Aula04_Método do Ponto Fixo

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Método do Ponto Fixo
Cálculo Numérico Computacional
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Aproximações Sucessivas
O método das aproximações sucessivas é um método iterativo que se baseia na aplicação de uma fórmula de recorrência que, sendo satisfeitas determinadas condições de convergência, gera a partir de um valor inicial uma sucessão de valores numéricos cujo limite é a raiz procurada.
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Técnica
 De um modo geral, um método iterativo adota a seguinte técnica:
 a) Escolhe-se um valor inicial aproximado para a raiz. Este valor pode ser obtido a partir de um traçado gráfico aproximado da função f(x), pelo conhecimento de um intervalo em que a raiz está contida (separação das raízes), ou ainda pela interpretação física do fenômeno traduzido pela equação. 
b) A partir do valor inicial, obter uma nova aproximação da raiz utilizando uma fórmula de recorrência.
c) Continuar a obter sucessivas aproximações da raiz, até conseguir a precisão desejada (com um erro menor ou igual ao desejado). Um critério possível consiste em parar as iterações quando a diferença entre dois valores consecutivos para a raiz for, em módulo, inferior a uma quantidade previamente fixada.
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Método Iterativo
No método das aproximações sucessivas, também chamado método iterativo simples, a fórmula de recorrência obtém-se re-escrevendo a equação F(x) = 0 sob a forma:
 
Assim, a partir de um valor inicial x0, obtém-se uma sequência de valores:
 para i = 1,2,3,... que, dentro de determinadas condições, converge para uma raiz x* da equação. O critério de parada normalmente usado consiste em garantir que |xn-1 – xn|< ε para considerar xn como a raiz aproximada da equação.
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Exemplo
Obter uma raiz da equação 
 3x − 2 log( x) − 5 = 0 com cinco algarismos significativos, usando x0 = 5 como aproximação inicial.
Solução:
 A equação:
 3x − 2 log( x) − 5 = 0
 
 pode ser re-escrita como:
 
 xn+1 = 1/3 (2 log(xn)+ 5)
 Tendo como base esta fórmula de recorrência, podemos construir o seguinte quadro para o cálculo do valor aproximado da raiz:
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 Exemplo
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Representação Gráfica
 Uma representação gráfica do método das aproximações sucessivas permite evidenciar a convergência do método sempre que |Φ ′(x)| < 1 para todos os x dos sucessivos intervalos. 
 Nos slides seguintes podemos ver os vários casos. O caso em que -1< Φ ´(x) <0 e que 0 < Φ ´(x) < 1, que são os casos em que a sequência xn converge e os caso Φ ´(x) < -1 e Φ ´(x) > 1 que são os casos em que a sequência xn diverge.
 
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Representação Gráfica
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Representação Gráfica
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Representação Gráfica
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Representação Gráfica
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Escolha da Função
A condição de convergência exposta demonstra que, muito embora seja sempre possível definir várias funções f (x) que permitam re-escrever F(x) = 0 na forma xn+1 = Φ (xn) , uma escolha criteriosa da função Φ (x) é necessária para que a sucessão de valores xi seja convergente.
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Exemplo
 Considerar a equação de 2º grau 
 x2 − 5x + 2 = 0
 Utilizando o método das aproximações sucessivas, e uma análise gráfica, demonstrar que esta equação admite as raízes x01= 0.438447 e x02 = 4.561553.
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Solução
A equação pode ser escrita na forma 
 ou seja 
 O gráfico seguinte mostra que o método vai convergir para x01, mas não para x02
 
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Exemplo
Na verdade:
O intervalo de convergência neste caso é o intevalo para o qual | 0,4x| <1. Se x01 estiver dentro deste intervalo, podemos escolher qualquer qualquer valor nete intevalo como aproximação inicial para x01. Ou seja:
Ou seja, x01 está dentro deste intervalo e x02 está fora deste intervalo.
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Exemplo
Para a determinação do valor de x02, pode-se reescrever a equação dada sob a forma:
Neste caso temos um outro intervalo para convergência que contém x02 e como podemos ver no gráfico este intervalo permite a convergência para x02.
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Exemplo
Neste caso temos que:
Note que a segunda raiz que é x02 está
neste intervalo.
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Exemplo
Determinação do valor de x01, utilizando
Com precisão de 6 casas decimais, ou seja, ɛ= 10-6
x0=0
x1=0.4
x2=0.432
x3=0.437324
x4=0.438250
x5=0.438412
x6=0.438441
x7=0.438446
x8=0.438447
x9=0.438447 
Notar que |x9-x8|<10-6
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Exemplo
Determinação do valor de x02, utilizando 
Com precisão de 6 casas decimais, ou seja, ɛ= 10-6
x0=5.000000
x1=4.600000
x2=4. 565217
x3=4. 561905
x4=4. 561587
x5=4. 561556
x6=4. 561553
x7=4. 561553
Note que neste caso |x7-x6| < 10-6 . O critério de parada do método é então |xn+1-xn | < ɛ
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Algoritmo
Considere a equação f(x) = 0 ou a equação equivalmente x = Φ(x) e supor que as hipóteses do teorema são satisfeitas.
Dados iniciais 
x0 aproximação inicial
ɛ1 e ɛ2 precisões
Se |f(x0)|< ɛ1 , faça xraiz=x0. FIM
k=1
x1=Φ(x0)
Se |f(x1)|< ɛ1 ou se |x1-x0| < ɛ2 então faça xraiz=x1. FIM
x0=x1
k=k+1, volte ao passo 4.
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Exercício
a) Seja f(x) = x3-9x+3. Considere que Φ(x)=x3/9 + 1/3, x0=0,5, ɛ1 =ɛ2=5.10-4 e que a raiz esteja no intervalo [0,1]. Aplique o método do ponto fixo para obtenção da raiz.
b) Mostre que Φ(x) satisfaz às condições do teorema.
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Solução
Notar que o primeiro critério do algoritmo, |f(x)| < ɛ1 é satisfeito. 
Para mostrar que a função Φ(x) satisfaz ao critério para a raiz, basta derivá-la e verificar para quais valores sua derivada é menor que 1.
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Como a raiz estava neste intervalo, o método do ponto fixo convergiu para ela.