Aula 20 VAC e Funções de Distribuição de Probabilidade

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Aula 20 
Variáveis Aleatórias Contínuas 
Distribuição de Probabilidade; FDP 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
 
VAC e suas distribuições 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
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Variáveis Aleatórias Contínuas 
Distribuição de Probabilidade; FDP 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Relembrando o conceito... VA 
 
 Uma variável aleatória VA é uma função que associa elementos do espaço amostral a 
valores numéricos, ou seja, X : S → I , em que . 
 Esquematicamente: 
I
S 
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Relembrando o conceito... VAC 
 
 
 
 
 
 
 os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais 
 Exemplo: corrente elétrica; comprimento; pressão; temperatura; tempo de resposta; 
voltagem; peso;... 
Variável Aleatória 
Discreta Contínua 
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Distribuições de Probabilidades – adequação do modelo 
 
 VA apresenta um grande número de resultados possíveis, ou quando a variável 
aleatória em questão é continua (pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo 
definido de valores) 
 não se pode usar distribuições discretas como a de Poisson ou Binomial 
 Como uma VAC inclui, em seus resultados, valores tanto inteiros como não inteiros 
 não pode ser adequadamente descrita por uma distribuição discreta. 
 Abordagem mais conveniente: 
 construir uma função densidade de probabilidade, ou curva de probabilidade, 
baseada na função matemática correspondente. 
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Distribuições de Probabilidades 
 
Definição: 
 X pode assumir qualquer valor em um determinado intervalo. 
 Diz-se que X é uma VAC, se existir uma função f(x), denominada função densidade de 
probabilidade (fdp) de x que satisfaça às seguintes condições: 







b
a
dxxfbXaP
dxxf
xf
)()()3(
;1)()2(
;0)()1(
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FDP 
 
 A função f(x) é chamada de função densidade de probabilidade (fdp) da v.a. X, ou 
simplesmente função densidade de X e serve para descrever a distribuição de 
probabilidade de uma v.a. contínua. 
 

b
a
dxxfbXaP )()(
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FDP 
 
 Uma FDP é zero para valores de x que não possam ocorrer. 
 
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FDP 
 
 Cálculo de f (X = a) 
 
?????)(  aXP
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FDP 
 
 Cálculo de f (X = a) 
 
0)()(  
a
a
dxxfaXP
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FDP 
 
 Cálculo de f (X = a) 
 
0)()(  
a
a
dxxfaXP
Como encontrar a probabilidade 
de um valor específico? 
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FDP 
 
 Cálculo de f (a < X < b) 
 
Faz diferença usar esse 
intervalo aberto ou fechado? 
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FDP 
 
 Cálculo de f (a < X < b) 
 
Faz diferença usar esse 
intervalo aberto ou fechado? 
b
a
dxxfbXaPbXaPbXaPbXaP )()()()()(
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FDP 
 
 Tratamento gráfico: A função de probabilidade f(x) pode ser aproximada pelo 
histograma da v.a. X., conforme podemos observar pela figura. 
 
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Nivelamento... 
 
 
 
 
 
 
 
 O que é um histograma? Em quais ocasiões ele é recomendado? Exemplifique. 
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Exemplo 1 
Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em 
miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a função 
densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. Qual a probabilidade da 
corrente ser menor que 10 mA? E qual a probabilidade da corrente estar entre 5 e 20 mA? 
Construa o gráfico dessa distribuição. 
 
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Exemplo 1 – Solução 
Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em 
miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a função 
densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. Qual a probabilidade da 
corrente ser menor que 10 mA? E qual a probabilidade da corrente estar entre 5 e 20 mA? 
Construa o gráfico dessa distribuição. 
 
75,05,0)205(
5,05,0)10(
20
5
10
0




dxXP
dxXP
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Exemplo 2 
Seja uma variável aleatória contínua X o diâmetro de um orifício perfurado em uma peça 
metálica. O diâmetro alvo é de 12,5 mm. A maioria dos distúrbio aleatórios no processo 
resulta em diâmetros maiores. Dados históricos revelam que a distribuição de X pode ser 
modelada pela uma função densidade de probabilidade 
 
 
Se uma peça com um diâmetro maior que 12,6 mm for descartada, qual será a proporção 
de peças descartadas? Qual a proporção de peças está entre 12,5 e 12,6 mm? Esboce o 
gráfico da distribuição e explique seu comportamento. Em sua opinião, melhorias são 
necessárias nesse processo produtivo? Argumente. 
5,12;
20
)(
)5,12(20


x
e
xf
x
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Exemplo 2 – Solução 
FDP 
 
Se uma peça com um diâmetro maior que 12,6 mm for descartada, qual será a proporção 
de peças descartadas? 
 
 
Qual a proporção de peças está entre 12,5 e 12,6 mm? 
 
 
Esboce o gráfico da distribuição e explique seu comportamento. Em sua opinião, melhorias 
são necessárias nesse processo produtivo? Argumente. 
5,12;
20
)(
)5,12(20


x
e
xf
x 



6,12
)5,12(20
135,0
20
)6,12( dx
e
XP
x   
6,12
5,12
)5,12(20
865,0
20
)6,125,12( dx
e
XP
x
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L4.1. Exercício 1 
 
Dada a função 
 
 
a) Mostre que esta é uma FDP. 
b) Calcule a probabilidade de X > 10 
c) Esboce o gráfico da função densidade de probabilidade 
 







0 se
2
0 se0
)(
2
x
e
x
xf
x
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L4.1. Exercício 2 
Suponha que descreve razoavelmente bem certo experimento. 
Determine: 
a) P (1 < X) 
b) P (1 < X < 2,5) 
c) P (X = 3) 
d) P (X < 4) 
e) P (X > 0) 
f) x tal que P (X < x) = 0,1 
g) x tal que P (X > x) = 0,1 
h) Esboce o gráfico da função densidade de probabilidade 
 
 
 
0;)(   xexf x
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L4.1. Exercício 3 
Suponha que 
Determine: 
a) P (X<0) 
b) P (X < p/4) 
c) P (-p/4 < X < p/4) 
d) P (X > -p/4) 
e) x tal que P (X < x) = 0,95 
f) Esboce o gráfico da função densidade de probabilidade 
 
2/2/ ;cos5,0)( pp  xxxxf
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L4.1. Exercício 4 
A função densidade de probabilidade do peso líquido, em libras, de um pacote de herbicida 
químico é f(x) = 2, para 49,75 < x < 50,25 libras 
a) Determine a probabilidade de um pacote pesar mais de 50 libras 
b) Determine a probabilidade de um pacote pesar mais de 49 libras 
c) Qual a quantidade mínima de herbicida químico para encher 90% de todos os pacotes? 
Esboce o gráfico da função densidade de probabilidade para argumentar sobre sua 
resposta. 
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Gabarito 
1. a) S; b) 0,999 
2. a) 0,368; b) 0,286; c) 0; d) 0,982; e) 1; f) 0,105; g) 2,302 
3. a) 0,5; b) 0,853; c) 0,707; d) 0,853; e) 1,12 rad 
4. a) 0,5; b) 1; c) 49,8 
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Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 
 Estudar os itens 4.1 e 4.2 da referência abaixo 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.