3a Lista de Cálculo II

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Universidade do Estado do Amazonas 
Escola Superior de Tecnologia 
3
a
 Lista de Exercícios de Cálculo 2 
Engenharia Ciclo Básico-2017.2 
 
1. Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 + 𝑦 − 1): 
a) Calcule 𝑓(1, 1); 
b) Calcule 𝑓(𝑒, 1); 
c) Determine e esboce o domínio de 𝑓; 
d) Determine a imagem de 𝑓. 
2. Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 𝑒3𝑥𝑦: 
a) Calcule 𝑓(2, 0); 
b) Determine o domínio de 𝑓; 
c) Determine a imagem de 𝑓. 
3. Determine e esboce o domínio da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = √1 + 𝑥 − 𝑦2. Qual é a imagem de 𝑓? 
4. Determine e faça o esboço do domínio da função: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(9 − 𝑥2 − 9𝑦2) 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦 − 𝑥 ln(𝑦 + 𝑥) 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
√𝑦−𝑥2
1−𝑥2
 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 
g) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(16 − 4𝑥2 − 4𝑦2 − 𝑧2) 
5. Uma placa fina de metal, localizada no plano 𝑥𝑦, tem temperatura 𝑇(𝑥, 𝑦) no ponto 
(𝑥, 𝑦). As curvas de nível de 𝑇 são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma 
isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função 
temperatura for dada por 𝑇(𝑥, 𝑦) = 100/(1 + 𝑥2 + 2𝑦2). 
6. Se 𝑉(𝑥, 𝑦) é potencial elétrico de um ponto (𝑥, 𝑦) do plano 𝑥𝑦, as curvas de nível de 𝑉 
são chamadas curvas equipotenciais, porque nelas todos os pontos têm o mesmo 
potencial elétrico. Esboce algumas curvas equipotenciais de 
𝑉(𝑥, 𝑦) = 𝑐/√𝑟2 − 𝑥2 − 2𝑦2, onde 𝑐 é uma constante positiva. 
7. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: 
a) lim(𝑥,𝑦)→(6,3) 𝑥𝑦 cos(𝑥 − 2𝑦) g) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
√𝑥2+𝑦2
 
b) lim(𝑥,𝑦)→(2,1)
4−𝑥𝑦
𝑥2+3𝑦2
 h) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4−𝑦4
𝑥2+𝑦2
 
c) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑦4
𝑥4+3𝑦4
 i) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2𝑦 𝑒𝑦
𝑥4+4𝑦2
 
d) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2+sen2 𝑦
2𝑥2+𝑦2
 j) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2 sen2 𝑦
𝑥2+2𝑦2
 
e) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦 cos𝑦
3𝑥2+𝑦2
 k) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦4
𝑥2+𝑦8
 
f) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
6𝑥3𝑦
2𝑥4+𝑦4
 l) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2
𝑥2+𝑦2
sin (
𝑥𝑦
√𝑥2+𝑦2
) 
8. Mostre que os limites seguintes não existem: 
a) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
 
b) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
2𝑥
√𝑥2+𝑦2
 
c) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥−𝑦
2𝑥+𝑦
 
d) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2
 
e) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑦4+3𝑥2𝑦2+2𝑦𝑥3
(𝑦2+𝑥2)2
 
9. Verifique se os seguintes limites existem: 
a) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
2𝑦
𝑥+𝑦
 
b) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
−𝑥2𝑦
2𝑥2+2𝑦2
 
c) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥3+𝑦2
 
d) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3(1−cos(𝑥2+𝑦2) )
(𝑥2+𝑦2)3
 
10. Calcule os seguintes limites: 
a) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦√𝑥+𝑦
𝑥2+𝑦2
 
b) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2√𝑦
√𝑥2+𝑦2
 
c) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)(𝑥
2 + 𝑦2) ln(𝑥2 + 𝑦2) 
d) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
√𝑥+3−√3
𝑥𝑦+𝑥
 
e) lim(𝑥,𝑦)→(−1,2)(𝑥
3𝑦3 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦) 
f) lim(𝑥,𝑦)→(0,0) cos [
𝑥3
𝑥2+𝑦2
] 
g) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦2
𝑥2+𝑦2
 
h) lim
(𝑥,𝑦)→(𝜋,
𝜋
2
)
sin(𝑥+𝑦)
𝑥
 
11. Se a desigualdade 1 −
𝑥2𝑦2
3
<
𝑎𝑟𝑐 tg𝑥𝑦
𝑥𝑦
< 1 é satisfeita, o que podemos afirmar do limite 
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑎𝑟𝑐 tg 𝑥𝑦
𝑥𝑦
? 
12. Determine o maior conjunto no qual a função é contínua: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥2−𝑦
 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥−𝑦
1+𝑥2+𝑦2
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥2𝑦3
2𝑥2+𝑦2
 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0, 0)
1 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0, 0)
 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥𝑦
𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2
 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0, 0)
0 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0, 0)
 
13. Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥 sin
1
𝑦
, 𝑦 ≠ 0
0, 𝑦 = 0
, 𝑃(0, 0) 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥3−3𝑥𝑦2+2
2𝑥𝑦2−1
, 𝑃(1, 2) 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
3𝑥 − 2𝑦, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0, 0)
1, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0, 0)
, em 𝑃(0, 0) 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑦2+2𝑥
𝑦2−2𝑥
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0, 0)
0, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0, 0)
, em 𝑃(0, 0) 
14. Verifique se existe um valor para 𝐿 de modo que a função dada seja contínua: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
sen(𝑥2+𝑦2)
𝑥2+𝑦2
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0, 0)
𝐿, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0, 0)
 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥𝑦
𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0, 0)
𝐿, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0, 0)
 
15. Determine os pontos de continuidade da seguinte função: 
𝑓(𝑥, 𝑦) =
{
 
 
 
 (𝑥
2 − 𝑦2)(𝑥 − 1)2
(𝑥2 + 𝑦2)[(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2]
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0, 0)e (𝑥, 𝑦) ≠ (1, 1)
1, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0, 0)
0, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (1, 1)
 
16. Escreva o conjunto em que a função dada é contínua: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (
𝑥+𝑦
𝑥2−𝑦2
) 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 sin𝑦 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2+2𝑥𝑦3
√𝑥2−𝑦2−1
 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥𝑧+2𝑦𝑧−𝑥2
√𝑧+𝑥2+𝑦2−3