Tópico 4

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Tópico 4 – Heterocedasticidade
Bibliografia:
WOOLDRIDGE, J.M. Introdução à Econometria: uma abordagem moderna. 4ª 
ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 22015. (capítulo 8).
Estimação de Mínimos Quadrados 
Ponderados
Embora seja sempre possível estimar erros padrão robustos
para as estimativas MQO, se sabemos algo sobre a forma
específica da heterocedasticidade, pode-se obter estimativas
mais eficientes do que aquelas por MQO.
Observações com a variância muito alta não contém muita
informação sobre a localização da reta da regressão.
Método de estimação alternativo – MQP, que pode ser utilizado
quando existe heterocedasticidade.
Reponderação dos dados.
Isto leva a um estimador mais eficiente que o MQO, e produz
estatísticas t e F que têm distribuições t e F.
Estimação de Mínimos Quadrados 
Ponderados
Considerando 2 casos:
1º: 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖|𝑥𝑖) é conhecida até um fator de
proporcionalidade, e MQP é MELNV.
2º: 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖|𝑥𝑖) é conhecida, porém ela possui alguns
parâmetros desconhecidos que devem ser estimados.
Caso de uma forma conhecida perante constante
multiplicativa
Suponha que a heterocedasticidade possa ser modelada como:
𝑉𝑎𝑟 𝑢 𝑥 = 𝜎2ℎ 𝑥
Em que :
ℎ(𝑥) é uma função das variáveis explicativas e determina a forma
da heterocedasticidade, ou seja, como a variância dependerá de 𝑥;
ℎ 𝑥 > 0 pois a variância é positiva ∀ os valores possíveis das
variáveis independentes;
ℎ(𝑥) é conhecida;
𝜎2 o parâmetro populacional não é conhecido, mas pode ser
estimado através do uso dos dados.
Exemplo de mínimos quadrados ponderados
𝑉𝑎𝑟 𝑢 𝑥 = 𝜎2ℎ 𝑥
𝑝𝑜𝑢𝑝𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 + 𝑢𝑖
𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑖 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 = 𝜎
2𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖
ℎ 𝑥 = ℎ 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 = 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎.
Neste caso, a variância do erro é proporcional ao nível de renda.
Quanto maior o nível de renda, maior a variância do termo de erro,
ou seja, maior a variabilidade da poupança.
Como a 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 > 0, a variância será sempre positiva.
 O desvio-padrão de 𝑢𝑖, condicional a 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 → 𝜎 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖.
Caso de uma forma conhecida perante constante
multiplicativa
Como usamos a informação sobre o formato da heterocedasticidade
(equação 1) para estimar os parâmetros do modelo e fazer inferência?
Modelo original heterocedástico:
𝑦𝑖 = 𝛽𝑜 + 𝛽1𝑥𝑖1 + 𝛽2𝑥𝑖2…+ 𝛽𝑘𝑥𝑖𝑘 + 𝑢𝑖
Suponha que a equação contenha erros heterocedásticos. A
heterocedasticidade possa ser modelada como:
𝑉𝑎𝑟 𝑢 𝑥 = 𝜎2ℎ 𝑥
onde ℎ 𝑥 = ℎ𝑖
Temos que transformar esta equação de forma que os erros virem
homocedásticos (e satisfaça as outras hipóteses de Gauss-Markov).
Caso de uma forma conhecida perante constante
multiplicativa
Como ℎ𝑖 é apenas uma função de 𝑥𝑖, 𝑢𝑖/ ℎ𝑖 tem zero como
valor esperado condicional em 𝑥𝑖.
Além disso, Var ui xi = 𝐸 𝑢𝑖
2 𝑥𝑖 = 𝜎
2ℎ𝑖.
A variância de 𝑢𝑖/ ℎ𝑖 (condicional em 𝑖) é 𝜎
2:
𝐸
𝑢𝑖
ℎ𝑖
2
=
𝐸(𝑢𝑖
2)
ℎ𝑖
=
𝜎2ℎ𝑖
ℎ𝑖
= 𝜎2
Suprimimos a condicionalidade de 𝑥𝑖, por simplicidade.
Caso de uma forma conhecida perante constante
multiplicativa
Sabemos que:
𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖|𝑥) = 𝜎
2ℎ𝑖
Assim, se dividirmos toda nossa equação por ℎ𝑖, teremos um
modelo onde o erro é homocedástico.
ൗ
𝑦𝑖
ℎ𝑖
= ൗ
𝛽𝑜
ℎ𝑖
+ 𝛽1 ൗ
𝑥𝑖
ℎ𝑖
+⋯+ 𝛽𝑘 ൗ
𝑥𝑘
ℎ𝑖
+ ൗ
𝑢𝑖
ℎ𝑖
Ou:
𝑦𝑖
∗ = 𝛽𝑜𝑥𝑖0
∗ + 𝛽1𝑥𝑖1
∗ +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑖𝑘
∗ + 𝑢𝑖
∗
Em que:
𝑥𝑖0
∗ = 1/ ℎ𝑖 e as outras variáveis sobrescritas com ∗ representam
as variáveis originais correspondentes divididas por ℎ𝑖.
Exemplo 8.6 - Equação de Patrimônio 
Financeiro 
 Estimamos as equações que explicam os ativos financeiros
líquidos:
𝑛𝑒𝑡𝑡𝑓 = 𝛽0 + 𝛽𝑖1𝑖𝑛𝑐 + 𝑢𝑖1
Em que:
𝑛𝑒𝑡𝑡𝑓𝑎 corresponde aos ativos financeiros líquidos;
𝑖𝑛𝑐 é a renda;
𝑢𝑖1 é o termo de erro aleatório.
Exemplo 8.6 - Equação de Patrimônio 
Financeiro 
 Sem controlarmos outros fatores, cada dolar adicional na
renda é estimado aumentar a nettfa em cerca de 82 cents de
dólar quando são usados os MQO
 
 _cons -10.57095 2.060678 -5.13 0.000 -14.61223 -6.529671
 inc .8206815 .0609 13.48 0.000 .7012479 .940115
 
 nettfa Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 4565965.05 2016 2264.86361 Root MSE = 45.592
 Adj R-squared = 0.0822
 Residual 4188482.98 2015 2078.6516 R-squared = 0.0827
 Model 377482.064 1 377482.064 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 2015) = 181.60
 Source SS df MS Number of obs = 2017
. reg nettfa inc
Exemplo 8.6 - Equação de Patrimônio 
Financeiro 
 Sem controlarmos outros fatores, cada dolar adicional na
renda é estimado aumentar a nettfa em cerca de 72 cents de
dólar quando são usados os MQP.
 
 _cons -9.580702 1.653284 -5.79 0.000 -12.82303 -6.338378
 inc .7870523 .0634814 12.40 0.000 .6625562 .9115484
 
 nettfa Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 2603570.25 2016 1291.4535 Root MSE = 34.648
 Adj R-squared = 0.0704
 Residual 2419034.45 2015 1200.51338 R-squared = 0.0709
 Model 184535.798 1 184535.798 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 2015) = 153.71
 Source SS df MS Number of obs = 2017
(sum of wgt is 8.7566e+01)
. reg nettfa inc [aw = 1/inc]
. *MQP
Exemplo 8.6 - Equação de Patrimônio 
Financeiro 
A diferença não é
grande; certamente
não esperamos que
elas sejam idênticas.
O coeficiente MQP
(0,063) realmente
tem um erro padrão
menor que o do
MQO (0,104), quase
40% menor, desde
que consideremos
que o modelo está
correto.
 
 _cons -10.57095 2.060678 -5.13 0.000 -14.61223 -6.529671
 inc .8206815 .0609 13.48 0.000 .7012479 .940115
 
 nettfa Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 4565965.05 2016 2264.86361 Root MSE = 45.592
 Adj R-squared = 0.0822
 Residual 4188482.98 2015 2078.6516 R-squared = 0.0827
 Model 377482.064 1 377482.064 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 2015) = 181.60
 Source SS df MS Number of obs = 2017
. reg nettfa inc
 
 _cons -9.580702 1.653284 -5.79 0.000 -12.82303 -6.338378
 inc .7870523 .0634814 12.40 0.000 .6625562 .9115484nettfa Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 2603570.25 2016 1291.4535 Root MSE = 34.648
 Adj R-squared = 0.0704
 Residual 2419034.45 2015 1200.51338 R-squared = 0.0709
 Model 184535.798 1 184535.798 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 2015) = 153.71
 Source SS df MS Number of obs = 2017
(sum of wgt is 8.7566e+01)
. reg nettfa inc [aw = 1/inc]
. *MQP
Mínimos Quadrado Generalizadoss
Mínimos Quadrados Ponderados é maximizado se sabemos
como é 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖|𝑥𝑖).
Na maioria dos casos não saberemos a forma da
heterocedasticidade.
 Exemplo de se fazer é se o dado for agregado, mas o modelo é
a nível individual.
Deverá ser ponderado o peso de cada observação agregada pelo
inverso do número de indivíduos.
Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Anteriormente, vimos alguns exemplos nos quais a
heterocedasticidade é conhecida como uma forma
multiplicativa.
Na maioria dos casos, a forma exata da heterocedasticidade não
é óbvia, ou seja, é difícil de encontrar a função ℎ 𝑥𝑖 .
Podemos modelar a função ℎ e utilizar os dados para estimar os
parâmetros desconhecidos nesse modelo → estimativas de cada
ℎ𝑖, indicada por ෠ℎ𝑖.
Usar o ෠ℎ𝑖 em lugar de ℎ𝑖 na transformação 𝑀𝑄𝐺 produz um
estimador denominado: MQG factível, MQG estimado ou
MQGE.
MQG Factível
A forma mais típica é quando você não sabe a forma da
heterocedasticidade;
Neste caso, você precisará estimar: ℎ(𝑥𝑖).
Tipicamente, começamos com o pressuposto de um modelo
razoavelmente flexível, tal como:
𝑉𝑎𝑟 (𝑢|𝑥) = 𝜎2𝑒𝑥𝑝(𝛿𝑜 + 𝛿1𝑥𝑖 +⋯+ 𝛿𝑘𝑥𝑘)
Em que:
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 são variáveis explicativas;
𝛿𝑗 são parâmetros desconhecidos.
Uma vez que não conhecemos 𝛿 , a estimação é necessária.
GLS Factível
Na realização do teste de heterocedasticidade, consideramos
que a heterocedasticidade era uma função linear de 𝑥𝑗.
Alternativas lineares são boa quando verificamos a existência
de heterocedasticidade, mas elas podem ser problemáticas
quando fazemos correção da heterocedasticidade, usando MQP.
Modelos lineares não asseguram que os valores previstos sejam
positivos, e nossas variâncias estimadas devem ser positivas
para podermos usar o método MQP.
MQG Factível
Procedimento MQG para corrigir a hetercedasticidade:
1. Execute a regressão de 𝑦 em 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘e obtenha os
resíduos, ො𝑢.
2. Criar log ( ො𝑢2) primeiramente elevando ao quadrado os
resíduos MQO e depois calculando seu log natural.
3. Execute a regressão de log ( ො𝑢2 ) sobre 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 e
obtenha os valores estimados, ො𝑔.
4. Calcule o exponencial dos valores estimados a partir ො𝑢 =
exp ො𝑔 .
5. Estime a equação: 𝑦𝑖 = 𝛽𝑜 + 𝛽1𝑥𝑖 +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑘 + 𝑢𝑖
Pelos MQP, usando pesos 1/෠ℎ (෠ℎ𝑖 = exp( ො𝑔𝑖)).
MQG Factível
Se os parâmetros 𝛿𝑗 fossem conhecidos, apenas aplicaríamos
MQP, como mostrado anteriormente.
Caso não seja conhecidos, devemos usar os dados para estimar
esses parâmetros, e então utilizar essas estimativas para
construir pesos.
Podemos escrever:
𝑢2 = 𝜎2 exp 𝛿0 + 𝛿1𝑥1 +⋯+ 𝛿𝑘𝑥𝑘 𝑣
Substituindo o 𝑢 não observado pelos resíduos 𝑀𝑄𝑂 ,
computamos a regressão de:
log ො𝑢2 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑥1, … , 𝑥𝑘
Agora, sabemos que ො𝑢 é um estimador de 𝑢, então podemos
estimar por MQO.
O que necessitamos dessa regressão são os valores ajustados;
vamos chama-los de ො𝑔𝑖. Assim, as estimativas de ℎ𝑖 serão:
෡ℎ𝑖 = exp( ො𝑔𝑖)
Onde ෝ𝑔𝑖= valores ajustado da regressão (14).
Agora, usamos o método MQO com pesos 1/ ෡ℎ𝑖 em lugar de
1/ℎ𝑖.
GLS Factível
Rode o modelo original MQO, salve os resíduos, ො𝑢, eleve-os ao
quadrado e tome o logaritmo;
Regrida ln(෠ℎ2) para todas as variáveis independentes e obtenha
os valores ajustados, ො𝑔.
Faça Mínimos Quadrados Ponderados usando como
ponderação:
1
exp( ො𝑔)
Mínimos Quadrado Generalizados
A estimação da equação transformada por MQO é um exemplo de
mínimos quadrados generalizados, MQG (ou GLS, em inglês). MQG
será BLUE (Best Linear Unbiased Estimator).
Um estimador de MQP pode ser definido por qualquer conjunto de
pesos positivos.
O MQO é o caso especial que atribui pesos iguais a todas as
observações.
O procedimento eficiente, MQG, pondera cada resíduo ao quadrado
pelo inverso da variância condicional de 𝑢𝑖.
Dá-se menos peso para as observações com maior variância.
Devemos ter algum cuidado ao calcularmos estatística F para testar
hipóteses múltiplas após a estimação por MQP. É importante que os
mesmo peso sejam usados para estimar os modelos com e sem
restrições.
Mínimos Quadrado Generalizados
A maioria dos programas econométricos modernos tem um
recurso para computar MQP.
Em geral, juntamente com as variáveis dependentes e
independentes no modelo original, apenas especificamos a
função de ponderação, 1/ℎ𝑖, que aparece na equação.
Lembre-se que utiliza-se MQP apenas por eficiência, pois
MQO continua não tendencioso e consistente.
As estimativas serão diferentes devido a erros amostrais, mas
se forem muito diferentes, então alguma outra hipótese de
Gauss-Markov também deve estar sendo violada.
Exercícios
1) O método MQP é preferido ao MQO quando uma variável importante for
omitida do modelo? Explique.
2) Considere um modelo linear para explicar o consumo mensal de cerveja:
𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑗𝑎 = 𝛽0 + 𝛽1𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 + 𝛽2𝑝𝑟𝑒ç𝑜 + 𝛽3𝑒𝑑𝑢𝑐 + 𝛽4𝑓𝑒𝑚 + 𝑢
𝐸 𝑢 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎, 𝑝𝑟𝑒ç𝑜, 𝑒𝑑𝑢𝑐, 𝑓𝑒𝑚 = 0 e 𝑉𝑎𝑟 𝑢 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎, 𝑝𝑟𝑒ç𝑜, 𝑒𝑑𝑢𝑐, 𝑓𝑒𝑚 =
𝜎2𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎2
Mostre como você iria remover o problema da heteroscedasticidade e produzir
um termo de erro com variância constante.