Variáveis Aleatórias 2017.2

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Prof. Afonso 
S 
Variável 
Aleatória 
Espaço 
Amostral 
R 
X 
s X (S) 
S 
Variável 
Aleatória 
CC 
CK 
KC 
KK 
Espaço 
Amostral 
R 
0 
1 
2 
X 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
Podemos considerar funções que associam números reais aos eventos de um 
espaço amostral. Tais funções são chamadas de “variáveis aleatórias”. 
 X 
 
 
 
 
 
Definição: 
Variáveis Aleatórias são funções cujos valores são obtidos por um experimento 
aleatório e aos quais podemos associar probabilidades. 
 
Classificação das Variáveis Aleatórias: 
a) Discretas (VAD): Assume valores que podem ser contados. 
b) Contínuas (VAC): Assume valores que podem ser medidos. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
Definição: 
Distribuição de probabilidade é uma distribuição de freqüências relativas para 
os resultados de um espaço amostral; mostra a proporção de vezes em que a 
variável aleatória tende a assumir cada um dos diversos valores. 
 
a) Distribuição de Probabilidade Discreta 
Seja X uma VAD. A função de probabilidade de X é uma função f(x) que 
associa a sua probabilidade f(x) = P(X = x) e tem as seguintes propriedades: 
 
 
 
Exemplo: 
Se o experimento consistir em jogar uma moeda duas vezes e definirmos: 
X = o número de “caras” obtidas. Determinar a função de probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Distribuição de Probabilidade Contínua 
 
Seja X uma VAC. A função densidade de probabilidade de X é uma função f(x) 
tal que tem as seguintes propriedades: 
 
 
 
Exemplo: 
Se o experimento consiste em verificar as vendas de carne em toneladas de 
um supermercado que segue uma função dada por: 
 
 
 
Determinar k de modo que seja uma função densidade de probabilidade. 
 
 
 
Qual a probabilidade das vendas compreenderem entre 1 e 2 toneladas? 
 
 
 
 
X 
 
0 
 
1 
 
2 
 
P(x) 
 
1/4 
 
1/2 
 
1/4 
∫∫ ≤≤==≥
+∞
∞
b
a-
b)xP(a dx f(x) ) dx )x(f 2) 0f(x) 1) 31
1f(x) 2)
 0f(x) 1)
=Σ
≥



 <<
=
contrário caso em 
3x0 x.k
)x(f
0
2
9
1
3
27
3
3
3
0
3
3
0
2 199
33
=⇒=⇒====∫ kkkdxkx k)(kkx
% ,dxx)X(P Xx 2626021
27
1
27
8
27
1
27
2
2
1
27
2
1
39
1
2
1
2
9
1 3333 ==−=−==⋅==<< ∫
 Prof. Afonso 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
Definiremos a seguir alguns parâmetros que contribuem para caracterizar a 
distribuição de probabilidade. 
PARÂMETROS PARA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA - VAD 
1) Média, ou Valor Esperado, ou Expectância, ou Esperança Matemática 
A média é um parâmetro de posição e usada para a caracterização do centro 
da distribuição. Indica qual seria a média de valores da variável aleatória 
obtidos a longo prazo. Será denotada por: 
 
 
2) Variância e Desvio-Padrão 
Esses parâmetros caracterizam a variabilidade das variáveis aleatórias. 
a) Variância 
 
 
b) Desvio-Padrão 
 
 
 
Exemplo: 
As probabilidades de um investidor vender uma propriedade com lucro de US$ 
2.500, de US$ 1.500, de US$ 500 ou com prejuízo de US$ 500 são 22%, 36%, 
28% e 14% respectivamente. Qual o lucro esperado do investidor? E sua 
variabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARÂMETROS PARA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA - VAC 
1) Média, ou Valor Esperado, ou Expectância, ou Esperança Matemática 
 
 
 
2) Variância e Desvio-Padrão 
c) Variância 
 
 
d) Desvio-Padrão 
 
 
Exemplo: 
Os serviços de recuperação de uma placa de computador por uma assistência 
técnica empresa é dada pela função abaixo. Qual o tempo esperado e sua 
variabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



 <<−
=
contrário caso em 
hora 1x0 xx 
)x(f
0
66
2
)x(px)x(E ⋅∑==µ
( ) [ ] )x(px)E(x :que sendo ) x E( )x (Ex VAR 2 ⋅∑=−== 2222δ
22 )]x(E[)x(E)x(VAR −==δ
935 $US.)x(VAR
.].[..)x(VAR
..,)(,)(,)(,)()x(E
)x(px)x(E
1.160 $US),(),(),(),()x(E
===
=−==
=⋅−⋅+⋅+⋅=
⋅∑=
=⋅−⋅+⋅+⋅==
400874
40087416010002202
000220214050028050036015002202500
14050028050036015002202500
22
22222
22
δ
δ
µ
dx f(x)x)x(E
-
∫
+∞
∞
⋅==µ
22 )]x(E[)x(E)x(VAR −==δ
dx f(x)x)E(x :que sendo )]x(E[)x(E)x(VAR
-
22 ∫
+∞
∞
⋅=−== 222δ
min 30 h ,,)x(E
dxxdxxdxxxdx xx)x(E
)()(xx ==−=−=−=
−=⋅−⋅== ∫ ∫∫ ∫
50512
0
1
0
1
6666
4
16
3
16
4
6
3
6
1
0
1
0
32
1
0
2
1
0
4343
µ
min ,,,],[,)x(VAR
0,3)x(E
dxxdxxdxxxdx xx)x(E
2
)()(xx
132200500505030
0
1
0
1
6666
2
5
16
4
16
5
6
4
62
1
0
1
0
43
1
0
2
1
0
222
5454
===⇒=−==
=−=−=
−=⋅−⋅= ∫ ∫∫ ∫
δδ
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R 
R 
S 
Variáveis 
Aleatórias 
Espaço 
Amostral 
X 
s X (S) 
 Y (S) 
 
Y 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS 
 
Os espaços amostrais estudados até agora correspondem a experiências em 
que estamos interessados em apenas uma característica de uma população e, 
por isso, designados de espaços amostrais unidimensionais, sendo registradas 
as observações relativas a uma variável aleatória. Isto é, o resultado do 
experimento seria registrado como um único número X. Noutras situações, no 
entanto, estamos interessados em observar duas características 
simultaneamente X e Y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: 
Sejam X = X(S) e Y = Y(S) duas funções, cada uma associando um número real a 
cada resultado (s) do espaço amostral S, denomina-se (X,Y) uma variável 
aleatória bidimensional ou vetor aleatório. 
 
Tal como a variável aleatória unidimensional, os vetores aleatórios (X,Y) podem 
ser Discretos (se todos os componentes dos vetores forem discretos) ou 
Contínuos (se todos os componentes dos vetores forem contínuos). 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA 
 
1. Distribuição de Probabilidade Conjunta Discreta 
 
Definição: 
Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional discreta. A função de 
probabilidade conjunta de (X,Y) é uma função f (x,y) = P (X = x ; Y = y) e tem as 
seguintes propriedades: 
∑ ∑ =
≥
x y
1 y)(x, f b)
 0 y)(x, f )a
 
Como no caso da variável aleatória discreta unidimensional, a distribuição 
conjunta poderá ser representada por uma tabela, gráfico ou fórmula. A 
distribuição de probabilidade conjunta discreta é representada por uma tabela 
chamada de Tabela de Contingência. 
 
2. Distribuição de Probabilidade Conjunta Contínua 
 
Definição: 
Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional contínua. A função densidade 
de probabilidade conjunta de (X,Y) é uma função f (x,y) = P (X ≤ x ; Y ≤ y) e 
tem as seguintes propriedades: 
∫ ∫
∞+
∞
∞+
∞
=
≥
- -
1 dy dx y)(x, f b)
 0 y)(x, f )a
 
Como no caso da variável aleatória contínua unidimensional, a distribuição 
conjunta de probabilidade conjunta contínua poderá ter representação gráfica 
espacial ou fórmula. 
 
 
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Exemplo de Distribuição de Probabilidade Conjunta Discreta: 
 
Duas linhas de produção fabricam um tipo de motor. Seja: 
 X = número de motores produzidos pela linha I 
 Y = número de motores produzidos pela linha II 
A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada a seguir: 
 
 
 
 
a) Determine o valor da constante c .b) Qual a probabilidade da fábrica produzir dois motores pela linha I e um 
motor pela linha II? Ou seja, qual a P (X = 2 ; Y = 1) ? 
c) Qual a probabilidade da fábrica produzir um motor ou mais pela linha I e 
dois motores ou menos pela linha II? Ou seja, qual a P (X ≥ 1 ; Y ≤ 2) ? 
 
Solução: 
 
P(X=0;Y=0)= c . (2 . 0 + 0) = 0 
P(X=0;Y=1)= c . (2 . 0 + 1) = c 
P(X=0;Y=2)= c . (2 . 0 + 2) = 2c 
P(X=0;Y=3)= c . (2 . 0 + 3) = 3c 
P(X=1;Y=0)= c . (2 . 1 + 0) = 2c 
P(X=1;Y=1)= c . (2 . 1 + 1) = 3c 
P(X=1;Y=2)= c . (2 . 1 + 2) = 4c 
P(X=1;Y=3)= c . (2 . 1 + 3) = 5c 
P(X=2;Y=0)= c . (2 . 2 + 0) = 4c 
P(X=2;Y=1)= c . (2 . 2 + 1) = 5c 
P(X=2;Y=2)= c . (2 . 2 + 2) = 6c 
P(X=2;Y=3)= c . (2 . 2 + 3) = 7c 
 
 
 
 
 Y 
 X 
 
0 
 
1 
 
2 
 
3 
 
Total 
 
0 
 
 
0 
 
c 
 
2c 
 
3c 
 
6c 
 
1 
 
 
2c 
 
3c 
 
4c 
 
5c 
 
14c 
 
2 
 
 
4c 
 
5c 
 
6c 
 
7c 
 
22c 
 
Total 
 
6c 
 
9c 
 
12c 
 
15c 
 
42c 
 
 
a) Como o total geral, 42c deve ser igual a 1, temos: 
 
7
4
42
1
42
1
===
+++++==≤≥
====
=
=
=
∑ ∑
∑ ∑
≥ ≤
42
24
 24c 
6c)5c(4c4c)3c(2c y)(x, f 2) Y; 1P(X )c
42
5
 5c 1) Y; 2P(X )b
c
1 c
1 y)(x, f
 x 2 y 
x y
 



 ==+⋅
=
casos outros os todos em 0 
0,1,2,3 Y e 0,1,2 X onde )yx(c 
)x(f
2
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Exemplo de Distribuição de Probabilidade Conjunta Contínua: 
 
Um supermercado vende dois tipos de carne. Seja: 
X = carne bovina (toneladas/mês) 
Y = carne suína (toneladas/mês) 
A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada a seguir: 
 
 
 
 
a) Determine o valor da constante c . 
b) Qual a probabilidade do supermercado vender entre 1 e 2 toneladas/mês 
de carne bovina e entre 2 e 3 toneladas/mês de carne suína? Ou seja, 
qual a P ( 1 < X < 2 ; 2 < Y < 3) ? 
c) Qual a probabilidade do supermercado vender 3 ou mais toneladas/mês de 
carne bovina e 2 ou menos toneladas/mês de carne suína? Ou seja, qual a 
P (X ≥ 3 ; Y ≤ 2) ? 
 
Solução: 
 
a) Devemos ter a probabilidade igual a 1, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) P ( 1 < X < 2 ; 2 < Y < 3) = 
 
128
5
384
15
2
3
2
1
2
4
1
2
2
2
5
2
5
2
4
2
9
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
22
1
2
1
3
2
2
1
3
2
==





=





−=
=








=
⋅==





−=
=
=








=
==
∫∫∫
∫∫ ∫
∫ ∫
===
== =
= =
192
5
 
192
5
 
x
 
x
192
5
 
dx x 
96
1
 dx 
x
 
96
1
 dx 
xx
 
96
1
 
dx 
y
xy
 
96
1
 dx dy xy 
96
1
 
 dy dx 
96
xy
 
xxx
xx y
x y
 
 
 c) P (X ≥ 3 ; Y ≤ 2) = 
 
 
128
7
384
21
2
7
2
9
2
16
3
4
2
2
3
2
3
22
4
1
2
2
2
2
1
4
3
4
3
24
3
4
3
2
1
4
3
2
1
==





=





−=
=








=
⋅==





−=
=
=








=
==
∫∫∫
∫∫ ∫
∫ ∫
===
== =
= =
192
3
 
192
3
 
x
 
x
192
3
 
dx x 
96
1
 dx 
x
 
96
1
 dx 
xx
 
96
1
 
dx 
y
xy
 
96
1
 dx dy xy 
96
1
 
 dy dx 
96
xy
 
xxx
xx y
x y
 
 



 <<<<⋅⋅
=
contrário caso em 0 
5) y (1 e 4) x (0 yxc 
)x(f
96
1
 c 1 96c 
x
 ) (6x c. 
x
 
2
12x
c dx 12x c 
 dx 
2
24x
 c dx 
x
2
25x
 c dx
y
2
xy
 c 
dx dy xy c dy dx y xc 1 dy dx y)(x, f 
2
4
0x
2
xxx
2
x y x y- -
=⇒==
=
=
=








==
==





−=
=
=








=⋅⋅⇒=
∫
∫∫∫
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫
=
===
= = = =
+∞
∞
+∞
∞
0
4
0
4
2
1
5 4
0
4
0
4
0
4
0
5
1
4
0
5
1
 Prof. Afonso 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS 
Definiremos a seguir alguns parâmetros que contribuem para caracterizar a 
distribuição de probabilidade conjunta. 
PARÂMETROS PARA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA – VAD 
A) MÉDIAS: 
 
 
 
 
 
 
 
B) VARIÂNCIAS E COVARIÃNCIA: 
 
 
 
 
 
C) DESVIOS-PADRÕES: 
 
 
 
 
D) COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO: (associação linear entre duas variáveis) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARÂMETROS PARA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA – VAC 
A) MÉDIAS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) VARIÃNCIAS E COVARIÃNCIA: 
 
 
 
 
 
C) DESVIOS-PADRÕES 
 
 
 
 
D) COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO: (associação linear entre duas variáveis) 
 
 
 
 
 
 
 
 
)y,x(fy.x )XY(E conjunta Média
)y,x(f y)Y(E Yde Média
)y,x(fy )Y(E Yde Média
)y,x(f x)X(EX de Média
)y,x(fx )X(EX de Média
22
22
⋅⋅∑∑=⇒
⋅∑∑=⇒
⋅∑∑=⇒
⋅∑∑=⇒
⋅∑∑=⇒
2
2
[ ]
[ ]
)Y(E)X(E)XY(E)XY(COV acovariãnci ou conjunta Variância
)Y(E)Y(E)Y(VAR Yde Variância
)X(E)X(E)X(VARX de Variância
⋅−=⇒
−=⇒
−=⇒
22
22
YX
XY
)XY(COV
δδ
ρ
⋅
=
)Y(VAR Yde padrão-Desvio
)X(VARX de padrão-Desvio
Y
X
=⇒
=⇒
δ
δ
 Y)e X entre efeito e causa de correlação há (não espúria1- (XY)
 Y)e X entre efeito e causa de correlação há (não espúria1 )XY(
perfeita forma a excluida cresce) Y e cresce (X positica1 (XY) 0 
perfeita forma a excluida decresce) Y e cresce (X negativa 0 (XY) 
cresce) Y e cresce (X positiva perfeita 1(XY)
decresce) Y e cresce (X negativa perfeita )XY(
⇒<
⇒+>
⇒<<
⇒<<−
⇒+=
⇒−=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
1
1
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∞+ ∞+
∞+ ∞+∞+ ∞+
+∞ +∞+∞ +∞
⋅⋅=⇒
⋅=⋅=⇒
⋅=⋅=⇒
X Y
X Y
22
X Y
2
X Y
2
X Y
 2
dy dx y)(x, fy x E(XY) conjunta Média
dy dx y)(x, f y )E(Y e dy dx y)(x, f y E(Y) Ye Y de Média
dy dx y)(x, f x )X(E e dy dx y)(x, f x E(X)X e X de Média 2
[ ]
[ ]
)Y(E)X(E)XY(E)XY(COV acovariãnci ou conjunta Variância
)Y(E)Y(E)Y(VAR Yde Variância
)X(E)X(E)X(VARX de Variância
⋅−=⇒
−=⇒
−=⇒
22
22
)Y(VAR Yde padrão-Desvio
)X(VARX de padrão-Desvio
Y
X
=⇒
=⇒
δ
δ
YX
XY
)XY(COV
δδ
ρ
⋅
=
 Y)e X entre efeito e causa de correlação há (não espúria1- (XY)
 Y)e X entre efeito e causa de correlação há (não espúria1 )XY(
perfeita forma a excluida cresce) Y e cresce (X positica1 (XY) 0 
perfeita forma a excluida decresce) Y e cresce (X negativa 0 (XY) 
cresce) Y e cresce (X positiva perfeita 1(XY)
decresce) Y e cresce (X negativa perfeita )XY(
⇒<
⇒+>
⇒<<
⇒<<−
⇒+=
⇒−=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
1
1
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Exemplo usando os principais parâmetros para VAD conjunta: 
Um agente imobiliário analisa a relação entre as variáveis relativas à venda de 
um apartamento: 
X = número de pedidos de esclarecimentos resultante do anúncio no jornal 
Y = número de linhas do anúncio no jornal 
O agente imobiliárioestimou a seguinte probabilidade conjunta: 
 
 X 
 Y 
Pouco 
interesse 
0 
Algum 
interesse 
1 
Muito 
interesse 
2 
 
P(Y) 
3 9% 14% 7% 30% 
4 7% 23% 16% 46% 
5 3% 10% 11% 24% 
P(X) 19% 47% 34% 100% 
Calcule os principais parâmetros. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XY 
 
0 
 
3 
 
4 
 
5 
 
6 
 
8 
 
10 
 
P(XY) 
 
19% 
 
14% 
 
23% 
 
10% 
 
7% 
 
16% 
 
11% 
644
11010160807061005230414031900
0616240546043003
943240546043003
831340247011900
1513402470
2222
2
2222
2
,)XY(E
),(),(),(),(),(),.(),.()XY(E
)y,x(fy.x )XY(E conjunta Média
,),(),(),()Y(E
)y,x(f y)Y(E Yde Média
,),(),(),()Y(E
)y,x(fy )Y(E Yde Média
,),(),(),()X(E
)y,x(f x)X(EX de Média
,),(),(1(0,19)0E(X)
)y,x(fx )X(EX de Média
22
22
=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++=
⋅⋅∑∑=⇒
=⋅+⋅+⋅=
⋅∑∑=⇒
=⋅+⋅+⋅=
⋅∑∑=⇒
=⋅+⋅+⋅=
⋅∑∑=⇒
=⋅+⋅+⋅=
⋅∑∑=⇒
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
110943151644
5409430616
510151831
2
22
2
22
,),(),(,)XY(COV
)Y(E)X(E)XY(E)XY(COV acovariãnci ou conjunta Variância
,,,)Y(VAR
)Y(E)Y(E)Y(VAR Yde Variância
,,,)X(VAR
)X(E)X(E)X(VARX de Variância
=⋅−=
⋅−=⇒
=−=
−=⇒
=−=
−=⇒
730540
710510
,,
)Y(VAR Yde padrão-Desvio
,,
)X(VARX de padrão-Desvio
Y
Y
X
X
==
=⇒
==
=⇒
δ
δ
δ
δ
jornal. neste anunciadas linhas de número
o aumenta quando oapartament do venda a sobre jornal no anúncio
do entoesclarecim de pedidos de número o aumenta :çãoInterpreta
positiva correlação 1 
,
),(),(
,
)XY(COV
 correlação de eCoeficient
XY
XY
YX
XY
⇒<<
+=
⋅
=
⋅
=⇒
ρ
ρ
δδ
ρ
0
210
730710
110
 Prof. Afonso 
Exemplo usando os principais parâmetros para VAC conjunta: 
Uma distribuidora vende dois tipos de bebidas ao mesmo preço promocional: 
X = vinho importado (garrafas de 750 ml) 
Y = cerveja nacional (garrafas de 750 ml) 
A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada a seguir: 
 
 
 
 
Calcule os principais parâmetros: 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







<<<<+⋅
=
contrário caso em 0 
5) y (0 e 6) x (2 )yx( 
)x(f
2
210
1
1392
722
36192
342
6
2
5
0
6
2
5
0
6
2
5
0
2
6
2
5
0
,dy dx )yx(
210
1
 y )E(Y
dy dx y)(x, f y E(Y) Yde Média
,dy dx )yx(
210
1
 y E(Y)
dy dx y)(x, f y E(Y) Y de Média
,dy dx )yx(
210
1
 x )E(X
dy dx y)(x, f x )X(EX de Média
,dy dx )yx(
210
1
 x E(X)
dy dx y)(x, f x E(X) X de Média
X Y
22
X Y
22
X Y
X Y
X Y
22
X Y
22
X Y
X Y
=





+⋅⋅=
⋅=⇒
=





+⋅⋅=
⋅=⇒
=





+⋅⋅=
⋅=⇒
=





+⋅⋅=
⋅=⇒
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
= =
∞+ ∞+
= =
∞+ ∞+
= =
∞+ ∞+
= =
+∞ +∞
43112
6
2
5
0
,dy dx )yx(
210
1
 y x E(XY)
dy dx y)(x, f y x E(XY)conjunta Média
X Y
X Y
=





+⋅⋅⋅=
⋅=⇒
∫ ∫
∫ ∫
= =
+∞ +∞
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
21072344311
84172139
910343619
2
22
2
22
,),(),(,)XY(COV
)Y(E)X(E)XY(E)XY(COV acovariãnci ou conjunta Variância
,,,)Y(VAR
)Y(E)Y(E)Y(VAR Yde Variância
,,,)X(VAR
)X(E)X(E)X(VARX de Variância
−=⋅−=
⋅−=⇒
=−=
−=⇒
=−=
−=⇒
361841
950910
,,)Y(VAR Yde padrão-Desvio
,,)X(VARX de padrão-Desvio
YY
XX
==⇒=⇒
==⇒=⇒
δδ
δδ
s.equiparado estiverem preços os quando diminui nacional
cerveja de venda a e aumenta importado vinho de venda a :çãoInterpreta
negativa correlação 0 1-
,
),(),(
,
)XY(COV
 correlação de eCoeficient
XY
XY
YX
XY
⇒<<
−=
⋅
−
=
⋅
=⇒
ρ
ρ
δδ
ρ
160
361950
210