Aula 10 Estimação do Modelo VAR

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ECONOMETRIA DE 
SÉRIES TEMPORAIS 
 
AULA 10 – ESTIMAÇÃO DO MODELO VAR 
Prof. Ricardo Chaves Lima 
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O Modelo VAR 
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Estimação 
•  Onde, 
ü  xt = um vetor nx1 contendo as variáveis do modelo VAR; 
ü  A0 = um vetor nx1 de interceptos; 
ü  Ai = uma matriz nxn de coeficientes; 
ü  et = um vetor nx1 contendo os termos de erro. 
!! = !! + !!!!!! + !!!!!! +⋯+ !!!!!! + !! !•  Seja o modelo: 
•  O método de Sims’s implica na determinação das 
variáveis que devem entrar modelo, bem como na 
determinação da estrutura de defasagem das variáveis; 
O Modelo VAR 
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Estimação 
•  A matriz A0 tem n parâmetros e a matriz Ai tem n2. Portanto, o 
modelo como um todo tem n +pn2 parâmetros as serem 
estimados; 
•  O modelo VAR estimado é do tipo “superparametrizado”. 
Portanto, muitos dos coeficientes do modelo serão não 
significantes estatisticamente; 
•  No entanto, o objetivo do modelo VAR é achar os co-
movimentos entre as variáveis, e não a previsão de curto 
prazo; 
•  Da mesma forma, os regressores devem ser altamente 
colineares por causa da estrutura de defasagem das 
variáveis. Assim, o teste t de student para os parâmetros não 
são fundamentais na interpretação dos resultados do modelo; 
O Modelo VAR 
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Estimação 
•  O sistema VAR reduzido tem somente variáveis pré-
determinadas do lado direito das equações; 
•  Assume-se, portanto, que os termos de erro não são 
correlacionados serialmente e tem variância constante; 
•  Portanto, cada equação do sistema pode ser estimada 
individualmente usando Mínimos Quadrados Ordinários 
(MQO); 
•  Os estimadores de MQO são consistentes e assintoticamente 
eficientes; 
•  Apesar dos erros serem correlacionados através das 
equações, Seemingly Unrelated Regression - SUR (equações 
aparentemente não relacionadas) não adiciona eficiência aos 
estimadores porque o lado direito da equação tem variáveis 
idênticas; 
O Modelo VAR 
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1.  Consistência: se a distribuição 
assintótica de se tornar 
concentrada em torno de um valor 
particular k, a medida em que o 
tamanho de amostra se aproxima do 
infinito, k é dito ser a probabilidade 
limite de , e é escrita plim = k . Se 
plim = β, então diz-se que é 
consistente; 
 
2.  Eficiência Assintótica: a variância da 
distribuição assintótica de é 
chamada variância assintótica. Se 
é consistente e sua variância 
assintótica é a menor entre todos os 
estimadores, diz-se que é 
assintoticamente eficiente; 
!!
!! !!!! !!
!! !!
!!
Box 1: Consistência e Eficiência assintótica 
Kennedy, P (2003) 
O Modelo VAR 
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•  Existe o debate se as variáveis no VAR precisam ser 
estacionárias; 
•  Sims recomenta não diferenciar as variáveis, mesmo que 
algumas tenham raiz unitária; 
•  O argumento é que o objetivo do modelo VAR é determinar 
co-movimentos entre variáveis, e não estimar os parâmetros; 
•  De forma similar, não é recomendável tirar a tendência 
determinística dos dados (detrending). Pode-se modelar o 
VAR com tendência; ou seja, usando-se uma variável 
determinística de tempo (t); 
Estimação 
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•  Considere novamente o modelo VAR de ordem um na forma 
primitiva: 
Identificação 
yt = b10 − b12zt +γ11yt−1 +γ12zt−1 +εyt
zt = b20 − b21yt +γ21yt−1 +γ22zt−1 +εzt
•  O modelo acima não pode ser estimado diretamente porque 
a variável zt é correlacionada com com o termo de erro εyt, e a 
variável yt é correlacionado com o termo de erro εzt. Os 
métodos de estimação comumente utilizados exigem que os 
regressores sejam não correlacionados com o termo de erro; 
•  O modelo na forma reduzida, no entanto, não apresenta esse 
problema: 
yt = a10 + a11yt−1 + a12zt−1 + e1t
zt = a20 + a20yt−1 + a22zt−1 + e2t
O Modelo VAR 
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•  No modelo reduzido todas as variáveis do lado direito da 
equação são pré-determinadas e, portanto, não 
correlacionadas com o termo de erro; 
•  Pergunta: é possível identificar o sistema primitivo a partir 
dos coeficientes do sistema reduzido? A resposta é não; 
•  No sistema reduzido em nosso exemplo estimamos seis 
parâmetros de regressores (a10, a20, a11, a12, a21, e a22), duas 
variâncias [var(e1t) e var(e2t)] e uma covariância [cov(e1t, e2t)]. 
Portanto, nove parâmetros ao todo; 
•  No sistema primitivo temos dois interceptos (b10 e b20), quatro 
coeficientes autoregressivos (γ11, γ12, γ21, γ22), dois coeficientes 
de efeito contemporâneo (b12 e b21) e dois desvios padrões (σy 
σz). Portanto, dez no total (note que a covariância entre εy e εz 
é zero porque esses erros são não correlacionados; 
Identificação 
O Modelo VAR 
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•  Uma forma de identificar o modelo, de maneira a obter 
números iguais de parâmetros nos modelos reduzido e 
primitivo, é restringir a zero um parâmetro do modelo 
primitivo; 
•  Se restringirmos, por exemplo, b21 igual a zero temos: 
Identificação 
yt = b10 − b12zt +γ11yt−1 +γ12zt−1 +εyt ! !
zt = b20 +γ21yt−1 +γ22zt−1 +εzt ! !
•  Lembrando que as relações entre os choques puros e os 
resíduos da regressão são dadas por: 
e1t = (εyt − b12εzt ) / (1− b21b12 )
e2t = (εzt − b21εyt ) / (1− b21b12 )
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•  Com b21 = 0, temos: 
•  A nova matriz inversa de efeitos contemporâneos será: 
•  O sistema primitivo em forma de matricial será: 
Identificação 
e1t = εyt − b12εzt
e2t = εzt
!!! = 1 −!!"0 1 !
!!!! = 1 −!!"0 1 !!"!!" + 1 −!!"0 1 !!! !!"!!" !!! !!!!!!!! + 1 −!!"0 1 !!"!!" !
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•  Multiplicando, temos: 
•  Comparando com o reduzido: 
 
•  Temos: 
Identificação 
!!!! = !!" − !!"!!"!!" + !!! − !!"!!" !!" − !!"!!!!!" !!! !!!!!!!! + !!" − !!"!!"!!" !
yt
zt
!
"
#
#
$
%
&
&
=
a10
a20
!
"
#
#
$
%
&
&
+
a11 a12
a21 a22
!
"
#
#
$
%
&
&
yt−1
zt−1
!
"
#
#
$
%
&
&
+
e1t
e2t
!
"
#
#
$
%
&
&
a10 = b10 – b12b20 
a11 = γ11 – b12b21 
a12 = γ12 – b12b22 
a20 = b20 
a20 = γ21 
 a22 = γ22 
 
Var(e1t ) = σy2 + b122σz2 
Var(e2t ) = σz2 
Cov(e1t , e2t) = -b12σz2 
 
 
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•  Os estimadores das sequências εyt e εzt podem ser 
recuperados a partir das igualdades: 
•  Note que, quando restringimos b21 = 0 assumimos que yt 
não exerce efeito contemporâneo em zt; 
•  Assim, ambos os choques εyt e εzt afetam contemporaneamente 
yt via e1t , mas apenas o choque εzt afeta zt; 
•  Ou seja, os valores observados de e2t são completamente 
atribuídos a puros choques na sequência zt; 
•  Essa decomposição triangular (b21 = 0) é denominada 
“Decomposição de Choleski” (em homenagem ao matemático 
francês André-Louis Cholesky); 
Identificação 
e1t = εyt − b12εzt
e2t = εzt
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•  Na decomposição triangular de Choleski, para uma matriz de 
efeitos contemporâneos B n×n, existem n resíduos de 
regressão e n choques estruturais; 
•  A decomposição triangular requer um mínimo de (n2-n)/2 
restrições. Ou seja, todos os coeficientes abaixo da diagonal 
principal na matriz de efeitos contemporâneos; 
Identificação