Capítulo 5 Transformada de Laplace Parte B

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Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
138 
 
CAPÍTULO V – TRANSFORMADA DE LAPLACE 
PARTE B 
Sumário 
 O degrau unitário 
 Propriedades de deslocamento nas variáveis e 
 Transformada da integral de 
 
1 – Função Degrau Unitário 
Esta função permite a descrição do comportamento de fontes externas de 
circuitos, ou fontes de propulsão de sistemas mecânicos que são 
repentinamente ligadas ou desligadas, afetando de forma abrupta a resposta 
dos respectivos sistemas onde atuam. 
Tal descrição é feita através de funções , contínuas por intervalos, como o 
esboço de gráfico da figura 1. 
 
Fig.1 – A função é contínua por intervalos 
 Nosso objetivo é aprender que, com o auxílio do degrau unitário, uma função 
 como a que mostramos na figura 1, pode ser escrita com uma sentença 
única, que exibe todo o comportamento ao longo do tempo de um dispositivo, 
como as fontes mencionadas acima. 
 
a) Notação e definição: 
Seja a função degrau unitário, definida como: 
 
 
 
 
Veja o gráfico de na figura 2: informalmente, dizemos que o salto ou 
degrau de altura 1 ocorre no instante em que passamos a ter . 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
139 
 
É usual a utilização da notação alternativa em textos de cálculo: 
 
 
 
 
Aqui o índice (zero) sob a letra indica, como dissemos acima, que o 
instante é a fronteira entre os dois comportamentos (valores) do degrau 
unitário. 
 
Fig.2: 
 
 
 
Vamos realizar agora seis operações sobre esta função ou sobre este sinal 
 , que são usualmente feitas em engenharia tanto sobre o degrau unitário, 
quanto em outros sinais e são genericamente denominadas transformações 
de sinais. 
b) Transformações de sinais 
1ª) Inversão temporal 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
Observe a inversão das desigualdades na definição de , em razão da 
multiplicação das mesmas por . 
Confira a representação gráfica desta operação na figura 3. 
O instante é a fronteira entre os dois comportamentos do sinal 
 
Fig. 3: 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
140 
 
Generalizando, a inversão temporal sobre um sinal qualquer 
corresponde a obter . 
 
2ª) Deslocamento no tempo: 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
A representação gráfica correspondente é exibida na figura 4 ( 
 
Fig.4 – A função degrau unitário 
 
 
 
Observe que o instante é a nova fronteira da mudança de comportamento 
do sinal, cujos valores passam de zero para um. 
Podemos ter também deslocamento para a esquerda e, neste caso 
escrevemos: 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
Agora o degrau unitário passa de zero para um ao atravessar 
 , como mostra o gráfico da figura 5. 
 
Fig.5 – A função degrau unitário 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
141 
 
Generalizando, o deslocamento no tempo sobre um sinal qualquer 
corresponde a obter . 
 
3ª) Mudança de escala no tempo 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
O efeito da constante é comprimir ou dilatar a escala de tempo do sinal, se 
 ou respectivamente. 
Vamos perceber esse efeito nos exemplos abaixo: 
Exemplo 1: 
Construa o esboço do gráfico do sinal 
Vemos que e . 
Observando a definição dada 
 
 
 , teremos: 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
O esboço do gráfico na figura 6 mostra que o degrau de altura 1 se adiantou, 
surgindo no intervalo e não em . 
Isso significa que o fator em comprimiu a escala de 
tempo do sinal, em relação ao comportamento de 
 
Fig.6: Comparação entre 
 
 e 
Exemplo 2: 
Construa o esboço do gráfico do sinal 
Vemos que e . 
Aplicando novamente a definição, obtemos: 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
142 
 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
O esboço do gráfico na figura 7 mostra que o degrau de altura 1 se atrasou, 
surgindo no intervalo e não em . 
Isso significa que o fator em dilatou a escala de 
tempo do sinal, em relação ao comportamento de 
 
Fig. 7: Comparação entre e 
Generalizando, a mudança de escala de tempo sobre um sinal qualquer 
 corresponde a obter . 
 
4ª) Inversão de amplitude 
 
 
 
 
A representação gráfica deste sinal é exibida na figura 8. 
 
Fig. 8: 
 
 
 
Generalizando, a inversão de amplitude sobre um sinal qualquer 
corresponde a obter , isto é, inverter o sinal de 
 
5ª) Deslocamento de amplitude 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
Mostramos a representação gráfica deste sinal na figura 9. 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
143 
 
 
Fig. 9: 
 
 
 
Generalizando, o deslocamento de amplitude sobre um sinal qualquer 
corresponde a obter , isto é, adicionar a constante A aos valores 
do sinal de 
 
6ª) Mudança de escala na amplitude 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
A figura 10 apresenta a representação gráfica deste sinal. 
 
 
 
Fig. 10: 
 
 
 
Generalizando, a mudança de escala na amplitude sobre um sinal 
qualquer corresponde a obter , isto é, multiplicar os valores do 
sinal por . 
As operações apresentadas acima podem ser realizadas também sobre outros 
sinais, como veremos no exemplo 3. 
Exemplo 3: 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
144 
 
Considere o sinal 
 
 
 , cujo gráfico é apresentado na 
figura 11. 
 
Fig.11 – O sinal do exemplo 9 
Realizaremos sobre este sinal algumas das operações estudadas e faremos os 
respectivos gráficos nas figuras 12 a 15. 
 
Inversão temporal 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
⇒ 
 
 
 
Veja a representação gráfica do sinal na figura 12. 
 
 
Fig. 12 – A inversão no tempo sobre o sinal 
 
Deslocamento no tempo: 
 
 
 
 , ⇒ 
 
 
 , 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
145 
 
⇒ 
 
 
 . 
A figura 13 mostra a representação gráfica de . 
 
Fig. 13 – O deslocamento (adiantamento) de 1(uma) unidade de tempo sobre 
 
 
Mudança de escala no tempo 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
⇒ 
 
 
 
Conferimos o efeito da dilatação da escala de tempo do sinal na figura 14. 
 
Fig. 14 – A dilatação da escala de tempo sobre o sinal .Inversão de amplitude 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
⇒ 
 
 
 
A representação gráfica deste sinal é mostrada na figura 15. 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
146 
 
 
Fig. 15 – A inversão de amplitude do sinal 
As seis transformações sobre sinais que acabamos de estudar, encontram-se 
listadas no final da síntese do capítulo (itens nº 22 a 27). 
c) O degrau unitário na descrição de funções contínuas por intervalos 
Agora vamos aprender a usar o degrau unitário para descrevermos outras 
funções contínuas por intervalos. 
Escreveremos as funções mostradas nos exemplos 4, 5 e 6, com auxílio 
do degrau unitário, com uma única sentença. 
Exemplo 4: 
Considere o sinal e sua representação gráfica na figura 16. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 16 – Gráfico do exemplo 4 
 
Não nos interessa escrever a função acima por intervalos, como fizemos 
acima. 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
147 
 
Observando o gráfico de para , vemos que a função é identicamente 
nula no intervalo e assume o valor 1no intervalo . 
Isso sugere que comecemos a escrevê-la como: 
 
Entretanto, no intervalo , o que claramente não ocorre com o 
gráfico. 
Observamos que o degrau unitário introduzido em desapareceu no 
intervalo . 
Desta forma, devemos subtrair o degrau unitário no intervalo , através 
de 
Teremos então: 
 
Verifique na figura 17 que a sentença acima, de fato, conduz a , através do 
valor da diferença , calculada ponto a ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.17 – A operação realizada ponto a ponto reproduz o gráfico de 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
148 
 
Exemplo 5: 
Considere o sinal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e seu respectivo gráfico na 
figura 18. 
 
Fig.18 – Gráfico do exemplo 5 
Temos aqui quatro funções constantes, presentes em diferentes intervalos. 
Percorrendo o gráfico de para , devemos introduzir e eliminar uma 
função existente em um intervalo, com auxílio do degrau unitário. 
Só depois disso, repetiremos o procedimento com a função subsequente, 
situada à direita da anterior, e assim por diante. 
 A função constante existe no intervalo , isto é: 
 
Utilizando o mesmo procedimento, teremos: 
 A função constante existe no intervalo , logo: 
 
 A função constante existe no intervalo , logo: 
 
 A função constante existe no intervalo : 
 
Teremos então: 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
149 
 
 
 
Reduzindo os termos semelhantes, isto é, agrupando as parcelas que 
compartilham o mesmo degrau unitário, obtemos: 
 
Exemplo 6: 
Escreva o sinal 
 
 
 
 
 usando o degrau unitário. 
 
Fig.19 – Gráfico do exemplo 6 
Sabemos que , mas devemos obter as equações de e 
A reta possui coeficiente angular 
 
 
 e coeficiente linear . 
Logo, . 
 A reta passa pelos pontos e : 
 
 
 
 ⇒ 
Substituindo o ponto , obtemos: ⇒ . 
Logo, . 
Utilizando o mesmo procedimento do exemplo 11, teremos: 
 
 Reduzindo os termos semelhantes, obtemos: 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
150 
 
Exemplo 7: 
Construa o esboço do gráfico da função 
 
A função corresponde à parábola mostrada no primeiro gráfico da 
figura 20, com vértice na origem e concavidade para cima. 
Colocamos com traço cheio apenas a região do gráfico situada no intervalo 
 , utilizado na transformada de Laplace. 
O degrau unitário obedece à definição: 
 
 
 
 
O produto é identicamente nulo no intervalo , devido ao valor de 
 neste intervalo. 
Sendo assim, a função só assume os valores da parábola 
 a partir de pois se , por definição. 
 
O degrau unitário “cortou” 
 , para todo , permitindo a 
existência desta função apenas no intervalo . 
 
Fig.20 – A função é obtida através do produto ponto a ponto 
entre as funções e 
 
 
 . 
Exemplo 8: 
Construa o esboço do gráfico do sinal 
 
A função é mostrada no primeiro gráfico, à esquerda, na figura 21. 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
151 
 
A diferença 
 
 
 por sua vez, 
multiplica por 0 ou 1, de acordo com a definição aqui expressa. 
Sendo assim, a função assume os valores do 
 apenas no intervalo , como mostra o terceiro gráfico da 
figura 21. 
 
 
Fig. 21 – A função é o produto, ponto a ponto entre 
as funções e 
 
 
 
Exemplo 9: 
Um sinal é dado por: 
 
Escreva por intervalos e faça o esboço do gráfico. 
Temos a presença do degrau unitário em quatro pontos distintos nesta 
função. 
São eles: e 
Vimos que o degrau unitário indica a entrada ou retirada abrupta de uma fonte 
externa, que atua sobre um sistema ou dispositivo. 
Sendo assim, cada um dos pontos indicados acima são pontos nos quais 
ocorrem mudanças de comportamento da função . 
Confira o que acabamos de dizer, nos resultados dos exemplos 4 a 8 acima. 
Por este motivo, os pontos ou instantes e 
delimitam os intervalos para estudarmos a função. 
Analisaremos então os seguintes intervalos: 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
152 
 
 
 
 
Substituiremos o valor ( 0 ou 1) de cada degrau unitário , de acordo com 
seu valor de (de acordo com a definição) e observando os respectivos 
intervalos. 
Lembre-se que 
 
 
 e, se necessário, confira o gráfico de 
na figura 4. 
Tabela dos valores de 
 
 
 
 
f(t) = (t - 3)0+2(6 - t)0+2(t-12)0+(15 - t)0 
 
 
f(t) = (t – 3)1 + 2(6 - t)0+2(t-12)0+(15 - t)0 
 
 
f(t) = (t – 3)1 + 2(6 - t)1 + 2(t-12)0+(15 - t)0 
 
 
f(t) = (t – 3)1 + 2(6 - t)1 + 2(t-12)1 + (15 - t)0 
 
 
f(t) = (t – 3)1 + 2(6 - t)1 + 2(t-12)1 + (15 - t)1 
 
O gráfico de encontra-se na figura 22 e o resultado obtido na tabela pode 
ser escrito como: 
 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
153 
 
 
Fig. 22 – Gráfico da função 
 
 
d) Transformadade Laplace do degrau unitário 
Tomando a definição da transformada de Laplace e lembrando que 
 
 
 
 , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10: 
Obtenha a transformada da função obtida no exemplo 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Propriedade do deslocamento na variável t (para transformada direta) 
Esta propriedade permite obter a transformada do produto . 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
154 
 
Se , então, 
 
 
Vamos ver daqui para frente, que a presença da exponencial na função 
de , isto é, no resultado da transformada direta está vinculada à presença 
do degrau unitário na função de , isto é, no resultado da transformada 
inversa. 
Para explicar melhor essa afirmativa e compreender a propriedade 18, vamos 
comparar os gráficos das funções (ou sinais) , e na 
figura 23. 
 
Fig. 23a – O sinal para . 
Fig. 23b – O degrau “cortou” no intervalo . 
Fig. 23c – O sinal corresponde a deslocado para a esquerda de 
unidades, traçado (com linha cheia) no intervalo . 
 = transformada de Laplace do sinal “cortado” no intervalo 
 . 
Tomando a definição da transformada e observando na figura 24, que 
 , se , teremos: 
 
 
 
 
 
A propriedade 
 
 
Informa que o resultado da integral de até , 
 
 
 é: 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
155 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.24 – O gráfico do sinal , no intervalo , corresponde ao gráfico 
do sinal , no intervalo , mas deslocado (atrasado) de unidades 
de tempo. 
 
Isso significa que a transformada do sinal do gráfico 24a corresponde à 
transformada do gráfico da função 24b, isto é, a integral de a : 
 
 
 
, MAS MULTIPLICADA POR . 
Se for variável de tempo, podemos entender que corresponde ao 
sinal , porém deslocado ou atrasado de unidades de tempo. 
Observe isso, comparando os gráficos 24a e 24b. 
A exponencial é o fator que indica o atraso (ou o deslocamento) 
descrito acima e aparece na transformada, devido à presença do degrau 
no sinal . 
 
Exemplo 11: 
Determine 
Identificamos que: 
 ⇒ 
 
 
 
Teremos então: 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
156 
 
 
 
 
Se ⇒ 
Atenção! 
Obter é realizar uma MUDANÇA DE VARIÁVEL na função . 
É importante notar que . 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe nas figuras 25a, 25b e 25c respectivamente, os gráficos das funções: 
 e 
 
 
Fig. 25a, 25b e 25c mostram e 
 , 
todas tomadas no intervalo . 
O gráfico do sinal : 
 Corresponde ao sinal “cortado” no intervalo . 
 E corresponde ao sinal , deslocado ou atrasado 
em três unidades de tempo. 
 
Exemplo 12: 
Obter 
Identificamos que: 
 ⇒ 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
157 
 
Teremos então: 
 
 
 
 
 
 
Se ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo 
 
 
 e 
 
 
 , obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verifique nos gráficos das figuras 26a e 26b, que o sinal 
corresponde à função , porém atrasada de 
 
 
 unidades, isto é, deslocada, 
começando em 
 
 
 e não em 
Por esta razão, obtivemos no resultado final a transformada de 
multiplicada pela exponencial , cuja presença indica que o sinal 
encontra-se deslocado (ou atrasado) de 
 
 
 unidades. 
Se necessário, confira o gráfico de na figura 21, do exemplo 8. 
 
Fig.26 – O degrau “cortou” o sinal no intervalo 
 
 
 
 
3 - Propriedade do deslocamento na variável t (para transformada 
inversa) 
Esta propriedade permite obter a transformada inversa do produto 
 . 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
158 
 
Trata-se da mesma propriedade anterior, porém enunciada de forma 
mais adequada para a realização da transformada inversa. 
 
Se , então, 
 
 
Mais uma vez, vamos recorrer à representação gráfica para 
compreendermos o significado desta propriedade. 
Compare na figura 27, os gráficos de , e de . 
 
 Fig. 27a – Gráfico do sinal . 
Fig. 27b – O sinal corresponde ao sinal deslocado de unidades. 
Fig. 27c – O sinal corresponde ao sinal deslocado (atrasado) 
de unidades e “cortado” no intervalo . 
A propriedade (19) estabelece que: 
Se uma transformada estiver multiplicada pela exponencial , a 
transformada inversa deste produto será o sinal, ou a função 
 , isto é, deslocada (ou atrasada) e “cortada” pelo 
degrau unitário. 
Novamente, a presença da exponencial em ( ) na transformada 
indica que o sinal original está atrasado e só atua no intervalo , 
devido ao efeito de . 
Exemplo 13: 
Obter 
 
 
 
A presença da exponencial na variável nos leva a utilizar a 
propriedade 19. 
Sendo assim, identificamos: 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
159 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
Teremos então: 
 
 
 
 
Se 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 ⇒ 
Logo: 
 
 
 
 
Veja e compare, na figura 28, os gráficos: , 
e 
 
 
Fig.28a - 
 
 
 
Fig. 28b - ⇒ foi deslocada de 01 unidade em . 
Fig. 28c - 
 
 
 
Exemplo 14: 
Resolva o problema de valor inicial, usando a transformada de Laplace. 
 , com e 
 . 
Aplicaremos o operador £ em todos os termos da equação diferencial: 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
160 
 
Utilizando as transformadas (14), (13), (1) e (17), nesta ordem, obtemos: 
 
 
 
 
Substituindo as condições iniciais nulas, obtemos a expressão de : 
 
 
 
 
A presença da exponencial em nos leva ao uso da 
propriedade (19). 
Identificamos: 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
Nosso próximo passo será obter . 
Atenção! 
A exponencial não pertence a e, portanto, não interfere 
na decomposição em frações parciais. 
Asraízes do denominador são: 
 e 
 ⇒ 
 
 
 
Fatorando o denominador e decompondo em frações parciais, 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tirando o m.m.c. e igualando os numeradores, obtemos: 
 
Para , obtemos 
 
 
. 
Para , obtemos 
 
 
. 
Para , obtemos 
 
 
. 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
161 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retornando a , vamos aplicar a propriedade 19 para obter a solução 
particular da equação diferencial. 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a solução particular da equação diferencial é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Propriedade do deslocamento em 
Da mesma forma que a presença da exponencial multiplicando 
leva ao deslocamento na função , a propriedade atual nos mostra 
que uma exponencial multiplicando , produzirá o deslocamento 
de . 
Se , então: 
 
Veja na figura 29 a comparação entre e . 
Fig.29 – A transformada é a transformada de , porém 
deslocada de unidades na variável . 
Exemplo 15: 
Obter 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
162 
 
A presença da exponencial multiplicando a função nos conduz à 
aplicação da propriedade (20). 
Identificamos: 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
Exemplo 16: 
Obter 
 
 
 
A propriedade (20) é especialmente útil nos casos em que a 
decomposição em frações parciais fornece raízes complexas. 
A equação possui as raízes . 
Em lugar utilizarmos as fórmulas de Euler para obter a transformada 
inversa na forma real, pode-se completar o produto notável no 
denominador: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a transformada obtida corresponde à , porém com 
 onde deveríamos ter , em (9). 
Identificamos então que: 
 ⇒ 
Logo: 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
5- Transformada da integral de 
Se , então: 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
163 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta propriedade também é bastante útil em casos nos quais obtemos 
raízes complexas ao fazer a decomposição em frações parciais. 
Exemplo 17: 
Obter 
 
 
 
(As raízes do denominador são: e .) 
Inspecionando a transformada, vemos que: 
 
 
 
 
 
Mas, como temos aqui a transformada (9) dividida por , aplicaremos 
a propriedade 21 para obter a transformada inversa desejada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
164 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE - SÍNTESE 
1) Definição: 
 £ 
 
 
 
2) Transformada de Laplace inversa: 
 
 
3) Propriedade da Linearidade: 
£ 
 
 FUNÇÕES BÁSICAS E SUAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
4) Função constante 
 
 
 
 
5) Função exponencial 
 
 
 
 
6) Função cosseno hiperbólico 
 
 
 
 
 
 
 
7) Função seno hiperbólico 
 
 
 
 
 
 
 
8) Função cosseno 
 
 
 
 
9) Função seno 
 
 
 
 
10) Função polinomial 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
165 
 
SISTEMATIZAÇÃO DA DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS 
11) 1º CASO: 
 
 
 e possui fatores simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 são raízes simples do denominador e 
 são os coeficientes da decomposição destes fatores simples. 
12) 2º CASO: 
 
 
 e possui fatores múltiplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ... 
onde: 
 = raiz de multiplicidade de 
 = raízes simples de 
 = coeficientes da decomposição do fator 
 de 
 
 coeficientes da decomposição de fatores simples e de 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE DAS DERIVADAS DE 
13) 
 
 
 
14) 
 
 
 
15) 
 
 
 
 
DEGRAU UNITÁRIO 
16) Função degrau unitário 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
166 
 
 
 
 
 
 
17) ou 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DE DESLOCAMENTOS NAS VARIÁVEIS E 
18) Deslocamento em para transformada direta: 
 
 
19) Deslocamento em para transformada inversa: 
 
 
20) Deslocamento em 
 
 
TRANSFORMADA DA INTEGRAL DE 
21) 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSFORMAÇÕES SOBRE O SINAL 
22) Inversão no tempo ⇒ 
23) Mudança de escala no tempo ⇒ 
24) Deslocamento no tempo ⇒ 
25) Inversão na amplitude ⇒ 
26) Deslocamento na amplitude ⇒ 
27) Mudança de escala na amplitude ⇒ 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
167 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Considere novamente o sinal do exemplo 3, 
 
 
 , e seu 
respectivo gráfico: 
 
Obtenha e represente graficamente, nos exercícios 1 a 4, as transformações 
indicadas sobre : 
1) 2) 3) 4) 
 
Considere o sinal 
 
 
 
 e seu gráfico: 
 
 
Obtenha e represente graficamente, nos exercícios 5 a 8 as transformações 
indicadas sobre : 
5) 6) 7) 8) 
Escreva as funções dos exercícios 9 a 11 usando o degrau unitário. 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
168 
 
 
Nos exercícios 12 e 13, faça o esboço do gráfico e escreva a função indicada 
usando o degrau unitário. 
12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) 
 
 
 
 
14) Obtenha a transformada de Laplace da função do exercício 9. 
15) Obtenha a transformada de Laplace da função do exercício 12. 
Determine: 
16) £ 
17) £ 
 
 
 (Lembre-se que: ) 
18) £ 
19) £ --1 
 
 
 
20) £ --1 
 
 
 
Resolva o problema de valor inicial, usando a transformada de Laplace: 
21) com e 
 
Determine: 
22) £ 
Valéria Cunha Figueiredo169 
 
23) £ 
24) £ 
25) £ --1 
 
 
 
26) £ --1 
 
 
 
Resolva o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace 
27) 
 
 
 com e 
 
RESPOSTAS 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
170 
 
 
9) 
10) 
11) 
12) 
 
 
 
 
 
 
 
13) 
 
14) 
 
 
 
15) 
 
 
 
16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) 
 
 
 
18) 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
171 
 
19) 
20) 
 
 
 
21) 
 
 
 
 
 
 
22) 
 
 
 
23) 
 
 
 
24) 
 
 
 
25) 
 
 
 
26) 
27) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
172 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS