: Valor fixo mensal + Valor de uma consulta X a quantidade de consultas realizadas, ou 
seja, PB(X)= 27x + 128.
b) Para que o plano A seja mais econômico:
PB(x) > PA(x)
27x + 128 > 22x + 150 
27x – 22x > 150 – 128 
5x > 22
x > 22/5 
x > 4,4 
Como o x corresponde a um número de consulta e estas admitem apenas valores inteiros (nin-
guém marca ½ consulta!), então devemos considerar o x > 4. Logo, o plano A será mais econômico, para 
um número de consultas igual ou superior a 5.
Para que o Plano B seja mais econômico, como podemos notar na resolução anterior, o número de 
consultas tem de ser igual ou inferior a 4.
Para que eles sejam equivalentes, devemos ter um número de consulta que faça que o pagamento 
dos dois planos seja idêntico. Para isso, devemos resolver:
PB(x) = PA(x)
27x + 128 = 22x + 150 
o que resultará em x = 4,4. Logo, não existirá um número de consulta que torne esses planos equi-
valentes, pois 4,4, como já vimos, não é um número admissível para consultas, ou seja, não faz parte do 
domínio dessas funções.
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c) Para esboçar o gráfico de cada uma dessas funções, são suficientes dois pontos, pois são funções 
do 1º grau e, dessa forma, seus gráficos são representados por retas. Então, dê dois valores inteiros para o 
x de cada questão e determine o valor do plano para cada x. Esboce o gráfico. Como o objetivo é compa-
rar as duas funções, então os gráficos serão esboçados em um mesmo plano cartesiano.
Observações sobre o gráfico:
Os dois gráficos tem um ponto I de encontro. Esse ponto é o suposto ponto de equilíbrio, ou seja, 
o ponto que torna os dois planos médicos equivalentes, mas, como vimos, esse ponto está para x = 4,4, 
logo ele é “fictício”.
Também é importante observar que essas retas não deveriam ser traçadas com essas linhas contí-
nuas, já que a função não está definida para todos os números reais e sim para os valores inteiros de x ≥ 
0. Logo, os gráficos dessas funções estão representados apenas pelos pontos sobre a linha.
Note, ainda, que as retas não estão traçadas à esquerda do eixo y, pois não existe quantidade de 
consulta negativa.
d. Para uma pessoa que usará apenas 3 vezes por mês o plano de saúde, ou seja, passará por con-
sulta no máximo 3 vezes por mês, o melhor plano é o B.
2. (Vunesp) Apresentamos, a seguir, o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma 
temperatura fixa de 0 °C.
Com base nos dados do gráfico, determine:
a. a lei da função apresentada no gráfico;
b. a massa (em gramas) de 30 cm³ de álcool. 
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Resolução:
a. A lei de formação dessa reta é dada pela equação da reta. Já vimos que uma das formas de de-
terminar a equação de uma reta é usar a equação reduzida da reta, dada por: y – y0 = m(x – x0), onde m é 
o coeficiente angular da reta. As coordenadas (x0,y0) representam as coordenadas de qualquer ponto co-
nhecido da reta. Para o exemplo em questão, conhecemos as coordenadas dos pontos O(0,0) e A(40,50), 
portanto pode-se usar qualquer um dos dois pontos. 
Aplicação da função polinomial do 2º grau
Exemplos
1. (FAAP-SP) Suponha que, no dia 5 de dezembro de 1995, o Serviço de Meteorologia do Estado 
de São Paulo tenha informado que a temperatura na cidade de São Paulo atingiu o seu valor máximo às 
14h00 e que, nesse dia, a temperatura f(t) em graus é uma função do tempo t medido em horas, dada por 
f(t) = -t² + bt – 156, quando 8 < t < 20. Obtenha o valor do b.
Resolução:
Os dados fornecidos no problema são:
ƒƒ a função f(t) = -t² + bt – 156 (1);
ƒƒ a abscissa do ponto de máximo dessa função, ou seja, xv = 14 (2).
O problema pede para determinar o valor do b.
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2. (UFPE) Num voo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R$ 200,00 por 
pessoa quando todos os lugares estão ocupados. Se existirem lugares não ocupados, ao preço de cada 
passagem será acrescida a importância de R$ 4,00 para cada lugar não ocupado (por exemplo, se existi-
rem 10 lugares não ocupados o preço de cada passagem será R$ 240,00). Quantos devem ser os lugares 
não ocupados para que a companhia obtenha o faturamento máximo?
Resolução:
Vamos, inicialmente, fazer uma simulação da relação existente entre números de cadeiras não ocu-
padas, valor a ser acrescido no pagamento por pessoa e valor que a empresa receberá pelo total de pes-
soas no avião.
Então, a função que expressa o valor a ser acrescido é uma função de variável independente n, em 
que n é o número de cadeiras vazias, tal que
f(n) = (100-n) x (200 + 4.n) 
O desenvolvimento dessa função nos leva a uma função do 2º grau, observe:
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f(n) = 20.000 + 400n – 200n – 4n²
f(n) = 20.000 + 200n – 4n²
O problema pede o número de lugares para a empresa obter faturamento máximo. Como se trata 
de uma função do 2º grau e com concavidade para baixo, então o número de pessoas para que o fatura-
mentoseja máximo está representado no vértice dessa função, ou seja:
.
Para a empresa obter o faturamento máximo, o número máximo de acentos não ocupados deve 
ser 25.
3. A quantidade demandada de bolas de futebol da marca “Esporte Máximo” é dada pela lei qd = 
900 – p², onde qd é a quantidade demandada e p é o preço.
a) Esboce o gráfico;
b) Qual a demanda se o preço for R$ 12,00 a unidade?
Resolução:
a. Para esboçar o gráfico de uma função do 2º grau, podemos usar uma tabela de valores ou de-
terminar os pontos principais (raízes, vértice, intercepto em Oy e concavidade). Também sabemos que a 
função do 2º grau tem como gráfico uma parábola e, com referência nisso, já fica mais fácil termos uma 
ideia de como ficará esse gráfico.
Como a função dada se refere a uma aplicação, em que a variável independente é o preço de uma 
bola, então essa variável deverá ser um valor positivo, ou seja, o domínio dessa função é valores reais e 
positivos. Além disso, esses valores deverão garantir que a quantidade demandada seja positiva ou nula, 
pois não existe quantidade demandada negativa. Logo, qd ≥ 0, ou seja, 900 – p² ≥ 0, então 0< p ≤ 30. Esse 
é o domínio dessa função, ou seja, essa função existe para 0< p ≤ 30.
ƒƒ Ao determinarmos os zeros da função, teremos que 900 – p² = 0 ⇒ p = ±30. Como p > 0, então 
o único zero dessa função é o p = 30;
ƒƒ O vértice dessa função pode ser determinado pela fórmula 
 
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Logo, o vértice dessa função está no ponto de máximo dessa função e será V(0,900).
Observações sobre o gráfico:
Note que a parte da parábola que representa essa função está destacada em negrito. Não é correto 
desenhar parte da parábola para x < 0, pois, para esses valores, essa função não está definida. Também 
não é possível desenhar a parábola abaixo do eixo Ox, pois, para quantidades negativas, essa função 
também não tem lógica.
b. Para o preço de R$ 12,00, a demanda é de qd = 900 – 12² = 900 – 144 = 756 unidades.
4. (GV) O preço do ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a quantidade de frequenta-
dores (x) por sessão através da relação: p = - 0,2x + 100.
a. Qual a receita arrecadada por sessão, se o preço do ingresso for R$ 60,00?
b. Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por sessão?
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Resolução:
Aplicação da função exponencial
Exemplo
O montante M é a quantia que uma pessoa deve receber, após aplicar um capital C, a juros compos-
tos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula M = C(1 + i)t. Supondo 
que o capital aplicado é de R$ 500.000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 5 anos, qual o montante no 
final da aplicação?
Resolução:
C = 500.000
I = 12% ao não (0,12)
t = 5
M = 500.000(1 + 0,12)5 = 500.000(1,12)5 = 500.000 x 1,762 = 8881.170,84
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Aplicação da função logarítmica
Exemplo
(Dante-2005) O número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é dado por N = N0e
rt, em 
que N0 é o número inicial (quando t = 0) e r é a taxa de crescimento relativo. Em quanto tempo o número 
de bactérias dobrará se a taxa de crescimento contínuo é de 5% por minuto?
Resolução:
Pelos dados do problema, a questão é: em quanto tempo N = 2N0?
Assim, temos:
Saiba maisSaiba mais
As funções
Há muitas aplicações das funções matemáticas no dia a dia; para compreendê-las, é necessário ter 
em mente que o termo ‘função’ é muito abrangente e complexo. As funções são ferramentas ma-
temáticas utilizadas para analisar fenômenos científicos, descrever regularidades, interpretar inter-
dependências e generalizar. Da generalização, surge o que denominamos fórmula matemática.
As funções matemáticas estabelecem relações entre dois parâmetros, por isso são definidas por 
associar a cada valor do argumento x um único valor f(x). Dessa associação, surgem seus elemen-
tos, seu campo de validade e sua representação gráfica. A representação gráfica se dá em duas 
ou três dimensões.
Nosso cotidiano é repleto de exemplos de aplicação das funções matemáticas e elas são de muita 
importância para o contexto social, pois estão presentes em várias áreas do conhecimento huma-
no: relações de mercado e de capital, engenharia, economia, saúde, transportes, indústrias, artes, 
energia etc.
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70
Neste capítulo, estudamos as principais funções, tais como: função polinomial do 1º grau, função 
polinomial do 2º grau, função exponencial, função logarítmica e função modular. Em cada uma delas, 
revisamos como se esboça um gráfico, o que pode ser observado ao estudarmos uma função em relação 
ao crescimento e decrescimento e estudo do sinal. Também apresentamos algumas aplicações para cada 
uma delas. As funções trigonométricas também poderiam ser estudadas neste capítulo, mas como são 
necessários alguns pré-requisitos para estudá-las, faremos esse estudo no próximo capítulo.
Na Astronomia, com o mapeamento do céu (orientação para navegação); na Geologia, em medi-
ções de abalos sísmicos (escala Richter – equação logarítmica); na Eletrodinâmica, para o cálculo 
da resistência equivalente de um circuito elétrico (progressão aritmética); em Operações Finan-
ceiras (empréstimos); nas Engenharias (projetos e construções); na Balística, com o lançamento 
de projéteis etc.
É comum emissoras de TV anunciarem aumentos no preço do barril de petróleo; isso provoca au-
mento em seus derivados. Esse aumento esperado pelos consumidores é regido por uma função. 
Esse exemplo mostra claramente o envolvimento dessa técnica matemática nas áreas de Econo-
mia, Contabilidade e Administração: demanda e oferta estão relacionadas a funções de 1º grau; 
custos, receita e lucro remetem a funções do 2º grau; lucro máximo e mínimo (derivada), e esse 
assunto será estudado em Cálculo II.
Nas indústrias, seus produtos e preços necessitam desse tratamento matemático para reger os 
procedimentos de planejamento, de pesquisa de mercado, análise de competitividade, aceitabi-
lidade de produto, custos de fabricação, comercialização e lucros.
2.12 Resumo do Capítulo
2.13 Atividades Propostas
1. Dados A = {1,2,3,4} e B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}, determine as relações a seguir:
a) 
b) 
c) 
d) 
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71
2. Estabeleça se os itens a seguir são funções.
 
3. Seja f a função de R em R assim definida: 
Em cada função dos exercícios 4 a 7, faça cada item descrito a seguir:
4. f(x) = -2x + 1 
5. f(x) = - x ² + 2
a) Determine f(2).
b) Determine f( 5 ).
a) Faça uma tabela para determinar os pontos para x = -2, x = -1, x = 0, x = 1, x = 2.
b) Esboce o gráfico, tendo como referência os pontos determinados no item (a).
c) Determine a(s) raiz(es) ou zero(s) da função (quando houver).
d) Escreva para qual(is) intervalo(s) de x a função é crescente ou decrescente.
e) Escreva para qual(is) intervalo(s) de x a função é positiva ou negativa.
Regina Maria Sogolo Bernardinelli e Sandra Regina Leme Forster
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6. Dados os conjuntos A = {x ∈ R/0 ≤ x < 2} e B = {y ∈ R/ 2 < y < 4}, assinale a alternativa que re-
presenta AXB.
7. Esboce o gráfico e determine o conjunto imagem da função de domínio R: f (x) = 2x-2
8. Construa o gráfico da função: f (x) = log2 x
2 . CE: x . CE: x ≠ 0.
9. Estamos estabelecendo um negócio de tempo parcial com investimento inicial de R$ 8.000,00. 
O custo unitário do produto é R$ 10,00