Relatório Oscilador Harmônico Simples

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Oscilador Harmônico simples e amortecido
Londrina
2016
Oscilador Harmonico simples e amortecido
Relatório experimental à Disciplina (Física Aplicada a Engenharia II) do Departamento de Física da Universidade Estadual de Londrina. 
Docente: 
 Londrina
2016
Oscilador Harmônico Simples e Amortecido. 2016. Numero de folhas . Relatório apresentado à disciplina (Física Aplicada a Engenharia II). Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2016.
RESUMO
Palavras-chave:
Objetivos
 Buscar compreender melhor através de experimentos, como o conceito de Movimento Harmônico Simples (M.H.S) e o Movimento Harmônico Amortecido são aplicados na pratica.
Sumario
1 INTRODUÇÃO
	Para que se tenha entendimento completo sobre a experiência realizada neste relatório, temos de estabelecer o conceito de Movimento Harmônico Simples (MHS). Que pode ser descrito como movimento que acontece de forma periódica ou como o movimento de oscilação mais primário, sendo constatado em vários aspectos de nossa vida como por exemplo em uma corda de um violão em uma mola, que é o caso que iremos tratar neste relatório. Este movimento de “vai e vem” são caracterizados por um período e uma frequência.
	O sistema massa-mola utilizado nesta experiência consiste em um corpo de massa m preso em uma extremidade da mola, enquanto a outra extremidade esta presa em um suporte de apoio.
Figura 1: Diagrama de forças de um sistema massa-mola.
 
Quando a mola é alongada ela inicia um movimento oscilatório de “vai e vem” que acontece pela força restauradora que obedece a Lei de Hooke(x):
 , (x)
	
Onde K é a constante elástica da mola e X é a elongação ou deformação da mola.
	Se movimentarmos a massa para baixo da linha da origem, uma força de mesma direção e sentido oposto surgira para tentar mantes o equilíbrio e atingira seu valor máximo em X= +A, caso a massa seja movimentada para cima da linha da origem a força restauradora aumentara atingindo seu valor máximo em X=-A.
	A distancia da origem até os X= +A e X= -A é chamada de Amplitude de oscilação.
	Para calcularmos o MHS temos de levar em conta duas formulas oriundas da mecânica física: a segunda lei de Newton e a frequência angular:
 (x)
	
	Aceleração de um sistema massa-mola é dada por 
Subistituindo a da eq(x) em (x):
Como m e ω são grandezas constantes no MHS, podemos expressar:
Se isolarmos ω:
Sabendo da eq(x):
Isolando T, temos a formula final para o calculo do movimento harmônico simples(M.H.S.)
	Posteriormente a realização da experiência do M.H.S. utilizaremos os mesmo sistema massa-mola porem agora acoplado de um disco que tem a função de amortecer, diminuindo assim a velocidade do sistema até voltar ao ponto de equilíbrio.
	Temos que a Força de amortecimento é dada por:
Onde b é a constante de amortecimento e depende das características físicas do corpo, neste caso do disco acoplado e v é a velocidade a que a massa oscila.
	Sabemos que a força que a mola exerce é a eq(x), então escrevendo a segunda lei de Newton para as componentes do eixo x.
Resolvendo isto por meio de uma equação diferencial teremos a solução, para o calculo do movimento harmônico amortecido.
	Onde A indica a amplitude inicial, b indica a redução da amplitude das oscilações, ω é a frequência angular das oscilações e é a constante de fase.
2 Equipamentos utilizados
3 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
	A realização do experimento ocorreu em três etapas. Na primeira utilizou-se o suporte universal e uma única mola anexada ao mesmo, de modo que a constante elástica permaneceu constante. Foram utilizados oito valores diferentes de massa e o sistema foi acelerado a partir de um esforço externo, a partir disso mediu-se o tempo decorrido para cada massa diferente completar dez ciclos. 
	Na segunda etapa, a massa foi a grandeza que se manteve constante enquanto ocorria a variação das constantes elásticas de diferentes molas. O sistema foi colocado em oscilação para seis molas diferentes e também foram medidos os tempos para dez ciclos.
	Na última experiência com o auxílio de um sensor de força ligado a interface Science Workshop, mediram-se os esforços realizados por uma mesma mola associada a uma mesma massa. No entanto variando-se a superfície de contato com o ar, a partir do uso de três discos de massas desprezíveis e diâmetros distintos. Com essa variação de área, observou-se a ação da força de arrasto, amortecendo o movimento harmônico de acordo com a área de superfície do disco usado.
4 RESULTAOS E DISCUSSÕES
Depois de realizado o experimento da prática 1 foi possível coletar alguns dados, que foram organizados e representados na TABELA I.
TABELA I: dados de massa, tempo total e período das oscilações da prática 1.
	Índice
	Massa (kg)
	Tempo total de 10 oscilações (s)
	Período de uma oscilação (s)
	1
	0,00105 ±0,00005
	2,75±0,005
	0,275±0,5
	2
	0,02053 ±0,00005
	4,00±0,005
	0,400±0,5
	3
	0,03103 ±0,0005
	4,13±0,005
	0,413±0,5
	4
	0,05092 ±0,0005
	5,23±0,005
	0,523±0,5
	5
	0,06142 ±0,00005
	5,88±0,005
	0,588±0,5
	6
	0,07145 ±0,00005
	6,28±0,005
	0,628±0,5
	7
	0,08195 ±0,00005
	6,59±0,005
	0,659±0,5
	8
	0,10010 ±0,00005
	6,75±0,005
	0,675±0,5
A coluna do período foi obtida através da divisão do tempo total pelo numero de oscilações.
Com os dados obtidos foi construído o gráfico (figura x), que relaciona a massa e o período de cada oscilação.
Figura x: Gráfico do Período em função da massa.
Após a construção e o ajuste do gráfico no programa Excel® obteve-se os parâmetros da função e foi feita a correlação com a função (x) . 
O valor de é igual a 1,7711 ± 0,0005 e o valor de é igual a 0,4026 ± 0,0003. Assim a função que descreve o MHS (Movimento Harmônico Simples) no experimento é , onde x é a massa variável.
Fazendo uma comparação da equação do Período (2) com e sabendo que é uma constante com valor igual a 8,0 N/m temos:
→ , 
→ , e 
→ .
Substituindo K na equação (x) obtém-se a = 2,22 e b = 0,5. O erro nos valores é esperado, pois o experimento não foi realizado em um local isolado de forças externas.
Na sequência foi feita a prática 2, em que foi observado a relação entre constante elástica e período e os dados obtidos foram organizados na TABELA II.
	INDICE
	Valor da constante elástica (N/m)
	Tempo total de 10 oscilações (s)
	Período de uma oscilação (s)
	1
	6,9±0,05
	5,63±0,005
	0,563±0,5
	2
	7,7±0,05
	5,47±0,005
	0,547±0,5
	3
	8,0±0,05
	5,25±0,005
	0,525±0,5
	4
	5,8±0,05
	6,22±0,005
	0,622±0,5
	5
	5,0±0,05
	6,85±0,005
	0,685±0,5
	6
	4,0±0,05
	7,34±0,005
	0,734±0,5
TABELA II: dados de Constante Elástica de cada mola, tempo total e período das oscilações
Figura x: Tabela do Período em função da Constante Elástica.
	
Novamente foi feito o ajuste com a equação (1), o valor de obtido foi igual a 1,5 ± 0,1 e = -0,50 ± 0,05. Assim a função que descreve o movimento é .
Fazendo uma comparação da equação do Período com e sabendo que a massa (m) é constante e tem valor igual a 0,0549, temos:→ 
→ 
→ .
Substituindo m na equação (X) obtém-se a = 0,88 e b = 0,5.
O erro nos valores é esperado, pois o experimento não foi realizado em um local isolado de forças externas.
Na prática 3, utilizando-se de um sensor de força atrelado a uma interface computacional, obtiveram-se os dados para as oscilações de um sistema com massa constante e a mesma mola, no entanto, variando-se a superfície de contato com o ar através do uso de discos de diferentes raios e massas desprezíveis. 
O software gerou, a partir dos dados coletados, os gráficos para as três medições realizadas: Na primeira com um disco de R1 = 7 cm, R2 = 10 cm, R3 = 15 cm.
Figura x: Gráfico do tempo t pela posição y do sistema massa-mola com disco acoplado de 7 cm.
	
Para esses dados, fez-se o ajuste experimental por meio de uma equação senóide (3):
	O foram obtidos os parâmetros A, b, ω e ϕ. O parâmetro A indica a amplitude inicial do movimento e equivale a -0,096 cm. O parâmetro b é relacionado com a diminuição na amplitude das oscilações, característica do movimento amortecido, para esse gráfico, b é 0,039.
. Já o ω determina a frequência angular da oscilação, 8,510 para esse caso. O parâmetro ϕ é a constante de fase, e desloca o gráfico em relação ao eixo horizontal, ele equivale a -0,582.
Figura x: Gráfico do tempo t pela posição y do sistema massa-mola com disco acoplado de 10 cm.
Da mesma forma que os outros gráficos acima, fez-se o ajuste experimental por meio da equação (x).
	 Foi obtido os parâmetros A, b, ω e ϕ. O A equivale a -0,059 cm, o b tem o valor de 0,059, o ω equivale a 8,375 e por fim o ϕ vale –1,974.
Figura x: Gráfico do tempo t pela posição y do sistema massa-mola com disco acoplado de 15 cm.
Como os outros gráficos acima, fez-se o ajuste experimental por meio da equação (x).
	 Foi obtido os parâmetros A, b, ω e ϕ. O A equivale a -0,085 cm, o b tem o valor de 0,091, o ω equivale a 7,984 e por fim o ϕ vale –1,140.
	Nota-se que conforme aumenta o diâmetro do disco, a amplitude das oscilações diminui proporcionalmente. Isso se deve à ação da força de arrasto gerada pelo ar sobre a superfície do disco, que amortece o movimento.
	Caso o experimento fosse realizado em meios diferentes, como por exemplo, o vácuo e água, pode-se imaginar os resultados.
	No vácuo, o diâmetro do disco não influenciaria no movimento, já que nenhuma força ofereceria resistência, portanto todos os movimentos seriam Harmônicos Simples.
	Já se fosse realizado em meio à água, o amortecimento se daria de maneira muito mais rápida. Devido à elevada resistência que a água exerce sobre o sistema massa-mola com o disco acoplado, não se obteria uma velocidade muito elevada.
Conclusão
Bibliografia
Referências 
[1] RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; WALKER, J. Fundamentos de Física, Volume 2, Rio de Janeiro,LTC,2006.