Teorema_Buckingham

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Aula 19
Análise Dimensional e Semelhança
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Objetivos
 Estabelecer os parâmetros necessários para guiar estudos experimentais;
Apresentar a técnica usada para aplicar os resultados de estudos de modelos a protótipos para uma variedade de situação de escoamento;
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 Extrair os parâmetros do escoamento das equações diferenciais e condições de contorno usados para guiar estudos computacionais; 
Objetivos
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 Fornecer exemplos e problemas que ilustrem a utilização de parâmetros adimensionais dos escoamentos, como estudos de modelo e permitir prever quantidades de interesse em um protótipo e verificar o uso de equações diferenciais normalizadas; 
Objetivos
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 Homogeneidade dimensional: Condição em que todos os termos de uma equação têm as mesmas dimensões. 
Introdução
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Introdução
Dividindo por z1
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Semelhança
Estudo da previsão das condições do protótipo a partir de observações de modelos
A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise dimensional
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Modelo em escala de edifícios grandes de uma cidade. O escoamento de ar ao redor dos edifícios é estudada. Os elementos ásperos no chão geram a turbulência desejada nas paredes. 
Exemplos
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Analise Dimensional
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Analise Dimensional
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Analise Dimensional
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Analise Dimensional
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Analise Dimensional
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Analise Dimensional
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Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. 
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Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. 
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Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. 
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Teorema p de Buckingham
n- número de variáveis
É o teorema que nos permite determinar os números adimensionais a partir da função característica.
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Teorema p de Buckingham
K - Grupos adimensionais;
n – numero de variáveis(grandeza / quantidade);
m - número dimensões básicas;
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Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, µ, d) = 0, a aplicação do teorema dos π respeita a seguinte seqüência:
1º PASSO: 
Determinar o número de variáveis que influenciam o fenômeno - n 
n = 5
2º PASSO: 
Escrevemos a equação dimensional de cada uma das variáveis. 
[F] = F 
[V] = L x T-1 
[ρ] = F x L-4 x T2 
[µ] = F x L-2 x T 
[D] = L 
Teorema p de Buckingham
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3º PASSO: 
Determinamos o número de dimensões envolvidas no fenômeno - m. 
m = 3 
4º PASSO: Determinamos o número de adimensionais que caracterizam o fenômeno - K 
K = n - m ∴ K = 2 
5º PASSO: 
Estabelecemos a base dos números adimensionais. 
Definição de base - É um conjunto de variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes. 
Variáveis independentes- São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental. 
Para o exemplo, temos: 
F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes. 
ρ e µ como variáveis dependentes. 
Teorema p de Buckingham
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Bases possíveis para o exemplo: 
ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D. 
Para obtermos os adimensionais já estabelecidos para os estudos de Mecânica dos Fluidos, geralmente adotamos a base ρ V D, ou a que mais se assemelha a esta. Para o exemplo, adotamos a base ρ V D.
6º PASSO : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada. 
π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F 
π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ
Teorema p de Buckingham
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Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional.
Para p1 tem-se:
Teorema p de Buckingham
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Para p2 tem-se:
Teorema p de Buckingham