mat1202 lista2 2015 1

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Departamento de Matemática � PUC-Rio
Disciplina: MAT1202 � Álgebra Linear II
Professores: Christine e Pablo
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Lista de Exercícios
Obs.: Alguns exercícios foram retirados do livro Linear Algebra and its Applications
(STRANG, G. Linear Algebra and its Applications; San Diego: Harcourt Brace Jovano-
vich, 1988) e do livro Álgebra Linear com Aplicações (ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra
Linear com Aplicações; Porto Alegre: Bookman, 2004) com algumas adaptações.
1. Quais das três matrizes elementares E21 , E31 , E32 transforma A em uma matriz
triangular superior? Escreva a decomposição A = PLU .
Obs.: Eij expressa a operação elementar li ← li + klj.
A =
 1 0 12 2 2
3 4 5

2. Use a decomposição PLU para resolver os sistemas lineares.
(a)

x+ y + z = 5
x+ 2y + 3z = 7
x+ 3y + 6z = 11
(b)

x+ y + z = 5
y + 2z = 2
2y + 5z = 6
3. Para qual valor de c não existe decomposição LU da matriz A? Por que não existe
essa decomposição? Qual é valor de c que anula o terceiro pivô?
A =
 1 c 02 4 1
3 5 1

4. Justifique por que o determinante de uma matriz An×n que admite fatoração LU é
det(A) = det(U). E se A é escalonada usando somente permutação e substituição
de uma linha pela sua soma com um múltiplo de outra, sendo fatorada na forma
A = PLU?
5. Encontre condições para a, b, c e d de modo a obter A = LU .
A =

a a a a
a b b b
a b c c
a b c d

Calcule o det(A).
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6. Encontre uma base para o espaço-linha, para o espaço-coluna, para o espaço-nulo
da matriz A e para o espaço-nulo da matriz transposta. Para os subespaços N(A)
(nulo de A) e N(AT ) (nulo da transposta de A) determine as equações cartesianas
e paramétricas.
A =

1 4 5 6 9
3 −2 1 4 −1
−1 0 −1 −2 −1
2 3 5 7 8

7. Encontre uma base do subespaço de R
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gerado pelos vetores v1 = (1, 1,−4,−3),
v2 = (2, 0,−2, 2) e v3 = (−2, 1, 3, 2). Qual a dimensão desse subespaço?
8. Discuta o posto da matriz A em função do parâmetro t ∈ R e determine a dimensão
do espaço coluna de A e do espaço nulo de A de acordo com a variação de t.
A =
 1 1 t1 t 1
t 1 1

9. Expresse por uma lei a transoformação TA. Essa transformação TA é injetiva? TA é
sobrejetiva?
A =
 1 4 −11 2 1
−1 1 0

10. Seja T : R3 −→ R3 uma transformação linear definida por:
T (x, y, z) = (x− y, y − x, x− z)
Encontre a matriz de T em relação a base {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}. Apresente o
espaço coluna de A e o espaço nulo de A.
11. Seja A =
 3 −2 1 01 6 2 1
−3 0 7 1
 a matriz da transformação linear de T : R4 −→ R3 em
relação as bases {(0, 1, 1, 1), (2, 1,−1,−1), (1, 4,−1, 2), (6, 9, 4, 2)} e {(0, 8, 8), (−7, 8, 1), (−6, 9, 1)}.
O vetor (2, 2, 0, 0) ∈ espaço coluna de A? T é injetiva?
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