DIMENSIONAMENTO DE LAJES, PILARES E VIGAS

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1. DADOS DO PROJETO 
 O projeto é referente a um prédio de quatro pavimentos, em Rua Alexandre 
Gomes Chaves, esquina com Rua Anchieta – Teresina – PI. Abaixo a estrutura estudada 
está sendo apresentada, em 2D e 3D. 
 Para dimensionar essas estruturas foram usadas como base as NBR’s 6118/14 e 
6120/80. 
 Foram considerados para o concreto um fck de C25, para aço CA50, já para os 
estribos CA25. 
 
 
Figura 1 - Representação do projeto 
 
 
2. OBJETIVO 
Este trabalho tem como objetivo obter os detalhamentos/cálculos de lajes e vigas, assim 
como o pré-dimensionamento de pilares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE PILARES 
Para o pré-dimensionamento dos pilares foram usados os seguintes dados: 
 Estabelecer a área de influência (½ – ½) 
 Assumir carga de 10kN/m². Andar 
 Avaliar em função do Fator de Segurança (FS = 2,0) e Tensão Admissível 
 Classe de Agressividade Ambiental II – Moderada C25 (Fck = 25MPa) 
 
 Pilar P1 = P45 
A = (1,3125+1,3125) * (1,35) = 3,5438m² 
P = A* CARGA * ANDAR 
P = 3,5438m² * 10kN/m² * 4 ANDARES = 141,752kN 
𝜎𝐴𝐷𝑀 =
𝜎𝑅𝑈𝑃
𝐹𝑆
 𝜎𝐴𝐷𝑀 =
𝐶25
2,0
 𝜎𝐴𝐷𝑀 =
25𝑀𝑃𝑎
2,0
 
𝜎𝐴𝐷𝑀 = 12,5MPa 𝜎𝐴𝐷𝑀 = 1,25kN/cm² 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 𝐴 =
𝑃
𝜎𝐴𝐷𝑀
 𝐴 =
141,752𝑘𝑁
1,25𝑘𝑁/𝑐𝑚²
 𝐴 = 113,4016𝑐𝑚² 
a = b = 10,649cm 
Por compatibilização de projeto, adotamos 20 cm para a e para b. 
 Pilar P4 = P48 
A = (2,925+2,925) * (1,49375+1,49375) = 17,4769m² 
P = A* CARGA * ANDAR 
P = 17,4769m² * 10kN/m² * 4 ANDARES = 699,076kN 
𝜎𝐴𝐷𝑀 =
𝜎𝑅𝑈𝑃
𝐹𝑆
 𝜎𝐴𝐷𝑀 =
𝐶25
2,0
 𝜎𝐴𝐷𝑀 =
25𝑀𝑃𝑎
2,0
 
𝜎𝐴𝐷𝑀 = 12,5MPa 𝜎𝐴𝐷𝑀 = 1,25kN/cm² 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 𝐴 =
𝑃
𝜎𝐴𝐷𝑀
 𝐴 =
699,076𝑘𝑁
1,25𝑘𝑁/𝑐𝑚²
 𝐴 = 559,2608𝑐𝑚² 
a ≠ b ; b = 20cm ; a = A/20 ; a = 559,2608/20 ; a = 27,963cm 
Por compatibilização de projeto, adotamos b = 20cm e a = 30cm. 
 
 
 
 
3 
 
Usando o cálculo acima como referencial, obtivemos os seguintes resultados de 
acordo com as áreas específicas de cada pilar. Considerando que, a σADM (kN/cm²) é 
constante para todos os pilares. 
PILARES 
ÁREA DE 
INFLUÊNCIA 
(m²) P (kN) 
ÁREA DO 
PILAR 
(cm²) a = b (cm) 
a ≠ b 
b = 20 
(cm) 
DIMENSÕES 
ADOTADAS 
(cm) 
P1 = P45 3,5438 141,752 113,4016 10,649 
 
20X20 
P2 = P46 6,5625 262,5 210 14,491 
 
20X20 
P3 = P47 9,5738 382,952 306,3616 17,503 
 
20X20 
P4 = P48 17,4769 699,076 559,2608 23,649 27,963 20X30 
P5 = P25 = P49 = P69 9,7467 389,868 311,8944 17,661 
 
20X20 
P6 = P26 = P50 = P70 6,5334 261,336 209,0688 14,459 
 
20X20 
P7 = P27 = P51 = P71 4,9687 198,748 158,9984 12,609 
 
20X20 
P8 = P28 = P52 = P72 2,6831 107,324 85,8592 9,266 
 
20X20 
P9 = P29 = P53 = P73 1,9069 76,276 61,0208 7,812 
 
20X20 
P10 = P30 = P54 = P74 0,9262 37,048 29,6384 5,444 
 
15X15 
P11 = P31 = P55 = P75 3,3449 133,796 107,0368 10,346 5,352 20X15 
P12 = P32 = P56 = P76 0,9288 37,152 29,7216 5,452 
 
20X20 
P13 = P33 = P57 = P77 3,0783 123,132 98,5056 9,925 
 
20X20 
P14 = P34 = P58 = P78 9,0372 361,488 289,1904 17,006 
 
20X20 
P15 = P35 = P59 = P79 8,0289 321,156 256,9248 16,029 
 
20X20 
P16 = P36 = P60 = P80 1,8225 72,9 58,32 7,637 
 
20X20 
P17 = P37 = P61 = P81 0,9788 39,152 31,3216 5,597 
 
20X20 
P18 = P38 = P62 = P82 3,345 133,8 107,04 10,346 
 
20X15 
P19 = P39 = P63 = P83 0,9262 37,048 29,6384 5,444 5,532 15X15 
P20 = P40 = P64 = P84 1,9069 76,276 61,0208 7,812 
 
20X20 
P21 = P41 = P65 = P85 9,5937 383,748 306,9984 17,521 
 
20X20 
P22 = P42 = P66 = P86 8,4417 337,668 270,1344 16,436 
 
20X20 
P23 = P43 = P67 = P87 8,8622 354,488 283,5904 16,840 
 
20X20 
P24 = P44 = P68 = P88 6,5938 263,752 211,0016 14,526 
 
20X20 
Tabela 1 - Pré-dimensionamento de pilares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
4. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 No pré-dimensionamento de lajes foram feitos os cálculos referentes à altura (h), 
utilizando como dado o menor vão da laje (Lx) e o maior vão (Ly). 
 De acordo com a NBR 6118/14 usa-se a Tabela 6.1 – Classes de agressividade 
ambiental (CAA), para avaliar posteriormente qual será o fck do concreto utilizado. 
Após a analise da tabela citada foi considerada a CAA II. 
 
Figura 2 - NBR 6118/14 
 Após a escolha da classe de agressividade ambiental (CAA II), foi consultada a 
Tabela 7.1 – Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do concreto, 
nela é especificada a classe do concreto de acordo com a classe de agressividade 
ambiental citada acima, para concreto armado a norma sugere concreto C25, o mesmo 
foi utilizado no projeto. 
 
Figura 3 - NBR 6118/14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 Na Tabela 7.2 – Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e 
o cobrimento nominal para ∆c = 10 mm, a norma sugere o cobrimento nominal para 
lajes de 25 mm. 
 
Figura 4 - NBR 6118/14 
 Com os dados coletados acima é possível estabelecer os valores para os 
cálculos do pré-dimensionamento, como os cálculos a seguir: 
 Dados: 
A fórmula usada para achar a altura da laje será: 
h = ∆c + c + d 
Onde: 
∆c = 1 cm (∆c = Cobrimento nominal) 
c = 2,5cm (c = Cobrimento nominal referente à classe de agressividade ambiental) 
d ≈ 
𝐿𝑥
40
 (d: Distância da fibra mais comprimida da peça até o centro de gravidade do aço) 
 
 Usando como exemplo a Laje 1. 
Lox = LX – ½ bviga – ½ bviga L0X = 2,5m – ½ ×0,10m – ½ ×0,10m = 2,3m 
Loy = LY – ½ bviga – ½ bviga L0Y = 2,625m – ½ ×0,10m – ½ ×0,10m = 2,425m 
d ≈ 
230𝑐𝑚
40
 d ≈ 5,75cm 
h = 1 cm + 2,5 cm + 5,75 cm h = 9,25 cm 
Adotamos h = 10cm 
λ = Loy/Lox λ = 2,425m/2,3m λ = 1,05 
λ ˂ 2 Trabalha em duas direções λ ˃2 Trabalha em uma direção. 
 
6 
 
Usando o cálculo acima como referencial, obtivemos os seguintes resultados de 
acordo com as dimensões do projeto. Considerando que, ∆c = 1 cm e c = 2,5cm. 
Laje 
Lx 
(m) 
Ly 
(m) 
1/2 
bviga 
1/2 
bviga 
Lox 
(m) 
Loy 
(m) 
d 
(cm) 
h 
(cm) 
h ADOT. 
(cm) 
1 = 16 = 27 = 42 2,5 2,625 0,1 0,1 2,3 2,425 5,75 9,25 10 
2 = 17 = 28 = 43 1,175 2,675 0,075 0,1 1 2,5 2,5 6 10 
3 = 18 = 29 = 44 2,5 3,7 0,1 0,1 2,3 3,5 5,75 9,25 10 
4 = 19 = 30 = 45 2,5 2,825 0,1 0,1 2,3 2,625 5,75 9,25 10 
5 = 20 = 31 = 46 2,675 5,85 0,1 0,1 2,475 5,65 6,1875 9,6875 10 
6 = 21 = 32 = 47 3,3 5,175 0,1 0,1 3,1 4,975 7,75 11,25 10 
7 = 22 = 33 = 48 2,675 5,175 0,1 0,1 2,475 4,975 6,1875 9,6875 10 
8 = 23 = 34 = 49 2,5 3,7 0,1 0,1 2,3 3,5 5,75 9,25 10 
9 = 24 = 35 = 50 2,5 2,825 0,1 0,1 2,3 2,625 5,75 9,25 10 
10 = 25 = 36 = 51 1,175 2,675 0,075 0,1 1 2,5 2,5 6 10 
11 = 26 = 37 = 52 2,5 2,625 0,1 0,1 2,3 2,425 5,75 9,25 10 
12 = 38 1,35 2,5 0,1 0,1 1,15 2,3 2,875 6,375 10 
13 = 39 1,35 2,5 0,1 0,1 1,15 2,3 2,875 6,375 10 
14 = 40 1,35 2,675 0,1 0,1 1,15 2,475 2,875 6,375 10 
15 = 41 1,35 3,3 0,1 0,1 1,15 3,1 2,875 6,375 10 
Tabela 2 - Pré-dimensionamento de lajes 
 
5. DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 Como exemplo de cálculo foi utilizada a laje 1, considerada em projeto um 
dormitório de casal. 
5.1. Avaliação de Cargas: 
Material Peso Específico 
Aparente (kN/m³) 
Carga (kN/m²) Espessura (m) 
Forro - 0,5 - 
Porcelanato 21 - 0,012 
Argamassa CP c-a21 - 0,025 
Concreto Armado 25 - - 
 
 Cargas Permanentes (g): 
 As cargas permanentes (g) são as cargas constituídas pelo peso próprio da 
estrutura e pelo peso de elementos fixos na estrutura. 
gpp = hlaje ∗ ℽcto gpp = 0,1m ∗ 25kN/m³ 𝐠𝐩𝐩 = 𝟐, 𝟓𝐤𝐍/𝐦² 
gcp = e ∗ ℽargc − a gcp = 0,025m ∗ 21kN/m³ 𝐠𝐜𝐩 = 𝟎, 𝟓𝟐𝟓𝐤𝐍/𝐦² 
gporc = e ∗ ℽporc gporc = 0,012 ∗
21kN
m3
 𝐠𝐩𝐨𝐫𝐜 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟐𝐤𝐍/𝐦² 
𝐠𝐟𝐨𝐫𝐫𝐨 = 𝟎, 𝟓𝐤𝐍/𝐦² 
7 
 
gtotal = gpp + gcp + gporc + gforro 
gtotal = 2,5kN/m² + 0,525kN/m² + 0,252kN/m² + 0,5kN/m² 
𝐠𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝟑, 𝟕𝟕𝟕𝐤𝐍/𝐦² 
 
Em casos de muros sobre a laje: 
gmuro = 
e ∗ h ∗ l ∗ ℽtijolo
𝐴 𝑙𝑎𝑗𝑒
 garg.muro = 
e ∗ h ∗ l ∗ℽ arg 𝑐−𝑐−𝑎
𝐴 𝑙𝑎𝑗𝑒
 
 
 Cargas Acidentais (q): 
 As cargas acidentais (q) são as cargas atuantes sobre a estrutura de acordo com o 
uso. Como a laje considerada no cálculo é um dormitório, logo segundo a NBR 
6120/80, a carga acidental considerada é igual a q=1,5 kN/m². 
5.2. Combinações de cargas: 
 Para os cálculos das combinações de cargas foram usadas as tabelas a seguir, de 
acordo com NBR 6118/14. 
 
Figura 5 - NBR 6118/14 
8 
 
 
Figura 6 - NBR 6118/14 
 As combinações de cargas referem-se ao Estado Limite Ultimo e Estado Limite de 
Serviço, sendo assim gerando duas combinações C1 e C2 referente aos estados. 
 E.L.U. (Estado Limite Último): É o estado limite relacionado ao projeto, ao 
colapso/ruína da estrutura. 
C1 = 1,4 * g + 1,4 * q 
C1 = 1,4 * 3,777 kN/m² + 1,4 * 1,5kN/m² C1 = 7,3878kN/m² 
 E.L.S. (Estado Limite de Serviço): É o estado limite relacionado as condições de 
desempenho e fissuração. 
C2 = 1,0 * g + 1,0 * q 
C2 = 1,0 * 3,777kN/m² + 1,0 * 1,5kN/m² C2 = 5,277kN/m² 
5.3.Avaliação de Esforços 
 As avaliações de esforços consistem em calcular os momentos, logo para isso usa-
se a relação entre as distâncias de Loy e Lox, possibilitando assim achar o λ, 
posteriormente usado na Tabela de Czerny, com esse valor é possível achar os valores 
de αx, αy, βx, βy e α2. 
A laje 1 é classificada como LAJE TIPO 3, denominada assim pela Tabela de Czerny. 
Os valores obtidos são usados nas seguintes formulações: 
𝑀𝑥 =
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎)∗𝐿𝑥𝑜2
𝛼𝑥
 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 𝑀𝑦 =
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎)∗𝐿𝑥𝑜2
𝛼𝑦
 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 
𝑀′𝑥 =
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎)∗𝐿𝑥𝑜2
𝛽𝑥
 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 𝑀′𝑦 =
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎)∗𝐿𝑥𝑜2
𝛽𝑦
 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 
9 
 
Os cálculos a seguir foram considerados para uma faixa de 100 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
𝑀𝑥 =
𝐶1∗𝐿𝑥𝑜2
𝛼𝑥
 ∗ 𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑀𝑥 =
7,3878𝑘𝑁
𝑚2
∗(2,3𝑚)²
32,1
 ∗ 100𝑐𝑚 𝑴𝒙 = 121,749 kN*cm 
𝑀𝑦 =
𝐶1∗𝐿𝑥𝑜2
𝛼𝑦
 ∗ 𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑀𝑦 =
7,3878𝑘𝑁
𝑚2
∗(2,3𝑚)²
33,7
 ∗ 100𝑐𝑚 𝑴𝒚 = 115,969 kN*cm 
𝑀′𝑥 =
𝐶1∗𝐿𝑥𝑜2
𝛽𝑥
 ∗ 𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑀′𝑥 =
7,3878𝑘𝑁
𝑚2
∗(2,3𝑚)²
13,3
 ∗ 100𝑐𝑚 𝑴𝒙′ = 293,846 kN*cm 
𝑀′𝑦 =
𝐶1∗𝐿𝑥𝑜2
𝛽𝑦
 ∗ 𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑀′𝑦 =
7,3878𝑘𝑁
𝑚2
∗(2,3𝑚)²
13,8
 ∗ 100𝑐𝑚 𝑴𝒚′ = 283,199 kN*cm 
 
5.4.Compatibilização de momentos 
 As compatibilizações dos momentos foram feitos apenas com os momentos 
negativos. Logo, em caso de lajes com vãos muito diferentes: 
ℓmenor ≥ 
2
3
 ℓmaior 
ℓmenor < 
2
3
 ℓmaior 
A compatibilização é feita por duas fórmulas: 
0,8*Mmáx ou a média dos momentos negativos. 
Usando as formulações: 
0,8*Mmáx = 0,8*(My’) = 0,8*(283,199 kN*cm) = 226,5592 kN*cm 
MédMomentos = 
My′+My′
2
 = 
283,199kN∗cm+283,199 kN∗cm
2
 = 283, 199 kN*cm 
 O momento negativo compatibilizado é o maior valor, comparando o resultado das 
duas equações. Sendo assim, o valor do momento negativo compatibilizado é 283,199 
kN*cm. 
 
λ αx αy βx βy α2 
1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1 
10 
 
 
5.5.Momento mínimo 
 O momento mínimo é calculado a partir das especificações do item 17.3.5.2.1, da 
NBR 6118/14. 
Mdmin = 0,8 ∗ Wo ∗ fctk, sup 
Wo =
b ∗ h2
6
 
Wo =
100cm∗ 10cm2
6
 = 1666,67cm³ 
fct, m = 0,3 ∗ (fck)2/3 
fct, m = 0,3 ∗ 252/3Mpa 
 fct, m = 𝟐, 𝟓𝟔𝟓𝐌𝐏𝐚 
fctk, sup = 1,3 ∗ fct, m 
 fctk, sup = 1,3 ∗ 2,56MPa 
fctk, sup = 3,328MPa 
fctk, sup = 𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟒 𝐤𝐍/𝐜𝐦² 
Mdmin = 0,8 ∗ 1666,67cm³ ∗ 0,3334 kN/cm² 
𝐌𝐝𝐦𝐢𝐧 = 𝟒𝟒𝟒, 𝟓𝟗𝟑𝟕 𝐤𝐍 ∗ 𝐜𝐦 
 
5.6. Cálculo da Linha Neutra 
 Para o cálculo de linha neutra foi usado como base o item 14.6.4.3, da NBR 
6118/14. Na norma estão especificadas as seguintes condições com a posição da linha 
neutra, para proporcionar o comportamento adequado em lajes. 
a) x/d ≤ 0,45, para concretos com fck ≤ 50 MPa 
b) x/d ≤ 0,35, para concretos com 50 MPa <fck ≤ 90 Mpa 
Para o valor de Fcd (Resistência de cálculo à compressão do concreto), foi usada a 
tabela 12.1 (NBR 6118/14). 
 
Figura 7 - NBR 6118/14 
11 
 
Calculando a linha neutra (x): 
𝑥 = 1,25 ∗ 𝑑 ∗ (1 − √1 −
𝑀
0,425 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝐹𝑐𝑑
) 𝑐𝑚 
d = h – c - ∆c d = 10 cm – 2,5cm – 1cm d = 6,5cm 
 𝐹𝑐𝑑 =
𝐹𝑐𝑘
𝛾𝑐
 𝐹𝑐𝑑 = 
2,5𝑘𝑁/𝑐𝑚²
1,4
 𝐹𝑐𝑑 = 1,7857𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝑥 = 1,25 ∗ 6,5 ∗ (1 − √1 −
121,749 kN ∗ cm
0,425 ∗ 100𝑐𝑚 ∗ 6,52 ∗ 1,7857𝑘𝑁/𝑐𝑚²
) 𝑐𝑚 
𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟓𝟕𝒄𝒎 
Aplicando as condições: 
x/d= 
0,1557 𝑐𝑚
6,5 𝑐𝑚
 = 0,024 → OK! 
5.7. Armaduras e detalhamento 
Calculando a área de aço: 
As =
M
(d − 0,4 ∗ x) ∗ Fyd
 
As =
121,749 kN ∗ cm
(6,5cm − 0,4 ∗ 0,024) ∗ 43,478kN ∗ cm²
 
As= 0,431 
𝒄𝒎𝟐
𝒎 𝒍𝒂𝒋𝒆
 
Área de aço mínima para a estrutura é representada pela seguinte equação: 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,15% ∗ Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 = 0,15% ∗ 𝑏 ∗ ℎ 
Neste caso: 
 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝐴𝑠𝑥 = 𝐴𝑠𝑦 = 𝐴𝑠𝑦′ 
 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,15% ∗ 100 ∗ 10 = 𝟏, 𝟓
𝒄𝒎𝟐
𝒎 𝒍𝒂𝒋𝒆
 
Como a área de aço é menor que a área de aço mínima, adota-se o valor de Asmin. 
12 
 
5.8. Detalhamento 
 No detalhamento é feito a determinação do número de barras, a área de aço e o 
diâmetro das mesmas. 
 Para determinação das áreas de aço, números de barras e seus respectivos 
diâmetros, foi utilizada a tabela a seguir: 
Bitola NÚMERO DE BARRAS (n) 
(mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
5,0 0,20 0,39 0,59 0,79 0,98 1,18 1,37 1,57 1,77 1,96 
6,3 0,31 0,62 0,94 1,25 1,56 1,87 2,18 2,49 2,81 3,12 
8,0 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 
10,0 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 
12,5 1,23 2,45 3,68 4,91 6,14 7,36 8,59 9,82 11,04 12,27 
16,0 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 
20,0 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 
22,0 3,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,01 
25,0 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 
32,0 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 
40,0 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 
Tabela 3 - Aço 
5.9. Ganchos 
 De acordo com o item 9.4.2.3 da NBR 6118/14, os ganchos das extremidades das 
barras da armadura longitudinal de tração podem ser: 
a) Semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2ɸ; 
b) Em ângulo de 45º (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4ɸ; 
c) Em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8ɸ. 
Seguindo as recomendações da norma, foram estimados os seguintes valores: 
Em Asx: 
Lg = 4ɸ 
Lg = 4 ∗ 6,3mm 
𝐋𝐠 = 𝟐𝟓,𝟐 𝐦𝐦 
Ltotal = Llaje + 2 ∗ extensão apoios + 2 ∗ Lgancho 
Ltotal = 2,3m + 2 ∗ 0,10m + 2 ∗ 0,0252m 
𝐋𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝟐, 𝟓𝟓𝐦 
13 
 
Em Asy: 
Lg = 4ɸ 
Lg = 4 ∗ 6,3mm 
𝐋𝐠 = 𝟐𝟓, 𝟐 𝐦𝐦 
Ltotal = Llaje + 2 ∗ extensão apoios + 2 ∗ Lgancho 
Ltotal = 2,425m + 2 ∗ 0,10m + 2 ∗ 0,0252m 
𝐋𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝟐, 𝟔𝟖𝐦 
De acordo com os dados acima, o detalhamento da laje 1, será: 
 
Laje 1 
 
 
As ɸ n As (Real) Esp. Nº Barras Total 
 
lg (45º) (mm) ltotal (m) 
Asx 1,5 6,3 5 1,56 20 13 
 
25,2 2,55 
Asy 1,5 6,3 5 1,56 20 12 
 
25,2 2,68 
Tabela 4 - Detalhamento laje 1 
 Os dados acima está constando somente a laje 1, sem suas devidas 
compatibilizações, o restante dos dados/cálculos estará em uma planilha geral, 
devidamente calculados. 
5.10. Verificação de serviço 
 Flecha máxima: 
Wmáx =
P ∗ Lox4
Ecs ∗ h3 ∗ α2
 = Wmáx =
C2 ∗ Lox4
Ecs ∗ h3 ∗ α2
 
Os valores de αE e Ecs foram calculados de acordo com o item 8.2.8, da NBR 6118/14. 
 Eci = módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial do 
concreto, referindo-se sempre ao módulo cordal. 
 
Eci = αE ∗ 5600√fck 
 αE = parâmetro em função da natureza do agregado que influencia o módulo de 
elasticidade. 
αE= 1,2 (considerando basalto) 
Eci = 1,2 ∗ 5600√25 
𝐄𝐜𝐢 = 𝟑𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 kN/m² 
 
14 
 
αi = 0,8 + 0,2 ∗
Fck
80
 ≤ 1,0 
αi = 0,8 + 0,2 ∗
25
80
 ≤ 1,0 
𝛂𝐢 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟐𝟓 ≤ 𝟏, 𝟎 OK! 
 Ecs = módulo de deformação secante do concreto. 
Ecs = αi ∗ Eci 
Ecs = 0,8625 ∗ 33600000 kN/m² 
𝐄𝐜𝐬 = 𝟐𝟖𝟗𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐤𝐍/𝐦² 
Com os seguintes valores obtidos é possível calcular a flecha máxima, logo: 
Wmáx =
5,277kN/m² ∗ 2,425m4
28980000 kN/m² ∗ 0,13 ∗ 37,1
 
𝐖𝐦á𝐱 = 𝟎, 𝟏𝟒 𝐦𝐦 
 Flecha deferida: 
 De acordo com o item 17.3.2.1.2, a flecha deferida é definida como: é decorrente 
das cargas de longa duração em função da fluência. 
É calculada pela formula: 
ρ′ =
As′
b ∗ d
 
ρ′ =
0
100cm ∗ 6,5cm
 
𝛒′ = 𝟎 
𝛼𝐹 =
∆𝜀
1 + 50 ∗ 𝜌′
 
ε = é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na Tabela 17.1 
ou ser calculado pelas expressões seguintes: 
 
∆ε = ε(tf) − ε(t0) 
tf= t > 70 meses 
ε(t) = 0,68 ∗ (0,996t) ∗ t0,32 
15 
 
 
Figura 8- NBR 6118/14 
Calculando o αF e ε (t) para t0=25 dias ou 0,83 meses: 
𝛼𝐹 =
2 𝑚ê𝑠 − 0,83 𝑚ê𝑠
1 + 50 ∗ 0
 
𝜶𝑭 = 𝟏, 𝟏𝟕 
ε(t) = 0,68 ∗ (0,996t) ∗ t0,32 
ε(t = 0,83) = 0,68 ∗ (0,9960,83) ∗ 0,830,32 
𝛆(𝐭 = 𝟎, 𝟖𝟑) = 𝟎, 𝟔𝟑𝟗𝟑 
Para obter o valor da flecha deferida usa-se a fórmula: 
Wdeferida = αF ∗ Wmáx 
Wdeferida = 1,17 ∗ 0,14mm 
𝐖𝐝𝐞𝐟𝐞𝐫𝐢𝐝𝐚 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟎𝟐𝐦𝐦 
 De acordo com a norma há uma aceitabilidade visual a ser seguida, ou seja, uma 
flecha limite. A flecha limite é calculada de acordo com a tabela 13.3, sendo diferente 
para cada tipo de estrutura, sendo ela estrutural ou não estrutural. 
16 
 
 
Figura 9 - NBR 6118/14 
Seguindo a tabela acima, sendo a laje um elemento estrutural, usa-se a fórmula: 
Wlimite =
Lox
250
 
Wlimite =
2,3m
250
 
𝐖𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞 = 𝟎, 𝟗𝟐 𝐦𝐦 
Fazendo uma análise dos resultados das flechas: 
Wmáx < Wlimite 
0,14mm < 0,92 mm OK! 
 Para lajes em que o Wmáx > Wlimite (exemplo da laje 6), o deslocamento previsto 
deve ser compensado por contra flechas. 
5.11. Distribuição de cargas 
 As fórmulas usadas para o cálculo das distribuições de cargas são retiradas da 
tabela de Quinhões, mostrada a seguir: 
17 
 
18 
 
 
Tabela 5 - Tabela de Quinhões 
 
A laje 1 é uma laje tipo 3, logo as fórmulas utilizadas são: 
Q1 = 0,732 ∗
P ∗ Lox
4
 
Q2 = 1,732 ∗ Q1 
Q4 = Q1 ∗ (2 −
Lox
Loy
) 
Q3 = 1,732 ∗ Q4 
Sabendo que o valor de P é igual ao total de cargas permanentes (gtotal) da laje. 
Com a aplicação das fórmulas acima se obtém os seguintes valores: 
DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 
Laje P(kN/m²) Lox (m) Loy (m) Tipo Q1 (kN/m) Q2 kN/m) Q3 kN/m) Q4 kN/m) 
1 = 16 = 27 = 42 5,2770 2,3 2,425 3 2,2211 3,8469 4,0452 2,3356 
 
 
19 
 
6. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE VIGAS 
 
 No pré-dimensionamento das vigas foram feitos os cálculos referente aos 
comprimentos, para assim obter os valores das alturas (h assumido). 
 As vigas foram calculadas considerando um concreto C25, aço CA50 e estribos 
C25. 
Deste modo usamos as seguintes formulações: 
 Para vigas isoladas ℎ ≈
1
10
∗ 𝑙 
 
 Para vigas contínuas ℎ ≈
1
12
∗ 𝑙𝑚á𝑥 
 
 Para vigas contínuas com vãos de dimensões aproximadas ℎ ≈
1
12
∗ 𝑙𝑚é𝑑 
 
 Para obter o comprimento médio das vigas 𝑙𝑚é𝑑 =
𝐿𝐴+𝐿𝐵
𝑛
 
 
 Para bases 
1
3
∗ ℎ ≤ 𝑏 ≤ 
1
2
∗ ℎ 
Para obter os resultados, usamos as equações acima. 
 Viga contínua: V5 = V38 
ℎ ≈
1
12
∗ 497,5𝑐𝑚 ℎ ≈ 42𝑐𝑚 
1
3
∗ 42𝑐𝑚 ≤ 𝑏 ≤ 
1
2
∗ 42𝑐𝑚 14𝑐𝑚 ≤ 𝑏 ≤ 21𝑐𝑚 
Adotamos b = 20cm 
 
 Viga contínua: V1 = V46 
𝑙𝑚é𝑑 =
2,625𝑚 + 2,625𝑚
2
= 2,625𝑚 
ℎ ≈
1
12
∗ 262,5𝑐𝑚 ℎ ≈ 22𝑐𝑚 
1
3
∗ 22𝑐𝑚 ≤ 𝑏 ≤ 
1
2
∗ 22𝑐𝑚 7,33𝑐𝑚 ≤ 𝑏 ≤ 11𝑐𝑚 
Adotamos b = 20cm 
 Viga isolada: V9 = V42 
ℎ ≈
1
10
∗ 250 ℎ ≈ 25c𝑚 
1
3
∗ 25𝑐𝑚 ≤ 𝑏 ≤ 
1
2
∗ 25𝑐𝑚 8,33𝑐𝑚 ≤ 𝑏 ≤ 12,5𝑐𝑚 
Adotamos b = 20 cm 
20 
 
PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
VIGA 
Lméd 
(m) 
Li (m) 
Lmáx 
(m) 
h (cm) 
h ADOTADO 
(cm) 
> b (cm) < b (cm) 
b ADOTADO 
(cm) 
V1 = V34 2,625 21,875 30 7,292 10,938 20 
V2 = V35 2,175 18,125 30 6,042 9,063 20 
V3 = V36 3,263 27,188 30 9,063 13,594 20 
V4 = V37 5,85 48,75 40 16,250 24,375 20 
V5 = V38 4,975 41,458 40 13,819 20,729 20 
V6 = V39 3,5 29,167 30 9,722 14,583 20 
V7 = V40 2,5 20,833 30 6,944 10,417 20 
V8 = V41 2,425 20,208 30 6,736 10,104 20 
V9 = V42 2,5 25 30 8,333 12,500 15 
V10 = V43 2,5 25 30 8,333 12,500 15 
V11 = V44 2,5 25 30 8,333 12,500 15 
V12 = V45 2,5 25 30 8,333 12,500 15 
V13 = V46 2,558 21,317 30 7,106 10,658 20 
V14 = V47 = V24 = V57 2,3 23 30 7,667 11,500 20 
V15 = V48 = V25 = V58 1 10 30 3,333 5,000 15 
V16 = V49 = V26 = V59 2,3 23 30 7,667 11,500 20 
V17 = V50 = V27 = V60 2,3 23 30 7,667 11,500 20 
V18 = V51 = V28 = V61 2,883 24,025 30 8,008 12,013 20 
V19 = V52 = V29 = V62 2,3 23 30 7,667 11,500 20 
V20 = V53 = V30 = V63 2,3 23 30 7,667 11,500 20 
V21 = V54 = V31 = V64 1 10 30 3,333 5,000 15 
V22 = V55 = V32 = V65 2,3 23 30 7,667 11,500 20 
V23 = V56 = V33 = V66 2,74375 22,865 30 7,622 11,432 20 
Tabela 6 - Pré-dimensionamento de vigas 
 
 
 
 
 
21 
 
6.1. Transferência de Cargas 
Usando como exemplo a Viga 1 = 34. 
Através da tabela de quinhões é possível obter as fórmulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 Por ser lajes do Tipo 3 apoiada sobre a viga em análise, usaremos as seguintes 
fórmulas mostrada na figura acima para obtermos as combinações de cargas. 
Temos: C2= 5,2770 kN/cm² da laje 1 = 16. 
𝑄1 = 0,732 ∗
𝑃∗𝑙𝑥
4
 𝑄2 = 1,732 ∗ 𝑄1 𝑄4 = 𝑄1 ∗ (2 −
𝑙𝑥 
𝑙𝑦
) 𝑄3 = 1,732 ∗ 𝑄4 
𝑄1 = 0,732 ∗
5,277∗2,625
4
 = 2,221 kN/m 
𝑄2 = 1,732 ∗ 2,221 = 3,846 kN/m 
𝑄4 = 2,221 ∗ (2 −
2,5 
2,625
) = 𝟐, 𝟑𝟑𝟓 kN/m 
𝑄3 = 1,732 ∗ 2,335 = 𝟒, 𝟎𝟒𝟓 kN/m 
 Cargas Permanentes (g) 
gpp = b ∗ h ∗ ℽcto gpp = 0,2m ∗ 0,3m ∗ 25kN/m³ 𝐠𝐩𝐩 = 𝟏, 𝟓𝐤𝐍/𝐦 
gpar = At ∗ ℽtijolo gpar = 2,45m ∗ 0,09m ∗ 13kN/m³ 𝐠𝐩𝐚𝐫 = 𝟐, 𝟖𝟕𝐤𝐍/𝐦 
gacab = At ∗ ℽ arg c − c − agpar = 2 ∗ (0,02m) ∗ 2,45m ∗ 19kN/m³ 
𝐠𝐩𝐚𝐫 = 𝟏, 𝟖𝟔𝐤𝐍/𝐦 
 
 Combinações de Cargas 
C1 = 1,4 ∗ (Σglaje + qlaje + Σviga) 
C1 = 1,4 ∗ ( 2,335kN/m + (1,5kN/m + 2,87kN/m + 1,86kN/m) 
 C1 = 1,4 ∗ (8,56kN/m) 
𝐂𝟏 = 𝟏𝟏, 𝟗𝟗𝐤𝐍/𝐦 
C2 = Σglaje + qlaje + Σviga 𝐂𝟐 = 𝟖, 𝟓𝟔𝐤𝐍/𝐦 
22 
 
6.2. Avaliação de Cargas 
 
 
 
 
 
A1 
= A2 = Menor valor entre: T1/2 ou 0,3h 
A1 = A2 = 10cm 
Lef = lo + A1 + A2 Lef = 2,425 + 0,1 + 0,1 Lef = 2,605 
 
No Ftool temos os seguintes dados. 
Envoltória V [kN] 
Envoltória M [kN*m] 
 
 Nesse caso, é necessário fazer a 
compatibilização dos momentos negativos. 
 Usamos o maior momento absoluto seguido do 
mais próximo à ele. 
Vsd = 171kN 
Mmáx
-
 = 740kN*cm <> M
-
 = 730kN*cm 
Compatibilizando-os: 
0,8*>Momento = 0,8*740 = 592kN*cm 
M
+
 = 560kN*cm 
𝑀1+𝑀2
𝑁
 ; 
740+730
2
 = 735𝑘𝑁 ∗ 𝑐𝑚 
Feito isso, usamos o maior dos valores. 
 
 
 
 
Figura 10 - Esquema de viga 
Figura 11 - Momentos Fletores 
Figura 12- Cortantes 
23 
 
6.3. Verificação de Cortante 
 
a) Verificação da compressão diagonal do concreto: 
VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d Assumindo: ɸe = 0,63cm 
d = h – (c + ∆c) − ɸe − ɸt/2 ɸt = 2,50cm 
d = 30cm – (3cm + 1cm) – 0,63cm – 2,5cm 𝐝 = 𝟐𝟒, 𝟏𝟐𝐜𝐦 
αv2 = (1 − fck / 250) e fck, expresso em megapascal (MPa); 
αv2 = (1 −
25
250
) αv2 = 0,90 
Fcd = (
Fck
1,4
) Fcd = 
2,5
1,4
=
𝟏,𝟕𝟖𝟔𝒌𝑵
𝒄𝒎𝟐
 
VRd2 = 0,27 ∗ 0,90 ∗
1,786kN
cm2
∗ 20 ∗ 24,12 VRd2 = 209,33kN 
Verificando: Vsd = 171 kN < VRd2 = 209,33 kN 
6.4. Estribos 
Diâmetro adotado: ɸe = 0,63cm 
O espaçamento máximo deve atender às seguintes condições: 
a) se Vd ≤ 0,67 VRd2 , então smáx = 0,6 d ≤ 300 mm; 
b) se Vd > 0,67 VRd2 , então smáx = 0,3 d ≤ 200 mm. 
Vsd = 171kN > 0,67 ∗ 209,33kN Vsd = 171kN > 140,25kN 
Smáx = 0,3 d ≤ 200 mm Smáx = 0,3*24,12 ≤ 200 mm 
be = b – 2 ∗ (c + ∆c) − ɸe 
be = 20cm – 2 ∗ (3cm + 1cm) – 0,63cm 
be = 11,37 ≈ 12cm 
he = ht – 2*(c+∆c) - ɸe 
he = 30cm – 2 ∗ (3cm + 1cm) – 0,63cm 
he = 21,37 ≈ 22cm 
lg 45º = 5ɸ 
lg45º = 5 ∗ 0,63cm = 3,15cm Adotamos 5 cm 
lt = 2 ∗ be + 2 ∗ he + 2 ∗ lg lt = 2 ∗ 12cm + 2 ∗ 22cm + 2 ∗ 5cm 
 lt = 78cm ≈ 80cm 
N = Comprimento da viga (1vão) / Espaçamento 
N = 262,5cm/20cm = 13,125 ≈ 14 barras 
24 
 
6.5. Detalhamento à Flexão 
A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos 
deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo 
dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15 %: 
Md, mín = 0,8W0 fctk, sup 
Onde: 
 W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra 
mais tracionada e fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração 
Wo =
bh2
6
 
Wo =
20∗302
6
 
 W0 = 3000 cm³ 
Fctk,sup = 1,3fct,m 
Para concretos de classes até C50: fct,m = 0,3 fck2/3 
Fct, m = 0,3 ∗ 25
2
3 
Fct, m = 0,3 ∗ 25
2
3 
Fct,m = 2,564MPa = 0,2564kN/cm² 
Fctk, sup = 1,3 ∗ fct, m 
Fctk, sup = 1,3 ∗ 0,2564 
Fctk,sup = 0,3334kN/cm² 
 
6.6. Momento Mínimo 
Md, mín = 0,8 ∗ 3000cm³ ∗ 0,3334kN/cm² 
 Md,mín = 800,3 kN*cm 
M
+
 = 560kN*cm < Md,mín = 800,3kN*cm → Calcula-se aço mínimo. 
M
-
 = 735kN*cm < Md,mín = 800,3kN*cm → Calcula-se aço mínimo. 
Caso M
±
 > Md,mín – é necessário calcular a linha neutra e usar a equação de As. 
Onde: As é a área de armadura na zona tracionada. 
As,mín = (
0,15
100
) ∗ Ac 
As,mín = (
0,15
100
) ∗ 20cm ∗ 30cm 
As,mín = 0,9cm² 
25 
 
6.7. Detalhamento 
 Na tabela referente à área de aço real (As Real), identificamos o valor mais próximo 
da área de aço encontrada através do Md,mín. 
Bitola NÚMERO DE BARRAS (n) 
(mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
5,0 0,20 0,39 0,59 0,79 0,98 1,18 1,37 1,57 1,77 1,96 
6,3 0,31 0,62 0,94 1,25 1,56 1,87 2,18 2,49 2,81 3,12 
8,0 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 
10,0 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 
12,5 1,23 2,45 3,68 4,91 6,14 7,36 8,59 9,82 11,04 12,27 
16,0 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 
20,0 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 
22,0 3,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,01 
25,0 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 
32,0 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 
40,0 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 
Tabela 7 - Aço 
 
Através da tabela encontramos: 
 V1 = V34 
 
As (cm²) ɸ (mm) n As (Real) C (cm) 
As + 0,9 8 2 1,01 525 
As - 0,9 8 2 1,01 525 
Tabela 8 - Detalhamento viga 1 
Observação: 
 Para vigas, deve-se ter no mínimo quatro barras longitudinais para distribuição dos 
estribos. 
 Seção A-A da viga: 
 
Figura 13 - Detalhamento 
De acordo a NBR6118-2014, para vigas com altura inferior à 60 cm, dispensa a 
armadura de pele. 
 
26 
 
6.8. Fator Equivalente 
αe = 
Ey
Ecs
 
𝛼𝑒 =
210000𝑀𝑃𝑎
28980𝑀𝑃𝑎
 αe = 7,25 
Ecs = αi*Eci 
Ecs = 0,8625 ∗ 33600MPa Ecs = 28980MPa 
Basalto = 1,2 
Eci = 1,2*5600√25𝑀𝑝𝑎 Eci = 33600MPa 
αi = 0,8 + 0,2* 25Mpa/80 αi = 0,8625 
Ey = 210000MPa 
x = linha neutra calculada 
d’ = ɸt/2 + (c+∆c) 
d’ = 5,25 cm 
Ix = (αe – 1)*As’(x-d’)² 
Ix = αe * As(d’-x)² 
III = 
𝑏𝑥³
3
+ (αe − 1) ∗ As′(x − d)2 + αe ∗ As(d − x)² 
III =
20∗1,43
3
+ (7,25 − 1) ∗ 0,9(1,4 − 5,25)2 + 7,25 ∗ 0,9(5,25 − 1,4)2 
 III = 3468,55cm
4
 
 
6.9. Flecha instantânea 
Wi = 
5
384
∗
𝐶2∗𝐿𝑒4
𝐸𝑐𝑠∗𝐼
 
Wi = 
5
384
∗
8,56
𝑘𝑁
𝑚
 ∗5,21𝑚4
28980000
𝑘𝑁
𝑚2
∗3468,55𝑐𝑚4∗(
1
100𝑐𝑚
)4
 *1000 
 Wi = 7,8mm 
to = 28 dias 
tf > 70 meses = 2,0 
ρ′ =
As’
bd
 
 ρ′ =
0,9cm2
20cm∗24,12cm
 
 ρ' = 0,00178 
 
 
27 
 
ξ (t28) = 1mês / 30dias * 28 
ξ (t28) = 0,9 meses 
 
ξ (t0) = 0,68*(0,996
0,9
)*0,9
0,32
 
 ξ (t0) = 0,66 
∆ξ (t) = ξ(tf) – ξ(t0) 
∆ξ (t) = 1,34 
αf = ∆ξ/1+50 ρ' 
αf = 1,34/(1+50*(0,00178)) 
αf = 1,22 
Wf = αf*Wi 
Wf = 1,22*7,8 
Wf = 9,6mm 
Wt = Wi+Wf 
Wt = 7,8+9,6 
Wt = 17,4mm 
Wt ≤ 
𝑙𝑒
250
 → 17,4 ≤ 
5250
250
 → 17,4 ≤ 21 
 
Para elementos não estruturais, usa-se 𝑊𝑡 ≤
𝑙𝑒
500
 
 Caso as verificações de flechas não supra a necessidade, é necessário adicionar uma 
contra flecha.