Aula 29 Distribuições de Probabilidades Condicionais

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Aula 29 
Distribuições de Probabilidades Condicionais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Distribuições de Probabilidades Condicionais 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
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Distribuições de Probabilidades Condicionais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Relembrando... Distribuição Conjunta para o caso Discreto 
 Suponha que dado experimento aleatório envolve duas VAD’s: X e Y: 
 
 A função de probabilidade conjunta: pXY (x, y) = P(X = x e Y = y) 
 
 Se o par (x, y) é impossível, então: pXY (x, y) = zero 
 
 Ao inclui todos os valores possíveis do par (X, Y), teremos 
 
 Para qualquer subconjunto A do plano xy, 
  1,
1 1




i j
jiXY yxp    
 



Ayx
iiXY
ii
yxpAYXP
,
,,
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Relembrando... Distribuição Bivariada para o caso Discreto 
 
 Tabela de Probabilidades 
x1 x2 x3 ... 
y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) 
y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) 
y3 P(x1, y3) P(x2, y3) P(x3, y3) 
... ... 
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Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Distribuições de Probabilidades Condicionais 
 Quando duas VA’s são definidas em um experimento aleatório, o conhecimento de uma 
delas por mudar as probabilidades que associamos com os valores da outra 
 Notações: 
 P(X = x | Y = y) 
 P(Y = y | X = x) 
 P(Y < y | X = x) 
 P(Y > y | X = x) 
 P(X < x | Y = y) 
 P(X < x | Y = y) 
 ... 
 
 
 
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Relembrando... Probabilidade Condicional associada a eventos 
 Lembre-se de que a definição de probabilidades condicionais para os eventos A e B é 
dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 Essa definição pode ser aplicada com o evento A definido como X = y e o evento B 
definido como Y = y (por exemplo...) 
 
)(
)(
)|(
AP
BAP
ABP


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Distribuições de Probabilidade Condicional 
Dadas as variáveis discretas X e Y, com função de probabilidade conjunta 
 a função de probabilidade condicional que fornece as probabilidades condicionais para 
os valores de Y, dado que X = x, será dada por: 
 
 
 
 a função de probabilidade condicional que fornece as probabilidades condicionais para 
os valores de X, dado que Y = y, será dada por: 
 
 
 
0)( ;
)(
),(
)(|  xf
xf
yxf
yf X
X
XY
xY
0)( ;
)(
),(
)(|  yf
yf
yxf
yf Y
Y
XY
yX
),( yxf XY
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Exemplo 1 
Determine 
 
x1 x2 x3 
y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) 
y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) 
y3 P(x1, y3) P(x2, y3) P(x3, y3) 
)(
1|
yf xxY 
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Exemplo 1 – Solução 
Determine 
 
x1 x2 x3 
y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) 
y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) 
y3 P(x1, y3) P(x2, y3) P(x3, y3) 
fX fX=1 fX=2 fX=3 
)(
1|
yf xxY 
Desenvolva a distribuição 
marginal que for necessária. 
Nesse caso apenas a de X será 
necessária 
)(
),(
)(|
xf
yxf
yf
X
XY
xY 
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Exemplo 1 – Solução 
Determine 
 
x1 x2 x3 
y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) 
y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) 
y3 P(x1, y3) P(x2, y3) P(x3, y3) 
fX fX=1 fX=2 fX=3 
)(
),(
)(|
xf
yxf
yf
X
XY
xY 
Já sei previamente que X = x1 
aconteceu. Desconsidero os 
demais valores de x que não 
aconteceram 
)(
1|
yf xxY 
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Exemplo 1 – Solução 
Determine 
 
x1 
y1 P(x1, y1) 
y2 P(x1, y2) 
y3 P(x1, y3) 
fX fX=1 
)(
),(
)(|
xf
yxf
yf
X
XY
xY 
Agora, aplico a fórmula para 
cada termo da tabela resultante 
)(
1|
yf xxY 
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Exemplo 1 – Solução 
Determine 
 
x1 
y1 P(x1, y1) 
y2 P(x1, y2) 
y3 P(x1, y3) 
fX fX=1 
)1(
)1,1(
1|1



xf
yxf
f
X
XY
xy
)(
1|
yf xxY  )(| yf xY )1(
)2,1(
1|2



xf
yxf
f
X
XY
xy
)1(
)3,1(
1|3



xf
yxf
f
X
XY
xy
)1( xf X
1|1  xyf
1|2  xyf
1|3  xyf
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Média e Variância Condicional 
 Média / Valor Esperado / Esperança (Condicional) 
 
 Média de Y dado um valor de X = x 
 
 
 
 Média de X dado um valor de Y = y 
 
 
   yfyxYE
y
xYxY   || |
   xfxyXE
x
yXyX   || |
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Média e Variância Condicional 
 Variância (Condicional) 
 
 Variância de Y dado um valor de X = x 
 
 
 
 Variância de X dado um valor de Y = y 
 
 
        2|||
2
|
2
| ²| xY
y
xY
y
xYxYxY yfyyfyxYVar  






         2 |||
2
|
2
| ²| yX
x
yX
x
yXyXyX xfxxfxxYVar  





 
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Exemplo 2 – Solução 
Determine o valor esperado de Y sabendo que X = 1 
 
x1 Média 
y1 P(x1, y1) 
y2 P(x1, y2) 
y3 P(x1, y3) 
)(| yf xY
1|1  xyf
1|2  xyf
1|3  xyf
1|11  xyfy
1|22  xyfy
1|33  xyfy
1| xY
Média: Soma dos produtos entre 
os valores das VA’s e suas 
respectivas probabilidades 
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Exemplo 2 – Solução 
Determine o valor esperado de Y sabendo que X = 1 
 
x1 Média Var (I) 
y1 P(x1, y1) 
y2 P(x1, y2) 
y3 P(x1, y3) 
)(| yf xY
1|1  xyf
1|2  xyf
1|3  xyf
1|11  xyfy
1|22  xyfy
1|33  xyfy
1| xY
1|11²  xyfy
1|22²  xyfy
1|33²  xyfy
      2 1|1|331|221|112 1| ²²²   xYxyxyxyxY fyfyfy 2 1| (...) xY
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Exemplo 2 – Solução 
Determine o valor esperado de Y sabendo que X = 1 
 
x1 Média Var (I) Var (II) 
y1 P(x1, y1) 
y2 P(x1, y2) 
y3 P(x1, y3) 
)(| yf xY
1|1  xyf
1|2  xyf
1|3  xyf
1|11  xyfy
1|22  xyfy
1|33  xyfy
1| xY
2
1| (...) xY         1|321|31|221|21|121|12 1|   xyxYxyxYxyxYxY fyfyfy   1|1
2
1|1   xyxY fy   1|2
2
1|2   xyxY fy   1|3
2
1|3   xyxY fy 
2
1| (...) xY
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Contextualizando... 
 
 
 
 
 
 
 
 Retorne ao exemplo 1 (desta aula). Qual é a aplicação das distribuições de 
probabilidades condicionais no tratamento dos dados? Exemplifique... 
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Distribuições de Probabilidades Condicionais 
Cássius Henrique CEA 012 - ProbabilidadeL5.3. Exercício 1 
Considere novamente a situação: 
Chamadas são feitas para verificar o horário de aviões na cidade de suas partidas. Você 
monitora o número de barras de potência de sinal de seu celular e o número de vezes em 
que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida antes do sistema de vozes 
reconhecer o nome. 
x 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 
3 0,02 0,1 0,05 
2 0,02 0,03 0,2 
1 0,01 0,02 0,25 
Nos 4 primeiros bits transmitidos, seja X o número 
de barras de potência de sinal em seu telefone 
celular e Y o número de vezes que você tem que 
dizer o nome da cidade de sua partida. 
Considere a distribuição ao lado e apresente todas 
as distribuições condicionais. Organize cada 
distribuição condicional em uma tabela diferente e 
indique as soluções utilizando as notações já 
estudadas. 
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L5.3. Exercício 2 
Para o exercício anterior, calcule a média e a variância condicional de Y, sabendo que 
X = 1. 
x 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 
3 0,02 0,1 0,05 
2 0,02 0,03 0,2 
1 0,01 0,02 0,25 
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L5.3. Exercício 3 
(CEA012 – Teste T4/2014-adp) Considere novamente a situação: 
Uma empresa seguradora tem ao balcão dois vendedores de seguros de vida. A 
experiência tem revelado que 50% das pessoas que contatam o vendedor A e apenas 25% 
das pessoas que contatam o vendedor B fazem um seguro de vida. Considere o par 
aleatório (X, Y) que representa o número de apólices vendidas diariamente por A e B, 
respectivamente, num dia em que cada vendedor atende 2 pessoas. 
Admitindo que cada pessoa contatou um só vendedor, foi gerada a distribuição de 
probabilidade conjunta que se encontra na tabela abaixo. 
Y 
X 
0 1 2 
0 0,140625 0,093750 0,015625 
1 0,281250 0,187500 0,031250 
2 0,140625 0,093750 0,015625 
Considere a distribuição ao lado e apresente 
todas as distribuições condicionais. Organize 
cada distribuição condicional em uma tabela 
diferente e indique as soluções utilizando as 
notações já estudadas. 
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L5.3. Exercício 4 
Para o exercício anterior, calcule a média e a variância condicional de X, sabendo que 
Y = 2. 
Y 
X 
0 1 2 
0 0,140625 0,093750 0,015625 
1 0,281250 0,187500 0,031250 
2 0,140625 0,093750 0,015625 
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L5.3. Exercício 5 
Considere novamente a situação 
Uma urna contém 4 bolas pretas (P), 2 bolas brancas (B) e 2 bolas vermelhas (V). 
Extraem-se 2 bolas dessa urna, sem reposição. Seja X o número de bolas pretas e Y o 
número de bolas vermelhas. A distribuição conjunta é apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
a) Desenvolva todas as probabilidades condicionais 
b) P(X | y = 2) c) P(x = 0 | y = 2) d) P(y < 1 | x = 0) e) P(y = 1 | x = y) 
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L5.3. Exercício 6 
Para o exercício anterior, calcule a média e a variância condicional de Y, sabendo que 
X = 0. 
 
 
 
 
 
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Gabarito 
1. 
 
 
 
 
 
2. 
x 
fy 
fY|X=x fX|Y=y 
1 2 3 fY|x=1 fY|x=2 fY|x=3 fX|y=1 fX|y=2 fX|y=3 fX|y=4 
y 
4 0,15 0,10 0,05 0,30 
y 
4 0,750 0,400 0,091 
x 
1 0,500 0,118 0,080 0,036 
3 0,02 0,10 0,05 0,17 3 0,100 0,400 0,091 2 0,333 0,588 0,120 0,071 
2 0,02 0,03 0,20 0,25 2 0,100 0,120 0,364 3 0,167 0,294 0,800 0,893 
1 0,01 0,02 0,25 0,28 1 0,050 0,080 0,455 1,000 1,000 1,000 1,000 
fx 0,20 0,25 0,55 1,000 1,000 1,000 
fY|x=1 Média Variância 
Y 
4 0,750 3,000 0,152 
3 0,100 0,300 0,030 
2 0,100 0,200 0,240 
1 0,050 0,050 0,325 
1,000 3,550 0,748 
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Gabarito 
3. 
 
 
 
 
 
4. 
y 
fx 
fY|X=x fX|Y=y 
0 1 2 fY|x=0 fY|x=1 fY|x=2 fX|y=0 fX|y=1 fX|y=2 
x 
0 0,140625 0,093750 0,015625 0,25 
x 
0 0,563 0,563 0,563 
x 
0 0,250 0,250 0,250 
1 0,281250 0,187500 0,031250 0,50 1 0,375 0,375 0,375 1 0,500 0,500 0,500 
2 0,140625 0,093750 0,015625 0,25 2 0,063 0,063 0,063 2 0,250 0,250 0,250 
fy 0,5625 0,3750 0,0625 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 
fX|y=0 Média Variância 
x 
0 0,250 0,000 0,250 
1 0,500 0,500 0,000 
2 0,250 0,500 0,250 
1,000 1,000 0,500 
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Gabarito 
5. a) 
 
 
 
 
 
 b) 1; 0; 0; c) 1; d) 0,833; e) 0,8888 
6. 
x 
fy 
fX|Y=y fY|X=x 
0 1 2 fX|y=0 fX|y=1 fX|y=2 fY|x=0 fY|x=1 fY|x=2 
y 
0 0,035714 0,285714 0,214286 0,54 
x 
0 0,067 0,333 1,000 
y 
0 0,167 0,500 1,000 
1 0,142857 0,285714 0,000000 0,43 1 0,533 0,667 0,000 1 0,667 0,500 0,000 
2 0,035714 0,000000 0,000000 0,04 2 0,400 0,000 0,000 2 0,167 0,000 0,000 
fx 0,2143 0,5714 0,2143 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 
fY|x=0 Média Variância 
y 
0 0,167 0,000 0,167 
1 0,667 0,667 0,000 
2 0,167 0,333 0,167 
1,000 1,000 0,333 
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Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 
 Estudar o item 5.1.3 da referência abaixo: 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.