Aula 07

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
Aula 7- CILINDROS
Prof.: Kléber Albanêz Rangel
FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
CONCEITOS BÁSICOS – AULA1
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 
 1.Superfície Cilíndrica ou Cilindro Ilimitado
 2.Cilindros –Definição
 3.Elementos
 4.Secções
 5.Cilindro Equilátero
 6.Classificação
 7.Áreas e Volume
 
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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
1.SUPERFÍCIE CILÍNDRICA OU CILINDRO ILIMITADO
 
 Imagine que sobre um plano  esteja situado um círculo d de centro O e raio r.
 Superfície Cilíndrica ou Cilindro Ilimitado é a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que mantendo-se paralela a uma reta s (direção) percorre os pontos de um círculo dado d (diretriz).
 
 
 
 
 
 
 
s
g
Superfície cilíndrica aberta
Superfície cilíndrica fechada
2. CILINDRO - DEFINIÇÃO
 Considere dois planos paralelos distintos  e , uma reta s concorrente a esses planos e um círculo de centro O e raio r contido em .
 Denomina-se CILINDRO CIRCULAR ou simplesmente CILINDRO a reunião de todos os segmentos de reta congruentes entre si e paralelos a s com uma extremidade no círculo dado e a outra no plano .
 
r
3. ELEMENTOS
.BASES – são os círculos paralelos de centros O e O’ e raio r.
. ALTURA (h) – é a distância entre os planos das bases. 
. EIXO (OO’) – é a reta que contém os centros dos círculos das bases.
. GERATRIZ (g) – são os segmentos paralelos a OO’ que têm extremidades
 nos pontos das circunferências das bases.
 
4. SECÇÕES
 SECÇÃO MERIDIANA 	é a interseção do cilindro com um plano que contém o eixo OO’ determinado pelos centros das bases do cilindro.
 A secção meridiana de um cilindro oblíquo é um paralelogramo e a secção meridiana de um cilindro reto é um retângulo. 
 Cilindro Reto
 Observe que, neste caso, temos:
 
 g = h ≠ 2r
 
 
5.CILINDRO EQUILÁTERO
 CILINDRO EQUILÁTERO é um cilindro cuja secção meridiana é um quadrado. 
 Observe que, neste caso, temos:
 g = h = 2r
 
6.CLASSIFICAÇÃO
 CILINDRO CIRCULAR OBLÍQUO – se as geratrizes são oblíquas aos planos das bases.
 CILINDRO CIRCULAR RETO – se as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. O cilindro circular reto é também chamado CILINDRO DE REVOLUÇÃO, pois é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados.
 O EIXO de um cilindro é a reta determinada pelos centros das bases.
 
 
 
Eixo
 7.ÁREAS E VOLUME
 A.ÁREAS
 . ÁREA DA BASE(Ab ou Sb) – é a área de um círculo.
Assim: Ab=Sb=πr²
 
 . ÁREA LATERAL(Al ou Sl) – a área lateral de um cilindro circular reto ou cilindro de revolução é equivalente a um retângulo de dimensões 2πr (comprimento da circunferência da base) e h (altura do cilindro).
 Desse modo a superfície lateral de um cilindro de revolução desen- volvida num plano (planificada) é um retângulo de dimensões 2πr e h. Assim: Al=Sl=2πrh
 . ÁREA TOTAL(At ou St) – é a soma da área lateral com as áreas das duas bases. Assim: At=St=2πrh + 2πr² => At=St= 2πr(h + r) 
 
 
B.VOLUME(V)
 Consideremos um cilindro de altura h e área da base B1=B e um prisma de altura h e área da base B2=B (o cilindro e o prisma têm alturas congruentes e bases equivalentes).
 Suponhamos que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano  e estão num dos semi-espaços determinados por .
 Qualquer plano  paralelo a , que seccione o cilindro , também secciona o prisma e as secções (B’1=B1, B’2=B2, B1=B2=B) => B’1=B’2.
 Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes iguais. 
 Vcilindro = Vprisma
Logo: V = Sb . h , ou seja:
“O volume de um cilindro é o produto da área da base pela medida da altura”.
Então: V = πr²h
 
EXERCÍCIOS
1.Um suco de frutas é vendido em dois tipos de latas cilíndricas, uma de raio r cheia até a altura h e outra de raio r/2 e cheia até a altura 2h. A primeira é vendida por R$3,00 e a segunda por R$1,60. Qual a embalagem mais vantajosa para o comprador?
2.Um recipiente em forma de cubo com aresta igual a 12cm está cheio de água. Se toda essa água for despejada em outro recipiente com a forma de cilindro circular reto com 6cm de raio e 20cm de altura, qual será a altura do nível da água?
3.A gasolina contida em um tanque cilíndrico do terminal da cidade deve ser distribuída entre vários postos. Se cada posto tem dois tanques (também cilíndricos) com a altura e o diâmetro da base iguais,respectivamente, a 1/5 e 1/4 das dimensões do tanque do terminal, determine quantos postos poderão ser abastecidos?
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