mudanca variavel integral tripla

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8 – Mudança de variável em integrais Triplas 
 
 
 De modo análogo as integrais duplas, podemos introduzir novas variáveis de 
integração na integral tripla. 
 
∫∫∫=
T
dxdydzzyxfI ),,( 
 
 Introduzindo novas variáveis de integração u, v, w através das equações 
 x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), a integral I pode ser expressa por 
 
 
 ∫∫∫ ∂
∂
=
' ),,(
),,(),,(),,,(),,,((
T
dudvdw
wvu
zyx
wvuwwvuywvuxfI 
 
onde T’é a correspondente região no espaço u, v, w e ),,(
),,(
wvu
zyx
∂
∂
 é o determinante jacobiano de x, 
y, z em relação a u, v, w. 
 
 
 
8.1 – Cálculo de uma integral tripla em coordenadas cilíndricas 
 
As coordenadas cilíndricas de um ponto P no espaço, de coordenadas cartesianas (x, y, 
z), são determinadas pelos números 
 r, θ, z, 
 
onde r e θ são as coordenadas polares da projeção de P sobre o plano xy. 
 
A relação entre as coordenadas cilíndricas e 
cartesianas é dada pelas equações: 
 
x = r cos θ 
 
y = r sen θ 
 
z = z 
 
O jacobiano de x, y, z em relação as 
novas variáveis r, θ, z é: 
 
rr
r
zr
zyx
=
−
=
∂
∂
100
0cossen
0sencos
),,(
),,( θθ
θθ
θ
 
Assim 
∫∫∫∫∫∫ =
'
),sen,cos(),,(
TT
dzrdrdzrrfdVzyxf θθθ , onde T’ é a região descrita em coordenadas 
cilíndricas. 
 Se a região T se enquadra no 1º caso da seção 7.3, podemos escrever: 
 
 39 
∫∫ ∫








=
'
),(
),(
2
1
),sen,cos(
R
rg
rg
rdrddzzrrfI θθθ
θ
θ
 
onde: 
• g1(r, θ) e g2(r, θ) são as superfícies que delimitam T inferiormente e superiormente, 
respectivamente. 
• R’ é a projeção de T sobre o plano xy descrita em coordenadas polares. 
 
 
 
8.2 – Exemplos 
 
1) Calcular ∫∫∫=
T
dVI , onde T é a região delimitada por z = x2 + y2, x2 + y2 = 1 e 
z = 8 - x2 - y2 
 
2) ∫∫∫
T
dV , onde T é a porção da esfera x2 + y2 + z2 = 9 que está dentro do cilindro 
 x
2
 + y2 = 4 
 
 
 
 
 
8.3 - Cálculo de uma integral tripla em coordenadas esféricas 
 
As coordenadas esféricas (ρ, θ,φ ) de um ponto P (x, y, z) no espaço são conforme a figura: 
A coordenada ρ é a distância do ponto P 
até a origem. A coordenada θ é a mesma que em 
coordenadas cilíndricas e a coordenada φ é o 
ângulo formado pelo eixo positivo dos z e o 
segmento que une o ponto P a origem. 
Como ρ é a distância de P a origem, temos 
ρ > 0. 
Como θ coincide com o ângulo polar, 
utiliza-se a mesma variação usada no cálculo de 
integrais duplas, ou seja, 
 
piθpi ≤≤−
 ou piθ 20 ≤≤ 
 
 
Quanto a coordenada φ , subentende-se 
que piφ ≤≤0 . Quando φ = 0, o ponto P estará sobre o eixo positivo dos z e, quando piφ = , 
sobre o eixo negativo dos z. 
 Comparando as figuras das seções 8.1 e 8.3 , podemos observar que as coordenadas 
cilíndricas e esféricas se relacionam pelas equações 
 
φρ sen=r , θθ = , φρ cos=z 
 
Combinando essas equações com as equações 
θcosrx = , θsenry = , zz = 
 
 40 
obtemos 
θφρ cossen=x , θφρ sensen=y , φρ cos=z 
 
que são as equações que relacionam as coordenadas esféricas com as coordenadas 
cartesianas. 
 
Podemos usar estas equações para transformar uma integral tripla em coordenadas 
cartesianas numa integral tripla em coordenadas esféricas. Para isso, vamos utilizar a fórmula de 
mudança de variáveis para integrais triplas dada acima. 
 
 
∫∫∫ ∂
∂
=
'
),,(
),,(),,(),,,(),,,((
T
dudvdw
wvu
zyx
wvuwwvuywvuxfI 
 
Devemos então calcular o jacobiano ),,(
),,(
φθρ∂
∂ zyx
. Temos 
 
φρ
φρφ
θφρθφρθφ
θφρθφρθφ
φθρ sen
sen0cos
sencoscossencossen
coscossensencossen
),,(
),,( 2
=
−
−
=
∂
∂ zyx
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
∫∫∫∫∫∫ =
'
sen)cos,sensen,cossen(),,( 2
TT
dddfdVzyxf θφρφρφρθφρθφρ 
 
onde T’ é a região de integração T descrita em coordenadas esféricas. 
 
 
 
8.4 – Exemplos 
 
1) Calcular o volume de uma esfera de raio R utilizando integral tripla. 
 
 2) Calcular ∫∫∫=
T
xdxdydzI , onde T é a esfera sólida x2 + y2 + z2 < a2 
 
3) Calcular ∫∫∫=
T
dxdydzI , onde T é a região limitada superiormente pela esfera x2 + y2 + 
z2 = 16 e inferiormente pelo cone 22 yxz += 
 
4) Calcular ∫∫∫ ++=
T
dxdydzzyxI 222 , onde T é a coroa esférica limitada por 
 x
2
 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4. 
 
 
 41 
 
 
 
8.5 – Exercícios 
 
1) Calcular ∫∫∫ +=
T
dVyxI )( 22 , onde T é a região interior ao cilindro x2 + y2 = 1 e a esfera 
x
2
 + y2 + z2 = 4. 
 
2) Calcular ∫∫∫ +=
T
dVyxI 22 , onde T é a região limitada por z = x2 + y2 - 4 e 
z = 4 - x2 - y2. 
 
3) Calcular ∫∫∫
T
dV , onde T é a região limitada por x2 + y2 = 4 e a esfera y2 + z2 = 4. 
 
4) Calcular ∫∫∫
T
dV , onde T é a região interior ao cilindro x2 - x + y2 = 0 e a esfera 
x
2
 + y2 + z2 =1. 
 
5) Calcular ∫∫∫
T
dV , onde T é a casca esférica delimitada por x2 + y2 + z2 = 9 e 
x
2
 + y2 + z2 = 16. 
 
6) Calcular ∫∫∫ +
T
dVyx )( 22 , onde T é o sólido delimitado por 4 < x2 + y2 + z2 < 9. 
 
Respostas: 1) )
5
344
15
256( −pi 2) 
15
256pi
 3) 
3
128
 4) 
9
)43(2 −pi
 5) 
3
148pi
 6) 
15
1688pi
 
 
 
 
 
8.6 - Aplicações – Cálculo de Volume de sólidos 
 
As integrais triplas tem aplicações geométricas e físicas. 
 Uma importante aplicação é o cálculo de volumes. É possível calcular o volume de um 
sólido delimitado num espaço T, considerando f(x, y, z) = 1. Assim, o volume V é dado por 
 ∫∫∫=
T
dVV 
 
8.7 – Exemplos 
 
1) Calcular o volume do sólido delimitado inferiormente por 
2
3 yz −= , superiormente por z = 
6 e lateralmente pelo cilindro vertical que contorna a região R delimitada por y = x2 e y = 4. 
 
2) Calcular o volume do sólido T delimitado por y = 0, z = 0, y + z = 5 e z = 4 – x2 
 
 
 42 
 
 
 
8.8 – Exercícios 
 
1) Calcular o volume do tetraedro da figura ao lado: 
 
 
2) Calcular o volume da parte do tetraedro da figura ao lado: 
• Entre os planos z = 1 e z = 2; 
• Acima do plano z = 1; 
• Abaixo do plano z = 2. 
 
 
 
 
 
3) Calcular o volume do sólido delimitado por x2 + y2 = 4, z = 0 e 4x + 2y + z = 16. 
 
 
4) Calcular o volume do sólido delimitado por z = 8 - x2 - 2 y2 no 1º octante. 
 
 
5) Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z = x2 + y2 e x2 + y2 = 
16. 
 
 
6) Calcular o volume do sólido acima do parabolóide z = x2 + y2 e abaixo do cone 
22 yxz += . 
 
 
 
Respostas: 1) 1 2) 
27
7
, 
27
8
, 
27
26
 3) pi64 4) pi24 5) pi128 
 6) 
6
pi