tmp_9706-5. Diagramas Lógicos-1409199379

Prévia do material em texto

Diagramas lógicos
Proposições categóricas
As proposições categóricas constituem-se num dos principais tópicos da 
Lógica Formal. Desde Aristóteles, as proposições categóricas têm sido estu-
dadas e inúmeras contribuições de lógicos têm sido feitas.
Preste atenção ao conceito de proposição categórica:
Uma proposição categórica é aquela formada por um quantificador asso-
ciado a um sujeito (primeira classe de atributos) que se liga a um predicado 
(segunda classe de atributos) por meio de um elo (cópula).
Exemplos:
Todos os animais são carnívoros.
Predicado
Elo
Sujeito
Quantificador
Alguns cremes são oleosos.
Predicado
Elo
Sujeito
Quantificador
Existem apartamentos que não são modernos.
Predicado
Elo
Partícula de negação
Quantificador
Sujeito
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
164
Diagramas lógicos
Nenhum anfíbio é inteligente.
Predicado
Elo
Sujeito
Quantificador
Numa proposição categórica, é importante que o sujeito se relacione com 
o predicado de forma coerente e que a proposição faça sentido, não impor-
tando se é verdadeira ou falsa. Assim, por exemplo, em “Todos os esportistas 
são competitivos” temos uma proposição claramente falsa, mas que é provi-
da de sentido lógico.
Classificação das proposições categóricas
As proposições categóricas podem ser classificadas de acordo com dois 
critérios fundamentais: qualidade e extensão ou quantidade.
Qualidade
O critério de qualidade classifica uma proposição categórica em afirmati-
va ou negativa.
Exemplos:
Algumas pessoas viajam no verão. �
Todas as pessoas são ingênuas. �
As proposições são categóricas afirmativas.
Algumas pessoas não viajam no verão. �
Nenhuma pessoa é ingênua. �
As proposições são categóricas negativas.
Observe que, nesse critério, não se classifica a proposição em verdadeira 
ou falsa, mas, sim, em afirmativa ou negativa.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
165
Extensão
O critério de extensão ou quantidade classifica uma proposição categó-
rica em universal ou particular. A classificação dependerá do quantificador 
que é utilizado na proposição.
Exemplos:
Todos os animais são seres vivos. �
Nenhum carro tem sete portas. �
As proposições são categóricas universais, pois os quantificadores “todos” 
e “nenhum” são universais.
Algumas pessoas gostam de sorvete. �
Existem animais que não gostam de água. �
As proposições são categóricas particulares, pois os quantificadores “al-
gumas” e “existem” são particulares (existenciais).
Fica claro que, nesse critério, a classificação é determinada pelo quantifi-
cador, não importando se a proposição é afirmativa ou negativa.
Tipos de proposições e relações 
entre proposições
Desde a época de Aristóteles, de acordo com a qualidade e a extensão, a 
Lógica Formal classifica as proposições categóricas em quatro tipos, repre-
sentados pelas letras A, E, I e O.
Observe o quadro contendo tais classificações:
Tipo Qualidade Extensão Exemplo
A Afirmativa Universal Todo S é P.
E Negativa Universal Nenhum S é P.
I Afirmativa Particular Algum S é P.
O Negativa Particular Algum S não é P.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
166
Diagramas lógicos
Na tabela, S indica o sujeito e P indica o predicado de uma proposição 
categórica. Assim, de acordo com a tabela, temos:
Proposição afirmativa universal (A): Toda cidade é limpa. �
Proposição negativa universal (E): Nenhuma cidade é limpa. �
Proposição afirmativa particular (I): Alguma cidade é limpa. �
Proposição negativa particular (O): Alguma cidade não é limpa. �
Com essas classificações, pôde-se construir um quadro, denominado 
Quadrado Geral de Oposição, que apresenta as relações existentes entre as 
proposições. Tal quadro é atribuído a Aristóteles.
Quadro 1 – Quadrado Geral de Oposição
A
I
E
O
Todo S é P
(SAP)
Algum S é P
(SIP)
Nenhum S é P
(SEP)
Contraditórias
Contraditórias
Subalternas
e
Superalternas
Subalternas
e
Superalternas
Subcontrárias
Contrárias
Algum S não é P
(SOP)
Observação:
Representa-se SAP para descrever a ideia de que a sentença possui sujei-
to (S) relacionado ao predicado (P) por meio de uma proposição categórica 
do tipo A (universal afirmativa). Da mesma forma, ocorre com SEP, SIP ou SOP. 
As letras S e P indicam, respectivamente, sujeito e predicado. A letra do meio 
identifica o tipo de proposição categórica.
Essas regras que relacionam as proposições são denominadas regras 
de contrariedade, contraditoriedade, subcontrariedade e subalternação. A 
seguir, estudaremos particularmente cada uma delas.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
167
Contrárias
As proposições são ditas contrárias quando são universais e se opõem 
entre si apenas pela qualidade. O sujeito em ambas é o mesmo, mas enquan-
to uma afirma um predicado, a outra nega esse mesmo predicado.
A E
Todo S é P
(SAP)
Nenhum S é P
(SEP)
Contrárias
Duas proposições são contrárias quando ambas não podem ser verdadeiras ao 
mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser falsas ao mesmo tempo.
Exemplo 1:
Todo homem é mortal. (A)
Nenhum homem é mortal. (E)
Observe que “todo homem é mortal” é uma sentença verdadeira, enquan-
to “nenhum homem é mortal” é falsa. Não pode ocorrer de ambas serem ver-
dadeiras ao mesmo tempo.
Exemplo 2:
Todo homem é professor. (A)
Nenhum homem é professor. (E)
Nesse exemplo, a proposição “todo homem é professor” é uma sentença 
falsa e “nenhum homem é professor” também é falsa. Ambas não podem ser 
verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem ser falsas ao mesmo tempo.
Contraditórias
As proposições são ditas contraditórias quando se opõem tanto em qua-
lidade quanto em extensão. Enquanto uma é universal, a outra é particular; 
enquanto uma é afirmativa, a outra é negativa.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
168
Diagramas lógicos
A
I
E
O
Todo S é P
(SAP)
Algum S é P
(SIP)
Nenhum S é P
(SEP)
Contraditórias
Contraditórias
Algum S não é P
(SOP)
Duas proposições são contraditórias quando ambas não podem ser verdadeiras 
ao mesmo tempo, nem podem ser falsas ao mesmo tempo.
Exemplo 1:
Todo homem é mortal. (A) �
Algum homem não é mortal. (O) �
Observe que “todo homem é mortal” é uma sentença verdadeira, en-
quanto “algum homem não é mortal” é falsa. Não pode ocorrer de ambas 
serem verdadeiras ao mesmo tempo, nem falsas ao mesmo tempo. Se uma é 
verdadeira, a outra, obrigatoriamente, é falsa, e vice-versa.
Exemplo 2:
Nenhum homem é professor. (E) �
Algum homem é professor. (I) �
Nesse exemplo, a proposição “nenhum homem é professor” é uma sen-
tença falsa e “algum homem é professor” é verdadeira. Ambas não podem 
ser verdadeiras ao mesmo tempo, nem podem ser falsas ao mesmo tempo.
Importante:
Se duas proposições categóricas são contraditórias, uma é a negação da outra.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
169
Subcontrárias
As proposições são ditas subcontrárias quando são particulares e se opõem 
entre si apenas na qualidade. O sujeito em ambas é o mesmo, mas enquanto 
uma é afirmativa, a outra é negativa.
I O
Algum S é P
(SIP)
Subcontrárias
Algum S não é P
(SOP)
Duas proposições são subcontrárias quando ambasnão podem ser falsas 
ao mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser verdadeiras ao 
mesmo tempo.
Exemplo 1:
Algum homem é mortal. (I) �
Algum homem não é mortal. (O) �
Observe que “algum homem é mortal” é uma sentença verdadeira, en-
quanto “algum homem não é mortal” é falsa. Não pode ocorrer de ambas 
serem falsas ao mesmo tempo.
Exemplo 2:
Algum homem é professor. (I) �
Algum homem não é professor. (O) �
Nesse exemplo, a proposição “algum homem é professor” é uma sentença 
verdadeira e “algum homem não é professor” também é verdadeira. Ambas 
não podem ser falsas ao mesmo tempo, mas podem ser verdadeiras ao mesmo 
tempo.
Subalternação e superalternação
As proposições são ditas subalternas ou superalternas quando são iguais 
em qualidade e se opõem entre si apenas em extensão. Enquanto uma é 
universal, a outra é particular.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
170
Diagramas lógicos
A
I
E
O
Todo S é P
(SAP)
Algum S é P
(SIP)
Nenhum S é P
(SEP)
Subalternação
Algum S não é P
(SOP)
Raciocínio inválido Raciocínio válido
A
I
E
O
Todo S é P
(SAP)
Algum S é P
(SIP)
Nenhum S é P
(SEP)
Superalternação
Algum S não é P
(SOP)
A � I (válida)
Se alguém diz “todos os convidados estão presentes”, logo, “algum convi-
dado está presente”, está utilizando uma superalternação entre as proposi-
ções (A I). O raciocínio é claramente válido e decorre da seguinte regra:
Da verdade do todo podemos inferir pela verdade das partes, mas da ver-
dade das partes não podemos inferir pela verdade do todo.
I � A (indeterminada)
Se alguém diz “algum convidado está presente” e conclui que “todos 
os convidados estão presentes”, está utilizando uma subalternação (I A). 
Nesse caso, o raciocínio não é válido, pois não se pode afirmar que todos os 
convidados estão presentes apenas porque algum convidado está presente. 
Dessa forma, ocorre uma indeterminação, já que não se pode afirmar que é 
verdadeiro ou que é falso que “todos os convidados estão presentes” com 
base em “algum convidado está presente”.
E � O (válida)
Se alguém diz “nenhum convidado está presente” e conclui que “algum 
convidado não está presente”, está utilizando uma superalternação entre as 
proposições (E O). O raciocínio é válido, pois se nenhum convidado está 
presente, certamente algum convidado não está presente.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
171
O � E (indeterminada)
Se alguém diz “algum convidado não está presente” e conclui que 
“nenhum convidado está presente”, está utilizando uma subalternação entre 
as proposições (O E). O raciocínio não é válido, pois não se pode afirmar 
que nenhum convidado está presente apenas porque algum convidado não 
está presente. Nesse caso, ocorre uma indeterminação, pois não se pode afir-
mar que é verdadeiro ou que é falso que “nenhum convidado está presente” 
com base em “algum convidado não está presente”.
Assim, nas proposições superalternas, o raciocínio é válido e se pode con-
cluir qual é o valor lógico único da conclusão. Já nas proposições subalter-
nas, o raciocínio é inválido e a conclusão é indeterminada, pois não se pode 
determinar o respectivo valor lógico dessa conclusão.
Para destacar, se dissermos que “algum A é B” é verdadeira, a proposição 
“todo A é B” será verdadeira ou será falsa?
Temos aí uma proposição indeterminada, pois fica impossível determinar 
um valor verdadeiro ou falso.
Observação:
A verificação da validade de argumentos categóricos pode ser efetua-
da por meio de regras gerais de inferências, de premissas e de termos. Não 
convém aqui citá-las, pois a análise dessas regras pode ser substituída pela 
análise de diagramas. Utilizando apenas diagramas temos uma forma rápida 
e eficiente para testar os argumentos categóricos.
Diagramas lógicos
Os diagramas utilizados na Teoria dos Conjuntos são importantes para 
testar a validade de argumentos categóricos. Cada diagrama se baseia num 
dos quatro tipos de proposições categóricas (A, E, I, O).
Observe as ilustrações a seguir:
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
172
Diagramas lógicos
Tipo
A
E
I
O
Afirmativa
Negativa
Afirmativa
Negativa
Universal Todo S é P
Nenhum S é P
Algum S é P
Algum S não é P
Universal
Particular
Particular
Qualidade Extensão Proposição Diagramas
P
S
PS
PS
PS
Exemplos:
Todos os advogados são honestos. ( � A)
HonestosAdvogados
Nenhum advogado é honesto. ( � E)
Advogados Honestos
Algum advogado é honesto ou existem advogados que são honestos. � (I)
Advogados
Advogados honestos
Honestos
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
173
Algum advogado não é honesto ou existem advogados que não são �
honestos. (O)
HonestosAdvogados
Advogados não honestos
Quando um sujeito s tiver certa propriedade S, diremos que s S. Caso 
s não tenha a propriedade S, escreveremos s S. Assim, por exemplo, nas 
proposições “João é médico” e “Carlos não é médico”, podemos ilustrar João 
como um elemento do conjunto dos médicos, mas Carlos não:
Médicos
João
Carlos
A utilização de diagramas é útil, pois permite visualizar as premissas e a 
conclusão, permitindo verificar a validade de um argumento.
A seguir, analisaremos cada tipo de proposição categórica, relacionado-a 
com a teoria dos conjuntos, com as proposições lógicas e com a lógica de 
predicados (em que se faz o uso de quantificadores).
Todo S é P. (A) �
Quando dizemos, por exemplo, que um conjunto S está contido em um 
conjunto P, significa que a proposição “todo elemento de S é elemento de 
P” é verdadeira.
Em símbolos de conjuntos: S P
Na lógica proposicional: x S x P
Na lógica de predicados: ( x), (S(x) P(x)) ou (~ x), (S(x) ~P(x))
P
S
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
174
Diagramas lógicos
Nenhum S é P. (E) �
Se um conjunto S não tem elemento em comum com um conjunto P, 
significa que qualquer elemento que pertence a S certamente não pertence 
a P. Nesse caso, dizemos que S e P são conjuntos disjuntos.
Em símbolos de conjuntos: S P = 
Na lógica proposicional: x S x P
Na lógica de predicados: ( x), (S(x) ~P(x)) ou (~ x), (S(x) P(x))
PS
Algum S é P. (I) �
Se algum elemento de S é elemento de P, então existe pelo menos um 
elemento que pertence simultaneamente a S e a P. Nesse caso, a intersecção 
entre S e P não é vazia, pois existe pelo menos um elemento no conjunto 
S P.
Em símbolos de conjuntos: S P ≠ 
Na lógica proposicional: x, x S x P
Na lógica de predicados: ( x), (S(x) P(x)) ou ~( x), (S(x) ~P(x))
PS
S P
Algum S não é P. (O) �
Se algum elemento de S não é elemento de P, então existe pelo menos 
um elemento que não pertence simultaneamente a S e a P. A consequência 
disso é a de que S não está contido em P. O conjunto formado pelos elemen-
tos de S que não pertencem a P é representado por S – P.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
175
Em símbolos de conjuntos: S P
Na lógica proposicional: x, x S x P
Na lógica de predicados: ( x), (S(x) ~P(x)) ou ~( x), (S(x) P(x))
PS
S-P
Observação:
O conjunto formado pelos elementos que pertencem a S ou a P (ou a 
ambos) é o conjunto “S união P”, representadopor S P.
S-P P-S
S P
S P
PS
Se for verdadeiro que “todo S é P” e que “todo P é S”, então S P e P S. 
Nesse caso, os conjuntos S e P são iguais, ou seja, S = P.
Silogismos categóricos
Um silogismo é um argumento composto de duas premissas e uma con-
clusão. Um silogismo categórico é um argumento composto por três propo-
sições categóricas nas quais existem exatamente três termos; cada um dos 
quais ocorre precisamente em duas das três proposições.
Uma das maneiras de verificar a validade ou não de um silogismo categó-
rico é “visualizar” cada um dos predicados (conjuntos que satisfazem deter-
minada condição). Se a conclusão do argumento for necessariamente ver-
dadeira, supondo como verdadeira cada uma das premissas, o argumento é 
considerado válido, correto ou legítimo. Caso contrário, é inválido, incorreto 
ou ilegítimo.
Observe alguns exemplos de silogismos categóricos.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
176
Diagramas lógicos
Exemplo 1:
Todos os músicos são talentosos. ................. Premissa 1
Todos os talentosos são exóticos. ................. Premissa 2
Todos os músicos são exóticos. ..................... Conclusão
Exóticos
Talentosos
Músicos
De acordo com os diagramas, o argumento é válido.
Os termos que determinam as categorias “músicos”, “talentosos” e “exóti-
cos” aparecem em exatamente duas das três proposições do argumento. Isso 
é o que caracteriza um silogismo categórico.
Exemplo 2:
Todos os artistas são criativos. .................... Premissa 1
Existem homens que são artistas. ............. Premissa 2
Existem homens criativos. ............................ Conclusão
Criativos
Artistas
Homens
O argumento é válido, pois a conclusão é necessariamente verdadeira.
Observe que os predicados “artistas”, “criativos” e “homens” aparecem em 
exatamente duas das três proposições do argumento. Trata-se, portanto, de 
um silogismo categórico.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
177
Exemplo 3:
Nenhum fanático é religioso. ...................... Premissa 1
Existem homens que são religiosos........... Premissa 2
Existem homens que são fanáticos............ Conclusão
Fanáticos Religiosos
Homens
O argumento é inválido, pois a conclusão não é necessariamente 
verdadeira.
Observe que, supondo como verdadeiro que alguns homens são religio-
sos e que nenhum fanático é religioso, não há a garantia de que exista algum 
homem que seja fanático.
Exemplo 4:
Nenhum fanático é religioso. ............................... Premissa 1
Existem homens que são religiosos. ................. Premissa 2
Existem homens que não são fanáticos. ......... Conclusão
Fanáticos Religiosos
Homens
O argumento é válido. A conclusão é necessariamente verdadeira.
Pelos diagramas fica claro que se existem homens religiosos e nenhum 
fanático é religioso, necessariamente alguns homens (religiosos) não são 
fanáticos.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
178
Diagramas lógicos
Exemplo 5:
Todos os sábios são introvertidos. ..................... Premissa 1
Existem animais que são introvertidos. ........... Premissa 2
Existem animais que são sábios. ........................ Conclusão
Introvertidos
Animais
Sábios
O argumento é inválido. A conclusão não é necessariamente verdadeira.
Observe que mesmo que todos os sábios sejam introvertidos e que existam 
animais que sejam introvertidos, pode ocorrer que nenhum animal seja sábio.
Exemplo 6:
Todos os sábios são introvertidos. ..................... Premissa 1
Existem animais que são introvertidos. ........... Premissa 2
Existem animais que não são sábios. ................ Conclusão
Introvertidos
Sábios
Animais
O argumento é inválido, pois a conclusão não é necessariamente verdadeira.
A ilustração é uma das possíveis configurações que se pode construir a 
partir da suposição da veracidade das premissas. Analisemos cada uma das 
premissas e a conclusão para explicar porque o argumento é inválido.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
179
Premissa 1: Todos os sábios são introvertidos.
Essa proposição categórica possui o quantificador universal “todos”. Dessa 
forma, deve-se destacar o conjunto dos sábios como subconjunto do con-
junto dos introvertidos. Nenhuma outra possibilidade de ilustração é viável 
a partir da veracidade dessa premissa.
Premissa 2: Existem animais que são introvertidos.
Essa proposição categórica possui o quantificador existencial “existem”. 
Assim, não é possível se garantir a exata relação entre os diagramas dos 
conjuntos “animais” e “introvertidos”. A ilustração deve destacar que há inter-
secção entre os conjuntos “animais” e “introvertidos”, mas nada impede que 
possamos ilustrar o conjunto “animais” como subconjunto de “introvertidos”. 
A premissa não é contrariada nessa situação.
Conclusão: Existem animais que não são sábios.
Inicialmente, observe que quando colocamos o conjunto “animais” como 
subconjunto de “introvertidos”, abrimos a possibilidade de que a conclusão 
possa ser falsa, uma vez que, na ilustração apresentada, todos os animais são 
sábios.
Lembre-se sempre que o argumento só é válido quando a conclusão é 
necessariamente verdadeira. Se houver alguma possibilidade de a conclusão 
ser falsa, mesmo mantendo a veracidade de cada uma das premissas, deve- 
-se classificar o argumento como inválido.
Exemplo 7:
Nenhum lógico é louco. ................................ Premissa 1
Existem bichos que são loucos. .................. Premissa 2
Existem lógicos que não são bichos. ........ Conclusão
Bichos
LoucosLógicos
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
180
Diagramas lógicos
O argumento é inválido. A conclusão não é necessariamente verdadeira.
Mais uma vez, observe atentamente que a ilustração é uma das possí-
veis configurações que se pode construir, supondo que as premissas sejam 
verdadeiras. Vamos analisar as premissas e a conclusão para constatar que o 
argumento é falacioso.
Premissa 1: Nenhum lógico é louco.
Essa proposição categórica possui o quantificador universal “nenhum”. 
Assim, o conjunto “lógicos” tem intersecção vazia com o conjunto “loucos”, 
não existindo outra possibilidade em relação aos conjuntos.
Premissa 2: Existem bichos que são loucos.
Essa proposição categórica possui o quantificador existencial “existem”. 
Logo, não é possível se garantir a exata relação entre os conjuntos “bichos” 
e “loucos”. A ilustração deve destacar que há intersecção entre os conjun-
tos “bichos” e “loucos”. Isso não impede que ilustremos o conjunto “lógicos” 
como subconjunto de “bichos”. A premissa não é contrariada nessa situação.
Conclusão: Existem lógicos que não são bichos.
Observe que ao colocarmos o conjunto “lógicos” como subconjunto de 
“bichos”, abrimos a possibilidade de que a conclusão possa ser falsa, pois, na 
ilustração apresentada, todos os lógicos são bichos.
Mais uma vez lembremos que um argumento é válido apenas quando a 
conclusão é necessariamente verdadeira. Como nesse caso existe a possibi-
lidade de a conclusão ser falsa, sem que isso contrarie qualquer premissa, 
concluímos que o argumento é inválido.
Validade de silogismos categóricos 
pelo método de Venn
Para determinar se um típico silogismo categórico é válido ou não, existe 
um método elaborado pelo matemático John Venn (1834-1923) que consis-
te em se representaras premissas e a conclusão em três diagramas que se 
interceptam dois a dois. Pelo método, analisando os diagramas, as premissas 
e a conclusão do argumento pode-se verificar se o argumento é válido.
Considerando que os três termos de um silogismo categórico são repre-
sentados pelas letras S, M e P, observe a seguinte ilustração:
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
181
S
M
P
Como os três diagramas (S, M e P) interceptam-se dois a dois, podemos 
identificar oito diferentes regiões que determinam oito distintas classes.
S
M
P
SMP
SMP
SMP
SMP
SMP
SMP SMP
SMP
Os símbolos e os correspondentes significados de cada uma dessas regiões 
é o seguinte:
SMP � : Elementos pertencentes a S e a P e a M.
SM � P : Elementos pertencentes a S e a M, mas não a P.
S � MP: Elementos pertencentes a S e a P, mas não a M.
S � MP: Elementos pertencentes a M e a P, mas não a S.
S � MP : Elementos pertencentes a S, mas não a M, nem a P.
S � MP: Elementos pertencentes a P, mas não a S, nem a M.
S � MP : Elementos pertencentes a M, mas não a S, nem a P.
S � MP: Elementos que não pertencem a S, nem a M, nem a P.
Observe que o traço acima da letra que representa um conjunto indica 
que o elemento considerado não pertence a esse conjunto. Ainda, em vez de 
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
182
Diagramas lógicos
utilizar a barra acima da letra que representa um dado conjunto, poderíamos 
também representar utilizando a notação de conjunto complementar. Por 
exemplo, o complementar do conjunto A representa-se por Ac.
Nos próximos exemplos, observe como é o procedimento de verificação 
da validade de silogismos categóricos por meio do método de Venn.
Exemplo 1:
Todo homem é mortal. .................................................. Premissa 1
Existem homens que são esportistas. ...................... Premissa 2
Existem esportistas que são mortais. ....................... Conclusão
Inicialmente, construímos os diagramas, considerando H como conjunto 
dos homens, M como conjunto dos mortais e E como conjunto dos esportis-
tas. Em seguida, se, por exemplo, uma premissa indicar que uma determina-
da região é vazia, vamos sombrear a área correspondente para indicar que 
na região sombreada não existe qualquer elemento.
A premissa 1 afirma que “todo homem é mortal”. Logo, devemos sombre-
ar as regiões formadas pelas categorias HME e HME, pois essas regiões são 
vazias se a premissa 1 for verdadeira.
H
E
M
HME
HME
A premissa 2 afirma que “existem homens que são esportistas”. A partir 
dela, não podemos sombrear alguma região específica, mas podemos co-
locar um “X” na região que, necessariamente, não é vazia. Este “X” marcado 
garantirá que existe pelo menos um elemento na região em que ele se en-
contra. Essa região é a que, de acordo com a premissa 1, não foi sombreada 
e que está contida nos conjuntos H e E simultaneamente. Na figura a seguir, 
o “X” indica que a premissa 2 é verdadeira.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
183
H
E
X
M
HME
HME
HME
A conclusão afirma que “existem esportistas que são mortais”. A presen-
ça de “X” na região comum a H, E e M, garante que existe pelo menos um 
homem que seja mortal e esportista. Por isso, garante a veracidade de “exis-
tem esportistas que são mortais”. Logo, a conclusão é verdadeira e é conse-
quência das premissas. Portanto, o argumento é válido.
H
E
X
M
A presença de elementos 
nesta região garante que 
a conclusão é verdadeira.
HME
HME
HME
Exemplo 2:
Nenhum homem é louco. .............................. Premissa 1
Existem bichos que são loucos. .................... Premissa 2
Existem homens que não são bichos. ........ Conclusão
De início, vamos construir os diagramas, considerando H como conjunto 
dos homens, L como conjunto dos loucos e B como conjunto dos bichos. Em 
seguida, de acordo com as premissas, devemos sombrear a área que indica 
que a classe correspondente é vazia.
A primeira premissa afirma que nenhum homem é louco. Logo, a inter-
secção entre os conjuntos “homens” e “loucos” é vazia. Isso será representado 
sombreando a região comum aos conjuntos “homens” e “loucos”.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
184
Diagramas lógicos
H
B
L
A segunda premissa afirma que “existem bichos que são loucos”. Assim, 
colocaremos um “X” na região que é comum aos conjuntos “bichos” e “loucos”. 
Isso identifica que a região que possui o “X” não é vazia.
H
B
L
X
A conclusão afirma que “existem homens que não são bichos”. Observe na 
próxima ilustração que a região exclusiva do conjunto H, formada apenas pelos 
elementos que são apenas homens, pode ser vazia. A consequência disso é 
que todos os homens seriam bichos, o que tornaria a conclusão falsa.
H
B
X
L
Se esta região for vazia, todos 
os homens serão bichos.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
185
Portanto, o argumento é inválido.
Observação:
Em geral, a utilização de diagramas de Venn na verificação da validade 
de argumentos categóricos é eficiente nos casos em que o argumento é um 
silogismo, ou seja, um argumento com duas premissas, uma conclusão e a 
presença de três termos, cada um aparecendo duas vezes no argumento. 
Entretanto, para argumentos com um maior número de premissas, a análise 
tradicional, possibilidade por possibilidade, torna-se mais conveniente.
Ampliando seus conhecimentos
O próximo texto foi extraído do livro Lógica Elementar.
Lógica Antiga
(MATES, 1967, p. 257-260)
Se, com essas observações em mente, buscamos as origens de nossa ciên-
cia, poderemos dizer, sem rodeios, que a história da Lógica tem início com o 
filósofo grego Aristóteles (384-322 a.C.). Embora, entre os historiadores, seja 
quase um lugar comum afirmar que as grandes conquistas intelectuais nunca 
se devem a uma pessoa apenas (Euclides utilizou-se, para fundar a geometria, 
de resultados obtidos por Eudoxo e outros; quanto à mecânica, Newton pode 
erguer-se sobre os ombros de Descartes, Galileu e Kepler; e assim por diante), 
Aristóteles, segundo todas as evidências ao nosso alcance, criou a ciência 
lógica inteiramente ex nihilo. Com uma franqueza que desarma, ele próprio 
nos diz isso, em passagem ao fim das Refutações aos Sofistas, e não há motivo 
para duvidar da precisão de seu relato. Muitos estudiosos afirmaram, apoia-
dos em argumentos a priori, que tal ato de criação é impossível e lançaram-se 
ao exame das obras dos predecessores de Aristóteles, especialmente Platão, 
procurando encontrar pelo menos o germe da lógica aristotélica. A busca foi 
inteiramente infrutífera; em razão, porém, de confusões de que demos notícia 
nos dois parágrafos, tem-se por vezes afirmado o contrário.
Os escritos de Aristóteles a propósito da Lógica contêm-se num conjunto 
de tratados que épocas posteriores vieram a denominar Organon. Reúnem- 
-se nele seis obras: as Categoriae, De Interpretatione, Analytica Priora, Analyti-
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
186
Diagramas lógicos
ca Posteriora, Tópicos e Refutações aos Sofistas (os títulos provavelmente não 
foram dados por Aristóteles e são pouco indicativos do conteúdo). Impressos, 
eles correspondem a um volume de várias centenas de páginas, mas a silo-
gística,ou teoria do silogismo, que é o núcleo essencial da lógica aristotélica, 
vem exposta em poucas páginas, ao começo da Analytica Priora. O mais que 
se inclui no Organon diz respeito, em maior porção, a tópicos estranhos ao 
campo da Lógica, embora passagens ocasionais esclareçam a terminologia 
utilizada na silogística ou proporcionem outras informações úteis.
Antes de nos adiantarmos, importa anotar, entre parênteses, que o leitor 
de Aristóteles não deve perder de vistas as vicissitudes a que os escritos de 
Aristóteles estiveram sujeitos ao longo dos 23 séculos de sua história. Houve 
mutilação de trechos, notas marginais de comentadores foram incluídas no 
texto, alterou-se a ordem dos livros e capítulos, perderam-se parágrafos intei-
ros e obras espúrias surgiram – e tudo isso além dos erros por omissão, dupli-
cação e substituição normalmente cometidos pelos copistas. O lógico dado à 
leitura de Aristóteles deverá também acautelar-se contra a pouca importância 
por ele atribuída à distinção uso-menção. Locuções da forma “toda A é B” e “A 
está incluído em B” são usadas indiferentemente por locuções da forma “B é 
predicado de todo A” e “B pertence a todo A”; com efeito, a certa altura, o autor 
diz redondamente: “pois é o mesmo uma primeira coisa ser incluída como um 
todo em outra e esta outra ser predicada de toda a primeira”. Assim, nas Cate-
goriae, nos deparamos com a seguinte afirmação:
Sempre que uma coisa é predicado de outra, que é sujeito, tudo que é pre-
dicado do predicado é também predicado do sujeito, e.g. homem é predicado 
de homem específico, e animal, de homem; assim, animal será também predi-
cado de um homem específico.
Se propusermos a questão de saber se, nesse passo, Aristóteles está se 
referindo a palavras ou coisas ou tanto a umas quanto a outras, estaremos 
provavelmente fazendo uma pergunta sem resposta; isso não quer dizer, na-
turalmente, que não tenha conteúdo o que ele afirma.
Silogismo, segundo Aristóteles, é uma parte do discurso na qual, sendo 
postas certas coisas, delas decorrem outras, necessariamente. Essa definição 
poderia levar a supor que Aristóteles usa o termo “silogismo” como equiva-
lente aproximado de “argumento válido”, mas, na verdade, o alcance que lhe 
empresta é muito mais restrito. Próximo ao começo da Analytica Priora, ele re-
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
187
laciona as espécies de sentença que podem ser integrantes de um silogismo. 
E nos diz que toda premissa ou conclusão é afirmativa ou negativa, segundo 
afirme ou negue algo a propósito de algo. Classificam-se as sentenças em uni-
versais, particulares ou indefinidas: uma sentença universal assevera que algo 
pertence a todo ou a nenhum outro algo; uma sentença particular assevera 
que algo pertence ou não a algum ou a não todo algo diverso; e, por fim, uma 
sentença indefinida assevera, sem fazê-lo em geral nem em particular, que 
algo pertence a algo, e.g., que o prazer não é um bem. Na prática, as senten-
ças indefinidas são ignoradas por Aristóteles; razão para isso, de acordo com 
os comentadores, está em que elas “equivalem” a correspondentes senten-
ças particulares. Seja como for, as componentes do silogismo aristotélico são 
sempre sentenças universais ou particulares e afirmativas ou negativas; isto 
é, recorrendo a exemplos do próprio Aristóteles, são sentenças como “Todo 
homem é branco” e “Nenhum homem é branco”, “Alguns homens são brancos” 
e “Nem todos os homens são brancos”, sentenças posteriormente designadas 
como das formas A, E, I ou O, respectivamente. Expressões como “homem” e 
“branco” são chamadas termos. A teoria do silogismo nada diz a propósito 
de sentenças singulares, como “Sócrates é branco”, embora sentenças desse 
tipo hajam desempenhado papel relevante em descrições da chamada Lógica 
Tradicional.
Nem todo argumento composto de sentenças A, E, I ou O é um silogis-
mo, mas apenas aqueles que apresentam exatamente duas premissas e uma 
conclusão e envolvem, no máximo, três termos. Assim, as duas premissas tem 
sempre um termo em comum, pelo menos, e esse é o chamado termo médio. 
O predicado da conclusão é o termo maior e o sujeito da conclusão é o termo 
menor.
No tratado De Interpretatione, Aristóteles menciona algumas das relações 
lógicas existentes entre as sentenças A, E, I ou O que tenham os mesmos 
termos como sujeito e predicado. As sentenças A e O são contraditórias, assim 
como o são as E e I; de cada par de contraditórias, diz ele, uma é verdadeira. A 
e E são chamadas contrárias; as contrárias não podem ser ambas verdadeiras, 
mas ambas podem ser falsas. Essas relações e outras foram, mais tarde, repre-
sentadas esquematicamente no Quadrado de Oposição, figura encontradiça 
em quase todos os textos de Lógica Tradicional e que primeiro apareceu no 
comentário que Apuleio de Madauros (século II a. C.) escreveu a propósito de 
De Interpretatione.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
188
Diagramas lógicos
Aristóteles inicia sua exposição dedutiva da teoria estabelecendo assim as 
chamadas leis de conversão que, posteriormente, usa para “reduzir” uma es-
pécie de silogismo a outra. Diz ele que a sentença negativa universal se con-
verte em negativa universal; por exemplo, se nenhum prazer é um bem, então 
nenhum bem será prazer. As sentenças afirmativas particulares e universais 
convertem-se em afirmativas particulares; por exemplo, se todo prazer é um 
bem ou se algum prazer é um bem, então algum bem é prazer. A negativa 
particular não se converte; não é o caso de se algum animal não é homem, 
então algum homem não é animal. Aristóteles formula essas leis valendo-se 
de variáveis:
Se A pertence a não B, então B não pertence a nenhum A.
Se A pertence a todos os B, então B pertencerá a algum A.
Se A pertence a algum B, então B pertencerá a algum A.
Essa foi a primeira vez em que se fez o uso claro de variáveis em ciência.
Atividades de aplicação
1. Classifique as proposições categóricas de acordo com a qualidade e a 
extensão:
a) Todo animal é carnívoro.
b) Nenhum homem é cristão.
c) Alguns macacos latem.
d) Algumas ruas não são públicas.
e) Existem praias poluídas.
f) Existem motoristas sem carteira.
2. Considere a proposição categórica “Todo homem é mortal”. Escreva as 
correspondentes proposições: contraditória, contrária e superalterna.
3. Se for verdade que todos os alunos são estudiosos, então é necessaria-
mente verdadeiro que:
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
189
a) Nenhum aluno é estudioso?
b) Alguns alunos são estudiosos?
c) Alguns alunos não são estudiosos?
4. Se for verdade que nenhum aluno é estudioso, então é necessaria-
mente verdadeiro que:
a) Todos os alunos são estudiosos?
b) Alguns alunos são estudiosos?
c) Alguns alunos não são estudiosos?
5. Se for verdade que alguns alunos são estudiosos, então é necessaria-
mente verdadeiro que:
a) Todos os alunos são estudiosos?
b) Nenhum aluno é estudioso?
c) Alguns alunos não são estudiosos?
6. Se for verdade que alguns alunos não são estudiosos, então é necessa-
riamente verdadeiro que:
a) Todos os alunos são estudiosos?
b) Nenhum aluno é estudioso?
c) Alguns alunos são estudiosos?
7. Escreva a sentença que nega cada uma das proposições categóricas 
abaixo:
a) Todos os marujos estão no navio.
b) Nenhum marujo está no navio.
c) Alguns marujos estão no navio.
d) Alguns marujos não estão no navio.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
190
Diagramas lógicos8. Considere o silogismo categórico a seguir.
 Nenhuma árvore é nativa. ......................................Premissa 1
 Nenhum nativo é homem. ..................................... Premissa 2
 Nenhuma árvore é homem. ................................... Conclusão
 Resolva o que se pede:
a) Construa diagramas e verifique se o argumento é válido pelo mé-
todo tradicional.
b) Verifique se o argumento é válido pelo método de Venn.
9. (Vunesp-adap.)Marque um “X” nos argumentos em que ocorre uma 
conclusão verdadeira (real) e o argumento inválido.
( ) Raulino é homem e todo homem é mortal, portanto Raulino é 
mortal.
( ) Toda a pedra é um homem, pois alguma pedra é um ser e todo ser 
é homem.
( ) Todo cachorro mia e nenhum gato mia, portanto cachorros não 
são gatos.
( ) Todo o pensamento é um raciocínio, portanto todo o pensamento 
é um movimento, visto que todos os raciocínios são movimentos.
( ) Toda cadeira é um objeto e todo objeto tem cinco pés, portanto 
algumas cadeiras têm só quatro pés.
10. Verifique a validade do argumento categórico:
Existem mariscos que são tóxicos.
Existem tóxicos que são úteis.
Logo, existem mariscos que são úteis.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
191
Referências
ABELARDO, Pedro. Lógica para Principiantes. Petrópolis: Vozes, 1994.
ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 
2003. 203 p.
ARISTÓTELES. Tópicos. São Paulo: Abril Cultural, 1973. (Coleção Os Pensadores).
_____. Organon. São Paulo: Nova Cultural, 1999. (Coleção Os Pensadores).
BOLL, Marcel; REINHART, Jacques. A História da Lógica. Lisboa: Edições 70, 1982. 
127 p.
CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6. ed. São Paulo: Nobel, 
1986. 158 p.
DESCARTES, René. Discurso do Método. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2003. 
102 p.
KELLER, Vicente; BASTOS, Cleverson L. Aprendendo Lógica. 12. ed. Petrópolis: 
Vozes, 2000. 179 p.
KOPNIN, P. V. A Dialética como Lógica e Teoria do Conhecimento. Rio de Janei-
ro, 1978. 353 p.
LAUSCHNER, Roque. Lógica Formal. 4. ed. rev. Porto Alegre: Sulina/ Unisinos, 
1984. 207 p.
LIARD, L. Lógica. 6. ed. São Paulo: Cia. Editora Nacional, 1965. 211 p.
LIPSCHULTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. São Paulo: McGraw-Hill, 1972. 337 p.
MACHADO, Nilson José. Matemática 1 por Assunto – lógica, conjuntos e fun-
ções. São Paulo: Scipione, 1988. 240 p.
_____. Lógica? É Lógico! São Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Coleção Vivendo a 
Matemática).
MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos, lógica 
menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980. 318 p.
MATES, Benson. Lógica Elementar. Tradução de: HEGENBERG, Leônidas H. B.; 
MOTA, Octanny Silveira da. São Paulo: Nacional/ USP, 1967. 298 p.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
192
Diagramas lógicos
NAHRA, Cínara; WEBER, Ivan Hingo. Através da Lógica. 5. ed. Petrópolis: Vozes, 
1997. 174 p.
OLIVEIRA, Augusto J. Franco de. Lógica Aritmética. Brasília: UnB, 2004. 241 p.
SALMON, Wesley C. Lógica. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978. 142 p.
SÉRATES, Jonofon. Raciocínio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 432 p. v. 1.
_____. Raciocínio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 467 p. v. 2.
SOARES, Edvaldo. Fundamentos da Lógica – elementos da Lógica Formal e Teoria 
da Argumentação. São Paulo: Atlas, 2003. 187 p.
TELLES JR., Goffredo. Curso de Lógica Formal. 3. ed. São Paulo: Edusp, 1973. 367 p.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
193
Gabarito
1.
a) Extensão: universal.
 Qualidade: afirmativa.
b) Extensão: universal.
 Qualidade: negativa.
c) Extensão: particular.
 Qualidade: afirmativa.
d) Extensão: particular.
 Qualidade: negativa.
e) Extensão: particular.
 Qualidade: afirmativa.
f) Extensão: particular.
 Qualidade: negativa (a palavra “sem” indica negação).
2. Proposição: “Todo homem é mortal”.
 Contraditória: “Algum homem não é mortal”.
 Contrária: “Nenhum homem é mortal”.
 Superalterna: “Algum homem é mortal”.
3. Observe a ilustração que destaca a proposição “todos os alunos são 
estudiosos”:
Estudiosos
Alunos
 A partir dessa ilustração, pode-se corretamente responder:
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
194
Diagramas lógicos
a) Não, pois todo aluno é estudioso.
b) Sim, pois se todo aluno é estudioso, algum aluno é estudioso.
c) Não, pois todo aluno é estudioso.
4. Observe a ilustração que destaca a proposição “nenhum aluno é estu-
dioso”:
EstudiososAlunos
 A partir dessa ilustração, pode-se corretamente responder:
a) Não, pois nenhum aluno é estudioso.
b) Não, pois nenhum aluno é estudioso.
c) Sim, pois se nenhum aluno é estudioso, então alguns alunos não 
são estudiosos.
5. Observe algumas ilustrações possíveis a partir da veracidade da pro-
posição “alguns alunos são estudiosos”:
Estudiosos
Alunos
EstudiososAlunos
 A partir dessas ilustrações, pode-se corretamente responder:
a) Não, pois, pela primeira ilustração, é possível que existam alunos 
que não sejam estudiosos.
b) Não, pois, pela primeira ilustração, é possível que existam alunos 
que sejam estudiosos.
c) Não, pois, pela segunda ilustração, é possível que todos os alunos 
sejam estudiosos.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
195
6. Observe algumas ilustrações possíveis a partir da veracidade da pro-
posição “alguns alunos não são estudiosos”:
EstudiososAlunos EstudiososAlunos
 A partir dessas ilustrações, pode-se corretamente responder:
a) Não, pois, pela primeira ilustração, é possível que existam alunos 
que não sejam estudiosos.
b) Não, pois, pela primeira ilustração, é possível que existam alunos 
que sejam estudiosos.
c) Não, pois, pela segunda ilustração, é possível que nenhum aluno 
seja estudioso.
7.
a) Alguns marujos não estão no navio.
b) Alguns marujos estão no navio.
c) Nenhum marujo está no navio.
d) Todos os marujos estão no navio.
8.
a) Sejam A: conjunto das árvores, N: conjunto dos nativos e H: conjun-
to dos homens. Observe uma possível ilustração de tais conjuntos:
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
196
Diagramas lógicos
H
A
N
 De acordo com as premissas, não existem elementos comuns aos 
conjuntos A e N, e, também, aos conjuntos N e H. Mas isso não im-
pede que existam elementos comuns aos conjuntos A e H. Logo, 
a conclusão “nenhuma árvore é homem” pode ser verdadeira ou 
pode ser falsa. Assim, a conclusão não está garantida na hipótese 
das premissas serem verdadeiras e, portanto, o argumento não é 
válido.
b) Em primeiro lugar, devemos representar os três conjuntos (A, N e H) 
em diagramas, com intersecções dois a dois. Em seguida, analisar 
as premissas. A premissa 1 afirma que “nenhuma árvore é nativa”, 
logo devemos sombrear as regiões ANH e ANH, pois tais regiões 
são vazias na hipótese da premissa 1 ser verdadeira.
A
H
N
ANH
ANH
ANH
ANH
ANH
ANH ANH
ANH
 A premissa 2 afirma que “nenhum nativo é homem”. Logo, as regiões 
ANH e ANH devem ser sombreadas, pois são vazias.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
197
A
H
N
ANH
ANH
ANH
ANH
ANH
ANH
ANH ANH
 A conclusão“nenhuma árvore é homem” afirma que os conjuntos 
A e N não têm elementos comuns. A parte comum aos conjuntos A 
e N é formada pelas regiões ANH e ANH. A região ANH é vazia, pois 
foi sombreada. Mas a região ANH pode não estar vazia, pois não foi 
sombreada. Como a região da conclusão do argumento não foi in-
teiramente sombreada e, nesse caso, deveria ser inteiramente som-
breada, concluímos que o argumento não é válido.
9. Analisando cada argumento, temos:
a)
 ( ) Raulino é homem. ............................ Premissa 1
 Todo homem é mortal. ....................... Premissa 2
 Raulino é mortal. ................................... Conclusão
Mortais
Raulino
Homens
 No sentido real, a conclusão “Raulino é mortal” é verdadeira. Além 
disso, de acordo com a ilustração anterior, o argumento é válido.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
198
Diagramas lógicos
b)
 ( ) Alguma pedra é um ser. ......................... Premissa 1
 Todo ser é homem. ....................................... Premissa 2
 Toda pedra é um homem. .......................... Conclusão
Homens
Seres
Pedras
 O diagrama mostra que, mesmo que alguma pedra seja um ser e 
mesmo que todo ser seja homem, pode ocorrer de existirem pe-
dras que não são homens. Logo, o argumento é inválido. A conclu-
são “toda pedra é um homem” é, no sentido real, evidentemente 
falsa.
c)
 ( ) Todo cachorro mia. .................................. Premissa 1
 Nenhum gato mia. ........................................ Premissa 2
 Cachorros não são gatos. ........................... Conclusão
Animais que 
miam
Cachorros
Gatos
 De acordo com a ilustração, o argumento é válido. No sentido real, 
a conclusão “cachorros não são gatos” é verdadeira.
d)
 ( ) Todo o pensamento é um raciocínio. ................ Premissa 1
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Diagramas lógicos
199
 Todos os raciocínios são movimentos. .................. Premissa 2
 Todo o pensamento é um movimento. ................. Conclusão
Movimentos
Pensamentos
Raciocínios
 O argumento é válido. Embora não esteja clara a extensão do sig-
nificado da palavra “movimento”, no sentido real a conclusão pode 
ser considerada verdadeira.
e)
 ( X ) Toda cadeira é um objeto. ................................. Premissa 1
 Todo objeto tem cinco pés. ....................................... Premissa 2
 Algumas cadeiras têm só quatro pés. .................... Conclusão
Cinco pés
Cadeiras
Objetos
 Da ilustração, conclui-se que todas as cadeiras têm cinco pés. A par-
tir disso, concluímos ser falsa a afirmação de que “algumas cadei-
ras têm só quatro pés”. Portanto, o argumento é inválido. A questão 
solicitava que marcássemos o argumento inválido, cuja conclusão, 
na realidade, é verdadeira. Observe que, no sentido real, entretan-
to, quando dizemos que “algumas cadeiras têm só quatro pés”, tal 
conclusão é verdadeira. Ou seja, mesmo que existam cadeiras com 
menos que quatro pés ou mais que quatro pés, no sentido real de-
vemos admitir que existem cadeiras que têm só quatro pés.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
200
Diagramas lógicos
10. Observe como podemos organizar os diagramas a partir das premis-
sas consideradas verdadeiras:
marisco tóxicos úteis
 Mesmo que existam mariscos que sejam tóxicos e que existam tóxicos 
que sejam úteis, não é necessariamente verdadeiro que existam maris-
cos que sejam úteis. Portanto, o argumento é inválido.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br