35 Vetores e valores proprios

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n. 35 – AUTOVALORES e AUTOVETORES ou 
 VALORES e VETORES PRÓPRIOS ou 
 VALORES CARACTERÍSTICOS e VETORES CARACTERÍSTICOS 
 
Aplicações: estudo de vibrações, dinâmica populacional, 
estudos referentes à Genética, Mecânica Quântica, Economia 
e Geometria. 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=esWX5oYm_rA> Acesso em: 20 nov./ 2016. 
 
Genética: a quantidade de genótipos AA, Aa, 
aa resultante das combinações, conforme 
forem passando as gerações é calculada 
como sendo os autovalores e os autovetores 
de certa matriz. 
Pedaço de viga de uma ponte: ao analisarmos 
um pedaço de viga, observamos que ele está 
sujeito a diversas tensões. A maior e a menor 
tensão que este objeto sofre é calculada 
encontrando os autovalores de certa matriz. 
Sistema massa x mola: dada uma mola 
e colando-se nessa mola uma massa a 
estabilidade desse sistema pode ser 
obtida calculando-se os autovalores e 
os autovetores de certa matriz. 
Pesquisa de algum tema na Internet: ao digitar uma 
palavra no Google aparece no buscador os sites que 
podemos consultar. O Google sabe quais são os sites 
“mais importantes”, devido a certa matriz, que faz a 
relação entre os diversos sites, procurando autovetores e 
autovalores e aplicando um algoritmo de busca 
desenvolvido por eles (PageRank), eles estabelecem o 
critério de qual site é mais importantes que outros. 
Toda a transformação linear possui uma matriz associada, fixando-
se as bases. 
Dada uma transformação linear de um espaço vetorial 
T: V⟶ V (um operador linear), estamos interessados em saber 
quais vetores são levados em um múltiplo de si mesmo. 
 
 
 
 
Procuramos um vetor �⃗� ∈ V e um escalar α ∈ℝ tais que T(�⃗�) = α �⃗�. 
O escalar α será chamado de autovalor de T 
e o vetor �⃗� é um autovetor de T. 
 
Definição: Seja T: V⟶V um operador linear. Se existem �⃗� ∈ V, �⃗� ≠ 
0, e α∈ℝ tais que T(�⃗�) = α �⃗�, α é um autovalor de T e �⃗� é um 
autovetor de T associado a α. 
Obs.: α pode ser o número zero (0), mas �⃗� não pode ser o vetor 
nulo. 
 Um vetor, �⃗� ≠ 0 é autovetor se a imagem T(�⃗�) for um múltiplo 
escalar de �⃗�. No R2 e R3 diríamos que �⃗� e T (�⃗�) têm a mesma 
direção. Logo, dependendo do valor de α, o operador T dilata �⃗�, 
contrai �⃗�, inverte o sentido ou anula no caso de α = 0. 
 
α �⃗⃗⃗� �⃗⃗⃗� 
V T ( �⃗⃗⃗�) V 
a) Na primeira figura abaixo, o vetor �⃗� ∈ R2 é um vetor próprio 
que dilata �⃗�, porque α > 1. 
b) Na segunda figura observamos que �⃗� não é um autovetor de T, 
pois T(�⃗�) ≠ α �⃗� . 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar os autovalores e autovetores de TA, devemos 
resolver a equação: 
TA (�⃗�) = α �⃗� 
 
Exemplos: 
1. Verifique se os vetores �⃗�1 e �⃗�2 são autovetores do operador 
linear T: ℝ2⟶ℝ2, tal que T (x, y) = (4 x + 5 y, 2 x + y) 
 
a) �⃗�1 = (5, 2) 
Resolução: (4 . 5 + 5 . 2, 2 . 5 + 2) = (30, 12) 
Logo, 6. (5, 2) = 6 . v = (30, 12), portanto, o autovalor é α = 6 
 
b) �⃗�2 = (2, 1) 
Resolução: (4 . 2 + 5 . 1, 2 . 2 + 1) = (13, 5) 
Logo, ∄ α.(2, 1) = (13, 5), portanto, v2 = (2, 1) não é autovetor 
deste operador linear. 
 
2. Determine os autovalores e os autovetores associados à 
transformação T: ℝ2⟶ℝ2, tal que T (x, y) = (2x , 2y) 
Resolução: 
Abrindo o vetor nas variáveis livres: (2x, 2y) 
x (2, 0) + y (0, 2) 
 (2x, 0y) + (0x , 2y) 
Coordenadas de x: (2, 0) 
Coordenadas de y: (0, 2) 
T(x, y) = [
2 0
0 2
] . [
𝑥
𝑦] = [
2 𝑥
2 𝑦
] = 2. [
𝑥
𝑦] 
Neste caso, 2 é um autovalor de T e qualquer vetor 
(x, y) ≠ (0, 0) é um autovetor associado ao autovalor 2. 
Observe geometricamente: 
 
 T 
 
 
 
3. Considere a matriz A = [
2 2
0 1
]. Determine os autovalores e os 
autovetores associados à transformação TA (x, y). 
 
Resolução: só para lembrar, a regra da transformação é: 
(2x + 2y, 0x + 1y) = (2x + 2y, y) 
 
T(x, y) = [
2 2
0 1
] . [
𝑥
𝑦] = [
2 𝑥 + 2 𝑦
𝑦
] = (2x + 2y, y) 
 
Lembrando que, para encontrar os autovalores e autovetores de TA, 
devemos resolver a equação: TA (�⃗�) = α �⃗� 
 
Ou [
2 𝑥 + 2 𝑦
𝑦
] = α [
𝑥
𝑦] 
 
 [
2 𝑥 + 2 𝑦
𝑦
] = [
𝛼 𝑥
𝛼 𝑦] 
 
O que resulta no sistema: 
{
2 𝑥 + 2 𝑦 = 𝛼 𝑥
𝑦 = 𝛼 𝑦
 
 
Logo, podemos ter: (i) y ≠ 0 e (ii) y = 0 
 
(i) y ≠ 0 
da segunda equação α = 1 
Logo, 2 𝑥 + 2 𝑦 = 𝑥  𝑦 = − 
1
2
 𝑥. 
Assim, para o autovalor α = 1, o autovetor é (𝑥, − 
1
2
 𝑥) com x ≠ 0 
 
(ii) y = 0 {
2 𝑥 + 2 𝑦 = 𝛼 𝑥
𝑦 = 𝛼 𝑦
 
 
{
2 𝑥 + 2 (0) = 𝛼 𝑥
0 = 𝛼 0
 
 
{
2 𝑥 = 𝛼 𝑥
0 = 0
 
 
{
2 = 𝛼 
0 = 0
 
Logo, então o x tem que ser diferente de zero, pois caso contrário o 
autovalor (x, y) seria o vetor nulo (0, 0), o que contraria a definição 
de autovetor. 
Assim, o autovetor associado ao autovalor 𝛼 = 2 é (x, 0), ou 
 x (1, 0) com x ≠ 0. 
Assim, para essa transformação temos: 
 os autovetores (𝑥, − 
1
2
 𝑥), com x ≠ 0 associado ao autovalor 1 
 os autovetores (𝑥, 0) , com x ≠ 0 associados ao autovalor 2. 
 
 
AUTOVALOR E AUTOVETOR DE UMA MATRIZ 
 
Seja o operador linear T: ℝ3⟶ℝ3, cuja matriz canônica é: 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] → 𝐴 = [𝑇𝐴] (em relação à base canônica) 
Logo, A é a transformação. 
Assim pela definição temos que T(�⃗�) = α �⃗�, no caso das matrizes a 
relação fica: A . �⃗� = α �⃗� 
Se �⃗� e α são respectivamente autovetor e autovalor do operador T 
temos: 
A . �⃗� = α �⃗� 
A . �⃗� – α �⃗� = 0 
Tendo em vista que �⃗� pode ser escrito como I.�⃗� (onde I é a matriz 
identidade), podemos escrever a equação acima como: 
A . �⃗� – α (I. �⃗�) = 0 
A . �⃗� – α I �⃗� = 0 
�⃗� (A – α I) = 0 
 
Lembrando que, para que o sistema admita soluções não nulas, 
�⃗� ≠ 0, então, (A – α I) = 0 
 
Como: 
�⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ≠ (0, 0, 0) 𝑒 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠: �⃗� = [
𝑥
𝑦
𝑧
] ≠ [
0
0
0
] 
Deve-se ter então: det (A - α I) = 0 
 
𝑑𝑒𝑡 ([
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] − 𝛼 [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]) = 0 
𝑑𝑒𝑡 ([
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] − [
𝛼 0 0
0 𝛼 0
0 0 𝛼
]) = 0 
𝑑𝑒𝑡 ([
𝑎11 − 𝛼 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 − 𝛼 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33 − 𝛼
] = 0 
 A equação det (A - α I) = 0 é denominada equação característica 
do operador T ou da matriz A, e suas raízes são os autovalores 
do operador T ou da matriz A. 
 O determinante det (A - α I) é um polinômio em α, denominado 
polinômio característico. 
 
PROPRIEDADES DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
i) Se �⃗� é autovetor associado ao autovalor α de um operador linear 
T, o vetor α �⃗�, para qualquer real α ≠ 0, é também autovetor de T 
associado ao mesmo α. 
T (�⃗�) = α �⃗� 
 
ii) Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, 
portanto, os mesmos autovalores. 
 
Definição: 
 Duas matrizes quadradas A e B são semelhantes se existe uma 
matriz inversível P, tal que B = P-1 AP. Um conjunto de autovetores obtidos quando α1 ≠ α2 constitui 
uma base. 
 P é a matriz formada por essa base. 
 
Teorema: 
 Duas matrizes quadradas A e B são semelhantes se, e somente 
se, possuem o mesmo determinante. 
 Matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores. 
 
Exercícios: 
1. Determine os autovalores e autovetores da matriz 𝐴 = [
4 5
2 1
] 
Resolução: 
a) A equação característica de A é: 
det (A - α I) = 0 
 
det [
4 5
2 1
] − [
𝛼 0
0 𝛼
] = 0 
 
det [
4 − 𝛼 5
2 1 − 𝛼
] = 0 
 
(4 – α) . (1 – α) – 5 . 2 = 0 
4 – 4 α – α + α2 – 10 = 0 
α2 – 5 α – 6 = 0 
Logo, (α +1) . (α – 6) = 0 
Logo, as raízes são: α1 = - 1 e α2 = 6 
Logo, as raízes são os autovalores da matriz A. 
 
b) Para determinarmos os autovetores fazemos: 
[(A - α I)] . �⃗� = 0 
Como queremos descobrir �⃗�, fazemos �⃗� = (x, y) 
 
 [
4 5
2 1
] − [
𝛼 0
0 𝛼
] . [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
 [
4 − 𝛼 5
2 1 − 𝛼
] . [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
Agora usamos os autovalores encontrados anteriormente: α1 = - 1 
e α2 = 6 
 
b1) Para α1 = - 1 
 
 [
4 − (−1) 5
2 1 − (−1)
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
[
5 5
2 2
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
{
5𝑥 + 5𝑦 = 0
2𝑥 + 2𝑦 = 0
 
 
Logo, y = - x portanto, o sistema admite infinitas soluções. 
Assim, v1 = (x, - x) 
v1=x(1,- 1) com x≠0 são autovetores associados ao autovalor α = - 1 
 
b2) Para α2 = 6 
 
 [
4 − (6) 5
2 1 − (6)
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
[
−2 5
2 −5
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
{
−2𝑥 + 5𝑦 = 0
2𝑥 − 5𝑦 = 0
 
 
Logo, 𝑦 =
2
5
 𝑥 portanto, o sistema admite infinitas soluções. 
Assim, v2 = (𝑥,
2
5
 𝑥 ) 
 v2 = x (1,
2
5
 ) com x ≠ 0 
ou um múltiplo: (5,2) são autovetores associados ao autovalor α = 6 
 
2. Determine os autovalores e autovetores da matriz 𝐴 = [
− 3 4
−1 2
] 
 
Resposta: 
Autovalor α1 = - 2 e autovetor (4 y, y) = y (4, 1) = (4, 1) com y ≠ 0 
Autovalor α2 = 1 e autovetor (y, y) = y (1, 1) = (1,1) com y ≠ 0 
 
Resolução: 
a) A equação característica de A é: 
det (A - α I) = 0 
 
det [
− 3 4
− 1 2
] − [
𝛼 0
0 𝛼
] = 0 
 
det [
−3 − 𝛼 4
−1 2 − 𝛼
] = 0 
 
(- 3 – α) . (2 – α) – 4 . (-1) = 0 
 
- 6 + 3 α – 2 α + α2 +4 = 0 
 
α2 + α – 2 = 0 
 
Logo, (α +1) . (α + 2) = 0 
Logo, as raízes são: α1 = - 2 e α2 = 1 
Logo, as raízes são os autovalores da matriz A. 
 
b) Para determinarmos os autovetores fazemos: 
(A - α I) . v = 0 
 
Como queremos descobrir v, fazemos v = (x, y) 
 
 [
− 3 4
−1 2
] − [
𝛼 0
0 𝛼
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
[
−3 − ( 𝛼) 4
−1 2 − (𝛼)
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
Agora usamos os autovalores encontrados anteriormente: 
α1 = - 2 e α2 = 1 
b1) Para α1 = - 2 
 
[
−3 − (−2) 4
−1 2 − (−2)
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
[
− 3 + 2 4
−1 2 + 2
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
[
−1 4
−1 4
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
{
−𝑥 + 4𝑦 = 0
−𝑥 + 4𝑦 = 0
 
Logo, x = 4y 
Assim, v1 = (4 y, y) = y (4, 1) = (4, 1) 
v1=(4, 1) com y ≠ 0 são autovetores associados ao autovalor α1 = - 2 
 
b2) Para α2 = 1 
 
[
− 3 − 1 4
− 1 2 − 1
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
[
−4 4
− 1 1
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
 
{
−4𝑥 + 4𝑦 = 0
−𝑥 + 𝑦 = 0
 
 
Logo, y = x 
Assim, v2 = (𝑦, 𝑦 ) 
 v2 = y (1, 1 ) 
v2 = (1, 1) com y ≠ 0 é um autovetor associado ao autovalor α = 1 
 
Exercícios: 
1. Ache os valores e os vetores próprios do operador T do ℝ2 dado 
por: 
a. T(𝑥, 𝑦) = (−𝑥, −𝑦) R: − 1 e qualquer vetor não nulo. 
b. T(1, 0) = ( 0, −1) e T(0, 1) = (1, 0) 
R: Não há valores próprios reais. 
2. Calcule o polinômio característico e os valores próprios das 
seguintes matrizes: 
a. [
2 0
1 1
] R: α2 – 3 α + 2 = 0 é o polinômio característico e os 
valores próprios são: α1 = 2 e α2 = 1. 
b. [
−1 −1
−3 1
] R: α2 – 4 = 0 é o polinômio característico e os 
valores próprios são: α1 = 2 e α2 = - 2. 
c. [
2 1
0 1
] R: α2 – 3 α +1 = 0 é o polinômio característico 
e os valores próprios são: α1 = 
3+√5
2
 e α2 = 
3−√5
2
 
d. [
−1 −3
−1 1
] R: α2 – 4 = 0 é o polinômio característico e os 
valores próprios são: α1 = 2 e α2 = - 2. 
 
e. [
1 2 3
0 1 2
0 0 1
] R: −𝛼3 + 3𝛼2 − 3𝛼 + 1 = 0 é o polinômio 
característico, para o autovalor α1 = 1 o autovetor é 𝑥 (1, 0, 0),
com 𝑥 ≠ 0 . 
 
f. [
1 2 1
0 2 3
0 0 4
] R: 𝛼3 + 7𝛼2 − 14𝛼 + 8 = 0 é o polinômio 
característico, para o autovalor α1 = 1 o autovetor é 𝑥 (1, 0, 0),
com 𝑥 ≠ 0, para α2 = 2 o autovetor é 𝑦 (2,1, 0), com y ≠ 0 e para 
α3 = 4 o autovetor é 𝑧 (8, 9, 6), com 𝑥 ≠ 0 . 
 
3. Encontre o polinômio característico das seguintes matrizes: 
a. [
4 2 0
−1 1 0
0 1 2
] 
R: – α3 + 7 α2 – 16 α + 12 = 0 é o polinômio característico. 
 
b. [
−1 −4 14
2 −7 14
2 −4 11
] 
 R: −𝛼3 + 3𝛼2 + 45𝛼 + 81 = 0 é o polinômio característico 
4. Mostre que 2 é autovalor de: [
3 −1 1
−1 5 1
1 −1 3
] 
Resolução das questões: 
1. Ache os valores e os vetores próprios do operador T do ℝ2 dado 
por: 
a. T(𝑥, 𝑦) = (−𝑥, −𝑦) 
Para encontrar os autovalores e autovetores de TA, devemos 
resolver a equação: TA (�⃗�) = α �⃗� 
 
Ou [
−𝑥
−𝑦] = α [
𝑥
𝑦] 
 
 [
−𝑥
−𝑦] = [
𝛼 𝑥
𝛼 𝑦] 
 
O que resulta no sistema: 
{
−𝑥 = 𝛼 𝑥 → 𝛼 = −1 
−𝑦 = 𝛼 𝑦 → 𝛼 = −1
 
 
Logo, para o autovalor 𝛼 = −1 o autovetor associado é qualquer 
vetor 𝑛ã𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜. 
 
b. T(1, 0) = ( 0, −1) e T(0, 1) = (1, 0) 
Primeiro temos que achar a transformação linear: 
Seja 𝑇(1, 0) = ( 0, −1) 𝑒 𝑇(0, 1) = (1, 0) encontre T (x, y). 
Resolução: 
(x, y) = 𝛼 (v1 ) + 𝛽 (v2 ) 
(x, y) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽 (0, 1) 
{
𝑥 = 𝛼
𝑦 = 𝛽 
 
F(u1) = (0, -1) 
F(u2) = (1, 0) 
 
 
Assim, T(x, y) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) 
T(x, y) = x . (0, -1) + y . (1, 0) 
T(x, y) = (0 , - x)+ (y, 0) 
T(x, y) = (y , - x) 
Para encontrar os autovalores e autovetores de TA, devemos 
resolver a equação: TA (�⃗�) = α �⃗� 
 
Ou [
𝑦
−𝑥
] = α [
𝑥
𝑦] 
 
 [
𝑦
−𝑥
] = [
𝛼 𝑥
𝛼 𝑦] 
 
O que resulta no sistema: 
{
𝑦 = 𝛼 𝑥 → 𝛼 =
𝑦
𝑥
 
−𝑥 = 𝛼 𝑦 → 𝛼 = −
𝑥
𝑦
 
R: Como 
y
x
 ≠ −
x
y
 , não há valores próprios reais. 
 
2. Calcule o polinômio característico e os valores próprios das 
seguintes matrizes: 
a. [
2 0
1 1
] 
Resolução: 
 A equação característica de A é: 
det (A - α I) = 0 
 
det [
2 0
1 1
] − [
𝛼 0
0 𝛼
] = 0 
 
det [
2 − 𝛼 0
1 1 − 𝛼
] = 0 
 
(2 – α) . (1 – α) – 0 . (1) = 0 
 
2 – 2 α – α + α2 = 0 
 
α2 – 3 α + 2 = 0 esse é o polinômio característico. 
 
 Encontrando as raízes da equação: 
 
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
= 
−(−3) ± √(−3)2 − 4(1)(2)
2(1)
=
3 ± √9 − 8
2
= 
3 ± √1
2
=
3 ± 1
2
 
 
𝛼′ = 2 𝑒 𝛼′′ = 1 
Assim, as raízes da equação são: α1 = 2 e α2 = 1 
Logo, as raízessão os autovalores da matriz A. 
 
α2 – 3 α + 2 = 0 é o polinômio característico e os valores próprios 
são: α1 = 2 e α2 = 1. 
 
b. [
−1 −1
−3 1
] 
Resolução: 
 A equação característica de A é: 
det (A - α I) = 0 
 
det [
−1 −1
−3 1
] − [
𝛼 0
0 𝛼
] = 0 
 
det [
−1 − 𝛼 −1 − 0
−3 − 0 1 − 𝛼
] = 0 
 
(-1 – α) . (1 – α) – (-1) . (-3) = 0 
 
- 1+ α – α + α2 - 3 = 0 
 
α2 – 4 = 0 esse é o polinômio característico. 
 
 Encontrando as raízes da equação: 
 
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
= 
−(0) ± √(0)2 − 4(1)(−4)
2(1)
=
±√16
2
= 
±4
2
 
 
𝛼′ = 2 𝑒 𝛼′′ = −2 
Assim, as raízes da equação são: α1 = 2 e α2 = - 2 
Logo, as raízes são os autovalores da matriz A. 
 
R: α2 – 4 = 0 é o polinômio característico e os valores próprios 
são: α1 = 2 e α2 = - 2. 
c. [
2 1
0 1
] 
Resolução: 
 A equação característica de A é: 
det (A - α I) = 0 
 
det [
2 1
0 1
] − [
𝛼 0
0 𝛼
] = 0 
 
det [
2 − 𝛼 1 − 0
0 − 0 1 − 𝛼
] = 0 
 
(2 – α) . (1 – α) – (1) = 0 
 
2 - 2α – α + α2 - 1 = 0 
 
α2 – 3 α +1 = 0 esse é o polinômio característico. 
 
 Encontrando as raízes da equação: 
 
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
= 
−(−3) ± √(−3)2 − 4(1)(1)
2(1)
=
3 ± √9 − 4
2
= 
3 ± √5
2
 
 
𝛼′ = 
3 + √5
2
 𝑒 𝛼′′ = 
3 − √5
2
 
Assim, as raízes da equação são: α1 = 
3+√5
2
 e α2 = 
3−√5
2
 
Logo, as raízes são os autovalores da matriz A. 
 
R: α2 – 3 α +1 = 0 é o polinômio característico e os valores 
próprios são: α1 = 
3+√5
2
 e α2 = 
3−√5
2
 
 
d. [
−1 −3
−1 1
] 
Resolução: 
 A equação característica de A é: 
det (A - α I) = 0 
 
det [
−1 −3
−1 1
] − [
𝛼 0
0 𝛼
] = 0 
 
det [
−1 − 𝛼 −3 − 0
−1 − 0 1 − 𝛼
] = 0 
 
(-1 – α) . (1 – α) – (-3) . (-1) = 0 
 
- 1+ α – α + α2 - 3 = 0 
 
α2 – 4 = 0 esse é o polinômio característico. 
 
 Encontrando as raízes da equação: 
 
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
= 
−(0) ± √(0)2 − 4(1)(−4)
2(1)
=
±√16
2
= 
±4
2
 
 
𝛼′ = 2 𝑒 𝛼′′ = −2 
Assim, as raízes da equação são: α1 = 2 e α2 = - 2 
Logo, as raízes são os autovalores da matriz A. 
 
R: α2 – 4 = 0 é o polinômio característico e os valores próprios 
são: α1 = 2 e α2 = - 2. 
 
e. [
1 2 3
0 1 2
0 0 1
] 
 
 A equação característica de A é: det (A - α I) = 0 
 
𝑑𝑒𝑡: [
1 − 𝛼 2 3
0 1 − 𝛼 2
0 0 1 − 𝛼
] = 0 
 
[
1 − 𝛼 2 3 | 1 − 𝛼 2
0 1 − 𝛼 2 | 0 1 − 𝛼
0 0 1 − 𝛼 | 0 0
] = 0 
 
(1 − 𝛼)(1 − 𝛼)(1 − 𝛼) = 0 
(1 − 𝛼 − 𝛼 + 𝛼2)(1 − 𝛼) = 0 
(1 − 𝛼 − 𝛼 + 𝛼2 − 𝛼 + 𝛼2 + 𝛼2 − 𝛼3) = 0 
−𝛼3 + 3𝛼2 − 3𝛼 + 1 = 0 
 
 Para o autovalor 𝛼 = 1 temos: 
[
1 − 𝛼 2 3
0 1 − 𝛼 2
0 0 1 − 𝛼
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
 
[
1 − 1 2 3
0 1 − 1 2
0 0 1 − 1
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
 
[
0 2 3
0 0 2
0 0 0
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
 
{
2𝑦 + 3𝑧 = 0
2𝑧 = 0
0 = 0
 → {
𝑦 = 0
𝑧 = 0
0 = 0
 
 
Como, 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 = 0, temos que ter que 𝑥 ≠ 0, logo: 
 
Com 𝑥 ≠ 0 temos o autovetor: (𝑥, 0, 0) = 𝑥 (1, 0, 0) 
 
R: −𝛼3 + 3𝛼2 − 3𝛼 + 1 = 0 é o polinômio característico, para o 
autovalor α1 = 1 o autovetor é 𝑥 (1, 0, 0), com 𝑥 ≠ 0 . (Boldrini, 
p. 195) 
 
 
f. [
1 2 1
0 2 3
0 0 4
] 
 
 A equação característica de A é: det (A - α I) = 0 
 
𝑑𝑒𝑡: [
1 − 𝛼 2 1
0 2 − 𝛼 3
0 0 4 − 𝛼
] = 0 
 
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 é 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 
 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙. 
 
(1 − 𝛼)(2 − 𝛼)(4 − 𝛼) = 0 
(2 − 𝛼 − 2𝛼 + 𝛼2)(4 − 𝛼) = 0 
(2 − 3𝛼 + 𝛼2)(4 − 𝛼) = 0 
(8 − 12𝛼 + 4𝛼2 − 2𝛼 + 3𝛼2 − 𝛼3) = 0 
𝛼3 + 7𝛼2 − 14𝛼 + 8 = 0 
 Autovalores: 𝛼1 = 1 , 𝛼2 = 2 𝑒 𝛼3 = 4 
 Para o autovalor 𝛼1 = 1 temos: 
[
1 − 𝛼 2 1
0 2 − 𝛼 3
0 0 4 − 𝛼
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
 
[
1 − 1 2 1
0 2 − 1 3
0 0 4 − 1
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
 
[
0 2 1
0 1 3
0 0 3
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
 
{
2𝑦 + 𝑧 = 0
𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑧 = 0
 → {
0 = 0
𝑦 = 0
𝑧 = 0
 
 
(𝑥, 0, 0) = 𝑥 (1, 0, 0) 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 0 
 
 Para o autovalor 𝛼2 = 2 temos: 
[
1 − 𝛼 2 1
0 2 − 𝛼 3
0 0 4 − 𝛼
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
 
[
1 − 2 2 1
0 2 − 2 3
0 0 4 − 2
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
 
[
−1 2 1
0 0 3
0 0 2
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
 
{
−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
3𝑧 = 0
2𝑧 = 0
 → {
−𝑥 = −2𝑦
𝑧 = 0
𝑧 = 0
 → {
𝑥 = 2𝑦
𝑧 = 0
𝑧 = 0
 
 
(2𝑦, 𝑦, 0) = 𝑦 (2, 1, 0) 𝑐𝑜𝑚 𝑦 ≠ 0 
 
 
 Para o autovalor 𝛼3 = 4 temos: 
 
[
1 − 𝛼 2 1
0 2 − 𝛼 3
0 0 4 − 𝛼
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
 
[
1 − 4 2 1
0 2 − 4 3
0 0 4 − 4
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
 
[
−3 2 1
0 −2 3
0 0 0
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] 
 
{
−3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
−2𝑦 + 3𝑧 = 0
0 = 0
 → {
−3𝑥 = −2𝑦 − 𝑧
𝑦 = 
−3𝑧
−2
→ {
−3𝑥 = −2 (
3𝑧
2
) − 𝑧
𝑦 = 
3𝑧
2
 
{
−3𝑥 = −3𝑧 − 𝑧
𝑦 = 
3𝑧
2
 → {
−3𝑥 = −4𝑧
𝑦 = 
3𝑧
2
 → {
𝑥 = 
−4𝑧
−3
𝑦 = 
3𝑧
2
→ {
𝑥 = 
4𝑧
3
𝑦 = 
3𝑧
2
 
 
(
4𝑧
3
,
3𝑧
2
, 𝑧) = 𝑧 (
4
3
,
3
2
, 1) 𝑐𝑜𝑚 𝑧 ≠ 0 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 6 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 
 
6 (
4
3
,
3
2
, 1) = (8, 9,6) 𝑐𝑜𝑚 𝑧 ≠ 0 
 
R: 𝛼3 + 7𝛼2 − 14𝛼 + 8 = 0 é o polinômio característico, para o 
autovalor α1 = 1 o autovetor é 𝑥 (1, 0, 0), com 𝑥 ≠ 0, para α2 = 2 
o autovetor é 𝑦 (2,1, 0), com y ≠ 0 e para α3 = 4 o autovetor é 
𝑧 (8, 9, 6), com 𝑥 ≠ 0 . 
 
3. Encontre o polinômio característico das seguintes matrizes: 
a. [
4 2 0
−1 1 0
0 1 2
] 
 
 A equação característica de A é: det (A - α I) = 0 
 
𝑑𝑒𝑡: [
4 − 𝛼 2 0
−1 1 − 𝛼 0
0 1 2 − 𝛼
] = 0 
 
[
4 − 𝛼 2 0 | 4 − 𝛼 2
−1 1 − 𝛼 0 | −1 1 − 𝛼
0 1 2 − 𝛼 | 0 1
] = 0 
 
(4 − 𝛼)(1 − 𝛼)(2 − 𝛼) + 2 (2 − 𝛼) = 0 
 
−𝛼3 + 7𝛼2 − 16 𝛼 + 12 = 0 
 
R: – α3 + 7 α2 – 16 α + 12 = 0 é o polinômio característico 
(Boldrini, p. 185) 
 
b. [
−1 −4 14
2 −7 14
2 −4 11
] 
 
 A equação característica de A é: det (A - α I) = 0 
 
𝑑𝑒𝑡: [
−1 − 𝛼 −4 14
2 −7 − 𝛼 14
2 −4 11 − 𝛼
] = 0 
 
[
−1 − 𝛼 −4 14 | −1 − 𝛼 −4
2 −7 − 𝛼 14 | 2 −7 − 𝛼
2 −4 11 − 𝛼 | 2 −4
] = 0 
 
(−1 − 𝛼)(−7 − 𝛼)(11 − 𝛼) − 112 − 112 − 28(−7 − 𝛼) + 56(−1 − 𝛼) + 8(11 − 𝛼) = 0 
(−1 − 𝛼)(−7 − 𝛼)(11 − 𝛼) − 224 + 196 + 28𝛼 − 56 − 56𝛼 + 88 − 8𝛼 = 0 
(+7 + 𝛼 + 7𝛼 + 𝛼2)(11 − 𝛼) − 224 + 196 + 28𝛼 − 56 − 56𝛼 + 88 − 8𝛼 = 0 
(7 + 8𝛼 + 𝛼2)(11 − 𝛼) − 224 + 196 + 28𝛼 − 56 − 56𝛼 + 88 − 8𝛼 = 0 
+77 + 88𝛼 + 11𝛼2 − 7𝛼 − 8𝛼2 − 𝛼3 − 224 + 196 + 28𝛼 − 56 − 56𝛼 + 88 − 8𝛼 = 0 
−𝛼3 + 11𝛼2 − 8𝛼2 + 28𝛼 + 88𝛼 − 56𝛼 − 8𝛼 − 7𝛼 − 56 + 88 − 224 + 196 + 77 = 0 
−𝛼3 + 3𝛼2 + 45𝛼 + 81 = 0 
 
R: −𝛼3 + 3𝛼2 + 45𝛼 + 81 = 0 é o polinômio característico 
(Boldrini, p. 195) 
4. Mostre que 2 é autovalor de: [
3 −1 1
−1 5 1
1 −1 3
] 
Da equação característicatemos: 
det( [
3 −1 1
−1 5 1
1 −1 3
] − 𝛼𝐼) = 0 
[
3 − 𝛼 −1 1
−1 5 − 𝛼 1
1 −1 3 − 𝛼
] = 0 
Para 𝛼 = 2 temos: 
[
3 − 2 −1 1
−1 5 − 2 1
1 −1 3 − 2
] = 0 
[
1 −1 1
−1 3 1
1 −1 1
] = 0 
[
1 −1 1 | 1 −1
−1 3 1 | −1 3
1 −1 1 | 1 −1
] = 0 
3 − 1 + 1 − 3 + 1 − 1 = 0 
Logo, 2 é autovalor de [
3 −1 1
−1 5 1
1 −1 3
] . 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. 
 
BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – 
UTFPR. 
 
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 
 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. 
 
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: 
Prentice-Hall, 1998. 
 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. 
 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de 
Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. 
 
VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba. 1949. 
 
AUTOVETORES E AUTOVALOES. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=esWX5oYm_rA> Acesso em: 20 nov./ 2016.