introdução álgebra linear

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Geometria Analítica e Álgebra Linear
01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil
158
7. Autovalores e Autovetores
Diagonalização
Todas as matrizes consideradas neste capítulo serão quadradas. Se A é uma matriz n  n, 
então, para v

em Rn, A v

será também um vetor em Rn (figura 7.1a). Um problema de 
importância considerável em muitas aplicações é a determinação de vetores v

, quando 
existirem, tais que v

e A v

sejam paralelos (figura 7.1b). Tais problemas surgem em 
aplicações que envolvem vibrações; surgem em aerodinâmica, elasticidade, física 
nuclear, mecânica, engenharia química, biologia, equações diferenciais, etc. Nesta seção 
formularemos precisamente este problema; definiremos também alguma terminologia 
pertinente. Na próxima seção resolveremos o problema em questão no caso de matrizes 
simétricas e discutiremos rapidamente a situação do caso geral.
Definição Seja A uma matriz n  n. O número real  é chamado um autovalor de A se existir um 
vetor não-nulo 











nx
x
v 
1
em Rn, tal que
Qualquer vetor v

não-nulo que satisfaça (1) é chamado de um autovetor de A associado 
ao autovalor . Os autovalores são também chamados de valores próprios, valores 
característicos e valores latentes; e os autovetores são chamados de vetores próprios, 
vetores característicos e vetores latentes.
Observe que 0v satisfaz sempre a equação (1), mas insistimos que um autovetor v
seja um vetor não-nulo. Em algumas aplicações práticas encontram-se espaços vetoriais 
complexos e escalares complexos. Em tal contexto, a definição acima é modificada de 
maneira que um autovalor possa ser um número complexo. Tais tratamentos são 
apresentados em livros mais avançados. Neste livro exigimos que um autovalor seja um 
número real.
Fig. 7.1 (a) Fig. 7.1 (b)
 

 vvA  (1)
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Ex.: 1 Se A é uma matriz identidade In então o único autovalor é  = 1; qualquer vetor não-
nulo de Rn é um autovetor de A associado com o autovalor  = 1:

 vvI n 1
Ex.: 2 Seja




021
210
A .
Logo

















1
1
2
1
21
21
1
1
021
210
1
1
A
de maneira que 




1
1
1v é um autovetor de A associado ao autovalor 
2
1
1  . Além 
disso,


















 1
1
2
1
21
21
1
1
021
210
1
1
A
de maneira que 





1
1
2v é um autovetor de A associado ao autovalor 
2
1
2  .
A figura (7.2) mostra que 1v

 e 1vA

são paralelos, e que
2v

 e 2vA

são também paralelos. Isto ilustra o
fato de que se v

é um autovetor de A,
então v

e A v

são paralelos. 
Na figura (7.3) mostramos v

e A v

para os casos  > 1, 0 <  < 1,  < 0.
A um autovalor  de A pode ser associados muitos
autovetores diferentes. Em verdade, se v

é um autovetor
de A associado a  (ou seja, vvA   ) e t é qualquer
número real não nulo, então
 )()()()(

 vtvtvAtvtA  .
Assim, vt

é também um autovetor de A associado a .
Fig. 7.2
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160
Ex.: 7.3 Seja




10
00
A .
Assim

















0
1
0
0
0
0
1
10
00
0
1
A
de maneira que 




0
1
1v é um autovetor de A associado ao autovalor 01  . Além 
disso, 




1
0
2v é um autovetor de A associado ao autovalor 12  (verifique isto).
O exemplo 7.3 salienta o fato de que, embora o vetor zero, por definição, não possa ser 
autovetor, o número zero pode ser um autovalor.
Ex.: 7.4 Seja 




 42
11
A
Desejamos achar os autovalores de A e seus autovetores associados. Queremos assim 
achar todos os números reais  e todos os vetores não-nulos 




2
1
x
x
v satisfazendo (1), 
ou seja











 2
1
2
1
42
11
x
x
x
x  (2)
A equação (2) se torna
 
221
121
42 xxx
xxx




, ou
0)4(2
0)1(
21
21


xx
xx


. (3)
Fig. 7.3
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A equação (3) é um sistema homogêneo de duas equações e duas incógnitas. Da 
Unidade III, decorre que o sistema homogêneo em (3) possui uma solução não trivial se 
e somente se o determinante de sua matriz de coeficientes for nulo: assim, se e somente 
se
0
42
11 



.
Isto significa que
02)4)(1(   ,
ou
)2)(3(0652   .
Portanto,
21  e 32 
são os autovalores de A. Para achar todos os autovetores de A associados a 21  , 
formamos o sistema linear

 vvA 2
ou











 2
1
2
1 2
42
11
x
x
x
x
.
Isto fornece
221
121
242
2
xxx
xxx


ou
0)42(2
0)12(
21
21


xx
xx
ou
022
0
21
21


xx
xx
Observe que poderíamos ter obtido este último sistema homogêneo substituindo 
simplesmente 2 em (3). Todas as soluções deste último sistema são dadas por
21 xx 
2x qualquer número real .
Portanto, todos os autovetores associados ao autovalor 21  são dados por 





,  um 
número real não-nulo qualquer. Em particular, 




1
1
1v é um autovetor associado a 
21  . Semelhantemente, para 32  obtemos, de (3),
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0)43(2
0)13(
21
21


xx
xx
ou
02
02
21
21


xx
xx
Todas as soluções deste último sistema homogêneo são dadas por
21 21 xx 
2x qualquer número real .
Portanto, todos os autovetores associados ao autovalor 32  são dados por 




 2
, 
um número real não-nulo arbitrário. Em particular, 




2
1
2v é um autovetor associado 
ao autovalor 32  .
Obs.: Nos exemplos 1, 2 e 3 achamos autovalores e autovetores por inspeção, enquanto que 
no exemplo 4 procedemos de maneira mais sistemática. Usaremos o processo do 
exemplo 4 como nosso método padrão, como segue.
7.1.1. Matrizes Semelhantes
Definição Dizemos que uma matriz B é semelhante a uma matriz A, se existir uma matriz P não 
singular (invertível) tal que 
APPB 1 .
Ex.: 7.5 Seja




 42
11
A
a matriz do exemplo 7.4. Seja




21
11
P .
Então,






11
121P e 















 
30
02
21
11
42
11
11
121 APPB .
Assim, B é semelhante a A.
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163
A relação de semelhança satisfaz as seguintes propriedades: 
 toda matriz quadrada é semelhante a si mesma; 
 se uma matriz A é semelhante a B, então B é semelhante a A e 
 se A é semelhante a B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C. 
Deixamos como exercício a verificação destas propriedades.
Definição Dizemos que uma matriz A, n  n, é diagonalizável, se ela é semelhante a uma matriz 
diagonal. Neste caso, dizemos também que A pode ser diagonalizada.
Ex.: 7.6 Se A e B são como no exemplo 7.5, entãoA é diagonalizável, pois é semelhante a B.
Vamos enunciar e demonstrar o resultado principal deste capítulo. Já vimos que se uma 
matriz A é diagonalizável, então as colunas da matriz P que faz a diagonalização são 
autovetores associados a autovalores que são os elementos da matriz diagonal D. Como 
a matriz P é invertível estes autovetores são Linearmente Independentes. Vamos 
mostrar a seguir que esta é uma condição necessária e suficiente para que uma matriz 
seja diagonalizável. 
Teorema Uma matriz A n  n é diagonalizável se e somente se tiver n autovetores linearmente 
independentes. Neste caso, A é semelhante a uma matriz diagonal D, com DAPP 1 ; 
os elementos sobre a diagonal de D são os autovalores de A, enquanto P é uma matriz 
cujas colunas são n autovetores de A linearmente independentes. 
Demonstração
Suponha que A é semelhante a D, Então
DAPP 1
de maneira que
PDAP  ,
Seja













n
D



00
00
00
00
2
1




 (4)
e seja jv

, nj ,,2,1  a j-ésima coluna de P. Observe que a j-ésima coluna da matriz 
AP é jvA

e a j-ésima coluna de PD é jj v
 . Assim, temos de (4) que
jjj vvA

  . (5)
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164
Como P é uma matriz não singular, suas colunas são linearmente independentes e, desta 
maneira, são todas não-nulas. Assim, j é um autovalor de A e jv

é um autovetor 
correspondente. Além disto, como P é não-singular, seus vetores coluna são linearmente 
independentes.
Reciprocamente, suponha que n ,,, 21  são n autovalores de A e que os autovetores 
correspondentes nvvv
 ,,, 21 são linearmente independentes . Seja P a matriz cuja j-
ésima coluna é jv

, decorre que P é não singular. De (5) obtemos (4), o que acarreta que 
A é diagonalizável. Isto completa a demonstração.
Observe que, no teorema acima, a ordem das colunas de P determina a ordem dos 
elementos da diagonal de D.
Assim, se uma matriz A é diagonalizável e APPD 1 , então os autovalores de A
formam a diagonal de D e n autovetores linearmente independentes associados aos 
autovalores formam as colunas de P. 
Se conseguirmos para cada autovalor, autovetores L.I., então ao juntarmos todos os 
autovetores obtidos, eles continuarão sendo L.I. 
Ex.: 7.7 Seja A como no exemplo 7.4. Os autovalores são 21  e 32  . Os autovetores 
correspondentes 




1
1
1v e 




2
1
2v são linearmente independentes. Assim, A é 
diagonalizável.
Neste caso,




21
11
P e 





11
121P .
Assim

















30
02
21
11
42
11
11
121 APP .
Por outro lado, se fizermos 31  e 22  , então 




2
1
1v e 




1
1
2v . Então




12
11
P e 





12
111P .
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Logo

















20
03
12
11
42
11
12
111 APP .
Ex.: 7.8 Seja




10
11
A .
Os autovalores de A são 11  e 12  . Os autovetores associados a 1 e 2 são 
vetores da forma




0

,
onde  é qualquer número real não-nulo. Como A não tem dois autovetores linearmente 
independentes, concluímos que A não é diagonalizável.
Teorema Uma matriz A é diagonalizável se todas as raízes de seu polinômio característico forem 
reais e distintas.
Autovalores e Autovetores
Da definição 

 vvA  , onde  é chamado autovalor (real) de A e, 

v é chamado de 
autovetor de A, podemos escrever:

 vIvA n
ou
0)( 

vIA n (6)
Como os autovetores são vetores não nulos, os autovalores são os valores de , para os 
quais o sistema (6) tem solução não trivial. Mas, um sistema homogêneo tem solução 
não trivial se, e somente se, a matriz do sistema é singular e uma matriz é singular se, e 
somente se, o seu determinante é igual a zero, ou seja: 0)det(  nIA  . Assim temos 
um método para encontrar os autovalores e os autovetores de uma matriz A.
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166
Proposição Seja A uma matriz n x n. 
(a) Os autovalores de A são as raízes reais do polinômio 
)det()( nIAp   (7)
(b) Para cada autovalor , os autovetores associados a  são os vetores não nulos da 
solução do sistema 
0)(  XIA n (8)
Definição Seja A uma matriz n  n. O polinômio
)det()( nIAp   (9)
é chamado polinômio característico de A.
Assim, para determinarmos os autovalores de uma matriz A precisamos determinar as 
raízes reais do seu polinômio característico, que tem a forma 
01
1
1)1()( aaap
n
n
nn     . Um resultado sobre polinômios que muitas 
vezes é útil, é o que diz que se a0, a1,..., an - 1 são inteiros, então as suas raízes racionais 
(se existirem) são números inteiros e divisores do coeficiente do termo de grau zero a0. 
Por exemplo, se 6116)( 23  p , então as possíveis raízes racionais são 1, 
2, 3 e 6. Substituindo estes valores em )(p , vemos que p(1) = 0, ou seja, 1 é uma 
raiz de )(p . Finalmente, dividindo )(p por ( - 1), obtemos que 
)65)(1()( 2  p . Como as raízes de 62   são 2 e 3, então as raízes 
de )(p , são 1, 2 e 3. 
Ex.: 7.9 Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz






22
13
A
Para esta matriz o polinômio característico é
452)2)(3(
22
13
det)det()( 2 




 
 nIAP .
Como os autovalores de A são as raízes reais de )(p , temos que os autovalores de A
são 11  e 42  .
Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores 11  e 42  . 
Para isto vamos resolver os sistemas 0)( 21  XIA  e 0)( 22  XIA  . Como






12
12
21IA  ,
então
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167
0)( 21  XIA 
é 













0
0
12
12
y
x
ou 





02
02
yx
yx
cuja solução geral é 


 |)2,{(1v R}.
que é o conjunto de todos os autovetores associados a 11  acrescentado o vetor nulo. 
Agora,
0)( 22  XIA 
é 













0
0
22
11
y
x
cuja solução geral é 


 |),{(1v R},
que é o conjunto de todos os autovetores associados a 42  acrescentado o vetor nulo.
Ex.: 7.10 Seja 











100
210
100
A .
O polinômio característico de A é 2)1()(  p , de maneira que os autovalores de 
A são 01  , 12  e 13  . Assim, 12  , é um autovalor de multiplicidade 2. 
Consideremos agora os autovetores associados aos autovalores 132   . Eles são 
obtidos resolvendo o sistema linear 0)1( 3  XIA :


































0
0
0
000
200
101
3
2
1
x
x
x
Uma solução é qualquer vetor da forma 










0
0
 , onde  é um número real arbitrário, de 
maneira que a dimensão do espaço-solução de 0)1( 3  XIA é 1. Não existem dois 
autovetores linearmente independentes associados a 12  . Assim, A não pode ser 
diagonalizada.
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168Ex.: 7.11 Seja 











101
010
000
A .
O polinômio característico de A é 2)1()(  p , de maneira que os autovalores de 
A são 01  , 12  e 13  . Assim, 12  , é um autovalor de multiplicidade 2. 
Consideremos agora os autovetores associados aos autovalores 132   . Eles são 
obtidos resolvendo o sistema linear 0)1( 3  vIA

, isto é, de































 0
0
0
001
000
001
3
2
1
x
x
x
.
Uma solução é qualquer vetor da forma 












0
para números reais arbitrários  e . 
Podemos assim escolher como os autovetores 

2v e 

3v os vetores 












0
1
0
2v e 












1
0
0
3v .
Procuremos agora um autovetor associado a 01  . Temos que resolver 
0)0( 3  vIA

, ou seja,

































0
0
0
101
010
000
3
2
1
x
x
x
.
Uma solução é qualquer vetor da forma 












0 para qualquer número real . Assim, 













1
0
1
1v , é um autovetor associado a 01  . Como 

1v , 

2v e 

3v são linearmente 
independentes, A pode ser diagonalizada.
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169
Assim, uma matriz n  n pode deixar de ser diagonalizável ou porque nem todas as 
raízes de ser polinômio característico são números reais, ou porque não tem n
autovetores linearmente independentes.
Os autovalores e autovetores satisfazem muitas propriedades importantes. Por exemplo, 
se A é uma matriz triangular superior (inferior), então os autovalores de A são os 
elementos sobre a diagonal principal de A. Além disto, seja  um autovalor fixo de A. O 
conjunto que é formado por todos os autovetores de A associados com  e pelo vetor 
zero é um subespaço de nR , já que é o conjunto solução de um sistema linear 
homogêneo 0)(  XIA n . Este subespaço recebe o nome de autoespaço associado 
ao autovalor .
O processo para diagonalizar uma matriz A é como se segue.
1º passo Forme o polinômio característico )det()( nIAp   de A.
2º passo
Ache todas as raízes do polinômio característico de A. Se as raízes não 
forem todas reais, então A não pode ser diagonalizada.
3º passo
Para cada autovalor i de A com multiplicidade ik , ache uma base para 
o espaço-solução de 0)(  XIA n (o autoespaço de i ). Se a 
dimensão do autoespaço for menor do que ik , então A não é 
diagonalizável. Determinamos assim n autovetores de A linearmente 
independentes.
4º passo
Seja P a matriz cujas colunas são os n autovetores linearmente 
independentes determinados no terceiro passo. Então DAPP 1 , uma 
matriz diagonal cujos elementos sobre a diagonal são os autovalores de 
A que correspondem às colunas de P. 
Deve ser salientado que este método de achar os autovalores de uma matriz por meio 
das raízes do polinômio característico não é prático para n > 4, devido à necessidade de 
se calcular um determinante. Neste caso, deve-se usar um método numérico mais 
eficiente.
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170
Diagonalização de Matrizes Simétricas
Motivação
O problema da identificação de uma cônica (curva no plano descrita por uma equação 
do 2 grau em x e y) através da sua equação é facilmente resolvido se a equação não
possui um termo em que aparece o produto xy. Mas, ao contrário, se aparece este termo 
misto, temos que fazer uma mudança de coordenadas de forma que nas novas 
coordenadas ele não apareça. Vejamos o exemplo seguinte.
Ex.: 7.12 Considere o problema de identificar uma cônica representada pela equação
4323 22  yxyx (10)
Usando matrizes, esta equação pode ser escrita como
  433 



y
x
yxyx
ou
  4
31
13 






y
x
yx
ou ainda,
4AXX T , (11)
em 




31
13
A e 



y
x
X .
Como veremos adiante, podemos escrever
TPDPA 
em que














2
1
2
1
2
1
2
1
P e 



40
02
D .
Assim, a equação (10) pode ser escrita como
        4 XPDXPXPDPX TTTTT .
Se fazemos a mudança de variáveis (ou de coordenadas) 'PXX  , então como 
2IPP
T  , a equação (10) se transforma em
4'' DXX T
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171
ou
  4
'
'
40
02
'' 







y
x
yx
que pode ser escrita como,
4'4'2 22  yx .
ou dividindo por 4, como
1
1
'
2
' 22  yx
que é a equação da elipse mostrada na Figura (7.4). Veremos na próxima seção como 
traçar esta elipse.
Fig. 7.4
A matriz P, tem a propriedade de que a sua inversa é simplesmente a sua transposta, 
TPP 1 . Uma matriz que satisfaz esta propriedade é chamada de matriz ortogonal. O 
que possibilitou a identificação da cônica, no exemplo anterior, foi o fato de que a 
matriz A é diagonalizável através de uma matriz ortogonal P. Ou seja, existe uma matriz 
P tal que 1 PDPA e TPP 1 .
Já vimos que nem toda matriz é diagonalizável. Vamos ver que se uma matriz A é 
simétrica, então ela é diagonalizável, isto é, existe uma matriz diagonal D e uma matriz
invertível P tal que APPD 1 . Além disso, para matrizes simétricas, existe uma 
matriz P tal que APPD T . Isto porque existe uma matriz ortogonal P que faz a 
diagonalização, ou seja, que tem a propriedade TPP 1 . Em algumas aplicações a 
diagonalização com uma tal matriz é necessária, como por exemplo na identificação de 
cônicas.
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172
Cônicas
A palavra cônica, em princípio, significa uma seção cônica, pois podem ser obtidas das 
interseções de planos com um cone. Isto já havia verificado o matemático Apolônio no 
século III a.C., que descreveu essas curvas no livro intitulado Cônicas.
Dependendo do corte no cone, as interseções podem ser: círculo, parábola, hipérbole ou 
elipse, conforme indicam as figuras.
As cônicas foram de fundamental importância para o desenvolvimento da astronomia, 
sendo descritas na antiguidade por Apolônio de Perga, um geômetro grego.
Mais tarde, Kepler e Galileu mostraram que essas curvas ocorrem em fenômenos 
naturais, como nas trajetórias de um projétil ou de um planeta.
Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da interseção de um 
cone circular com um plano. Vamos estudar a elipse, a hipérbole e a parábola, que são
chamadas de cônicas não degeneradas (Figura 7.5). Vamos defini-las em termos de 
lugares geométricos. As outras cônicas, que incluem um único ponto, um par de retas, 
são chamadas cônicas degeneradas (Figura 7.6).
Fig. 7.5
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173
Cônicas Não Degeneradas
Parábola
Parábola é o conjunto de todos os pontos  yxP , de um plano eqüidistantes de uma 
reta r (diretriz) e de um ponto fixo F (foco), não pertencente a r, ou seja, a parábola é o 
conjunto de pontos  yxP , tais que
   rPdistFPdist ,,  .
 
Fig. 7.7. Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano
Proposição (a) A equação de uma parábola com foco  0,pF  e reta diretriz pxr : é
pxy 42  . (12)
Fig. 7.6
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174
(b) A equação de uma parábola com foco  pF ,0 e reta diretriz pyr : é
pyx 42  . (13)
Fig. 7.8. Parábola com foco no ponto 
 pF ,0 e 0p
Fig. 7.9. Parábola com foco no ponto 
 0,pF  e 0p
Demonstração Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exercício, a 
demonstração da segunda parte. A parábola é o conjunto dos pontos  yx, tais que
   rPdistFPdist ,,  ,
neste caso é
  pxypx  22
Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos (12).
Fig. 7.10. Parábola com foco no ponto 
 pF ,0 e 0p
Fig. 7.11. Parábola com foco no ponto 
 0,pF  e 0p
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175
O ponto V é o ponto da parábola mais próximo da reta diretriz e é chamado de vértice da 
parábola. A parábola é a curva que se obtém seccionando-se um cone por um plano 
paralelo a uma reta geratriz do cone.
Elipse
Definição Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois 
pontos fixos desse plano é constante.
Consideramos no plano dois pontos distintos, 1F e 2F , tal que a distância 
  cFF 2,dist 21  , e um número real positivo a com ca 22  .
Chamando de a2 a constante da definição, um ponto P pertence à elipse (Figura 7.12) 
se, e somente se, 
Elementos
Com base nas Figuras (7.13 e 7.14), tem-se:
    aFPFP 2,dist,dist 21 
em que ca  .
Fig. 7.12
Focos: são os pontos 1F e 2F .
Distância focal: é a distância c2 entre os focos.
Centro: é o ponto médio c do segmento 1F e 2F .
Eixo maior: é o segmento 21 AA de comprimento a2 (este segmento contém os 
focos).
Eixo menor: é o segmento 21BB de comprimento b2 e perpendicular a 21 AA no 
seu ponto médio.
Vértices: são os pontos 121 ,, BAA e 2B .
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176
Fig. 7.13. Elipse com focos nos pontos
 0,1 cF  e  0,2 cF 
Fig. 7.14. Elipse com focos nos pontos
 cF  ,01 e  cF ,02 
Pela Figura (7.13) é imediato que aFB 22 pois aFBFB 22212  (definição de 
elipse) e 2212 FBFB  . Logo, do triângulo retângulo 22cFB vem
222 cba 
Esta igualdade mostra que ab  e ac  .
Excentricidade da elipse é o número real
a
c
e   10  e
A excentricidade é responsável pela “forma” da elipse: elipses com excentricidade perto 
de 0 (zero) são aproximadamente circulares, enquanto que elipses com excentricidade 
próxima de 1 são “achatadas”. Por outro lado, fixada uma excentricidade, por exemplo, 
2
1e , todas as infinitas elipses com esta excentricidade têm a mesma forma (diferem 
apenas pelo tamanho).
Proposição a) A equação de uma elipse cujos focos são  0,1 cF  e  0,2 cF  é (Figura 7.13)
2 2
2 2
1
x y
a b
  , (14)
 em que 22 cab  .
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177
b) A equação de uma elipse cujos focos são  cF  ,01 e  cF ,02  é (Figura 7.14)
2 2
2 2
1
x y
b a
  , (15)
 em que 22 cab  .
Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exercício, a 
demonstração da segunda parte. A elipse é o conjunto dos pontos  yxP , tais que
    aFPFP 2,dist,dist 21  ,
ou seja,
aPFPF 221 

,
que neste caso é
    aycxycx 22222 
ou
    2222 2 ycxaycx 
Elevando ao quadrado e simplificando, temos
  cxaycxa  222 .
Elevando novamente ao quadrado e simplificando, temos
   22222222 caayaxca 
Como ca  , então 022  ca . Assim, podemos definir 22 cab  e dividir a 
equação acima por  22222 caaba  , obtendo (14).
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178
Fig. 7.15. Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano
Os pontos 121 ,, BAA e 2B são chamados vértices da elipse. Os segmentos 21 AA e 21BB
são chamados eixos da elipse. A excentricidade da elipse é o número 
a
c
e  . Como, 
ac  , a excentricidade de uma elipse é um número real não negativo menor que 1. 
Observe que se 21 FF  , então a elipse reduz-se ao círculo de raio a. Além disso, como 
0c , então 0e . Assim, um círculo é uma elipse de excentricidade nula.
A elipse é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa 
pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone 
de forma a gerá-lo) e que corta apenas uma das folhas da superfície.
Hipérbole
A Figura (7.16) nos mostra dois pontos fixos 1F e 2F , distintos e a uma distância c2
um do outro.
Fig. 7.16
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179
Consideremos, agora, o conjunto dos pontos P do plano tais que a diferença de suas 
distâncias aos pontos fixos 1F e 2F seja uma constante positiva que indicamos por a2 , 
ou seja:
aPFPF 212 
O conjunto de pontos nPPPP ,,,, 321  , nessas condições, é denominado hipérbole.
Definição Hipérbole é o conjunto de todos os pontos P do plano tais que a diferença de suas 
distâncias a dois pontos fixos 1F e 2F do plano é uma constante positiva e menor que a 
distância entre esses pontos fixos.
Consideramos no plano dois pontos distintos 1F e 2F tal que a distância   cFF 2,d 21 
e um número real positivo a de modo que ca 22  .
Chamando de a2 a constante da definição, um ponto P pertence a hipérbole (Figura 
7.18) se, e somente se, 
    aFPFP 2,d,d 21  (16)
Fig. 7.18
Fig. 7.17
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180
Elementos
Com base nas Figuras (7.19), tem-se:
Fig. 7.20. Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano
Fig. 7.19
1A 2A
2B
1B
Focos: são os pontos 1F e 2F .
Distância focal: é a distância c2 entre os focos.
Centro: é o ponto médio c do segmento 1F 2F .
Vértices: são os pontos 1A e 2A .
Eixo real ou transverso: é o segmento 21 AA de comprimento a2 .
Eixo imaginário ou não-transverso: é o segmento 21BB de comprimento b2 e 
2121 AABB  em C.
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181
Proposição Seja a hipérbole de centro  0,0C . Consideraremos dois casos:
1) O eixo real está sobre o eixo dos x.
Seja  yxP , um ponto qualquer de uma hipérbole (Figura 7.21) de focos  0,1 cF  e 
 0,2 cF .
Pela definição em (16), tem-se
    aFPFP 2,d,d 21 
ou, em coordenadas
        aycxycx 200 2222 
Com procedimento de simplificação análogo ao que foi usado na dedução da equação 
da elipse, e lembrando que 222 bac  , chegamos à equação
1
2
2
2
2

b
y
a
x
que é a equação reduzida para este caso.
E a equação das assíntotas (retas para onde as curva se aproxima, quando x )
x
a
b
y  ,
em que 22 acb  .
Fig. 7.21. Hipérbole com focos nos pontos
 0,1 cF  e  0,2 cF 
Fig. 7.22. Hipérbole com focos nos pontos
 cF  ,01 e  cF ,02 
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182
2) O eixo real está sobre o eixo dos y
Observando a Figura (7.22), com procedimento análogo ao 1° caso, obtemos a equação 
reduzida
1
2
2
2
2

b
x
a
y
E a equação das assíntotas (retas para onde as curva se aproxima, quando x )
y
b
a
x  ,
em que 22 acb  .
Aplicação na Identificação de Cônicas
O problema da identificação de uma cônica (curva no plano descrita por uma equação 
do segundo grau em x e y) através da sua equação é facilmente resolvido, se a equação 
não possui um termo em que aparece o produto das duas variáveis. Mas, ao contrário, 
se aparece este termo misto, temos que fazer uma mudança de sistemas de coordenadas 
de forma que no novo sistema ele não apareça.
Umaequação quadrática nas variáveis x e y tem a forma
022  feydxcybxyax ,
em que a, b, c, d, e e f são números reais, com a, b e c não simultaneamente nulos. Esta 
equação representa uma (seção) cônica.
Dizemos que a equação de uma cônica não degenerada está na forma padrão se ela tem 
uma das formas dadas na Figura (7.23).
Vamos ver, agora, como a diagonalização de matrizes simétricas pode ser usada na 
identificação das cônicas cujas equações não estão na forma padrão. 
Vamos estudar alguns exemplos.
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183
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184
Fig. 7.23. Cônicas não degeneradas com equações na forma padrão
Ex.: 7.13 Considera a cônica C cuja equação é
036845 22  yxyx .
Esta equação pode ser escrita como
036 AXX T , (17)
em que






82
25
A .
O polinômio característico de A é
    3613
82
25
detdet 22 




 
 IAp .
Logo, os autovalores de A são 41  e 92  . Os autovetores associados a 41  são 
as soluções não nulas do sistema
  04 2  XIA
ou













0
0
42
21
y
x
,
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185
cuja solução é






2
1V , onde R .
Os autovetores associados a 92  são as soluções não nulas do sistema
  09 2  XIA
ou













0
0
12
24
y
x
,
cuja solução é







2
1V , onde R .
Então, 


 



2
2
V . Onde as colunas de 

V são os autovetores correspondentes.
Vamos fazer a mudança de variáveis 
|'PXX  , em que 





'
'
'
y
x
X na equação (17).
  036'' XAPPX TT ,
ou
036'' DXX T ,
ou
0369
2'2'  yx ,
ou ainda
1
49
2'2'
 yx (18)
que é a equação de uma elipse cujo esboço é mostrado na Figura (7.24). Para fazer o 
esboço do gráfico, em primeiro lugar temos que traçar os eixos 'x e 'y . O eixo 'x passa 
pela origem, é paralelo e possui o mesmo sentido do vetor 1

W , que tem coordenadas 
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186




0
1
em relação ao sistema de coordenadas 'x 'y . Assim, 




0
1
1 PW , que é a primeira 
coluna de P. O eixo 'y passa pela origem, é paralelo e possui o mesmo sentido de 2

W
que tem coordenadas 



0
1
em relação ao sistema de coordenadas 'x 'y . Assim, 





1
0
2 PW , que é a segunda coluna de P. Depois, a partir da equação (18), verificamos 
na Figura (7.23) a forma da curva em relação aos eixos 'x e 'y .
 Fig. 7.24. Elipse do exemplo (7.13)
Exercícios Numéricos
1. Ache o polinômio característico de cada matriz:
(a) 












231
210
121
A , (b) 









 

300
120
314
B R.: 
24269)(
74)(
23
23




b
a
2. Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
(a) 



11
11
A R.: 


 



|
),(
),(
;
2
0
1
0
2
1
v
v


R
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187
(b) 


 
42
11
B R.: 


 



|
)2,(
),(
;
3
2
3
2
2
1
v
v


R
(c) 












223
031
001
C R.: R





 







|
)2,5,0(
)8,3,6(
),0,0(
;
3
1
2
3
1
2
3
2
1
v
v
v



(d) 











000
300
210
D R.: 
R



|)0,0,(
0
0
321
v

3. Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:
(a) 



 21
41
A , (b) 



 12
01
B R.: 
1;)(
3,2;)(
21
21




nãob
sima
4. Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz não singular P tal que APP 1
seja diagonal:
(a) 












021
212
324
A R.: (a) não é diagonalizável; 3,1 321  
(b) 











110
110
001
A R.: (b) 











101
101
010
P
5. Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e 
fazer um esboço no gráfico.
(a) 30649 22  yxyx ;
(b) 0811283 22  yxyx ;
(c) 2442 22  yxyx ;
(d) 013213621 22  yxyx .
Geometria Analítica e Álgebra Linear
01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil
188
Exercícios usando o MATLAB
>> syms x y z diz ao MATLAB que as variáveis x, y e z são simbólicas; 
>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn] cria uma matriz, m por n, usando 
os elementos a11, a12, ..., amn e a armazena numa variável A; 
>> A=[A1,...,An] cria uma matriz A formada pelas matrizes, definidas anteriormente, 
A1, ..., An colocadas uma ao lado da outra; 
>> A=rand(n) ou >> A=rand(m,n) cria uma matriz n por n ou m por n, 
respectivamente, com elementos aleatórios. 
>> solve(expr) determina a solução da equação expr=0. Por exemplo, 
>> solve(x2-4) determina as soluções da equação x2 - 4 = 0; 
>> subs(expr,x,num) substitui na expressão expr a variável x por num. 
>> A=randi(n) ou >> A=randi(m,n) cria uma matriz n por n ou m por n, 
respectivamente, com elementos inteiros aleatórios. 
>> escalona(A) calcula passo a passo a forma reduzida escalonada da matriz A. 
>> [P,D]=diagonal(A) diagonaliza a matriz A, de forma que AP=PD, em que D é
uma matriz diagonal e P é uma matriz ortogonal.
>> subst(expr,[x;y],[a;b]) substitui na expressão expr as variáveis x,y por a,b, 
respectivamente.
>> elipse(a,b) desenha a elipse 1
2
2
2
2

b
y
a
x
.
>> elipse(a,b,[U1 U2]) desenha a elipse 1
2
2'
2
2'

b
y
a
x
, em que x’ e y’ são as 
coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.
>> elipse(a,b,[U1 U2],X0) desenha a elipse 1
2
2''
2
2''

b
y
a
x
, em que x” e y” são as
coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal
U1 e U2 e pelo ponto X0.
>> hiperbx(a,b) desenha a hipérbole 1
2
2
2
2

b
y
a
x
.
Geometria Analítica e Álgebra Linear
01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil
189
>> hiperbx(a,b,[U1 U2]) desenha a hipérbole 1
2
2'
2
2'

b
y
a
x
, em que x’ e y’são as 
coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.
>> hiperbx(a,b,[U1 U2],X0) desenha a hipérbole 1
2
2''
2
2''

b
y
a
x
, em que x” e y” são 
as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base 
ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0.
>> hiperby(a,b) desenha a hipérbole 1
2
2
2
2

b
x
a
y
.
>> hiperby(a,b,[U1 U2]) desenha a hipérbole 1
2
2'
2
2'

b
x
a
y
, em que x’ e y’ são as 
coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.
>> hiperby(a,b,[U1 U2],X0) desenha a hipérbole 1
2
2''
2
2''

b
x
a
y
, em que x” e y” são 
as coordenadas em relação ao sistema de coordenadasdeterminado pela base 
ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0.
>> parabx(p) desenha a parábola pxy 42  .
>> parabx(p,[U1 U2]) desenha a parábola '42' pxy  , em que x’ e y’ são as 
coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.
>> parabx(p,[U1 U2],X0) desenha a parábola "42'' pxy  , em que x” e y” são as 
coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal 
U1 e U2 e por X0.
>> paraby(p) desenha a parábola pyx 42  .
>> paraby(p,[U1 U2]) desenha a parábola , '42' pyx  em que x’ e y’ são as 
coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.
>> paraby(p,[U1 U2],X0) desenha a parábola "42'' pyx  , em que x” e y” são as 
coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal 
U1 e U2 e por X0.
Obs.: Use o MATLAB para resolver os Exercícios Numéricos