01 Formulário Calculo diferencial integral

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A UMA VARIÁVEL Formulário 
 DERIVADAS Constante 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑓′(𝑥) = 0 Afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑓′(𝑥) = 𝑎 Identidade 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓′(𝑥) = 1 Potência 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 
(𝑥 ∈ 𝑅+ ∗ 𝑒 𝑛 ∈ 𝑅) 𝑓′(𝑥) = 𝑛. 𝑥𝑛−1 Logarítmica 𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥) 
(𝑥 ∈ 𝑅+ ∗ 𝑒 0 < 𝑎 ≠ 1) 𝑓′(𝑥) = 1𝑥 ∙ ln(𝑎) Logarítmica (Base Natural) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 1𝑥 Exponencial (Base qualquer) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 (𝑎 > 0) 𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥 ∙ ln(𝑎) Exponencial (base Natural) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 Seno 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓′(𝑥) = cos (𝑥) Cosseno 𝑓(𝑥) = cos (𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) Tangente 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐²(𝑥) Cotangente 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐²(𝑥) Secante 𝑓(𝑥) = sec (𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) ∙ sec (𝑥) Cossecante 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) Arco-seno 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 1
√1 − 𝑥²
 
Arco-cosseno 𝑓(𝑥) = arccos (𝑥) 𝑓′(𝑥) = − 1
√1 − 𝑥²
 
Arco-tangente 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 1
1 + 𝑥²
 
Arco-cotangente 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = − 1
1 + 𝑥²
 
Arco-secante 𝑓(𝑥) = arcsec (𝑥) 𝑓′(𝑥) = 1
𝑥 ∙ √𝑥² − 1
 
Arco-cossecante 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓′(𝑥) = − 1
𝑥 ∙ √𝑥² − 1
 Produto de funções 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣(𝑥) 𝑓´(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥) + 𝑣(𝑥). 𝑢´(𝑥) Divisão de funções 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
 𝑓`(𝑥) = 𝑣(𝑥). 𝑢´(𝑥) − 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥)
(𝑣(𝑥))
2 
Regra da Cadeia 𝑦 = 𝑓(𝑢(𝑥)) 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
 . 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
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INTEGRAIS Integral Indefinida Função Primitiva 
∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐹(𝑥) ± 𝐺(𝑥) + 𝐶 
∫ 𝐶1 𝑑𝑥 𝐶1. 𝑥 + 𝐶 
∫ 𝐶. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐶. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ≠ −1 𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−1𝑑𝑥 ln|𝑥| + 𝐶 
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑎𝑥𝑑𝑥 𝑎𝑥
ln(𝑎)
+ 𝐶 
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − cos(𝑥) + 𝐶 
∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 
∫ sec2(𝑥)𝑑𝑥 𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑑𝑥 −𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶 
∫ sec(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 sec(𝑥) + 𝐶 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥). 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶 
∫ 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 −ln|cos(𝑥)| + 𝐶 = 𝑙𝑛|sec(𝑥)| + 𝐶 
∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛(𝑥)| + 𝐶 
∫ sec(𝑥) 𝑑𝑥 𝑙𝑛|sec(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)| + 𝐶 
∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) − 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)| + 𝐶 
∫
1
√𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛−1 (𝑥
𝑎
) + 𝐶 
∫
1
𝑎2 + 𝑥2
𝑑𝑥 𝑡𝑔−1 (𝑥𝑎) + 𝐶 
∫
1
𝑥. √𝑥2 − 𝑎2
𝑑𝑥 1
𝑎
. 𝑠𝑒𝑐−1 (
𝑥
𝑎
) + 𝐶 
∫
1
𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥 1
2𝑎
𝑙𝑛 |
𝑥 + 𝑎
𝑥 − 𝑎
| + 𝐶 
∫
1
√𝑥2 − 𝑎2
𝑑𝑥 𝑙𝑛 |𝑥 + √𝑥2 − 𝑎2| + 𝐶 
∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝐹(𝑢) + 𝐶 
∫ 𝑢. 𝑑𝑣 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 
 
 
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ÁREAS 
a) Área abaixo de uma curva: 
 
á𝑟𝑒𝑎 = ∑ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 . 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑛
𝑖=1
 
 (V.S.) Até o eixo x (H.S.) Até o eixo y 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦𝑑
𝑐
 
b) Área entre curvas: 
 (V.S.) (H.S.) 
𝐴 = ∫ 𝑦𝑠𝑢𝑝 − 𝑦𝑖𝑛𝑓 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 𝐴 = ∫ 𝑥𝑑𝑖𝑟 − 𝑥𝑒𝑠𝑞 𝑑𝑦 =
𝑑
𝑐
∫ 𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦) 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
 
VOLUMES DE SÓLIDOS 
 
a) Fatiamento: 
 Fatiamento na vertical Fatiamento na horizontal 
𝑉 = lim
∆𝑥→0
∑ 𝐴(𝑥𝑖). ∆𝑥𝑖 =
𝑛
𝑖=1
∫ 𝐴(𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 𝑉 = lim
∆𝑥→0
∑ 𝐴(𝑦𝑖). ∆𝑦𝑖 =
𝑛
𝑖=1
∫ 𝐴(𝑦). 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
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b) Revolução ou giro ou rotação em torno de um eixo. 
b.1) Método dos discos: 
 
 (V.S) giro em torno de eixo horizontal (H.S.) giro em torno de eixo vertical 
𝑉 = lim
∆𝑥→0
∑ 𝜋. 𝑟𝑎𝑖𝑜2. ∆𝑥 = 𝜋. ∫ 𝑓(𝑥)2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 𝑉 = lim
∆𝑥→0
∑ 𝜋. 𝑟𝑎𝑖𝑜2. ∆𝑦 = 𝜋. ∫ 𝑓(𝑦)2𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
b.2.) Método das Arruelas: 
 
 (V.S) giro em torno de eixo horizontal 𝑉 = ∫ 𝜋(𝑅(𝑥)2 − 𝑟(𝑥)2)𝑑𝑥 = 𝜋. ∫ (𝑅(𝑥))2 − (𝑟(𝑥))2 𝑑𝑥𝑏𝑎𝑏𝑎 (H.S) giro em torno de eixo vertical 𝑉 = ∫ 𝜋(𝑅(𝑦)2 − 𝑟(𝑦)2)𝑑𝑦 = 𝜋. ∫ (𝑅(𝑦))2 − (𝑟(𝑦))2 𝑑𝑦𝑑𝑐𝑑𝑐 b.3.) Método das cascas cilindricas: 
 
 
𝑉 = ∑ 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎. 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎
𝑛
𝑖=1
 
 Giro em torno de eixo vertical Giro em torno de eixo horizontal 
𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑟𝑎𝑖𝑜(𝑥) . 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑟𝑎𝑖𝑜(𝑦) . 𝑓(𝑦). 𝑑𝑦𝑑
𝑐