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Lista 2 de Algebra Linear 1) Sejam U ⊂ R e F(U,R) o conjunto das func¸o˜es f : U ⊂ R→ R onde, . a soma de duas func¸o˜es f, g de F(U,R) e´ definida como (f + g)(x) = f(x) + g(x) . o produto do escalar λ ∈ R por f ∈ F(U,R) e´ definida por (λf)(x) = λf(x) Prove que com as operac¸o˜es descritas acima o conjunto F(U,R) e´ um R espac¸o vetorial. 2) Verifique em cada ı´tem se o conjunto V com as operac¸o˜es indicadas e´ um R espac¸o vetorial. a) V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), λ(x, y) = (λx, 0) b) V = R× R∗, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1y2), λ(x, y) = (λx, yλ) 3) Determine se: a)) O conjunto {( a −b b a ) ; a, b ∈ R } , e´ subespac¸o de V = M2(R) ? b) O conjunto das func¸o˜es f : R→ R n vezes deriva´veis e´ subespac¸o de F(R) (o conjunto das func¸o˜es f : R→ R)? c) O conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea de ordem n an(x)y (n) + ... +a1(x)y ′ + a0(x)y = 0 onde y : R→ R, e´ subespac¸o do conjunto das func¸o˜es n vezes deriva´veis descritas em b? d) Dizemos que uma func¸a˜o f e´ classe C0 se f e´ cont´ınua, de classe Ck se a derivada f (k) e´ cont´ınua. O conjunto func¸o˜es reais de classe C3 e´ um subespac¸o de F(R)? e) O conjunto das func¸o˜es f [a, b]→ R de classe C0 tais que ∫ b a f(x)dx = 0 e´ um subespac¸o do conjunto das func¸o˜es f [a, b]→ R de classe C0? f) W = (x, x, y, y);x, y ∈ R e´ um subespac¸o de R4? g) W = {p ∈ Pn(R); p(0) = p(1)} e´ um subespac¸o de Pn(R) (conjunto dos polinoˆmios com coeficientes reais de grau ≤ n)? h) Dado B ∈Mn(R), o conjunto W = {A ∈Mn(R;BA = θ} e´ um subespac¸o de Mn(R)? i) O conjunto W = {A ∈Mn(R;A = At} e´ um subespac¸o de Mn(R)? j) O conjunto W = {A ∈Mn(R;A = −At} e´ um subespac¸o de Mn(R)? l) O conjunto W = {(x, y, z) ∈ R3, x ∈ Z} e´ um subespac¸o de R3? m) O conjunto W = {(x, y) ∈ R2; y = −x} e´ um subespac¸o de R2? n) O conjunto W = {(x, x2);x ∈ R} e´ um subespac¸o de R2? o) O conjunto W = {(x, y) ∈ R2; y = x+ 1} e´ um subespac¸o de R2? p) O conjunto W = {(x, y, z) ∈ R3; xy = 0} e´ um subconjunto de R3? 4) Determinar os subespac¸o do R3 gerado por cada conjunto abaixo. a) S = {(1,−2,−1), (2, 1, 1)} b) S = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)} 2 c) S = {(1, 2,−1), (−1, 1, 0), (−3, 0, 1), (−2,−1, 1)} 5) Determinar os subespac¸o do M2(R) gerado pelos vetores. a) v1 = (−1 2 −2 3 ) e v2 = ( 3 −1 1 1 ) . b) v1 = (−1 2 1 0 ) e v2 = ( 2 1 −1 −1 ) . c) v1 = (−1 0 0 1 ) e v2 = ( 1 −1 0 0 ) v3 = ( 0 1 1 0 ) 6) Determinar os subespac¸os de P2(R) gerado pelos vetores. a) p1 = 2x+ 2, p2 = −x2 + x+ 3 e p3 = x2 + 2x b) p1 = x 2, p2 = x 2 + x 7) Determinar o subespac¸o de P3 gerado pelos vetores p1 = x 3+2x2−x+3 e p2 = −2x3−x2+3x+2. 8) Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3. a) Escrever o vetor w = (7,−11, 2) como combinac¸a˜o linear de u e v. b) Para que valor de k o vetor v = (−8, 14, k) e´ combinac¸a˜o linear de u e v? c) Determinar uma condic¸a˜o entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combinac¸a˜o linear de u e v. 9) Consideremos no espac¸o P2 = {at2 + bt+ c/a, b, c ∈ R} os vetores p1 = t2 − 2t+ 1, p2 = t+ 2 e p3 = 2t 2 − t 3 a) Escrever o vetor p = 5t2 − 5t+ 7 como combinac¸a˜o linear de p1, p2 e p3. b) Escrever o vetor p = 5t2 − 5t+ 7 como combinac¸a˜o linear de p1 e p2. c) Determinar uma condic¸a˜o para a, b e c de modo que o vetor at2+ bt+ c seja combinac¸a˜o linear de p2 e p3. d) E´ poss´ıvel escrever p1 como combinac¸a˜o linear de p2 e p3? 10) Seja o espac¸o vetorial M2(R) e os vetores v1 = ( 1 0 1 1 ) e v2 = (−1 2 0 1 ) v3 = ( 0 −1 2 1 ) Escrever o vetor v1 = ( 1 8 0 5 ) como combinac¸a˜o linear dos vetores v1, v2 e v3. 11) Seja S o subespac¸o do R4 definido por: S = {(x, y, z, t) ∈ R4/x+ 2y − z = 0et = 0} Pergunta-se: a) (−1, 2, 3, 0) ∈ S? b) (3, 1, 4, 0) ∈ S? c) (−1, 1, 1, 1) ∈ S? 4 12) Seja S o subespac¸o de M2(R): S = {( a− b 2a a+ b −b ) ; a, b ∈ R } Pergunta-se: a) ( 5 6 1 2 ) ∈ S b) Qual deve ser o valor de k para que o vetor (−4 k 2 −3 ) pertence a S? 13) Seja S o subespac¸o de M2(R): S = {( 2a a+ 2b 0 a− b ) ; a, b ∈ R } Pergunta-se: a) ( 0 −2 0 1 ) ∈ S b) ( 0 2 3 1 ) ∈ S 14) Em cada ı´tem abaixo encontrar os subespac¸os U +W e U ∩W , onde U,W sa˜o subespac¸os vetoriais do espac¸o vetorial V indicado. a) U = {(x, y) ∈ R2; y = 0}, W = {(x, y) ∈ R2;x = 2y}, V = R2. 5 b) U = {( a 0 0 b ) ; a, b ∈ R } , W = {( 0 c 0 d ) ; c, d ∈ R } , V = M2(R). c) V = P3(R), U = {p(t) ∈ V ; p′′(t) = 0}, W = {q(t) ∈ V ; q′(t) = 0} 15) Verifique em cada um dos ı´tens se V = U ⊕W . a) V = R2, U = {(x, y) ∈ R2; 2x+ 3y = 0}, W = {(x, y) ∈ R2; x− y = 0} b) V = M3(R), U = a b 00 0 c 0 0 d ; a, b, c, d ∈ R , W = 0 0 ef g 0 h i 0 ; e, f, g, h, i ∈ R c) V = P3(R), U = {p(t) ∈ P3(R); p(1) = p(0) = 0}, W = {q(t) ∈ P3(R); q′(t) = 0} 16) Em cada um dos ı´tens abaixo, dado U subespac¸o de V , encontrar o subespac¸o suplementar de U , isto e´, o subespac¸o W de V tal que V = U ⊕W . a) V = R3, U = {(x, y, 0);x, y ∈ R}. b) V = P3(R), U = {p(t) ∈ P3(R); p′′(t) = 0} c) V = M3(R), U = {A ∈M3(R);At = A}. d) V = M2×1(R), U = {X ∈M2×1(R);AX = 0}, onde A = ( 1 1 0 1 ) . 17) Prove que o conjunto S das matrizes sime´tricas e o conjunto A das matrizes anti-sime´tricas n× n sa˜o subespac¸os vetoriais de Mn(R) e que se tem Mn(R) = S ⊕ A. 18) Prove que todo subespac¸o vetorial F ⊂ Rn, prove que existe um subespac¸o G ⊂ Rn tal que Rn = F ⊕G. 6 19) Prove que a reunia˜o de treˆs subespac¸os vetoriais so´ pode ser um subespac¸o vetorial quando um deles conte´m os outros dois. 20) Sejam F1, F2 subespac¸os vetoriais de V . Se existir algum a ∈ V tal que a+ F1 ⊂ F2, prove que F1 ⊂ F2. 7
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