GABARITO - AD1 CÁLCULO I 2017.1 - CEDERJ

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – CA´LCULO I – 2017/1
Gabarito
Questa˜o 1 [2 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a) lim
x→−1
x3 − 4x2 − 5x
−2 +√3− x (b) limx→2
|6− 5x− x2| − 8
x2 + x− 6
(c) lim
x→0
cos(2 5
√
x)− 1
4
5
√
x2
(d) lim
x→0
x sen(3x)
1− cos(3x)
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→−1
x3 − 4x2 − 5x
−2 +√3− x = limx→−1
[
x3 − 4x2 − 5x
−2 +√3− x ·
−2−√3− x
−2−√3− x
]
=
= lim
x→−1
(x3 − 4x2 − 5x)(−2−√3− x)
4− (3− x) = limx→−1
x(x+ 1)(x− 5)(−2−√3− x)
x+ 1
=
= lim
x→−1
x���
�(x+ 1)(x− 5)(−2−√3− x)
���x+ 1
= lim
x→−1
x(x− 5)(−2−√3− x) = −24
(b) lim
x→2
|6− 5x− x2| − 8
x2 + x− 6 = limx→2
(x2 + 5x− 6)− 8
x2 + x− 6 = limx→2
x2 + 5x− 14
x2 + x− 6 =
= lim
x→2
(x− 2)(x+ 7)
(x− 2)(x+ 3) = limx→2
���
�(x− 2)(x+ 7)
���
�(x− 2)(x+ 3) = limx→2
x+ 7
x+ 3
=
9
5
(c) lim
x→0
cos(2 5
√
x)− 1
4
5
√
x2
= lim
x→0
[
cos(2 5
√
x)− 1
4
5
√
x2
· cos(2
5
√
x) + 1
cos(2 5
√
x) + 1
]
= lim
x→0
cos2 (2 5
√
x)− 1
(4
5
√
x2) [cos(2 5
√
x) + 1]
=
= lim
x→0
− sen2 (2 5√x)
(4
5
√
x2) [cos(2 5
√
x) + 1]
= lim
x→0
[
sen2 (2 5
√
x)
(4
5
√
x2)
· −1
cos (2 5
√
x) + 1
]
=
= lim
x→0
[
sen (2 5
√
x)
2 5
√
x
· sen (2
5
√
x)
2 5
√
x
· −1
cos (2 5
√
x) + 1
]
=
= lim
x→0
sen (2 5
√
x)
2 5
√
x
· lim
x→0
sen (2 5
√
x)
2 5
√
x
· lim
x→0
−1
cos (2 3
√
x) + 1
=
−1
2
(d) lim
x→0
x sen(3x)
1− cos(3x) = limx→0
[
x sen(3x)
1− cos(3x) ·
1 + cos(3x)
1 + cos(3x)
]
= lim
x→0
[x sen(3x)] [1 + cos(3x)]
1− cos2(3x) =
= lim
x→0
[x sen(3x)] [1 + cos(3x)]
sen2(3x)
= lim
x→0
[x���
��sen(3x)] [1 + cos(3x)]
sen�2(3x)
= lim
x→0
x [1 + cos(3x)]
sen(3x)
=
CA´LCULO I Gabarito AD1 2
= lim
x→0
3x [1 + cos(3x)]
3 sen(3x)
= lim
x→0
[
3x
sen(3x)
· 1 + cos(3x)
3
]
= lim
x→0
3x
sen(3x)
· lim
x→0
1 + cos(3x)
3
=
2
3
Questa˜o 2 [2 pontos]
Considere a func¸a˜o f definida por:
f(x) =

|10 + 3x− x2|
2 + x
, se x < −2
1 + x3, se −2 ≤ x ≤ 1
x3 + 3x2 − 4x
1− |x| , se x > 1
(a) Calcule lim
x→−2+
f(x) e lim
x→−2−
f(x). O que voceˆ pode concluir do lim
x→−2
f(x)?
(b) Calcule lim
x→1+
f(x) e lim
x→1−
f(x). O que voceˆ pode concluir do lim
x→1
f(x)?
(c) Calcule lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x). O que voceˆ pode concluir do lim
x→0
f(x)?
(d) Calcule lim
x→2+
f(x) e lim
x→2−
f(x). O que voceˆ pode concluir do lim
x→2
f(x)?
Soluc¸a˜o:
Primeiramente, fazemos o estudo dos mo´dulos e observamos que |10 + 3x− x2| = x2− 3x− 10, se
x < −2, e |x| = x, se x > 1. Da´ı,
f(x) =

x2 − 3x− 10
2 + x
, se x < −2
1 + x3, se −2 ≤ x ≤ 1
x3 + 3x2 − 4x
1− x , se x > 1
Ainda, como x2 − 3x− 10 = (x+ 2)(x− 5) e x3 + 3x2 − 4x = x(x− 1)(x+ 4), temos que:
x2 − 3x− 10
2 + x
=
���
�(x+ 2)(x− 5)
���2 + x
= x− 5, se x < −2
e
x3 + 3x2 − 4x
1− x =
x(x− 1)(x+ 4)
−(x− 1) =
x���
�(x− 1)(x+ 4)
−����(x− 1) = −x
2 − 4x, se x > 1.
Portanto, a func¸a˜o f e´ dada por:
f(x) =

x− 5, se x < −2
1 + x3, se −2 ≤ x ≤ 1
−x2 − 4x, se x > 1
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO I Gabarito AD1 3
(a) Temos que:
lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2+
1 + x3 = −7 e lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2−
x− 5 = −7.
Como lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2−
f(x) = −7, segue que lim
x→−2
f(x) = −7.
(b) Temos que:
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
−x2 − 4x = −5 e lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
1 + x3 = 2.
Como lim
x→1+
f(x) 6= lim
x→1−
f(x), segue que na˜o existe lim
x→1
f(x).
(c) Temos que:
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
1 + x3 = 1 e lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
1 + x3 = 1.
Como lim
x→0+
f(x) = lim
x→0−
f(x) = 1, segue que lim
x→0
f(x) = 1.
(d) Temos que:
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
−x2 − 4x = −12 e lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
−x2 − 4x = −12.
Como lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x) = −12, segue que lim
x→2
f(x) = −12.
Questa˜o 3 [2 pontos]
Considere a func¸a˜o f(x) =
x+ 1√
x2 + x− 6 .
(a) Determine o dom´ınio de f ;
(b) Encontre as ass´ıntotas horizontais e as ass´ıntotas verticais, caso existam, do gra´fico de f , fazendo
um estudo completo dos limites infinitos e no infinito;
(c) Trace um esboc¸o do gra´fico de f , identificando suas ass´ıntotas.
Soluc¸a˜o:
(a)D(f) = {x ∈ R; x2 + x− 6 > 0} = {x ∈ R; (x+ 3)(x− 2) > 0} = {x ∈ R; x < −3 oux > 2}.
(b) Temos que:
(i) lim
x→−3−
x+ 1√
x2 + x− 6 = −∞, pois x+ 1→ −2 < 0 e
√
x2 + x− 6→ 0+ quando x→ −3−;
(ii) lim
x→2+
x+ 1√
x2 + x− 6 = +∞, pois x+ 1→ 3 > 0 e
√
x2 + x− 6→ 0+ quando x→ 2+;
(iii) lim
x→+∞
x+ 1√
x2 + x− 6 = limx→+∞
x√
x2
= lim
x→+∞
x
|x| = limx→+∞
x
x
= 1;
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO I Gabarito AD1 4
(iv) lim
x→−∞
x+ 1√
x2 + x− 6 = limx→−∞
x√
x2
= lim
x→−∞
x
|x| = limx→−∞
x
−x = −1;
De (i) e (ii), concluimos que as retas x = −3 e x = 2 sa˜o as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f e,
de (iii) e (iv), concluimos que as retas y = −1 e y = 1 sa˜o as ass´ıntotas horizontais do gra´fico de
f .
(c) Um esboc¸o do gra´fico de f e´:
Questa˜o 4 [2 pontos]
Utilize o Teorema do Valor Intermedia´rio para provar que os gra´ficos das func¸o˜es
f(x) = 3x2017 + x e g(x) = x2016 + 1
se interceptam em pelo menos um ponto.
Soluc¸a˜o:
Queremos provar que existe xo ∈ R tal que f(xo) = g(xo), ou seja, que existe xo ∈ R tal que
3x2017o + xo = x
2016
o + 1 ⇔ 3x2017o − x2016o + xo − 1 = 0.
Denotando h(x) = 3x2017 − x2016 + x − 1, vamos utilizar o Teorema do Valor Intermedia´rio para
provar que a func¸a˜o h tem pelo menos uma raiz real:
Como h e´ uma func¸a˜o polinomial e, portanto, cont´ınua, o Teorema do Valor Intermedia´rio garante
que: se o intervalo [a, b] e´ tal que h(a) e h(b) tem sinais contra´rios (ou seja, um positivo e o outro
negativo) enta˜o ele conte´m pelo menos uma raiz de h. Neste caso, basta encontrarmos um intervalo
do tipo [a, b] de modo que h(a) e h(b) tenham sinais contra´rio (ou seja, um positivo e o outro
negativo). Para isso, tomamos a = 0 e b = 1: h(a) = h(0) = −1 e h(b) = h(1) = 2. Observamos
que h(0) = −1 < 0 e que h(1) = 2 > 0, ou seja, h(0) e h(1) tem sinais contra´rios. Logo, pelo
Teorema do Valor Intermedia´rio, o intervalo [a, b] = [0, 1] conte´m pelo menos uma raiz de h, ou seja,
existe xo ∈ [0, 1] tal que h(xo) = 0. Portanto, existe xo ∈ [0, 1] tal que 3x2017o + xo = x2016o + 1, ou
seja, tal que f(xo) = g(xo).
Questa˜o 5 [2 pontos]
Considere a func¸a˜o f : [−5,+∞) → R definida abaixo:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO I Gabarito AD1 5
f(x) =

x3 − 2x2 − 3x√
x+ 5− 2 , se x 6= −1
L, se x = −1
.
Determine o valor de L para que f seja cont´ınua em todo seu dom´ınio.
Soluc¸a˜o:
Para que f seja cont´ınua em todo seu dom´ınio, e´ necessa´rio que f seja cont´ınua em -1, ou seja,
devemos ter lim
x→−1
f(x) = f(−1) = L. Assim, vamos calcular lim
x→−1
f(x). Temos que:
lim
x→−1
f(x) = lim
x→−1
x3 − 2x2 − 3x√
x+ 5− 2 = limx→−1
[
x3 − 2x2 − 3x√
x+ 5− 2 ·
√
x+ 5 + 2√
x+ 5 + 2
]
=
= lim
x→−1
(x3 − 2x2 − 3x)(√x2 + 5 + 2)
(x+ 5)− 4 = limx→−1
(x3 − 2x2 − 3x)(√x2 + 5 + 2
x+ 1
=
= lim
x→−1
x(x+ 1)(x− 3)(√x+ 5 + 2)
x+ 1
= lim
x→−1
x���
�(x+ 1)(x− 3)(√x+ 5 + 2)
���x+ 1
=
= lim
x→−1
x(x− 3)(√x+ 5 + 2) = 16.
Portanto, L = 16.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ