Lista de Integrais

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Universidade Federal de Vic¸osa - UFV
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica - DMA
MAT 146 - CA´LCULO I
Professores: Ab´ılio, Anderson Tiago, Ariane (coordenadora), Ayrton, Gemma,
Laerte, Ma´ısa.
4a Lista de Exerc´ıcios: Integrais Indefinidas e Integrais Definidas 1
1) Resolva as seguintes integrais:
a)
∫
x dx
b)
∫
23 dx
c)
∫
x2 + pi dx
d)
∫
αx+ β dx, α, β ∈ R
e)
∫
3x+ 7 dx
f)
∫
e x dx
g)
∫
1
x
dx
2) a) Sabendo que
∫
f(x) dx = 7x8 + C quanto vale f(x)?
b) Sabendo que
∫
f(z) dz = cos(z) + C quanto vale f(z)?
3) Resolva as integrais a seguir:
a)
∫
x2 dx
b)
∫ √
x dx
c)
∫
3x+ 5 dx
d)
∫
2
3
√
x
dx
e)
∫
7x3
√
x dx
f)
∫
(3senx− 2cosx) dx
g)
∫
sec2 x dx
h)
∫ (
4cossecx cotgx+ 3cossec2x
)
dx
i)
∫ √
x3 dx
j)
∫
3
√
3x9 dx
k)
∫
(x+ 1)2x3 dx
l)
∫
(x+ 2)
√
x dx
m)
∫
1
x3
dx
n)
∫
x4 + 2x2 − 1√
x
dx
1Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
1
MAT 146 - Ca´lculo I 2
4) Resolva as integrais:
a)
∫
2x
(1− x)7 dx
b)
∫
cos 4θ dθ
c)
∫
sen
x
3
dx
d)
∫
6x2senx3 dx
e)
∫
x5senx6 dx
f)
∫
sen 5x dx
g)
∫
cosx(2 + senx)5 dx
h)
∫
x2e x
3
dx
i)
∫
1
2x+ 3
dx
j)
∫
2senx 3
√
1 + cos x dx
k)
∫
cos2t sen t dt
l)
∫ √
x− 9 dx
m)
∫
3
√
3x− 4 dx
5) Fac¸a o que se pede:
a) Resolva a integral indefinida
∫
(2x+ 1)2 dx usando o me´todo da substituic¸a˜o.
b) Desenvolva o integrando do item anterior, (2x+ 1)2, e resolva a integral diretamente.
c) Compare as respostas dos itens a) e b). O que voceˆ conclui?
6) Calcule a integral
∫
senxcosx dx da forma que se pede:
a) usando a substituic¸a˜o u = senx.
b) usando a substituic¸a˜o u = cosx.
c) Explique a apareˆncia diferente das respostas obtidas nos itens a) e b).
7) Resolva as integrais:
a)
∫
cos θ
1 + sen2θ
dx
b)
∫
sen
√
x√
x
dx
c)
∫
ln2x
x
dx
d)
∫
e 3sen tcos t dt
e)
∫
x√
x2 + 1
dx
f)
∫
e x
√
1 + e x dx
8) Resolva as Integrais:
a)
∫
lnx dx
b)
∫
x arctgx dx
c)
∫
e xsenx dx
d)
∫
xe 3x dx
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
MAT 146 - Ca´lculo I 3
e)
∫
x5e x
2
dx
f)
∫
x23x dx
g)
∫
lnxx dx, use a propriedade lnxa = a lnx
h)
∫
senx ln |cosx| dx
i)
∫
arcsenx dx
j)
∫
xcos 2x dx
k)
∫
x sec2 x dx
l)
∫
e xsenx dx
9) Resolva as Integrais:
a)
∫
tgx dx
b)
∫
cos2x dx
c)
∫
sen4x dx
d)
∫
cos3x dx
e)
∫
sen32x dx
f)
∫
sec3 x dx
g)
∫
tg32θ dθ
h)
∫
sen 2x
cosx
dx
i)
∫
cotg 1
x
x2
dx
j)
∫
(sen
pi
6
)x dx
10) Calcule as integrais:
a)
∫
sen2x cosx dx
b)
∫
sen2x cos2x dx
c)
∫
cos2x tg3x dx
d)
∫
cossecx cotgx dx
e)
∫
sec2 x tgx dx
f)
∫
cossec2x cotgx dx
g)
∫
tg2x sec2 x dx
h)
∫
sec3 x dx
11) Resolva as Integrais:
a)
∫
dx
9x2 + 16
b)
∫
e x
7 + e 2x
dx
c)
∫
3
x
√
x2 − 9 dx
d)
∫
x
x4 + 16
dx
e)
∫
dx√
2− 5x2
f)
∫
x√
x2 − 3 dx
g)
∫
dx
x
√
x2 + 2
h)
∫
2x− 9√
x2 − 9x+ 1 dx
i)
∫
3x+ 2√
1− x2 dx
j)
∫
2s√
1− s4 ds
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
MAT 146 - Ca´lculo I 4
k)
∫
9
1 + 9u2
du
12) Resolva as Integrais:
a)
∫
x− 9
(x+ 5)2(x− 1) dx
b)
∫
1
(x+ 3)2(x− 1) dx
c)
∫
30
(x− 1)(x+ 5) dx
d)
∫
x+ 2
x2 − 1 dx
e)
∫
2x3 + x2 − 4x+ 1
x2 − x− 2 dx
f)
∫
5
2x3 − 4x2 dx
g)
∫
1
1− x2 dx
h)
∫
x2 + 1
x3 − x dx
13) Analise cada afirmac¸a˜o e decida se e´ verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
a)
∫
dx
1− x2 = ln |1− x
2|+ C
b)
∫
1
x2 + 4
dx = arctg
x
2
+ C
c)
∫
sen2x dx =
sen3x
3
+ C
d)
∫
xe x dx =
x2
2
e x + C
e)
∫
x2 dx =
x3
3
f)
∫
sen2x dx = sen2x+ C
g)
∫
(cos29x+ sen29x)100 dx = x+ C
h)
∫
x− 1
x3 − x2 + x− 1 dx = arctgx+ C
i)
∫
f ′(x)
f(x)
dx = ln |f(x)|+ C
14) Sabendo-se que f ′′(x) = 6x+ senx, f ′(0) = 1 e f(0) = 2, determine f(x).
15) Encontre f(x) sabendo que f ′(x) = e x +
20
1 + x2
e f(0) = −2.
16) Sabendo-se que f ′′(x) = 12x2 + 6x− 4, f(0) = 4 e f(1) = 1, encontre f(x).
Para resolver os problemas 17, 18 e 19, lembre-se que a derivada mede a taxa
de variac¸a˜o instantaˆnea de uma func¸a˜o.
17) Dois carros participam de uma corrida em linha reta. A velocidade instantaˆnea, em metros
por segundo, do carro 1 e´ dada pela func¸a˜o f(t) = 2t− 3 e a do carro 2 e´ dada pela func¸a˜o
g(t) =
3t2
100
. Se o percurso e´ de 10 metros, qual dos carros vencera´ a corrida?! Considere que
no instante t = 0 a velocidade dos dois carros e´ nula.
(Lembre que a velocidade e´ definida como a variac¸a˜o da posic¸a˜o em relac¸a˜o a variac¸a˜o do
tempo.)
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
MAT 146 - Ca´lculo I 5
18) Uma empresa, cuja jornada de trabalho e´ de 6 horas dia´rias, resolveu, diariamente, premiar
o seu funciona´rio mais produtivo. Sem pre´vio aviso, em algum instante do dia, a empresa
verificara´ qual o funciona´rio e´ o mais produtivo naquele instante.
As ma´quinas desta empresa dispo˜e de um dispositivo que mede a eficieˆncia instantaˆnea do
Funciona´rio X, que e´ definida pela empresa como a
Variac¸a˜o da produc¸a˜o do Funciona´rio X
Variac¸a˜o do tempo
,
e atrave´s desta informac¸a˜o, dada pela ma´quina, a empresa decidira´ qual e´ o funciona´rio mais
produtivo naquele instante.
(a) Se, no dia de hoje, a eficieˆncia instantaˆnea do Funciona´rio A e Funciona´rio B sa˜o
dadas, respectivamente, pelas func¸o˜es EA(t) = −2t + 6 e EB(t) = 2, t ∈ (0, 6], qual
dos dois funciona´rios e´ o mais produtivo no instante t = 5. (Leve em considerac¸a˜o que a
produc¸a˜o de ambos e´ nula no instante t = 0).
(b) Em quais instantes do dia o “Funciona´rio A”e´ o mais produtivo?!
19) Uma part´ıcula move-se em linha reta com acelerac¸a˜o dada pela func¸a˜o a(t) = 2t−1 no instante
t. Sabendo-se que em t = 1 s a velocidade da part´ıcula e´ 3 cm/s (v(1) = 3) e seu deslocamento
e´ 4 cm (s(1) = 4), expresse o deslocamento (s(t)) e a velocidade (v(t)) como func¸o˜es de t. (Dica:
Observe que acelerac¸a˜o e´ a taxa de variac¸a˜o da velocidade em relac¸a˜o a` variac¸a˜o do tempo, e
a velocidade e´ a taxa de variac¸a˜o do deslocamento em relac¸a˜o a` variac¸a˜o do tempo).
20) Calcule as integrais definidas:
a)
∫ 1
0
x dx
b)
∫ 1
0
x2 dx
c)
∫ 2
−2
x3 dx
d)
∫ 0
−1
2x− 3 dx
e)
∫ 4
3
29 dx
f)
∫ 5
2
√
x dx
g)
∫ 10
−5
2x
5
dx
h)
∫ 2
0
3
√
x dx
i)
∫ ln 4
0
e x dx
j)
∫ 20
0
2
√
2x+ 9 dx
21) Resolva as integrais definidas a seguir:
a)
∫ e 2
1
lnx dx
b)
∫ 3
0
√
9− x2 dx
c)
∫ 1
0
arctgx dx
d)
∫ −2
−5
x3
7
√
x4 + 1 dx
e)
∫ 8
0
7x3
√
x dx
f)
∫ pi
2
0
(3senx− 2cosx) dx
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
MAT 146 - Ca´lculo I 6
g)
∫ pi
3
0
sec2 x dx
h)
∫ 3
2
2x
(1− x)7 dx
i)
∫ 1
0
3
√
3x− 4 dx
j)
∫ pi
pi/2
cos2x dx
k)
∫ pi/6
0
tg32θ dθ
l)
∫ 4/3
0
dx
9x2 + 16
m)
∫ 1/2
0
3x+ 2√
1− x2 dx
n)
∫ 3
2
x+ 2
x2 − 1 dx
22) Em quais casos a integral representa a a´rea da regia˜o de integrac¸a˜o? Explique em cada caso o
porqueˆ.
a)
∫ 1
−1
x dx
b)
∫ 1
−1
x2 dx
c)
∫ 0
−pi
2
senx dx
d)
∫ −1
−3
1
x
dx
e)
∫ 10
−5
x2 − x dx
23) Em cada ı´tem, calcule a a´rea da regia˜o delimitadapelo gra´fico da func¸a˜o no intervalo indicado.
a) f(x) = ln x, em x ∈ [1, e ]
b) f(x) = x3, com x ∈ [−1, 2]
c) f(x) = cosx, com x ∈ [0, 2pi]
d) f(x) = sen2x, em x ∈ [0, pi
2
]
e) f(x) =
1
x2
, com x ∈ [1, 3]
f) f(x) =
2x
1 + x2
,com x ∈ [−2, 2]
g) y = 9− x2, com o eixo x, o eixo y e x=3
h) y = 16− x2, e o eixo x
i) y = x2 − 7x, com o eixo y e x ∈ [2, 4]
j) y = 2
lnx
x
, eixo x e com x ∈ [1, e ]
24) Em cada ı´tem, calcule a a´rea da regia˜o delimitada pelos gra´ficos das func¸o˜es.
a) f(x) = x2 e y = x
b) f(x) = x2 − x ; y = 0; x = −1 e x = 1
c) f(x) = cosx; x = 0; x =
pi
2
e y = 0
d) y = 2x+ 1 ; y = −2x e y = 1
e) y = 2x+ 3; y = −x e y = x+ 1
f) y = cosx ; y = senx ; x =
pi
4
e x =
5pi
4
g) f(x) = x3 − 2x e g(x) = x2
h) y = senx , y = cosx e x = 0
i) x+ y = 2, y = 2 e y = x2
Respostas
1) a)
x2
2
+ C; b) 23x+ C; c)
x3
3
+ pix+ C; d)
αx2
2
+ βx+ C; e)
3
2
x2 + 7x+ C; f) e x + C;
g) ln |x|+ C.
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MAT 146 - Ca´lculo I 7
2) a) 56x7; b) −senz.
3) a)
x3
3
+ C; b)
2
3
x
3
2 + C; c)
3
2
x2 + 5x+ C; d) 3x
2
3 + C; e)
14
9
x
9
2 + C; f) −3cosx− 2senx+ C;
g) tgx+ C; h) −4cossec x− 3cotg x+ C; i) 2
5
x
5
2 + C; j) 3
√
3
x4
4
+ C; k)
x6
6
+
2
5
x5 +
x4
4
+ C;
l)
2
5
x
5
2 +
4
3
x
3
2 + C; m) −x
2
2
+ C; n)
2
9
x9/2 +
4
5
x5/2 − 2x1/2 + C.
4) a)
−2
5(1− x)5 +
1
3(1− x)6 +C; b)
1
4
sen4θ+C; c) −3cosx
3
+C; d) −2cosx3 +C; e) −1
6
cosx6 +C;
f) −1
5
cos5x+C; g)
(2 + senx)6
6
+C; h)
1
3
e x
3
+C; i)
1
2
ln |2x+ 3|+C; j) −3
2
(1 + cosx)
4
3 +C;
k) −cos
3t
3
+ C; l)
2
3
(x− 9)3/2 + C ; m) 1
4
(3x− 4)4/3 + C.
5) a)
(2x+ 2)3
6
+C =
4
3
x3 + 2x2 + x+
1
6
+C; b)
4
3
x3 + 2x2 + x+C; c) As respostas dos itens a)
e b) diferem por uma constante.
6) a)
sen2x
2
+C; b) −cos
2x
2
+C; c) Usando a identidade sen2x+cos2x = 1, temos que os resultados
dos itens a) e b) diferem apenas pela constante 1/2.
7) a)arctg (senx) + C; b)−2cos√x+ C; c) ln
3 x
3
+ C; d)
1
3
e 3sent + C; e) (x2 + 1)
1
2 + C;
f)
2
3
(1 + e x)
3
2 + C.
8) a) x lnx−x+C; b) x
2
2
arctgx− x
2
+
arctgx
2
+C; c)
e x(senx− cosx)
2
+C; d) e 3x(
x
3
− 1
9
)+C;
e) e x
2
(
x4
2
− x2 + 1
2
) + C; f) 3x(
x2
ln 3
− 2x
ln2 3
+
2
ln3 3
) + C; g)
x2
2
lnx− x
2
4
+ C;
h) −cosx ln cosx+ cosx+ C; i) xarcsenx− (1− x2) 12 + C; j) x
2
sen2x+
1
4
cos2x+ C;
k) xtgx+ ln cosx+ C.
9) a) − ln cosx+ C; b) x
2
+
sen 2x
4
+ C; c)
3
4
x− sen2x+ 1
8
sen4x+ C; d) senx− sen
3x
3
+ C;
e) −cos2x
2
+
cos32x
6
+ C; f)
secxtgx+ ln | sec x+ tgx|
2
+ C; g)
tg22x
4
+
ln(cos 2x)
2
+ C;
h) −2cosx+ C; i) − ln(sen1
x
) + C; j)
(senpi/6)x
ln(senpi/6)
+ C.
10) a)
sen3x
3
+ C; b)
x
8
− sen 4x
32
+ C; c)
cos2x
2
− ln |cosx| + C; d)−cossecx + C; e) tg
2x
2
+ C;
f) −cotg
2x
2
+ C; g)
tg3x
3
+ C; h)
1
2
sec x tgx+
1
2
ln | sec x+ tgx|+ C.
11) a)
1
12
arctan
3x
4
+ C; b)
1√
7
arctan
e x√
7
+ C; c) arcsec(
x
3
) + C; d)
1
8
arctg (
x2
4
) + C;
e)
1√
5
arcsen(
√
5√
2
x)+C; f)
√
x2 − 3+C; g) − 1√
2
ln |
√
x2 + 2
x
+
√
2
x
|+C; h) √x2 − 9x+ 1+C;
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MAT 146 - Ca´lculo I 8
i) −3√1− x2 + 2arcsenx+ C; j) arcsens2 + C; k) 3arctg 3u+ C.
12) a)
2
9
ln |x+ 5| − 7
3
(x+ 5)−1− 2
9
ln |x− 1|+C; b)− 1
16
ln |x+ 3|+ 1
4
(x+ 3)−1 +
1
16
ln |x− 1|+C;
c)5 ln |x− 1| − 5 ln |x+ 5|+ C; d) 3
2
ln |x− 1| − 1
2
ln |x+ 1|+ C;
e) x2 + 3x+
3
13
ln |x− 2| − 4
3
ln |x+ 1|+ C; f) −5
8
ln |x|+ 5
4
x−1 +
5
8
ln |x− 2|+ C;
g)
1
2
ln |x+ 1|+ 1
2
ln |1− x|+ C.
13) a) falso; b) falso; c) falso; d) falso; e) falso; f) verdadeiro; g) verdadeiro; h) verdadeiro;
i) verdadeiro.
14) f(x) = x3 − senx+ 2x+ 2.
15) f(x) = e x + 20arctgx− 3.
16) f(x) = x4 + x3 − 2x2 − 3x+ 4.
17) O carro 1 vencerra´ a corrida. O Carro 1 gastara´ 5 s para percorrer 10 m e o Carro 2 gastara´
10 s.
18) a) O funciona´rio B produz 10 unidades nesse tempo, enquanto que o funciona´rio A produz
apenas 5 unidades. Logo, B e´ o mais produtivo. b) Ocorre no instante t = 3 s.
19) v(t) = t2 − t+ 3 e s(t) = t
3
3
− t
2
2
+ 3t+
7
6
.
20) a)
1
2
; b)
1
3
; c) 8; d) -4; e) 29 ; f)
2
3
(5
√
5− 2√2); g) 15; h) 3
2
3
√
2; i) 4; j)
632
3
.
21) a) e 2 + 1; b)
9pi
4
; c)
pi
4
− 1
2
ln(x2 + 1); d)
7
32
(17
8
7 − 626 87 ); e) 57344
9
√
8; f) 1; g)
√
3;
h)
2
5
(2−5 − 1) + 1
3
(2−6 − 1); i)1
4
(1− 4 3√4); j)pi
4
; k)
1
2
+ ln
√
2
2
; l)
pi
48
; m)
2pi
3
− 3
√
3
2
;
n) e 2 +
2
e
.
22) a) Na˜o, pois a func¸a˜o na˜o e´ positiva em todo o intervalo de integrac¸a˜o;
b) Sim, pois a func¸a˜o e´ positiva no intervalo de integrac¸a˜o;
c) Na˜o, pois a func¸a˜o na˜o e´ positiva em todo o intervalo de integrac¸a˜o;
d) Na˜o, pois a func¸a˜o na˜o e´ positiva em todo o intervalo de integrac¸a˜o;
e) Na˜o, pois a func¸a˜o na˜o e´ positiva em todo o intervalo de integrac¸a˜o.
23) a) 1; b)
15
4
; c) 2; d) 1; e)
2
3
; f) 2 ln 5; g) 18; h)
256
3
; i)
70
3
; j) 1.
24) a)
1
6
; b)
2
3
; c) 1; d)
1
8
; e)1; f) 2
√
2; g)
37
12
; h) 0; i)
√
2.
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.