Derivadas geologia 2017 2

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Lista de exercícios – Cálculo diferencial 
 
Retas tangentes e taxas de variação 
1. A figura em anexo mostra a curva de posição versus tempo para certa partícula 
movendo-se sobre uma linha reta. 
 
(a) Onde a partícula se move mais rapidamente, em t0 ou t2? Explique. 
(b) Na origem, a tangente é horizontal. Que informação sobre a velocidade inicial da 
partícula isto nos dá? 
(c) A partícula está aumentando ou diminuindo sua rapidez em [t0, t1]? Explique. 
(d) E no intervalo [t1,t2] sua rapidez está aumentando ou diminuindo? Explique. 
 
. 
 
2. Se uma partícula move-se com velocidade constante, o que pode ser dito sobre a 
curva de posição versus tempo? 
3. As figuras em anexo mostram as curvas de posição versus tempo para quatro 
partículas diferentes movendo-se sobre linhas retas. Para cada partícula, determine se 
a velocidade instantânea está aumentando ou diminuindo com o tempo. 
 
 
 
 
 
 
4. Suponha que na figura em anexo está a curva de temperatura externa versus tempo 
relativa a um período de 24 horas. 
 
(a) Estime a temperatura máxima e o tempo no qual ela ocorre. 
(b) O aumento da temperatura entre 8 h e 14 h é razoavelmente linear. Estime a taxa 
segundo a qual a temperatura está aumentando durante este período. 
(c) Estime o tempo no qual a temperatura decresce mais rapidamente. Estime a taxa 
instantânea de variação da temperatura em relação ao tempo naquele instante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. A figura em anexo mostra o gráfico da altura h em centímetros versus a idade t em 
anos de um indivíduo, desde a idade do nascimento até a idade de 20 anos. 
 
(a) Quando a taxa de crescimento é máxima? 
(b) Estime a taxa de crescimento aos 5 anos. 
(c) Aproximadamente em que idade, entre 10 e 20 anos, a taxa de crescimento é 
máxima? Estime a taxa de crescimento nesta idade. 
 
 
 
 
 
 
 
A Derivada 
 
1. Use o gráfico de y = f(x) na figura em anexo para estimar o valor de f ’(1), f ’(3), f ’(5) e f 
’(6). 
 
 
 
 
 
 
 
2. Para a função cujo gráfico está na figura em anexo, arranje os números 0, f ’(-3), f ’(0), f 
’(2) e f ’(4) em ordem crescente. 
 
 
 
 
3. (a) Se for dada uma equação da reta tangente no ponto (a, f(a)) sobre uma curva y = 
f(x), como você faria para calcular f ’(a)? R: A inclinação dessa reta é o valor de f ’(a) 
(b) Dado que a equação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto (2, 5) é 
y = 3x + 1, determine f ’(2). 
(c) Para a equação da parte (b), qual é a taxa de variação instantânea de y em relação 
a x em x = 2? 
 
4. Combine o gráfico da função mostrada em (a)-(f) com o de sua derivada em (A)-(F). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. De acordo com a Lei do Resfriamento de Newton, a taxa de variação da temperatura 
de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio 
ambiente. A figura em anexo mostra o gráfico da Temperatura T (em graus Fahrenheit) 
versus o tempo t (em minutos) para uma xícara de café inicialmente a 200°F, deixada 
esfriar numa sala com uma temperatura constante de 75°F. 
 
(a) Estime T e dT/dt quando t = 10 min. 
(b) A Lei do Resfriamento de Newton pode ser expressa por 
 
 
 = k (T – T0), na qual k é 
a constante de proporcionalidade e T0 a temperatura do meio ambiente 
(constante, por hipótese). Use os resultados da parte (a) para estimar o valor de k. 
 
 
 
 
 
Técnicas de diferenciação 
1. Ache dy / dx. 
 
(a) y = 
(b) y = + 2x + 1 
(c) y = π³ 
(d) y = - 
 
 
 ( + 2x – 9) 
(e) y = ax³ + bx² + cx + d 
(f) y = + 2 
(g) (x) = + 
 
 
 
(h) (x) = (3x² + 6) (2x - 
 
 
 ) 
 
 
(i) (x) = (x³ + 7x² - 8) ( + ) 
(j) (x) = (3x² + 1)² 
 
2. Ache y’(1): 
 
(a) y = 
 
 
 
 
3. Ache dx / dt. 
 
(a) x = 
 
 
 
 
4. Ache x = 1 . 
 
(a) y = 
 
 
 
(b) y = ( 
 
 
 )( + 1) 
 
5. Ache a derivada indicada. 
 
(a) 
 
 
 [16t²] 
(b) (r), na qual V = πr³ 
 
 
6. Ache g’(4) dado que f(4) = 3 e f ’(4) = -5. 
 
(a) g(x) = f(x) 
(b) g(x) = 
 
 
 
 
7. Ache d²y / dx². 
 
(a) y = 7x³ - 5x² + x 
(b) y = 12x² - 2x + 3 
(c) y = 
 
 
 
(d) y = (5x² - 3)(7x³ + x) 
 
8. Ache y’’’. 
 
(a) y = + 
(b) y = 1/x 
(c) y = + bx + c (a, b, c constantes) 
 
9. A lei da gravidade afirma que a intensidade F da força exercida por um ponto com 
massa M sobre um ponto com massa m é F = 
 
 
, na qual G é uma constante, e r a 
distância entre os pontos. Supondo os pontos em movimento, ache uma fórmula para 
a taxa de variação instantânea de F em relação a r. 
 
Derivadas das funções trigonométricas 
 
1. Encontre as derivadas das funções a seguir 
(a) 
(b) 
 
 
 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
(g) 
(h) 
 
 
 
(i) 
(j) 
 
 
 
(k) 
(l) 
(m) 
 
A regra da cadeia 
 
1. Encontre as derivadas das funções a seguir: 
 
(a) 
(b) 
 
 
 
(c) 
 
 
 
(d) 
(e) 
(f) 
(g) 
(h) 
 
 
 
(i) 
(j) 
(k) 
(l) 
(m) 
(n) 
 
 
 
(o) 
(p) 
(q) 
(r) 
 
 
 
(s) 
 
 
 
(t) 
 
Derivadas das funções logarítmicas e exponenciais 
1. Ache dy/dx: 
(a) y = 
(b) y = ( )² 
(c) y = 
 
 
 
(d) y = 
(e) y = cos( ) 
(f) y = x³ 
(g) y = 
 
 
 
(h) y = 
(i) y = x³ 
(j) y = 
 
 
 
(k) y = 
(l) y = 
 
(m) y = ) 
 
2. Ache f ’(x). 
(a) f(x) = 
(b) f(x) = 
Regra de L’Hôpital 
 
1. Calcule os limites a seguir: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
f) 
 
 
 
g) 
 
h) 
 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
 
2. Ache o erro no seguinte cálculo: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 1 
 
3. O diagrama esquemático em anexo representa um circuito elétrico, o qual consiste de 
uma força eletromotriz que produz uma voltagem V, um resistor com resistência R, e 
um indutor com indutância L. A teoria dos circuitos elétricos mostra que se uma 
voltagem for aplicada no instante t = 0, então a corrente I que percorre o circuito no 
instante t é dada por I = 
 
 
 (1- ), qual é o efeito sobre a corrente num dado 
tempo t fixo, se a resistência tender a zero (isto é, R → )? 
 
 
Análise das funções e de seus gráficos 
 
1. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função f com as propriedades 
indicadas e discuta os sinais de f ’ e de f ”. 
 
(a) A função f é côncava para cima e crescente no intervalo(-∞, +∞). 
(b) A função f é côncava para baixo e crescente no intervalo (-∞, +∞). 
(c) A função f é côncava para cima e decrescente no intervalo (-∞, +∞). 
(d) A função f é côncava para baixo e decrescente no intervalo (-∞, +∞). 
 
2. Use o gráfico da equação y = f(x) na figura em anexo para encontrar os sinais 
de dy/dx e d²y/dx² nos pontos A, B e C. 
 
 
 
 
 
3. Use o gráfico de y = f ”(x) na figura em anexo para determinar as coordenadas 
x de todos os pontos de inflexão de f. Explique o seu raciocínio. 
 
 
 
4. Em cada parte, use o gráfico y = f(x) na figura em anexo para encontrar a 
informação requisitada. 
 
(a) Ache os intervalos nos quais f é crescente. 
 
 
 
(b) Ache os intervalos nos quais f é decrescente. 
(c) Ache os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima. 
(d) Ache os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo. 
(e) Ache os todos os valores de x nos quais f tem um ponto de inflexão. 
 
 
 
 
 
5. Ache para os itens abaixo: 
 os intervalos nos quais f é crescente. 
 os intervalos nos quais f é decrescente. 
 os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima. 
 os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo. 
 as coordenadas x de todos os pontos de inflexão. 
 
(a) f(x) = x² - 5x + 6 
(b) f(x) = 
(c) f(x) = 
Análise de funções II: extremos relativos; testes das derivadas primeira e segunda 
 
1. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades 
indicadas, onde I=(-∞, +∞). 
 
(a) f é côncava para cima no intervalo I e tem exatamente um extremo 
relativo. 
(b) f é côncava para cima no intervalo I e não tem extremos relativos. 
(c) A função f tem exatamente dois extremos relativos no intervalo I e 
f(x) quando x . 
(d) A função f tem exatamente dois extremos relativos no intervalo I e 
f(x) quando x . 
 
2. Use os testes da derivada primeira e da derivada segunda para mostrar que 
f(x)=3x²-6x+1 tem um mínimo relativo em x=1. 
 
3. Localize os pontos críticos e classifique-os em estacionários ou de não 
diferenciabilidade. 
 
(a) f(x) = x³+ 3x² - 9x + 1 
(b) f(x) = - 6x² - 3 
(c) f(x) = 
 
 
 
(d) f(x) = 
 
(e) f(x) = (x + 4) 
(f) f(x) = 
 
4. Use qualquer método para achar os extremos relativos da função f: 
 
(a) f(x) = x³+ 5x – 2 
(b) f(x) = x(x – 1)² 
(c) f(x) = 
(d) f(x) = 
(e) f(x) = 
 
 
 
(f) f(x) = 
Análise de funções III: aplicando a tecnologia e as ferramentas do cálculo 
1. Dê um gráfico completo do polinômio, marcando as coordenadas dos pontos 
estacionários e de inflexão. 
(a) x² - 2x – 3 
(b) x³ - 3x + 1 
 
2. Dê um gráfico completo da função racional, marcando as coordenadas dos 
pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais 
com as respectivas equações. 
(a) 
 
 
 
(b) 
 
 
 
Aplicações da derivada: máximos e mínimos absolutos 
1. Use o gráfico para encontrar as coordenadas x dos extremos absolutos e 
relativos de f. 
 
 
 
2. Ache os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo fechado dado e 
indique onde ocorrem estes valores. 
 
(a) f(x) = 4x² - 4x + 1; [0, 1] 
(b) f(x) = 8x – x²; [0, 6] 
 
3. Ache os valores máximo e mínimo absolutos, se houver, no intervalo dado e 
indique onde estes valores ocorrem. 
 
(a) f(x) = x² - 3x - 1; (-∞, +∞) 
(b) f(x) = 4x³ - ; (-∞, +∞)