RESUMO OTIMO

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Se´ries – 2. Sequ¨eˆncias e Sequ¨eˆncias Limitadas
Luiza Amalia Pinto Canta˜o
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
luiza@sorocaba.unesp.br
Subsequ¨eˆncias
Conceito: Se os termos de uma sequ¨eˆncia aparecem em outra sequ¨eˆncia na
ordem dada delas, chamaremos a primeira de subsequ¨eˆncia da segunta.
Exemplo:
1.
an : 1 2 3 4 . . . n . . .
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 8 27 64 . . . n3 . . .
2.
an : 1 2 3 4 . . . n . . .
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 9 25 49 . . . (2n− 1)2 . . .
Importaˆncia:
1. Em alguns casos, sabendo que uma sequ¨eˆncia converge, pode ser mais
fa´cil calcular o valor do limite usando uma das subsequ¨eˆncias de {an}.
2. Se qualquer subsequ¨eˆncia de uma sequ¨eˆncia {an} diverge ou se duas
subsequ¨eˆncia teˆm limites diferentes, enta˜o {an} diverge.
Por exemplo: {an} = {(−1)n} = {−1, 1 − 1, 1, . . . }.
Neste caso, para n ı´mpar, temos a subsequ¨eˆncia {−1, −1, −1, . . . }.
Para n par: {1, 1, 1, . . . }. As duas subsequ¨eˆncias convergem para va-
lores diferentes. Logo {(−1)n} e´ divergente.
Sequ¨eˆncias Crescentes, Decrescentes, Monotoˆnicas
Definic¸a˜o:
Uma sequ¨eˆncia {an} e´ crescente se:
an ≤ an+1 ∀n ∈ N
Uma sequ¨eˆncia {an} e´ decrescente se:
an ≥ an+1 ∀n ∈ N
Toda sequ¨eˆncia crescente ou decrescente e´ chamada de monotoˆnica (ou
mono´tona).
Exemplos:
1. {an} =
{
5
n + 4
}
= 1,
5
6
,
5
7
, . . . e´ decrescente.
2. {an} =
{
n +
1
n
}
= 2, 2 +
1
2
, 3 +
1
3
, . . . e´ crescente.
Exemplo (1): Mostre que an =
n
n2 + 1
e´ decrescente.
Sequ¨eˆncias Limitadas
Definic¸a˜o:
A sequ¨eˆncia {an} e´ limitada superiormente se existir um nu´mero M tq
an ≤M, ∀n ≥ 1
E e´ limitada inferiormente se existir um nu´mero m de forma que
m ≥ an, ∀n ≥ 1
Se ela for limitada superiormente e inferiormente, enta˜o {an} e´ uma
sequ¨eˆncia limitada.
Exemplos:
1. {an} = n e´ limitada inferiormente (an > 0) mas na˜o superiormente.
2. {an} =
{
n
n + 1
}
e´ limitada, pois 0 < an < 1, para todo n.
3. {an} = (−1)n e´ limitada inferiormente e superiormente (−1 ≤ an ≤ 1),
mas na˜o e´ convergente.
Sequ¨eˆncia Monotoˆnica
Teorema: Toda sequ¨eˆncia limitada, monotoˆnica, e´ convergente.
Sequ¨eˆncias Recursivas: Sa˜o sequ¨eˆncias cujo termo an+1 e´ definido a partir
do termo an. Para isto precisamos conhecer:
• o termo inicial;
• a regra de formac¸a˜o da sequ¨eˆncia, chamada fo´rmula recursiva.
Exemplo (2): Investigue a sequ¨eˆncia {an} definida pela relac¸a˜o de recorreˆncia:
a1 = 2, an+1 =
1
2
(an + 6) , para n = 1, 2, 3, . . .
Exerc´ıcios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Pa´ginas: 19 e 20;
Exerc´ıcios: 1 a` 24.