Matematica Financeira HP 12C

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1
UNIGRANRIO
Matemática Financeira com o uso da 
Calculadora hp 12C
3
LIGAR/DESLIGAR A CALCULADORA
� Para ligar ou desligar a calculadora, basta pressionar 
a tecla ON.
� Ao ser deixada ligada, a calculadora se desligará 
automaticamente dentro de alguns minutos.
� Um asterisco piscando no canto inferior esquerdo do 
visor significa necessidade de troca de bateria.
4
O TECLADO
A maioria das teclas da HP 12C realiza duas ou até 
mesmo três funções, observe: 
� Para usar a função primária, impressa em branco, 
basta pressioná-la.
� Para usar a função impressa em amarelo, pressione 
a tecla amarela, de prefixo f e em seguida, 
pressione a tecla da função desejada.
� Para usar a função impressa em azul, pressione a 
tecla azul, de prefixo g e, então pressione a tecla da 
função desejada.
5
VÍRGULA OU PONTO COMO SEPARADOR 
Para alterar o separador decimal da calculadora, de 
ponto para vírgula ou vice-versa (padrão brasileiro ou 
padrão americano), adote os seguintes passos, com 
a calculadora desligada:
� Fique pressionando com o dedo a tecla do PONTO e 
dê um toque na tecla ON (pressione e solte). 
Pronto! 
Lembrete: R$ (0,00) e US$(0.00)
OBS: Vamos programar a hp para moeda real.
6
ALTERAR O NÚMERO DE CASAS 
APÓS A VÍRGULA
� Para alterar o número de casas após a vírgula, basta 
pressionar a tecla f e em seguida o número de casas 
desejado.
Por exemplo:
� Se quiser formatar o visor com 3 casas, pressionar
f 3
� Se quiser formatar o visor com número inteiro, 
pressionar 
f 0
7
MÉTODO DE CÁLCULO: RPN
� RPN: Reverse Polish Notation (Notação Polonesa 
Reversa). A HP utilizou nesta calculadora, o método 
desenvolvido pelo matemático polonês Jan 
Lukasiewicz. O método se adequou bem ao uso na 
calculadora, uma vez que dispensa a necessidade de 
parênteses.
Exemplo: Método algébrico: ( 4 + 5 ) x 6 
 Método RPN: 4 ENTER 5 + 6 x
Resultado: 54
 
 
8
Cálculos Aritméticos Simples 
Exemplos
a) 5 + 31
b) 25 x 2 + 8
c) (81 ÷ 3) + 4 
d) 1 ÷ 158
Resultado: 36HP: 5 ENTER 31 +
HP: 25 ENTER 2 x 8 + Resultado: 58
Resultado: 31HP: 81 ENTER 3 ÷ 4 +
HP: 1 ENTER 158 ÷
Resultado: 0,01 (2 casas)
 0,006 (3 casas)
 0,0063 (4 casas)
 0,00633 (5 casas)
 0,006329 (6 casas)
9
Cálculos Aritméticos 
Exemplos
e)
f)
Resultado: 3
HP: 18 ENTER 24 15 ENTER 3 + - ÷
( )31524
18
+−
( ) ( )
7
6543 ×+×
Resultado: 6
HP: 3 ENTER 4 X 5 ENTER 6 X + 7 ÷
10
OS REGISTRADORES DA PILHA 
OPERACIONAL 
� A calculadora tem quatro linhas, que contém os 
valores a utilizar nos cálculos. Somente uma das 
linhas aparece no visor: é o registrador “X”. Os 
demais registradores não aparecem, mas ficam 
disponíveis para os cálculos.
Exemplo: DIGITE 1 ENTER 2 ENTER 3 ENTER 4
 
A seguir, vá lendo todos os registradores, utilizando a 
função R
11
Pilhas Operacionais 
O segredo da HP-12C
A lógica RPN opera baseada num conjunto de pilhas operacionais 
acumuladoras, denominadas X, Y, Z e T. A pilha X corresponde ao 
visor da calculadora e as demais são ocultas (visores virtuais).
Exemplo: Calcule 3 x 4
 X Y Z T
Digitar 3 3 - - -
ENTER 3, 3 - -
Digitar 4 4 3 - -
Digitar x 12 - - -
12
 LIMPANDO OS REGISTROS 
� Um simples toque na tecla CLX limpa o 
visor. 
� Para limpar todos os registros pressione 
f REG
� Para limpar os registradores financeiros (n, i, 
PV, PMT, FV), basta pressionar a tecla 
f FIN
13
CALCULAR O INVERSO DE UM NÚMERO
O inverso de um número é conseguido dividindo-se a 
unidade (1) por este. Na calculadora HP12C a função 
 1/x executa esta operação.
Para calcular o inverso de um número basta ter o 
número no visor e pressionar 1/x.
Exemplo: Calcule o inverso de 3.
HP: 3 1/xHP: 3 1/x 0,3330,333
 
 
14
CALCULAR O PERCENTUAL DE UM TOTAL 
Calcula quanto por cento um determinado valor (parte) 
representa de um outro valor (total).
� Para calcular o percentual que um número 
representa de outro, basta entrar com o número que 
servirá de base (total), pressionar ENTER e em 
seguida digitar o outro número (parte) e pressionar 
%T. 
15
Exemplo:
� No mês passado as despesas de uma indústria foram assim 
distribuídas:
 salários e encargos R$ 35 000,00
 conservação e manutenção R$ 5 000,00
 utilidades (luz, água, telefone, etc.) R$ 7 000,00
 gerais e diversas R$ 3 000,00
 Total das despesas R$ 50 000,00
Qual é o percentual que os salários e encargos representam do 
total das despesas da indústria ?
HP:HP:
50 000 ENTER 35 000 %T50 000 ENTER 35 000 %T Resultado 70%Resultado 70%
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CALCULAR A VARIAÇÃO PERCENTUAL 
Para calcular a variação percentual entre dois números, digitar o 
primeiro número (base ou valor anterior), pressionar ENTER, 
introduzir o outro número (novo ou segundo número) e 
pressionar a função ∆%.
Se o segundo número for menor, aparecerá o resultado com o sinal de 
menos, significando que para chegar do primeiro ao segundo número 
deve-se deduzir o percentual que aparece no visor.
Exemplo: No pregão de ontem, as ações subiram de R$ 5,37 para 
5,90. Qual foi a variação percentual ?
HP: 5,37 ENTER 5,90 ∆%
Resultado: alta de 9,87 %
17
CALCULAR UMA PORCENTAGEM 
� Para calcular um valor que resulta aplicando uma determinada 
porcentagem sobre um número, digitar o número base, 
pressionar ENTER, em seguida a porcentagem desejada e a 
função %.
Se quisermos somar o resultado ao número base basta pressionar o sinal + 
e se quisermos deduzir o resultado do número base, basta pressionar - .
Exemplo: Calcule 14 % de 300.
HP: 300 ENTER 14 %
Resultado: 42
18
FUNÇÕES DE CALENDÁRIO
� Sendo a calculadora americana, ela vem originalmente preparada para 
calcular datas pelo sistema utilizado pelos americanos: MÊS/DIA/ANO 
(M.DY).
� Para passar para o modo utilizado no Brasil (DIA/MÊS/ANO), basta 
pressionar as teclas 
g D.MY 
Aparecerá o indicativo no visor da calculadora. 
É recomendável deixá-la neste modo.
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CALCULAR TEMPO ENTRE DUAS DATAS 
� Considerando que a máquina esteja preparada para cálculos pelo sistema 
utilizado no Brasil, entrar com a primeira data DIA.MÊSANO (digitar o dia 
com 2 casas decimais, em seguida um ponto e na seqüência o mês com 
2 casas decimais e o ano com 4 casas decimais juntos) e pressionar 
ENTER. Feito isso, entrar com a segunda data no mesmo formato e 
pressionar 
g ∆DYS
� Aparecerá no visor o tempo exato (de acordo com o calendário). Se 
pressionarmos X<>Y aparecerá o tempo aproximado (mês comercial).
OBS: Programe para 6 casas decimais – f 6
 
 
20
Exemplo:
Calcule o número de dias decorridos entre as 
datas: 25/05/2007 e 09/07/2007.
HP: 25.052007 ENTER 09.072007 g ∆DYS 
Resposta: 45 dias ( ano civil 365 dias )ano civil 365 dias )
Ou x><y Ou x><y 44 dias44 dias ( ano comercial 360 dias ) ( ano comercial 360 dias )
OBS: A função calendário opera com as datas entre 15/10/1582 a 25/11/4046.
21
CÁLCULO DE UMA SEGUNDA DATA� Para somar um determinado número de dias a uma 
data, entrar com esta data e pressionar ENTER, em 
seguida o número de dias e g DATE (em azul 
abaixo da tecla CHS). Se quiser diminuir, após digitar 
o número de dias pressionar CHS para trocar o sinal 
do número e em seguida g DATE.
� O número que aparece isolado à direita é o dia da 
semana. Para saber o dia da semana de uma 
determinada data, basta digitar esta data, pressionar 
ENTER, em seguida ZERO e g DATE.
 Dias da SemanaDias da Semana
� 1 - segunda-feira1 - segunda-feira
� 2 - terça-feira2 - terça-feira
� 3 - quarta-feira3 - quarta-feira
� 4 - quinta-feira4 - quinta-feira
� 5 - sexta-feira5 - sexta-feira
� 6 - sábado6 - sábado
� 7 - domingo7 - domingo
22
Exemplo:
Calcule a data de vencimento de uma compra 
feita no dia 25/05/2007 para pagamento em 
45 dias.
09/07/2007 1 (segunda-feira)
HP: 25.052007 ENTER 45 g DATE 
23
No exercício anterior vimos que o vencimento foi no dia 
09/07/2007. 
Se a compra foi feita para pagamento em 45 dias, qual 
a data da compra ?
HP: 09.072007 ENTER 45 CHS g DATE 
25/05/2007 5 (sexta - feira)
Exemplo:
24
Exemplo:
Calcule o dia da semana referente a 
29/09/2007.
HP: 29.092007 ENTER 0 g DATE 
29/09/2007 6 (sábado)
25
TROCAR O SINAL DE UM NÚMERO 
� Em diversas operações necessitaremos trocar o sinal 
de um número que aparece no visor. Para isso 
existe a função CHS (change signal).
� Para trocar o sinal de um número que esteja no 
visor, basta pressionar a função CHS.
 
 
26
OPERAÇÕES DE POTENCIAÇÃO 
� Para aplicar um expoente a um determinado número 
existe a função Yx
Digitar inicialmente a base e pressionar ENTER. 
Feito isso, entrar com o expoente e pressionar Yx.
Exemplos:
1. Calcule 25 2. Calcule 3-5
HP: 2 ENTER 5 yx HP: 3 ENTER 5 CHS yx 
Resposta: 32 Resposta: 0,0041
27
OPERAÇÕES DE RAIZ QUADRADA
Para se obter a raiz quadrada de um número, digite o 
número e pressione 
 g √x
Exemplos:
1. Calcule √121 2. Calcule √1600
HP: 121 ENTER g √ x HP: 1600 ENTER g √ x 
Resposta: 11 Resposta: 40
28
OPERAÇÕES DE RADICIAÇÃO 
Para realizar operações de radiciação, utiliza-se a mesma 
função utilizada para potenciação, bastando para isso, 
transformar a raiz em potência fracionária. 
3
5
3 5 44 =
HP: 4 ENTER 5 ENTER 3 ÷ Yx
Resposta: 10,079
29
LOGARITMO DECIMAL (base 10) 
Para calcular o logaritmo de um número:
digite o número
pressione g ln
digite 10
pressione g ln
digite ÷
Exemplo: log 3
HP: 3 g ln 10 g ln ÷
Resposta: 0,4771
30
INTERCAMBIAR CONTEÚDOS X <> Y
� Os cálculos na HP 12c são feitos pelo cotejo dos conteúdos dos 
registradores Y e X (o registrador X é o que está aparecendo 
sempre no visor).
Se digitarmos, por exemplo o número 8 e pressionarmos a tecla 
ENTER este número estará tanto no registrador X quanto no 
 Y. Agora, se introduzirmos o número 4, este estará no 
registrador X e o número 8 no registrador Y. Para 
intercambiar a localização destes números pressionar X<>Y. 
31
ARMAZENAR UM NÚMERO 
EM UM REGISTRADOR 
� A máquina possui 20 registradores de armazenamento de 
dados, além dos financeiros. Os registradores são 
identificados por um número de 0 a 9 e de .0 a .9 
(ponto zero a ponto nove).
� Para armazenar um número, por exemplo, no registrador 
.5, digitar o número e em seguida STO .5
 
 
32
LER O CONTEÚDO DE UM REGISTRADOR 
 
� Para ler o conteúdo de um determinado registrador 
pressionar RCL e o número do registrador.
� Tendo armazenado um número em um registrador, a 
máquina pode ser até desligada que ele permanecerá 
armazenado. Para limpar o número armazenado deve-se 
utilizar a função f REG.
33
Exemplo:
1. Armazenar o número 15 na memória 0.
HP: 15 STO 0 
2. Guardar 45 na memória 1 e 128 na memória .3. 
Ler o conteúdo da memória 1 e .3.
HP
Teclado Visor Explicação
45 STO 1 45,00 Guarda 45 no registrador 1
128 STO .3 128,00 Guarda 128 no registrador .3
 RCL 1 45,00 Chama 45, antes guardado na memória 1
 RCL .3 128,00 Chama 128, antes guardado na memória .3
 
Para apagar todas as memórias Para apagar todas as memórias f REGf REG
34
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcule: (respostas com duas casas decimais)
a) 6 428 – 1 346 + 527 – 3 278 + 15
b) 0,383 x 1,4796 x 2 838,4972
c) 16 427,49 / 0,03951
d) 185
e) {(1 + 0,638)48/360 - 1} x 100
2 346,00
1 608,54
 415 780,56
1 889 568,00
6,80
35
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2. Calcule a data e o dia da semana em que vencerá uma aplicação 
efetuada em 07/06/2007 pelo prazo de 35 dias.
3. Calcular o número de dias entre 13/02/2007 e 08/10/2007.
4. Sendo hoje, 10/06/2007, que data será daqui a 71 dias ?
5. Que dia da semana será o natal de 2007 ?
12/07/2007 4 quinta-feira
 237 dias
 20/08/2007
 25/12/2007 2 terça-feira
36
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6. Calcular √7 com 4 casas decimais, aumentando em seguida 
para 6 casas decimais.
7.Calcular o inverso de 7 com 5 casas decimais.
 2,6458 e 2,645751
0,14286
8. Calcule:
( ) ( )
( ) 009096,03,651,04,13
54,159,12328,342
1
104
×
×+
+×−
−
−
0,095376
37
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9. Acrescentar 12% de imposto a uma compra de R$10 000,00.
10. Conforme verificado na Gazeta Mercantil a cotação de suas 
ações adquiridas caíram de R$58,50 para R$53,25 por ação. 
Qual foi variação percentual?
11. Que porcentagem representa um ganho de R$ 5 000,00 numa 
aplicação de R$ 25 000,00?
R$ 11 200,00
queda de 8,97%
 20% da aplicação
 
 
38
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
12. Considere que um produto custava R$ 132,75 em janeiro/00; em 
fevereiro/01 o preço desse produto passou para R$ 155,71. Qual 
foi o percentual de aumento?
13. Qual foi o dia da semana que você nasceu? 
14. Uma peça de automóvel, cujo preço de catálogo é R$ 16.850,00, 
foi vendida com 15% de desconto para pagamento em dinheiro 
ou cheque. Qual o seu preço a vista? 
17,30%
Resposta pessoal
R$ 14.322,50
39
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
15. Uma pessoa tem os seguintes gastos mensais:
moradia R$ 450,00
educação R$ 500,00
combustível R$ 150,00
alimentação R$ 200,00
lazer R$ 250,00
Total R$ 1.550,00
Determine quanto representa percentualmente cada valor em relação ao 
total dos gastos.
16. Qual o percentual de aumento de um produto cujo preço passou de 
R$ 1.580,00 para R$ 1.959,20? 
29,03%; 32,26%; 9,68%; 12,90%; 16,13%
24%
40
Resolução na HP 12C
1. a) 6428 ENTER 1346 - 527 + 3278 - 15 +
 b) 0,383 ENTER 1,4796 x 2838,4972 x 
 c) 16427,49 ENTER 0,03951 ÷
 d) 18 ENTER 5 yx 
 e) 1 ENTER 0,638 + 48 ENTER 360 ÷ yx 1 - 100 x
2. 07.062007 ENTER 35 g DATE
3. 13.022007 ENTER 08.102007 g ∆DYS
4. 10.062007 ENTER 71 g DATE
5. 25.122007 ENTER 0 g DATE
 
41
Resolução na HP 12C
6. f 4 7 g √x f 6
7. f 5 7 1/x 
8. 342,28 ENTER 123,59 - 4 yx 1,4 ENTER 5 + 10 CHS 
yx x 13,4 ENTER 0,51 + 1 CHS yx 6,3 g √x x ÷ g 
 √x 0,009096 x 
9. 10 000 ENTER 12 % +
10 58,5 ENTER 53,25 ∆%
11. 25 000 ENTER 5 000 %T
42
Resolução na HP 12C
12. 132,75 ENTER 155,71 ∆% 
13. Resposta pessoal
14.16850 ENTER 15 % -
15. 1550 ENTER 450 %T
16. 1580 ENTER 1959.20 ∆% 
43
Métodos Quantitativos Aplicados
2ª AULA
� Juros Simples;
� Desconto Simples;
� Juros Compostos;
� Taxa Efetiva, Nominal e Equivalente;
� Desconto Composto; 
� Exercícios Propostos. 
 
 
44
TECLAS FINANCEIRAS
� n – número de períodos;
� i – taxa de juros na forma percentual;
� PV – valor presente, nominal ou capital inicial;
� PMT – prestação, parcela ou valor do pagamento periódico;
� FV – valor futuro ou montante;
� f INT – calcula o valor dos juros simples.
As outras teclas financeiras serão estudadas mais adiante
45
Juros Simples
Juro é a remuneração, a qualquer título atribuído ao capital. 
A fórmula tradicional para o cálculo de juros simples é: 
j = PV . i . n
FV = PV + j
No caso de juros simples, usamos os seguintes conceitos:
� Valor Presente ou capital ou principal: é o valor emprestado. (PV)
� Juros, a remuneração do capital. (j)
� Taxa de juros: é o valor pago relativo a cada 100 unidades do capital. (i)
� Prazo: número de unidades do tempo (dia, mês, ano, etc.) em que o capital é 
emprestado. (n)
� Valor Futuro ou Montante: soma do capital com os juros. (FV) 
46
Cálculo de Juros Simples
para o ano comercial (360 dias)
A sua HP 12C possui um programa próprio para 
o cálculo de juros simples.
Exemplo: Calcule o valor dos juros produzidos por um capital de 
R$ 500,00, aplicado a juros simples de 3% ao mês durante 60 dias.
HP: VISOR
500 CHS PV – 500,00
3 ENTER 12 × i 36,00 taxa anual
60 n 60,00 período (dias)
f INT R$ 30,00 juros simples
OBS: A taxa (i) deve estar sempre expressa ao ano 
e o tempo (n) em dias.
47
Cálculo do Montante para o ano 
comercial (360 dias)
A sua HP 12C possui um programa próprio para 
o cálculo de montante.
O montante é a soma do capital inicial com os juros produzidos.
Exemplo: Calcule o montante obtido por um capital de R$ 500,00 
aplicado a juros simples de 3% ao mês durante 60 dias.
HP: VISOR
500CHS PV – 500,00
3 ENTER 12 × i 36,00 taxa anual
60 n 60,00 período (dias)
f INT 30,00 juros simples
+ R$ 530,00 montante
OBS: A taxa (i) deve estar sempre expressa ao ano e o tempo (n) em dias.
48
Cálculo de Taxa em Juros Simples
Exemplo: Apliquei R$ 420,00 por um prazo de 3 meses e obtive um rendimento de 
R$ 18,90. Qual a taxa de juros mensal correspondente a essa aplicação ?
Exemplo: Uma pessoa aplicou R$ 4.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos 
recebeu o montante de R$ 9.000,00. Qual foi a taxa anual?
HP: VISOR Explicação
420 CHS PV - 420,00 capital
438,9 FV 438,90 montante
1 n 1,00 período
i 4,50
3 ÷
HP: VISOR Explicação
4500 CHS PV - 4500 capital
9000 FV 9,000 montante
1 n 1,00 período
i 100
5 ÷
1,5% taxa mensal
20% taxa anual
49
Cálculo de Período em Juros Simples
Exemplo: Sabendo-se que os juros de R$ 18,90 foram obtidos de 
uma aplicação de R$ 420,00 a taxa de 1,5% ao mês, calcule o 
prazo dessa aplicação.
HP: VISOR Explicação
420 CHS PV - 420,00 capital
438,9 FV 438,90 montante
1,5 i 1,50 taxa
n 3 meses
OBS: A taxa (i) deve estar expressa ao mês para o cálculo do período.
 
 
50
DESCONTO SIMPLES BANCÁRIO
OU COMERCIAL ( por fora )
É a parcela que o banco cobra por descontar (antecipar recursos), para os 
clientes que possuem duplicatas ou títulos a receber.
A fórmula tradicional para o cálculo do desconto simples bancário é:
Dc = N . i . n e A = N – Dc, na HP considere N = PV
No caso de desconto simples, usamos os seguintes conceitos:
� Valor Atual, valor líquido pago antes do vencimento. (A)
� Valor Nominal, valor do título no vencimento. (N)
� Taxa de desconto, é o valor pago relativo a cada 100 unidades do valor nominal. (i)
� Prazo, número de unidades do tempo (dia, meses, anos, etc.) entre a data da 
operação e do vencimento do título. (n)
� Desconto Comercial, é o abatimento dado ao título sobre a antecipação do 
pagamento. (Dc) 
51
DESCONTO SIMPLES BANCÁRIO
OU COMERCIAL ( por fora )
Exemplo: Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00 com vencimento 
em 03 de maio de 2007. No dia 15 de março de 2007descontou o título num 
banco que cobra 2% a.m. de desconto bancário. Determinar o valor do 
desconto bancário e o valor líquido da duplicata.
Dc: R$ 261,33 
Vr: R$ 7.738,67
HP: 
8000 CHS PV
15.032007 ENTER 03.052007 g ∆DYS n
2 ENTER 12 x i
f INT Desconto comercial
- Valor líquido
OBS: A taxa (i) deve estar sempre expressa ao ano 
e o tempo (n) em dias.
52
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$ 200.000,00 a 
taxa de 150% ao ano, por 218 dias.
2. Qual o valor dos juros correspondentes a uma aplicação de R$ 420,00 a taxa de 
1,5% ao mês, por um prazo de 3 meses ?
3. Calcular o desconto comercial e o valor líquido, à taxa de 2% a.m., sobre um 
título de R$ 1.200,00, descontado em 15/01/1996 e com vencimento em 
10/05/1996.
Respostas: R$ 181.666,67 e R$ 381.666,67
Resposta: R$ 18,90
Resposta: R$ 92,80 e R$ 1.107,20
53
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4. Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07/2003 e foi pago em 
25/11/2003. Sabendo-se que a taxa foi de 45% ao ano, pergunta-se: 
qual o juro total a ser pago se considerarmos o ano civil ? 
5. No exercício anterior qual o juro total a ser pago se considerarmos o ano 
comercial ?
6. Um título no valor de R$ 500,00 foi descontado a taxa de 3,5% a.m., 35 
dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto comercial 
concedido? Qual o valor líquido do título ?
R$ 1.328,13
R$ 1.360,00
R$ 20,42 e R$ 479,58
54
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7. A que taxa foi empregado o capital de R$ 12.000,00 que no prazo de 2 
anos rendeu R$ 8.400,00 de juros? 
8. Uma aplicação de R$ 800,00 pelo prazo de 6 meses obteve um 
rendimento de R$ 168,00. Qual a taxa mensal correspondente?
9. A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 660,00, para 
que em 3 meses e 10 dias renda um juro de R$ 110,00?
35 % a.a.
3,5 % a.m.
5 % a.m.
55
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
10. Qual o tempo a ser aplicado o capital de R$ 800,00 a taxa de juros de 16% 
ao ano, para obtenção de um montante de R$ 832,00?
11. Durante que período financeiro relativo a aplicação do capital R$ 12.800,00 
que, a taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896,00?
12. Calcule o montante da aplicação de um capital de R$ 1.800,00 pelo prazo 
de 8 meses, a taxa de 2% a.m. ?
13. Calcule os juros simples ordinário (ano comercial), o juro simples exato e os 
respectivos montantes, do principal R$ 30.000,00 a taxa de 196% a.a., 
de 02/02/96 a 30/06/96.
3 meses
7 meses
R$ 2.088,00
R$ 24.173,33; R$ 54.173,33; R$ 24.336,67; R$ 54.336,67 
 
 
56
JUROS COMPOSTOS
TECLAS FINANCEIRAS
� n – número de períodos;
� i – taxa de juros na forma percentual;
� PV – valor presente ou capital inicial;
� PMT – prestação, parcela ou valor do pagamento periódico;
� FV – valor futuro ou montante.
OBS: A taxa (i) deve estar sempre expressa na mesma base do período (n).
57
Juros Simples Juros Compostos
Mês Rendimento 
 
Montante Rendimento 
 
Montante
1 1000 20% 200 12001200 1000 20% 200 12001200
2 1000 20% 200 14001400 1200 20% 240 14401440
3 1000 20% 200 16001600 1440 20% 288 17281728
Comparação: Juros Simples x Juros Compostos
JUROS COMPOSTOS
58
JUROS COMPOSTOS
� Valor Futuro => FV = PV (1+i)n
� Valor Presente => PV = FV / (1+i) -n
 (1+i)n(1+i) -n
FV
(entradas ou recebimentos +)
 PV
(saídas ou pagamentos -)
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA
OBS.: (1 + i) n é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL 
(FAC) ou FATOR DE CAPITALIZAÇÃO PARA PAGAMENTO ÚNICO.
59
JUROS COMPOSTOS
OBS.:
1) STO EEX -> ativa e desativa c (ativado para cálculos de juros compostos - aparece no 
visor da calculadora). A ativaçao de (c) com STO EEX pode ser mantida 
permantemente, embora seja dispensával quando n for inteiro.
2) Não há ordem para a entrada de PV, FV, n e i. Para o cálculo de qualquer desses 
elementos o procedimento é o mesmo.
3) Quando for pedido n, aparecerá sempre como resposta um número inteiro de períodos, 
que pode ser o prazo certo ou arredondado para mais, quando a resposta for tempo 
fracionário. 
60
1. Calcular que capital aplicado 
durante 6 anos à taxa de 15% aa
transforma-se em R$ 14.000,00.
2. Em que prazo um empréstimo de 
R$ 55.000,00 pode ser quitado por 
R$ 110.624,80 se a taxa for 15% am?
EXEMPLOS:
HP: f CLX FIN
 14 000 FV
 6 n
 15 i
 PV
 
HP: f CLX FIN
 55 000 CHS PV
 110 624,80 FV
 15 i
 n
R$ 6.052,59
5 meses
61
3. A que taxa de juros um capital de 
R$ 13.200 poderá se transformar em 
R$ 35.112,26, se o período for 
de 7 meses ?
4. Calcular o montante de um principal 
de R$ 3.500,00 aplicado por 8 
meses a juros compostos de 
20%am.
EXEMPLOS:
HP: f CLX FIN
 13 200 CHS PV
 35 112,26 FV
 7 n
 i
HP: f CLX FIN
 3 500 CHS PV
 8 n
 20 i
 FV
15% am
R$ 15.049,36
 
 
62
EXEMPLOS:
5. Calcular os juros de um principal de 
R$ 3.500,00 aplicado por 8 meses a 
taxa de 2% am.
6. Qual o montante que um capital 
inicial de R$ 8.000,00 pode 
produzir, aplicado dia 3 de 
 março a 16 de julho, à taxa 
 de 3% a.m. de juros 
 compostos ? (período não inteiro)
HP: f CLX FIN
 3 500 CHS PV
 8 n
 2 i
 FV 
 RCL PV +
HP: f CLX FIN
 STO EEX
 8 000 CHS PV
 03.032007 ENTER 16.072007 
 g ∆DYS x<>y 30 ÷ n
 3 i
 FV
 
R$ 600,81
R$ 9.120,14
63
EXEMPLOS:
7. Um apartamento é vendido à 
vista por R$ 220 000,00. 
Caso o comprador opte por 
pagar em uma única parcela, 
após certo período de 
tempo, o vendedor exige R$ 
61 618,59 de juros, pois 
quer ganhar 2,5% am em 
juros compostos. Qual é o 
prazo de financiamento 
nessa hipótese ?
HP: f CLX FIN
 220000 CHS PV
 220000 ENTER 61618,59 + FV 
 
 2,5 i
 n 
 
10 meses
64
Valor Atual e Valor Nominal
� Valor Atual – valor da aplicação em uma data inferior a do 
vencimento.
� Valor Nominal – valor do título na data do seu 
vencimento.
 n
N
 A
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA
OBS.: (1 + i) n é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL 
(FAC) ou FATOR DE CAPITALIZAÇÃO PARA PAGAMENTO ÚNICO.
Valor Atual => A = N / (1+i)-n
Valor Nominal => N = A(1+i)n
65
 1. Por quanto devo comprar 
um título, vencível daqui a 5 
meses, com valor nominal de 
R$ 1 131,40, se a taxa de juros 
compostos corrente for de 
2,5% a.m. ?
 
EXEMPLOS:
HP: f CLX FIN
 1131,40 FV
 5 n
 2,5 i
 PV
 
R$ 999,99
66
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 1.500,00, ao final de 
7 meses, sabendo que a taxa é de 3,2% a.m. ?
2. Quando deverá ser aplicado hoje, para obter R$ 1.157,63, daqui a 3 
meses, a taxa de 5% a.m. ?
3. Calcular o montante composto de R$ 10.000,00, aplicado a juros 
compostos a 5% ao mês com capitalização mensal durante 17 
meses.
4. A que taxa trimestral devo aplicar R$ 285.576,22 para obter o 
montante composto de R$ 500.000,00 em um ano.
R$ 1.870,03
R$ 1.000,00
R$ 22.920,18
15% a.t. aproximadamente
67
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
5. Calcule os juros compostos de R$ 25.000,00 aplicado durante 9 meses 
à taxa de 6% a.m.
6. A que taxa terei que aplicar R$ 101.509,84 para receber o montante 
de R$ 423.500,00, em 2 anos, 3 meses e 18 dias, com 
capitalização quadrimestral ?
7. Calcular o montante de uma aplicação no valor de R$ 950,00, pelo 
prazo de 3 meses, a uma taxa de 2,23% ao mês ?
8. Uma pessoa deseja obter R$ 4.680,00 dentro de seis meses. Quanto 
deverá aplicar, hoje, num fundo que rende 2,197% ao trimestre?
R$ 17.236,97
23% a.q.
R$ 1.014,98
R$ 4.480,94
 
 
68
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9. Fiz uma aplicação de R$ 750,00 e, após 3 meses, resgatei R$ 868,22. 
Qual foi a taxa mensal proporcionada pela aplicação ?
10. Se aplicar R$ 800,00, irei resgatar R$ 912,93, isso porque a taxa 
prefixada foi 4,5% a.m. Qual é o prazo para que isso ocorra ?
11. Qual o montante de R$ 152.000,00 à taxa de juros compostos de 7% 
a.m., durante 3 meses e 12 dias ?
12. Qual o montante de R$ 726.000,00 à taxa de juros de 9%a.m., 
aplicados de 22 de junho a 30 de novembro do mesmo ano ?
5% a.m.
3 meses
R$ 191.314,74
R$ 1.143 008,63 
69
TAXAS DE JUROS
Taxas equivalentes => duas taxas são equivalentes se, 
considerados o mesmo prazo da aplicação e o mesmo capital, 
produzirem o mesmo montante, no regime de juro composto.
Fórmula: 
Exemplo: As taxas i1 = 2,5% am e i2 = 34, 488882% aa são equivalente, 
pois, se aplicadas ao mesmo capital de R$ 1.500,00 pelo prazo de dois 
anos produzem montantes iguais.
HP:
Cálculo i1 Cálculo i2
f CLX FIN f CLX FIN
1500 CHS PV 1500 CHS PV
2,5 i 34,488882 i
24 n 2 n
FV FV R$ 2 713,09
70
TAXAS DE JUROS
Exemplo: 1. Qual a taxa 
mensal equivalente 
a 120% a. a.?
HP: VISOR
100 CHS PV 100,00
220 FV 220,00 
12 n 12,00
i
1)1( −+= nc
nd
e ii
Fórmula: 
6,79% a.m.
(período desconhecido/período conhecido)
71
EXEMPLOS:
2. Calcular a taxa anual 
equivalente a 10% ao mês.
3. Qual a taxa anual 
equivalente a 0,5% a. m.
HP: VISOR
100 CHS PV 100,00
110 FV 110,00 
12 1/x n 0,0833
i
HP: VISOR
100 CHS PV 100,00
100,5 FV 100,50 
12 1/x n 0,0833
i
213,843% a.a.
6,168% a.a.
72
TAXAS DE JUROS
� Taxa Efetiva ou Real => é a taxa cuja unidade de tempo a que 
se refere é a mesma do período de capitalização.
Exemplo: 15% ao mês capitalizados mensalmente. 
 23% ao ano capitalizados anualmente. 
� Taxa Nominal => é a taxa cuja unidade de referência de seu 
tempo não é a mesma do periodo de capitalização.
Exemplo: 60% ao ano capitalizados mensalmente. 
 30% ao semestre capitalizados trimestralmente.
73
EXEMPLOS:
1. Qual o montante de um 
capital de R$ 50 000, no final 
de 2 anos, com juros de 24% 
ao ano capitalizados 
trimestralmente? 
2. Qual é a taxa efetiva do 
exemplo 1 ? 
HP:
50000 CHS PV
24 ENTER 4 ÷ i
2 ENTER 4 x n
FV
HP:
50000 CHS PV
79692,40 FV
2 n 
i
R$ 79 692,40
26,24769 % aa
 
 
74
EXEMPLOS:
3. Um capital de R$ 1 000,00 foi 
aplicado durante 1 ano à 
10% a.a. , com capitalização 
mensal. Qual é o montante?
4. Qual é a taxa efetiva do 
exemplo 3 ? 
 
HP:
1000 CHS PV
12 n
10 ENTER 12 ÷ i
FV R$ 1 104,71
HP:
1000 CHS PV
1104,71 FV
1 n 
i 10,471 % aa
75
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Qual é a taxa mensal equivalente a 300% ao ano.
2. Um capital de R$ 50.000,00 aplicado a juros compostos durante 
3 anos, a 3% ao mês,produzirá o mesmo montante que o 
mesmo capital aplicado a 42,5761% ao ano, durante esse 
mesmo prazo. Calcule o montante.
3. Uma empresa solicita um empréstimo no valor de R$ 12.500,00, 
pelo prazo de 33 dias, a taxa de 89,5976% ao ano. Qual o 
valor a ser pago?
12,246% a.m.
R$ 144.913,95
R$ 13.254,95
76
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4. Calcular as taxas anual equivalente a taxa nominal 36% ao ano, 
com períodos de capitalização quadrimestral.
5. As cadernetas de poupança pagam juros de 6% ao ano com 
capitalização mensal. Qual a taxa efetiva anual ?
6.Qual a taxa trimestral de juro equivalente a 22% a. a.?
40,49% a.a.
6,167% a.a.
5,10% a. t.
77
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7. Calcular a taxa mensal equivalente a 24% a. a..
8.Calcular a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
9. Um capital foi aplicado a 1,5% ao mês. Qual a taxa anual 
equivalente?
10. Calcule as taxas equivalentes a 35% a.a., conforme solicitado 
abaixo:
a) taxa semestral
b) taxa quadrimestral
c) taxa trimestral 
d) taxa mensal 
1,809% a. m.
 26,824% a. a.
19,56% a. a.
16,19% a.s.,
10,52% a.q., 
7,79% a.t.,
2,53% a.m 
78
DESCONTO COMPOSTO
O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o 
mesmo do desconto simples: é o abatimento que obtemos ao 
saldar um compromisso antes do seu vencimento.
� Empregamos o desconto composto para operações em longo 
prazo, já que a aplicação do desconto simples comercial, nesses 
casos, pode levar-nos a resultados sem nexo.
� Analogamente ao caso de desconto simples, temos dois tipos de 
desconto composto: o racional (por dentro) e o comercial (por 
fora).
79
DESCONTO COMPOSTO
O desconto comercial praticamente não é empregado entre nós; assim ficaremos 
restritos ao estudo do desconto composto racional.
Conceitos importantes:
� Valor nominal (N) é o valor indicado no título para ser pago no dia do 
vencimento, na HP-12C FV.
� Valor atual (A) é o valor que um compromisso tem em uma data que 
antecede seu vencimento, isto é, é o valor líquido pago (ou recebido) antes do 
vencimento, na HP-12C PV.
� Dia do vencimento é o dia fixado para o pagamento (ou recebimento) da 
aplicação.
� Tempo ou Prazo (n) é o período da antecipação da dívida.
� Desconto é o abatimento dado ao título sobre a antecipação do pagamento.
 
 
80
DESCONTO COMPOSTO
O cálculo do valor atual em regime de 
juros compostos é realizado através da 
seguinte fórmula:
Nota: é o fator de descapitalização.
n
n
iNA
i
NA −+=⇒
+
= )1()1(
ni −+ )1(
81
EXEMPLOS:
1. Calcular o desconto composto por dentro de um título de 
R$ 4.600,00, dois meses antes de seu vencimento, a taxa de 
2% a.m.
HP: Visor
4 600 FV 4,600,00
2 n 2,00
2 i 2,00 
PV - 4 421,38
RCL FV + R$ 178,62 Desconto
82
EXEMPLOS:
2. Calcular o desconto composto racional de um título que foi 
resgatado por R$ 4.975,53, faltando quatro meses para 
o vencimento, a taxa de 3% a.m.
HP: Visor
4 975,53 CHS PV 4 975,53
4 n 4,00
3 i 3,00 
FV 5 600,00
RCL PV + R$ 624,47 Desconto
83
EXEMPLOS:
3. Calcular a taxa semestral a qual um título de R$ 12.000,00 
foi resgatado com desconto de R$ 2.960,67, um ano e três 
meses antes do seu vencimento, considerando a capitalização 
semestral ?
 Visor
12 000 FV 12 000,00
12 000 ENTER 2960,67 - CHS PV - 9 039,33
2,5 n 2,50 
i 12,00
2 ÷ 12 % a.s.
84
EXEMPLOS:
4. Calcular quantos semestres faltam para o vencimento de um 
título de valor nominal igual a R$ 3.500,00 sobre o qual está 
sendo concedido desconto de R$ 733,90, com capitalização 
mensal, a taxa de 24% a.s.
HP: Visor
3 500 FV 3 500,00
3500 ENTER 733,90 - CHS PV -2 766,10
24 ENTER 6 ÷ i 4,00 
n 6,00 meses
6 ÷ 1 semestre
85
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.Determinar o valor atual de um título de R$ 3.000,00 resgatado três meses e 
15 dias antes de seu vencimento, a taxa do desconto composto de 2,5% a.m.
2. Sendo a taxa proporcional do desconto composto de 27% a.sem., com 
capitalização mensal, calcular o valor atual de um título de R$ 4.000,00, 
descontado dois meses antes de seu vencimento.
3. Determinar o desconto composto de um título que foi resgatado por 
R$ 6.346,21, faltando dois meses e 15 dias para o vencimento, a taxa de 4% 
a.m.
4. Calcular a taxa mensal praticada no desconto composto de R$ 912,25 
concedido no pagamento, com antecipação de três meses, de uma divida de 
R$ 6.000,00
R$ 3.662,92
R$ 2.751,62
R$ 653,79
5,7% a.m. 
 
 
86
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
5. Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de R$ 7.000,00, 
faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule seu valor atual, 
sabendo que a taxa de desconto é de 3,5% ao mês,
6. Calcule o desconto obtido em um título de valor nominal de R$ 3.800,00, 
resgatado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto 
composto de 5% ao bimestre.
 
7. Determine o valor do desconto composto de um título de valor nominal R$ 
620,00, descontado 5 meses antes de seu vencimento a taxa de 3% ao mês.
8. Qual o valor de um título cujo resgate 4 meses antes de seu vencimento foi 
de R$ 2.043,53 com um desconto de 3% a.m ?
R$ 6.313,60
R$ 673,73
R$ 85,18
R$ 2.300,00
87
CURSO DE EXTENSÃO
3ª AULA
� Rendas Certas ou Anuidades:
� Anuidades Imediatas;
� Anuidades Antecipadas;
� Anuidades Diferidas;
� Anuidades Variáveis;
� Anuidades Perpétuas;
� Empréstimos;
� Planos de Amortização;
� Exercícios Propostos. 
88
RENDAS
As rendas podem ser:
� Rendas Certas ou Anuidades: ocorrem quando o número de 
termos, seus vencimentos e seus respectivos valores podem ser 
prefixados. Ex.: Compra de bens a prazo. Estudada pela 
Matemática Financeira.
� Rendas Aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos 
elementos não pode ser previamente determinado. Ex.: pagamento 
de um seguro de vida (o nº de termos é indeterminado). Estudada 
pela Matemática Atuarial.
89
ANUIDADES
É a sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas diferentes, 
destinados a formar um capital ou pagar uma dívida.
Os termos da sucessão de depósitos ou de prestações são 
denominados termos da anuidade e o intervalo de tempo que 
decorre entre os vencimentos de dois termos consecutivos é 
chamado período da anuidade.
Exemplo: Na compra de uma TV em cores em 7 prestações 
mensais de R$ 41,00, cada uma das prestações é um termo da 
anuidade e o período é mensal.
90
CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES
QUANTO AO PRAZO:
• Temporárias: quando a duração for limitada.
• Perpétuas: quando a duração for ilimitada.
QUANTO AO VALOR DOS TERMOS: 
• Constante: quando todos os termos são iguais.
• Variável: quando os termos não são iguais entre si.
QUANTO À PERIODICIDADE:
• Periódicas: se todos os períodos são iguais.
• Não-periódicas: se os períodos não são iguais entre si. 
91
CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES
Quanto a forma de pagamento ou de recebimento:
Imediatas – quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período.
Postercipadas: Compra de um bem a prazo, em prestações 
mensais, pagando a primeira prestação um mês após a assinatura do 
contrato.
Antecipada - Comprade um bem a prazo, em prestações 
mensais, sendo a primeira prestação pagável na ocasião do contrato.
Diferida - Compra de um bem qualquer, financiado em prestações 
mensais, sendo que a primeira prestação tem seu vencimento marcado 
para, por exemplo, três meses após a compra.
OBS: Sempre que o tipo de renda não for especificado, deveremos supor que se 
trata de renda imediata postercipada, por ser o tipo mais comum. 
 
 
92
NA CALCULADORA HP 12C
n - é o número de períodos de composição. 
i - é a taxa de juros por período de composição;
PV - é o valor presente ou capital inicial; 
PMT - é o pagamento periódico;
FV - é o valor futuro, o valor final da aplicação.
OBS.: Pressione g BEG (BEGIN = início) se os pagamentos forem feitos no 
início dos períodos de composição.
Pressione g END (END = fim) se os pagamentos forem feitos ao final dos 
períodos de composição.
O indicador de estado (anúncio) BEGIN fica aceso quando tal modalidade 
está em vigor. Se BEGIN não estiver aceso, a modalidade de pagamento em 
vigor será END.
93
MODELO BÁSICO DE ANUIDADE: TEMPORÁRIA; 
IMEDIATA; CONSTANTE E PERIÓDICA.
Exemplo 1: Durante os últimos 6 meses, Ana depositou 
R$ 350,00 mensalmente em uma conta de poupança que paga 
1,8% ao mês capitalizados mensalmente. Qual o montante 
acumulado logo após o último depósito?
HP: VISOR
 f CLX FIN
 g END 
 350 CHS PMT -350,00 
 6 n 6,00
 1,8 i 1,80
 FV
 
R$ 2.196,80 Montante
94
Exemplo 2: A que taxa uma pessoa, realizando em uma conta de 
poupança depósitos mensais imediatos no valor de R$ 8.093,00 
forma um capital de R$ 139.955,62 ao fazer o décimo quinto 
depósito ?
 
HP: VISOR
 f CLX FIN
 g END 
 8093 CHS PMT - 8.093,00 
 15 n 15,00
 139 955,62 FV 139.955,62
 i
 
2% a.m.
MODELO BÁSICO DE ANUIDADE: TEMPORÁRIA; 
IMEDIATA; CONSTANTE E PERIÓDICA.
95
Exemplo 3: Uma pessoa deseja comprar um carro por 
R$ 40.000,00 a vista, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá 
poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em letras de 
cambio rendendo 2,2% a.m. de juros compostos, determinar quanto 
deve ser poupado mensalmente.
 HP: VISOR
 f CLX FIN
 g END
 40000 FV 40.000,00 
 12 n 12,00
 2,2 i 2,2
 PMT
 
R$ 2.949,00
MODELO BÁSICO DE ANUIDADE: TEMPORÁRIA; 
IMEDIATA; CONSTANTE E PERIÓDICA.
96
Exemplo 4: Uma pessoa deposita em uma financeira, no inicio de 
cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o 
montante da renda, sabendo que essa financeira paga juro de 2% 
ao mês, capitalizados mensalmente.
 
HP: VISOR
 f CLX FIN
 g BEG 
 100 CHS PMT - 100,00 
 5 n 5,00
 2 i 2,00
 FV
 
R$ 530,81 Montante
ANUIDADE ANTECIPADA: TEMPORÁRIA; 
ANTECIPADA; CONSTANTE E PERIÓDICA.
97
Exemplo 5: Um aparelho de televisão foi comprado com 10 
prestações mensais antecipadas de R$ 100,00. Sabendo-se que os 
juros são de 2% ao mês, qual o preço à vista do televisor? 
HP: VISOR
 f CLX FIN
 g BEG 
 100 CHS PMT - 100,00 
 10 n 10,00
 2 i 2,00
 PV
 
R$ 916,22 Preço a vista
ANUIDADE ANTECIPADA: TEMPORÁRIA; 
ANTECIPADA; CONSTANTE E PERIÓDICA.
 
 
98
Exemplo 6: Um anuncio de uma loja X, publicado nos jornais no dia 1º de 
dezembro dizia: “Compre uma geladeira por R$ 2.800,00, em 12 meses sem 
entrada, e só comece a pagá-la em março do ano que vem”. Qual será a 
prestação a ser paga se a taxa de juros cobrada pela loja é de 2% ao mês ?
HP: f CLX FIN VISOR
 g END 
 2800 CHS PV - 2800,00 
 12 n 12,00
 2 i 2,00
 PMT 264,77
 CHS PV -264,77
 0 PMT 0,00 (prestações)
 3 n 3,00
 2 i 2,00
 FV
 
R$ 280,97 Prestação mensal
ANUIDADE DIFERIDA
99
Exemplo 7: De 3 em 3 meses, um pai depositou R$ 200,00 numa conta de 
poupança que paga juros de 5,4% a. t. O primeiro depósito foi feito quando o 
filho tinha 3 meses de idade e o último quando completou 21 anos. O dinheiro 
continuou depositado sendo que foi oferecido ao filho no seu 24º aniversário. 
Quanto recebeu ele nessa data? 
HP: f CLX FIN VISOR
 g END
 200 CHS PMT - 200,00 
 84 n 84,00
 5,4 i 5,40
 FV 303.373,48 Montante com 21 anos
 CHS PV -303.373,48
 12 n 12,00
 0 PMT 0.00 
 FV
 
R$ 570.249,54
ANUIDADE VARIÁVEL E PERIÓDICA
100
HP: f CLX FIN VISOR
 g END
 1225,48 CHS PMT -1.225,48 
 3 n 3,00
 2,5 i 2,50
 PV 3.500,00 Preço à vista sem a entrada
 1500 +
 
R$ 5.000,00 Preço à vista total.
Exemplo 8: Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada 
nas seguintes condições: R$ 1.500,00 de entrada e 3 prestações 
mensais iguais de R$ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas 
lojas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço a vista.
ANUIDADE VARIÁVEL E PERIÓDICA
101
HP: f CLX FIN VISOR
 g END
 110 CHS PMT -110,00 
 24 n 24,00
 1,5 i 1,50
 PV 2.203,34 Preço à vista sem a entrada
 1000 +
 
R$ 3.203,34 Preço à vista total.
Exemplo 9: Qual o valor da compra de um bem a ser pago da 
seguinte maneira: R$ 1.000,00 a vista, mais prestações mensais de 
R$ 110,00, ao final de cada mês, durante dois anos, considerando a 
taxa de 1,5% a.m. ?
ANUIDADE VARIÁVEL E PERIÓDICA
102
ANUIDADES PERPÉTUAS
� São aquelas de duração ilimitada. Só tem 
sentido calcular-se o valor atual, uma vez que 
o montante será infinito.
� O valor presente é obtido dividindo-se o valor 
do termo pela taxa de juros.
103
ANUIDADE PERPÉTUA
Exemplo 10: Se um apartamento está rendendo um 
aluguel de R$ 500,00 por mês e se a taxa da melhor 
aplicação no mercado financeiro é de 1% a.m., qual seria 
uma primeira estimativa do valor o imóvel? 
HP: f CLX FIN VISOR
 500,00 enter 500,00 
 1 enter1,00
 100 ÷ 0,01
 ÷ R$ 50.000,00 
 
 
104
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. A dívida de R$ 200.000,00 deve ser paga 
com 20 prestações anuais de R$ 16.048,50.
Calcular a taxa.
2. Qual o valor da prestação anual que,
 a 4% a. a., em 20 anos, amortiza a 
dívida de R$ 500,00?
5% a. a.
R$ 36,79
 f clx fin
 g END
 200 000 PV
 16 048,50 CHS PMT
 20 n
 i
 f clx fin
 g END
 500 CHS PV
 20 n
 4 i
 PMT
105
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3. Um empréstimo, cujo principal é de 
R$ 20.000,00, foi realizado a juros 
compostos, e deve ser liquidado 
mediante o pagamento de 12 
prestações mensais, iguais e sucessivas.
Determinar o valor dessas prestações
sabendo-se que a taxa de juros cobrada 
é de 12% ao ano, capitalizados 
mensalmente, e que a 1ª prestação 
ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.
R$ 1.776,98
 f clx fin
 g END
 20 000 PV
 12 n
 1 i
 PMT
 
106
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4. Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um 
equipamento, cujo valor à vista é de R$ 10.000,00. Para diminuir o 
valor das prestações, ele pretende dar uma entrada de R$ 
3.000,00 por ocasião da compra. Determinar o valor das 24 
prestações mensais, iguais e sucessivas, para a 
parte financiada, sabendo-se que o 
financiamento é realizado a juros 
compostos de 15% ao ano, 
capitalizados mensalmente, e que a
1ª prestação ocorre 30 dias após a 
liberação dos recursos. R$ 339,41 
 f clx fin
 g END
 7 000 PV
 24 n
 15 enter 12 ÷ i
 PMT
 
107
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
5. Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de R$ 2.000,00 
numa instituição financeira e verificou que o saldo a sua 
disposição, imediatamente após a efetivação de seu último 
depósito, era de R$ 21.000,00. Determinar a taxa de remuneração 
mensal desses depósitos no regime de juros compostos.
1,08% a. m.
 f clx fin
 g END
 2 000 CHS PMT
 21 000 FV
 10 n
 i
 
108
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6. Na porta de um banco, lê-se a propaganda
de um investimento que diz: “ Deposite 
mensalmente R$ 100,00 e, em 24 meses, 
retire R$ 3.442,65 ”. Qual é a taxa mensal 
de juro composto do investimento?
7. Calcule a prestação que deverá ser 
capitalizada mensalmente, a 5% ao mês, 
para que se tenha, no final de 18 meses, 
um montante de R$ 30.000,00.
3% ao mês
R$ 1.066,39 
 f clx fin
 g END
 100 CHS PMT
 3 442,65 FV 
 24 n
 i
 f clx fin
 g END
 30 000 FV
 5 i
 18 n
 PMT
 
109
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
8. Um banco oferece aos seus clientes uma 
poupança programada com prazo de 1 ano, 
a taxa de 2% a.m. Qual deverá ser a quota 
mensal de um depositante para que ele 
acumule ao final do período, um montante de 
R$ 9.000,00.
9. Uma mercadoria é vendida a prazo por 6 
prestações mensais antecipadas de 
R$ 100,00 com juros de 1,5% ao mês. 
Qual o valor a vista dessa mercadoria?
R$ 671,04 
R$ 578,26 
 f clx fin
 g END
 9000 FV
 12 n
 2 i
 PMT
 f clx fin
 g BEG
 100 CHS PMT
 6 n
 1,5 i
 PV
 
 
 
110
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
10. Um empréstimo de R$ 180.000,00
é financiado em 12 prestações 
mensais, vencendo a primeira 4 
meses depois a taxa de 7% ao mês.
Determine o valor do pagamento 
mensal.
R$ 29.705,73 
 f clx fin
 g END
 180 000 CHS PV
 12 n
 7 i
 PMT
 CHS PV
 0 PMT
 4 n
 7 i
 FV 
111
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
11. O comprador de um automóvel 
no valor de R$ 40.000,00 pode 
escolher dentre dois 
planos de pagamento:
Plano 1: 20% de entrada e 18 
Prestações mensais iguais de 
R$ 2.737,50;
Plano 2: 30% de entrada e 24
Prestações mensais iguais de 
R$ 2.190,40.
Qual dos dois planos tem a menor taxa 
de juros mensais ?
5% a.m. 
O 1º plano é o melhor p/ o comprador 
 Plano 1
 f clx fin
 g END
 40 000 enter 20 % 
 - PV
 2 737,50 CHS PMT
 18 n
 i
 
 Plano 2
 f clx fin
 g END
 40 000 enter 30 % 
 - PV
 2 190,40 CHS PMT
 24 n
 i
 
5,8 % a.m.
112
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
12. Uma loja vende uma 
geladeira em 12 prestações
mensais de R$ 120,55 ou 
em 24 prestações mensais
de R$ 76,76. Qual 
será a forma de 
financiamento mais 
vantajosa para o comprador 
se a taxa de juros for de 
3% a.m. ?
O 1º plano é o melhor p/ o comprador 
 Plano 1
 f clx fin
 g END
 120,55 CHS PMT
 12 n
 3 i
 PV
 Plano 2
 f clx fin
 g END
 76,76 CHS PMT
 24 n
 3 i
 PVR$ 1.199.96 R$ 1.299,97
113
EMPRÉSTIMOS
� Quanto ao prazo, um empréstimo pode ser: 
� Curto: período até 1 ano;
� Médio: período até 3 anos e
� Longo: período maior do que 3 anos.*
* Estudaremos casos de empréstimos de longo prazo.
114
EMPRÉSTIMOS
� Tipos de empréstimos: 
� Sistema Francês de Amortização ou Tabela Price;
� Sistema de Amortização Constante (SAC);
� Sistema de Amortização Misto (SAM);
� Sistema Americano;
� Sinking Fund;
� Sistema Alemão ou de Juros Antecipados;
� Plano Livre de Amortização.
115
PLANO DE AMORTIZAÇÃO NA HP 
12C
 Pressione: 
f CLEAR FIN - para apagar os registradores financeiros.
i - Introduz a taxa de juros periódica.
PV - Introduz o valor do empréstimo.
CHS PMT - Introduz o pagamento período. (o sinal deve ser negativo por ser uma 
saída no fluxo de caixa)
g BEG ou g END - para estabelecer a modalidade de pagamento.
n - Introduz o número de pagamentos a serem amortizados.
f AMORT - para apresentar a parte dos pagamentos referentes aos juros.
x>< y - para apresentar a parte dos pagamentos referentes amortização da dívida.
R↓↓↓↓ - Para apresentar o número de pagamentos que acabaram de ser amortizados.
RCL PV - Para apresentar o saldo devedor restante.
RCL n - Para apresentar o número total de pagamentos amortizados.
 
 
116
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO
Características Básicas:
� Prestações Constantes;
� O valor das prestações é composto por duas 
parcelas: a de juros e a de amortização.
� A amortização vai ser abatida no saldo devedor
Caso Particular: Tabela Price 
Trabalha com prestações mensais e taxa em termos 
maiores, como, por exemplo, taxas anuais. Daí surge a 
necessidade de calcular taxa proporcional. A Tabela Price já 
incorpora essa particularidade.
117
EXEMPLOS
1. Analise um empréstimo de R$ 10.000,00 a ser pago em cinco parcelas, 
a juros de 4% a.m. Monte uma tabela que indique período a período o saldo devedor, 
a amortização, os juros e a prestação do financiamento.
Período Saldo 
Devedor
Amortização Juros Prestação
0 10.000,00
1 8.153,73 1.846,27 400,00 2.246,27
2 6.233,61 1.920,12 326,15 2.246,27
3 4.236,68 1.996,93 249,34 2.246,27
4 2.159,88 2.076,80 169,47 2.246,27
5 0,00 2.159,88 86,40 2.246,27
Soma 10.000,00 1.231,36 11.231,36
f clx fin 
g END
10000PV
5 n
4 i
PMT
1 f AMORT
X>< y
RCL PV 
 
1 f AMORT
X>< y
RCL PV
118
EXEMPLOS
2. Suponha que você queira comprar uma casa de R$ 15.000,00 a juros 
de 1,25% ao mês. Os pagamentos necessários deverão ser de 
R$ 500,00 ao final de cada mês. Calcule as partes referentes aos juros 
e a amortização da dívida dos dois primeiros anos de pagamentos.
f clx fin
500 CHS PMT – 500,00
1,25 i 1.25 
15.000 PV 15.000,00
24 f AMORT – 3.316,20 Juros relativos aos 24 primeiros meses.
X>< y – 8.683,80 Amortização nos 2 primeiros anos.
RCL PV 6.316,20 Saldo Devedor após 2 anos de pgtos.
RCL n 24.00 Número total de pagamentos amort.
119
O número de pagamentos introduzidos imediatamente antes de se pressionar 
f AMORT é tomado como sendo o número de pagamentos realizados 
após quaisquer pagamentos que já tenha sido amortizados.
Dessa maneira, se você pressionar agora 6 f AMORT , a sua HP – 12C 
calculará os montantes relativos aos juros e a amortizaçãol, nos 6 meses 
seguintes após os 2 primeiros anos de pagamentos. 
EXEMPLOS
6 f AMORT – 393,44 Parcela relativa aos juros dos últimos 6 meses.
x >< y – 2.606,56 Principal amortizado dos últimos 6 meses.
RCL PV 3.709,64 Saldo Devedor após 30 meses.
RCL n 30.00 Número total de pagamentos amortizados 
120
3. Uma dívida de R$ 3 000,00 com juros de 18% ao ano, capitalizados 
mensalmente deve ser amortizada por meio de pagamentos mensais iguais 
de R$ 526,58 durante os próximos 6 meses, sendo o primeiro daqui a um 
mês. Encontre o saldo devedor após o 4º pagamento.
EXEMPLOS
f clx fin 
526,58 CHS PMT – 526,58
6 n 6,00 
1,5 i 1,5
3000 PV –3000,00
4 f AMORT –136,22
RCL PV
R$ 1029,90 Saldo Devedor
121
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcular o valor da prestação de um empréstimo 
de R$ 15.000,00, a ser pago em 30 prestações, ao
final de cada mês, à taxa de juros compostos de 5% ?
2. Qual o saldo devedor, após o pagamento da 20ª 
prestação, de um empréstimo de R$15.000,00 a ser 
pago em 30 prestações, à taxa de 5% ? 
R$ 975,77
20 f AMORT 
X<>y
RCL PV 
 
R$ 7.534,72
f clx fin
15000 PV
30 n
5 i
PMT
 
 
 
122
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3. Certa instituição contraiu um empréstimo de 
R$ 100.000,00 para aquisição de um equipamento, 
à taxa de 20% a.a. durante 20 anos (prestações 
anuais). Calcular o saldo do empréstimo logo após
o pagamento da 14ª prestação.
4. A prefeitura do município “YY” deseja saber, 
para efeito orçamentário, o total dos juros devidos
durante o segundo ano de vigência de um 
financiamento de R$ 120.000,00 a ser pago em 
48 prestações mensais à taxa de 3%. Calculá-la.
f clx fin
100000 PV
20 n
20 i
PMT
14 f AMORT
X<>Y
RCL PV
 
R$ 68.291,71
f clx fin
120000 PV
48 n
3 i
PMT
12 f AMORT
12 f AMORT
R$ 33.735,91
123
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6. Calcule as parcelas de amortização e de 
juros da 12ª prestação do empréstimo 
referido na questão anterior (nº 4).
R$ 78.798,71
f clx fin
100000 PV
20 n
20 i
PMT
12 f AMORT
X<>Y
RCL PV
 
5. Determinar o saldo final do 1º ano de vigência 
de um empréstimo de R$ 100.000,00, a ser pago 
em 20 anos à taxa de 20% a.a.
f clx fin
100000 PV
20 n
20 i
PMT
11 f AMORT
1 f AMORT
X<>Y
 
R$ 16.555,73
R$ 3.979,92
124
OBRIGADA PELA
PRESENÇA DE TODOS !!!
FIM