Trigonometria no Triângulo Retângulo

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 CURSOPROGRESSÃO CENTRO 
 
Prof Rodrigo 
 
 
Trigonometria no triangulo 
retangulo 
 
 Triângulo retângulo é o que possui um 
ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos 
mede noventa graus, daí o nome triângulo 
retângulo. Como a soma das medidas dos 
ângulos internos de um triângulo é igual a 
180°, então os outros dois ângulos 
medirão 90°. 
Podemos dizer então que os seus outros 
dois ângulos são complementares 
(somam noventa graus). 
 
Os lados de um triângulo retângulo 
recebem nomes especiais. Estes nomes 
são dados de acordo com a posição em 
relação ao ângulo reto. 
 
Hipotenusa – Maior lado do triangulo 
retângulo, está oposto ao angulo de 
noventa graus. 
Catetos – São os outros dois lados que 
formam o triangulo retângulo. 
Obs – Em qualquer triangulo o maior 
lado esta oposto ao maior angulo. 
 
 
 
A, B e C – ângulos do triangulo. 
a – hipotenusa, é o lado oposto ao angulo 
reto. 
b e c – catetos. 
 
Quando analisamos outro angulo do 
triangulo os catetos recebem nomes 
especiais em relaçao a esses angulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe-se o triângulo ABC da figura com  = 90° 
(reto), e seus ângulos agudos e . 
 
 
 
1- Em relaçao ao angulo 
c é o cateto oposto e b é o cateto adjacente. 
 
2- Em relaçao ao angulo 
b é o cateto oposto e c é o cateto adjacente 
 
Seno, cosseno e tangente. 
 
Seja a medida de um ângulo agudo do triângulo 
acima, temos: 
 
a) Seno do ângulo (sen 
 
É a razão entre a medida do cateto oposto a e a 
medida da hipotenusa, ou seja 
 
sen = 
 
 
 
 
b) Cosseno do ângulo (cos ): 
 
É a razão entre a medida do cateto adjacente a e a 
medida da hipotenusa, isto é: 
 
cós = 
 
 
 
 
c) Tangente do angulo (tan ) 
 
É a razão entre a medida do cateto oposto a e a 
medida do cateto adjacente a , isto é 
 
 = 
 
 
 
Obs. Com relaçao ao angulo podemos estabelecer as 
seguintes razões. 
 
sen = 
 
 
, cós = 
 
 
 e tan = 
 
 
 
 
podemos concluir pelas razoes obtidas sen = cós e 
cós = sen e como no triangulo retângulo teremos 
sempre + = 90, concluímos que se dois ângulos 
são complementares o seno de um angulo será igual ao 
cosseno do outro angulo. 
Angulos notáveis 
2 
 
 
 
 30 45 60 
seno 1/2 /2 /2 
cosseno /2 /2 1/2 
tangente /3 1 
 
 
Esta tabela tem de ser decorada pois estes angulos sao 
chamados de angulos notaveis e seus valores de seno, 
cosseno e tangente nao serao fornecidos na prova. 
 
EXERCICIOS 
 
1) Calcular os catetos de um triângulo retângulo 
cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos 
mede 60º. 
2) Quando o ângulo de elevação do sol é de 65 º, a 
sombra de um edifício mede 18 m. Calcule a 
altura do edifício. 
(sen 65º = 0,9063, cos 65º = 0,4226 e tg 65º = 
2,1445) 
 
3) Quando o ângulo de elevação do sol é de 60º, a 
sombra de uma árvore mede 15m. Calcule a 
altura da árvore, considerando √3 = 1,7. 
4) Uma escada encostada em um edifício tem seus 
pés afastados a 50 m do edifício, formando 
assim, com o plano horizontal, um ângulo de 
32º. A altura do edifício é aproximadamente: 
(sen 32º = 05299, cos 32′ = 0,8480 e tg 32º = 
0,6249) 
a) 28,41m b) 29,87m c) 31,24 m d) 34,65 m 
5) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. 
Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra 
a uma altura de: 
a)2 km b)3 km c)4 km d)5 km 
6) Um foguete é lançado sob um ângulo de 30 º. 
A que altura se encontra depois de percorrer 
12 km em linha reta? 
7) Do alto de um farol, cuja altura é de 20 m, 
avista-se um navio sob um ângulo de depressão 
de 30º. A que distância, aproximadamente, o 
navio se acha do farol? (Use √3 = 1,73) 
8 ) Num exercício de tiro, o alvo está a 30 m de 
altura e, na horizontal, a 82 m de distância do 
atirador. Qual deve ser o ângulo 
(aproximadamente) de lançamento do projétil? 
(sen 20º = 0,3420, cos 20º = 0,9397 e tg 20º = 
0,3640) 
9) Se cada ângulo de um triângulo equilátero 
mede 60 º, calcule a medida da altura de um 
triângulo equilátero de lado 20 cm. 
10) Um alpinista deseja calcular a altura de uma 
encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, 
horizontalmente, 80 m do pé da encosta e 
visualiza o topo sob um ângulo de 55º com o 
plano horizontal. Calcule a altura da encosta. 
(Dados: sem 55º = 0,81, cos 55º = 0,57 e tg 
55º = 1,42) 
 
EXERCICIOS SERIE 2 
 
1) (UNESP) A figura representa o perfil de uma escada 
cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de 
 e BCA mede 30º, então 
qual a medida da extensão de cada degrau? 
 
2) (UNIFOR-CE) Em certa hora do dia, os raios do Sol 
incidem sobre um local plano com uma inclinação de 
60º em relação à horizontal. Nesse momento, o 
comprimento da sombra de uma construção de 6m de 
altura será, aproximadamente: 
a) 10,2m d) 4,2m 
b) 8,5m e) 3,4m 
c) 5,9m 
 
3) (COVESP-PE) Um barco atravessa um rio num 
trecho onde a largura é 100m, seguindo uma direção 
que formam ângulo de 30º com uma das margens. 
Assinale a alternativa certa para a distância percorrida 
pelo barco para atravessar 
o rio. 
a) 100m d) 150m 
b) 200m e) 250m 
c) 
 
 
m 
 
4) (F.C. CHAGAS-SP) Um observador, no ponto A, 
vê o topo de um poste (B) e o topo de um prédio (C), 
conforme a figura a seguir. 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se as alturas do poste e do prédio são, 
respectivamente, 6 3m e 30m, então a distância x, 
entre o poste e o prédio é, em metros: 
a) 15 −18 
b) 15 −10 
c) 30 −24 
d) 30 −20 
e) 30 −18 
 
5) (UNAMA-PA) A figura representa um barco 
atravessando um rio, partindo de A em direção ao 
ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção 
ao ponto C, segundo um ângulo de 60º. Sendo a 
largura do rio de 120m, a distância percorrida pelo 
barco até o ponto C, é: 
 
a) 240 m 
b) 240m 
c) 80 m 
d) 80m 
e) 40 m 
 
6) (USF-SP) 
 
 
Para permitir o aceso a um monumento que está em 
um pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma 
rampa com inclinação de 30 com o solo, conforme a 
ilustração. O comprimento da rampa será igual a: 
a) 3 
b) 3m 
c) 2m 
d) 4m 
e) 4 3m 
 
7) (UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço 
fixos no chão, em um terreno plano horizontal, 
conforme mostra a figura. Se A está a 15m da base B 
da torre e C está a 20m de altura, comprimento do 
cabo AC é: 
 
a) 15m d) 35m 
b) 20m e) 40m 
c) 25m 
 
8) (MOJI-SP) Uma escada que mede 4m tem uma de 
suas extremidades aparada no topo de um muro, e a 
outra extremidade dista 2,4m da base do muro. A 
altura do muro é: 
 
a) 2,3m c) 3,2m 
b) 3,0m d) 3,8m 
 
9) (UNICAMP) Para medir a largura AC de um rio um 
homem usou o seguinte procedimento: localizou um 
ponto B de onde podia ver na margem oposta o 
4 
 
 
coqueiro C, de forma que o ângulo ABC fosse 60º; 
determinou o ponto D no prolongamento de CA de 
forma que o ângulo CBD fosse de 90º. Medindo AD = 
40m , achou a largura do rio. Qual a medida dessa 
largura? 
 
a) 100mc) 140m 
b) 120m d) 150m 
 
10) (FUVEST-SP) Dois pontos A e B estão situados na 
margem de um rio e distantes 40m um do outro. Um 
ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal 
modo que o ângulo CAB mede 75º e o ângulo ACˆ B 
mede 75º. Determine a largura do rio. 
a) 40m 
b) 20m 
c) 20 3m 
d) 30m 
e) 25m 
 
11) (U. PASSO FUNDO-RS) Em um triângulo ABC, 
retângulo em A, o cateto AB mede 5m e cosB = 0,4 , 
sua hipotenusa, em metros, mede: 
a) 2 
b) 5,5 
c) 9,5 
d) 12,5 
e) 13,5 
 
12) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, BAE, 
ACE e FDE são ângulos retos, e as medidas CD, AF e 
DE são 1, 2, 3, respectivamente. A área 
do triângulo de vértice A, B e E é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
13) (UFRS) o lampião representado na figura suspenso 
por duas cordas perpendiculares presas ao teto. 
Sabendo que essas cordas medem 1/6 e 2/5,a distância 
do lampião ao teto é: 
 
a) 1,3 
b) 1,3 
c) 0,6 
d) 1/2 
e) 13/6