Métodos Quantitativos Tema 3 Aula 6

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Tema 3: Regressão Linear Simples 
Segundo Montgomery (2011) “a coleção de ferramentas estatísticas que são usadas para modelar 
e explorar relações entre variáveis que estão relacionadas de maneira não determinística é chamada 
de análise de regressão”. 
Segundo Guimarães (2015), o objetivo geral desta técnica é estabelecer uma equação que 
relacione adequadamente o comportamento de uma variável resposta e uma ou mais variáveis 
explicativas, possibilitando realizar a estimativa de valores da variável de resposta. Essa equação pode 
ser linear ou não linear, como você pode ver nos gráficos da página seguinte: 
Figura 1 – Formas lineares e não lineares de relação entre pares de variáveis. 
 
 
Fonte: Guimarães, 2015. 
Neste tema, apresentaremos a situação em que há somente uma variável independente ou 
preditora X e a relação com a resposta Y é considerada linear. Se uma relação linear é válida para 
explicar a dependência de comportamento entre duas variáveis quantitativas, então a equação que 
descreve esta relação é dada por: 
 
Essa função linear entre X e Y é determinística, ou seja, ela afirma que a partir do modelo 
adotado, todos os pontos são descritos exatamente pela reta de regressão. Porém, em geral, isso não 
é observado, ou seja, os pontos amostrais não são descritos exatamente pela reta de regressão. Deste 
modo, existe um desvio entre o valor observado nas amostras e o valor obtido pela função linear. 
Y a bX ˆ
Esse desvio ou diferença, denominada erro e aqui denotado pelo símbolo 

, é uma variável 
aleatória que mede o erro do modelo em ajustar-se aos dados corretamente. São várias as fontes de 
erro que podem provocar esse comportamento. Entre outros, pode-se citar a não consideração de 
variáveis que influenciam o modelo e os erros de medição experimental. Adicionando a parcela do erro 
à equação, temos: 
Y a bX   
 
 
Esse é denominado “modelo de regressão linear simples”. Neste caso, a e b são os parâmetros do 
modelo. 
Exemplo 4 (Guimarães, 2015): Certa 
peça é manufaturada por uma companhia, uma 
vez por mês, em lotes, que variam de tamanho 
de acordo com as flutuações na demanda. A 
Tabela 4 contém dados sobre o tamanho do 
lote e o número de horas gastas na produção 
de 10 lotes recentes produzidos sob condições 
similares. Esses dados são apresentados 
graficamente na Figura 5, tomando-se horas-
homem como variável dependente ou variável 
resposta (Y) e o tamanho do lote como variável 
independente ou preditora (X). 
Tabela 4 – Tamanho do lote e número de 
horas gastas na produção de cada lote. 
 
Figura 2 – Diagrama de dispersão entre a idade (X) e o tempo de reação (Y). 
 
 Fonte: Guimarães, 2015. 
Através da Figura 5, pode-se perceber que há uma relação linear positiva entre o tamanho do 
lote e o número de horas, sendo que maiores lotes, em geral, estão sujeitos a maiores números de 
horas/homem utilizadas. Porém, a relação não é perfeita, ou seja, há uma dispersão de pontos levando 
a acreditar que a variação no número de horas não é dependente do tamanho do lote ou pode estar 
associada a alguma variável não considerada (GUIMARÃES, 2015). 
Sendo assim, temos agora como principal objetivo obter os coeficientes a e b dessa reta de 
regressão de modo que se ajuste ao conjunto de pontos da melhor maneira possível, isto é: estimar a 
e b de algum modo eficiente, que ocasione o menor erro possível. Há vários métodos para encontrar 
as estimativas desses parâmetros, sendo o mais utilizado o Método dos Mínimos Quadrados 
(MMQ). 
Como, a partir da reta de regressão modelada, é possível realizar previsões, é razoável exigir que 
ela seja tal que torne pequenos os erros dessa previsão. Um erro de previsão significa a diferença 
entre o valor observado de Y e o valor correspondente de 
Yˆ
 na reta. 
Note que, se considerarmos a diferença entre os valores observados Y e os valores respostas 
obtidos pela reta da regressão 
Yˆ
, os pontos localizados acima da reta geram erros positivos. Por outro 
lado, os localizados abaixo da reta geram erros negativos. Como a soma dos erros é zero, isto é: 
 
n
i i
i
Y Y

 
1
ˆ 0
, o método dos mínimos quadrados emprega a soma do quadrado dos erros. Assim, 
segundo Martins (2010), a distância quadrática entre os valores observados e os valores da reta de 
regressão deve ser minimizada, ou seja: 
 
n
i i
i
Y Y


2
1
ˆ
. 
Como 
Y a bX ˆ
, vamos minimizar para obter os parâmetros a e b: 
  
n
i i
i
Y a bX

 
2
1
 
Aplicando o referido método, obtemos duas equações, denominadas equações normais: 
n n
i i
i i
n n n
i i i i
i i i
I Y na b X
II X Y a X b X
 
  
  
  
 
  
1 1
2
1 1 1
 
Resolvendo o sistema para a e b, temos (MARTINS, 2010): 
xy
xx
S
b e a y bx
S
  
 Onde 
 
n n
i i
i i
xy xx
X x Y x
xx y
S xy S x
n n
x y
x y
n n
 
 
   
 
 
 
 
 
1 1
2
2 
Vamos a um exemplo prático para poder ilustrar a aplicação do método dos mínimos quadrados 
para determinação de uma regressão linear. 
Exemplo 5 (Portal Action, 2014): Em problemas de tratamento térmico, deseja-se estabelecer 
uma relação entre a temperatura da estufa e uma característica da qualidade (dureza, por exemplo) de 
uma peça. Desta forma, pretende-se determinar os valores de temperatura em ºC que otimizam a 
performance do processo de tratamento térmico em relação à estrutura metalográfica do material, 
avaliada em relação a dureza em HB. 
Considere que, em um experimento, a dureza de pistões foi medida em diferentes níveis de 
temperatura escolhidos conforme interesse (T1 = 220 ºC, T2 = 225 ºC, T3 = 230 ºC, T4 = 235 ºC). 
Para cada ponto de temperatura, foram submetidos ao tratamento térmico 5 pistões. Os dados 
observados são apresentados na Tabela 5 e o objetivo é estabelecer uma relação entre a variável de 
entrada (temperatura) e a variável de saída (dureza). 
Tabela 5 – Dados de dureza de um conjunto de pistões em diferentes níveis de temperatura. 
 
Figura 3 – Temperatura da estufa X dureza dos pistões. 
 
 Fonte: Portal Action (2014). 
Solução: Para determinar como a temperatura da estufa (variável preditora X) está relacionada 
com a dureza dos pistões (variável resposta 
Yˆ
), é necessário utilizarmos o método dos mínimos 
quadrados para a determinação dos parâmetros da reta de regressão. Nesse caso, as médias 
amostrais das variáveis temperatura (X) e dureza (
Yˆ
) são, respectivamente: 
 
 
i
i
i
i
x
x x
n
y
y y
n


      
      




20
1
20
1
1 1
220 220 ... 235 227,5
20 20
1 1
137 137 ... 122 129,4
20 20
 
 
Na Tabela 6, apresentam-se os valores de x², y² e xy para cada observação i. Confira na próxima 
página! 
Tabela 6 – Dados de dureza de um conjunto de pistões em diferentes níveis de temperatura e 
parâmetros para a estimação da reta regressora. 
 
Tabela 6 – Dados de dureza de um conjunto de pistões em diferentes níveis de temperatura e 
parâmetros para a estimação da reta regressora – continuação. 
 
Assim, encontramos as somas dos quadrados: 
   
   
xy
xx
x y
S xy
n
x
S x
n
     
    
 



2 2
2
4550 . 2588
588125 645
20
4550
1035750 625.
20Logo, as estimativas dos parâmetros a e b são, respectivamente: 
 
xy
xx
S
b 
S
a y bx

   
     
645
1,032
625
129,4 1,032 227,5 364,18.
 
Portanto, o modelo ajustado é dado por Dureza = a + b x Temperatura / Dureza = 364,18 – 
1,032 x Temperatura. Para valores das estimativas, temos que o aumento da temperatura, gera um 
decréscimo de 1,032 na dureza. 
Para ter mais informações, clique no botão a seguir e leia o livro Estatística Aplicada e 
Probabilidade para Engenheiros, dos autores Montgomery e Runger. O capítulo 11 trata 
especificamente dos conteúdos trabalhados nesse tema, não deixe de conferir! 
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAguykAG/estatistica-aplicada-probabilidade-engenheiros-
douglas-c-montgomery-4-ed 
Clique no botão a seguir e assista a um vídeo que traz uma explicação aprofundada sobre a 
regressão linear simples: 
https://www.youtube.com/watch?v=4jtMxQHrO64