Aula Probabilidade

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LE409 – Estatística e Probabilidade para Engenharia
Professor Leonardo Tomazeli Duarte
Segundo Semestre de 2015
Probabilidade
 
Probabilidade
● O que é probabilidade?
 
Probabilidade
● O que é probabilidade?
● Uma ferramenta útil que criamos para modelar 
eventos aleatórios.
 
Probabilidade
● O que é probabilidade?
● Uma ferramenta útil que criamos para modelar 
eventos aleatórios.
● Intuitivamente, pode ser vista como a chance de 
um certo evento ocorrer.
● Ou então, podemos encarar a probabilidade como 
uma medida que atribuímos a eventos aleatórios, 
assim como atribuímos massa a um corpo, ou 
resistência a um resistor, sem se preocupar, num 
primeiro momento, com interpretações intuitivas.
 
Experimento aleatório
● Basicamente, um experimento aleatório é um 
experimento que pode resultar em diferentes 
saídas, mesmo tendo sido repetido em 
condições iguais.
 
Experimento aleatório
● Basicamente, um experimento aleatório é um 
experimento que pode resultar em diferentes 
saídas, mesmo tendo sido repetido em 
condições iguais.
● Rigorosamente, um experimento aleatório 
possui as seguintes características
● Deve ser repetido em condições idênticas
● A saída do experimento (resultado) não pode ser 
prevista antes da sua ocorrência
● Deve apresentar uma certa regularidade estatística, 
ou seja, quando repetido um grande número de 
vezes, deve apresentar um “comportamento 
estatístico” médio.
 
Exemplo de experimentos aleatórios
● Jogar de uma moeda;
● Jogar um dado;
● Medida de um parâmetro de um produto 
manufaturado;
● Energia consumida num processo químico;
 
Exemplo de experimentos aleatórios
● Jogar de uma moeda;
● Jogar um dado;
● Medida de um parâmetro de um produto 
manufaturado;
● Energia consumida num processo químico;
A definição de um experimento como sendo 
aleatório ou determinístico em engenharia 
ou em qualquer outra ciência aplicada é 
sobretudo uma questão de conveniência, e 
não implica que o fenômeno observado é, 
em essência, aleatório ou determinístico.
 
Espaço amostral
● Espaço amostral: conjunto de todos os 
resultados possíveis de um experimento 
aleatório.
● Denotaremos o espaço amostral por S
 
Espaço amostral
● Espaço amostral: conjunto de todos os 
resultados possíveis de um experimento 
aleatório.
● Denotaremos o espaço amostral por S
● Exemplo
● Jogar de uma moeda (C = cara, Co = coroa)
– S = {C, Co}
 
Espaço amostral
● Espaço amostral: conjunto de todos os 
resultados possíveis de um experimento 
aleatório.
● Denotaremos o espaço amostral por S
● Exemplo
● Jogar de uma moeda (C = cara, Co = coroa)
– S = {C, Co}
● Medida do peso de um produto manufaturado
– S = ℝ+ (Reais não negativos)
 
Espaço amostral
● Espaço amostral: conjunto de todos os 
resultados possíveis de um experimento 
aleatório.
● Denotaremos o espaço amostral por S
● Exemplo
● Jogar de uma moeda (C = cara, Co = coroa)
– S = {C, Co}
● Medida do peso de um produto manufaturado
– S = ℝ+ (Reais não negativos)
● Jogar de duas moedas
– S = {C, Co} X {C, Co} = {CC, CCo, CoC, CoCo}
 
Evento
● Evento: um subconjunto do conjunto amostral S.
 
Evento
● Evento: um subconjunto do conjunto amostral S.
● Exemplo: jogar de uma moeda
● S = {C, Co}
– E1 = ∅ (Evento impossível)
– E2 = {C}
– E3 = {Co}
– E4 = {C, Co} (Evento certo)
 
Evento
● Evento: um subconjunto do conjunto amostral S.
● Exemplo: jogar de uma moeda
● S = {C, Co}
– E1 = ∅ (Evento impossível)
– E2 = {C}
– E3 = {Co}
– E4 = {C, Co} (Evento certo)
● Exemplo: Medida do peso de um produto manufaturado
– S = ℝ+ (Reais não negativos)
– E1 = { x | x > 10 }
– E2 = { x | 1 < x < 5 }
 
Eventos formados a partir de outros eventos
● Dados dois ou mais eventos, podemos obter novos 
eventos considerando as operações aplicadas em 
conjuntos
1. União: E3 = E1 ∪ E2 
Exemplo: jogar de um dado: E1 = {1,2}, E2 = {3}
 E3 = E1 ∪ E2 = {1,2,3} 
E1 E2
S
 
Eventos formados a partir de outros eventos
● Dados dois ou mais eventos, podemos obter novos 
eventos considerando as operações aplicadas em 
conjuntos
2. Interseção: E3 = E1 ∩ E2 
Exemplo: jogar de um dado: E1 = {1,2}, E2 = {2,4}
 E3 = E1 ∩ E2 = {2} 
E1 E2;
S
 
Eventos formados a partir de outros eventos
● Dados dois ou mais eventos, podemos obter novos eventos 
considerando as operações aplicadas em conjuntos
3. Complemento: E2 = E1' 
Exemplo: E1 = {1,2} → E2 = E1' ={3,4,5,6} 
Note que, neste caso, E2 ∪E1 = S 
E2
E1
 
Mais exemplos de operações sobre 
conjuntos
● Outros exemplos de operações sobre conjuntos 
(Montgomery et al. 2003).
 
Exemplo 
● Seja um experimento aleatório associado à medida da 
largura (mm) de uma peça.
 
Exemplo 
● Seja um experimento aleatório associado à medida da 
largura (mm) de uma peça
● O espaço amostral neste caso é:
S = ℝ+ (Reais não negativos)
 
Exemplo 
● Seja um experimento aleatório associado à medida da 
largura (mm) de uma peça
● O espaço amostral neste caso é:
S = ℝ+ (Reais não negativos)
● Queremos que está largura seja menor que 10 (aceitável). 
Podemos definir dois eventos 
 
Exemplo 
● Seja um experimento aleatório associado à medida da 
largura (mm) de uma peça
● O espaço amostral neste caso é:
S = ℝ+ (Reais não negativos)
● Queremos que está largura seja menor que 10 (aceitável). 
Podemos definir dois eventos 
● E1 = { x | 0 ≤ x ≤ 10 } (aceitável) 
● E2 = E1' = { x | x > 10 } (defeituoso) 
● Vamos calcular
E3 = E1 ∪ E2 
E3 = E1 ∩ E2 
 
Exemplo 
● Seja um experimento aleatório associado à medida da 
largura (mm) de uma peça
● O espaço amostral neste caso é:
S = ℝ+ (Reais não negativos)
● Queremos que está largura seja menor que 10 (aceitável). 
Podemos definir dois eventos 
● E1 = { x | 0 ≤ x ≤ 10 } (aceitável) 
● E2 = E1' = { x | x > 10 } (defeituoso) 
● Vamos calcular
E3 = E1 ∪ E2 = S
E3 = E1 ∩ E2 
 
Exemplo 
● Seja um experimento aleatório associado à medida da 
largura (mm) de uma peça
● O espaço amostral neste caso é:
S = ℝ+ (Reais não negativos)
● Queremos que está largura seja menor que 10 (aceitável). 
Podemos definir dois eventos 
● E1 = { x | 0 ≤ x ≤ 10 } (aceitável) 
● E2 = E1' = { x | x > 10 } (defeituoso) 
● Vamos calcular
E3 = E1 ∪ E2 = S
E3 = E1 ∩ E2 = ∅
 
Eventos disjuntos
● Dois eventos E1 e E2 são ditos disjuntos (ou mutualmente 
excludentes) se
 E1 ∩ E2 = ∅ 
E1 E2
S
 
Eventos disjuntos
● Dois eventos E1 e E2 são ditos disjuntos (ou mutualmente 
excludentes) se
 E1 ∩ E2 = ∅ 
● Exemplo (dado): os eventos E1 = {1,2} e E2 = {3,4,5} são 
disjuntos. 
E1 E2
S
 
Eventos
● (E1')' =E1 
● Leis comutativas
E1 ∪ E2 = E2 ∪ E1
E1 ∩ E2 = E2 ∩ E1
● Leis associativas
(E1 ∪ E2) ∪ E3 = E1 ∪ (E2 ∪E3)
(E1 ∩ E2) ∩ E3 = E1 ∩ ( E2 ∩ E3)
 
Eventos
● Leis distributivas
(E1 ∪ E2) ∩ E3 = (E1 ∩ E3) ∪(E2 ∩ E3)
(E1 ∩ E2) ∪ E3 = (E1 ∪ E3) ∩ (E2 ∪ E3)
● Leis de DeMorgan
(E1 ∩ E2)' = E1' ∪ E2' 
(E1 ∪ E2)' = E1' ∩ E2'
 
Probabilidade
● O que queremos? 
 
 
Probabilidade
● O que queremos? Uma medida capaz de quantificar o 
grau de incerteza ou as chances de um evento acontecer.
● Vamos considerar, por exemplo, um evento E.
 
 
Probabilidade
● O que queremos? Uma medida capaz de quantificar o 
grau de incerteza ou as chances de um evento acontecer.
● Vamos considerar, por exemplo, um evento E.
● A frequência relativa do número de vezes que o evento E 
ocorreu é dada por
nE → número devezes que o evento E ocorreu no 
experimento
nS → número total de repetições.
 
Probabilidade
● O que queremos? Uma medida capaz de quantificar o 
grau de incerteza ou as chances de um evento acontecer.
● Vamos considerar, por exemplo, um evento E.
● A frequência relativa do número de vezes que o evento E 
ocorreu é dada por
nE → número de vezes que o evento E ocorreu no 
experimento
nS → número total de repetições.
● Uma possível definição de probabilidade associada ao 
evento A é dado por
 
 
Probabilidade: definição axiomática
● Andrey N. Kolmogorov: “The probability 
theory, as a mathematical discipline, can and 
should be developed from axioms in exactly 
the same way as Geometry and Algebra.”
 
 
Probabilidade: definição axiomática
● Andrey N. Kolmogorov: “The probability 
theory, as a mathematical discipline, can and 
should be developed from axioms in exactly 
the same way as Geometry and Algebra.”
 
● A probabilidade é um número real atribuído para cada 
evento, de modo que
1) P(S) = 1
2) Dado um evento E, então 0 ≤ P(E) ≤ 1
3) Dados dois eventos disjuntos E1 e E2, então P(E1 ∪ E2 ) = 
P(E1) + P(E2) 
Um resultado direto deste axioma é que para N eventos 
mutualmente disjuntos, i.e. Ei ∩ Ej = ∅ ,
● P(E1 ∪ E2 … ∪ ∪EN ) = P(E1) + P(E2) +...+P(EN)
 
Axiomas da Probabilidade
● Consequências dos axiomas
● Qual a probabilidade do evento nulo E = ?∅
 
Axiomas da Probabilidade
● Consequências dos axiomas
● Qual a probabilidade do evento nulo E = ?∅
O evento nulo é o complemento do espaço amostral E' = 
S. Portanto
P(S ∪ E ) = P(S) (1) 
 
Axiomas da Probabilidade
● Consequências dos axiomas
● Qual a probabilidade do evento nulo E = ?∅
O evento nulo é o complemento do espaço amostral E' = 
S. Portanto
P(S ∪ E ) = P(S) (1) 
Além disso, o evento nulo e S são disjuntos. Portanto, 
P(S ∪ E ) = P(S) + P(E) (2)
 
Axiomas da Probabilidade
● Consequências dos axiomas
● Qual a probabilidade do evento nulo E = ?∅
O evento nulo é o complemento do espaço amostral E' = 
S. Portanto
P(S ∪ E ) = P(S) (1) 
Além disso, o evento nulo e S são disjuntos. Portanto, 
P(S ∪ E ) = P(S) + P(E) (2)
 
Substituindo (2) em (1)
P(S) = P(S) + P(E)
 
Axiomas da Probabilidade
● Consequências dos axiomas
● Qual a probabilidade do evento nulo E = ?∅
O evento nulo é o complemento do espaço amostral E' = 
S. Portanto
P(S ∪ E ) = P(S) (1) 
Além disso, o evento nulo e S são disjuntos. Portanto, 
P(S ∪ E ) = P(S) + P(E) (2)
 
Substituindo (2) em (1)
P(S) = P(S) + P(E) 
Portanto
 P(E = ) = 0∅
 
Axiomas da Probabilidade
● Qual a probabilidade P(E') do evento E' em termos de 
P(E)?
 
 
Axiomas da Probabilidade
● Qual a probabilidade P(E') do evento E' em termos de 
P(E)?
Os eventos E e E' são disjuntos. Portanto, 
P(E ∪ E' ) = P(E) + P(E') 
(2)
 
 
Axiomas da Probabilidade
● Qual a probabilidade P(E') do evento E' em termos de 
P(E)?
Os eventos E e E' são disjuntos. Portanto, 
P(E ∪ E' ) = P(E) + P(E') 
(2)
 
Todavia, E ∪ E' = S
Logo 
 P(S) = 1 = P(E') + P(E) 
Portanto
 P(E') = 1 – P(E)
 
Axiomas da Probabilidade
● Qual a probabilidade P(E') do evento E' em termos de 
P(E)?
Os eventos E e E' são disjuntos. Portanto, 
P(E ∪ E' ) = P(E) + P(E') 
(2)
 
Todavia, E ∪ E' = S
Logo 
 P(S) = 1 = P(E') + P(E) 
Portanto
 P(E') = 1 – P(E)
● Exemplo, moeda viciada P(Co) = 0.4. Como C é o evento 
complementar de Co neste caso, então
 P(C) = 1 – P(Co) = 0.6 
 
Axiomas da Probabilidade
● Se E1 ⊂E2, o que podemos dizer sobre P(E1) e P(E2)?
 
Axiomas da Probabilidade
● Se E1 ⊂E2, o que podemos dizer sobre P(E1) e P(E2)?
Podemos escrever E2 da seguinte maneira
E2 = E1 (E∪ 2 ∩ E1') 
E1 E2
S
= E1
S
 ∪ E1 E2
S
 
Axiomas da Probabilidade
● Se E1 ⊂E2, o que podemos dizer sobre P(E1) e P(E2)?
Podemos escrever E2 da seguinte maneira
E2 = E1 (E∪ 2 ∩ E1') E1 e (E2 ∩ E1') são disjuntos
E1 E2
S
= E1
S
 ∪ E1 E2
S
 
Axiomas da Probabilidade
● Se E1 ⊂E2, o que podemos dizer sobre P(E1) e P(E2)?
Podemos escrever E2 da seguinte maneira
E2 = E1 (E∪ 2 ∩ E1') E1 e (E2 ∩ E1') são disjuntos
● Pelo terceiro axioma: P(E2) = P(E1) + P(E2 ∩ E1')
E1 E2
S
= E1
S
 ∪ E1 E2
S
 
Axiomas da Probabilidade
● Se E1 ⊂E2, o que podemos dizer sobre P(E1) e P(E2)?
Podemos escrever E2 da seguinte maneira
E2 = E1 (E∪ 2 ∩ E1') E1 e (E2 ∩ E1') são disjuntos
● Pelo terceiro axioma: P(E2) = P(E1) + P(E2 ∩ E1')
● Porém, pelo segundo axioma 0 ≤ P(E2 ∩ E1') ≤ 1, e, logo: 
P(E1) ≤ P(E2) 
E1 E2
S
= E1
S
 ∪ E1 E2
S
 
Exercício
● Considere o experimento aleatório referente à análise da 
qualidade de um produto em relação a dois atributos 
(resistência ao choque e durabilidade)
● Qual o espaço amostral deste experimento?
● Assumindo que E1 é o evento no qual a durabilidade é boa, e 
E2 é o evento no qual a resistência é boa, estime
P(E1), P(E2), P(E1 ∩ E2), P(E1 ∪ E2), P(E1'), P(E2'), P(E1' ∪ E2)
Durabilidade
Boa Ruim
Resistência Boa 102 76
Ruim 111 212
 
Probabilidade: Lei da adição
● Dados dois eventos (não necessariamente disjuntos) E1 
e E2, como calcular P(E1 ∪ E2)?
 
Probabilidade: Lei da adição
● Dados dois eventos (não necessariamente disjuntos) E1 
e E2, como calcular P(E1 ∪ E2)?
Lei da adição: P(E1 ∪ E2 ) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2)
 
Probabilidade: Lei da adição
● Dados dois eventos (não necessariamente disjuntos) E1 
e E2, como calcular P(E1 ∪ E2)?
Lei da adição: P(E1 ∪ E2 ) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2)
● Intuição pelo diagrama de Venn: no caso de eventos 
que não são disjuntos, se simplesmente somarmos 
P(E1) + P(E2), estaremos somando duas vezes o termo 
P(E1 ∩ E2)
 
E1 E2
S
 
Probabilidade: Lei da adição
● Lei da adição: como mostrar?
A C
S
B
 
Probabilidade: Lei da adição
● Lei da adição: como mostrar?
● Escrevendo E1 ∪ E2 como A ∪ B 
∪ C, como no diagrama ao lado; 
 
A C
S
B
● A, B e C são eventos disjuntos. Logo
P(E1 ∪ E2 ) = P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
 
Probabilidade: Lei da adição
● Lei da adição: como mostrar?
● Escrevendo E1 ∪ E2 como A ∪ B 
∪ C, como no diagrama ao lado; 
 
A C
S
B
● A, B e C são eventos disjuntos. Logo
P(E1 ∪ E2 ) = P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
● Além disso
P(E1) = P(A ∪ B ) = P(A) + P(B), pois A e B são disjuntos
P(E2) = P(B ∪ C ) = P(B) + P(C), pois B e C são disjuntos
 
Probabilidade: Lei da adição
● Lei da adição: como mostrar?
● Escrevendo E1 ∪ E2 como A ∪ B 
∪ C, como no diagrama ao lado; 
 
A C
S
B
● A, B e C são eventos disjuntos. Logo
P(E1 ∪ E2 ) = P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
● Além disso
P(E1) = P(A ∪ B ) = P(A) + P(B), pois A e B são disjuntos
P(E2) = P(B ∪ C ) = P(B) + P(C), pois B e C são disjuntos
● Portanto
P(E1) + P(E2) = P(A) + P(B) + P(B) + P(C) = P(E1 ∪ E2 ) + P(B)
 
Probabilidade: Lei da adição
● Lei da adição: como mostrar?
● Escrevendo E1 ∪ E2 como A ∪ B 
∪ C, como no diagrama ao lado; 
 
A C
S
B
● A, B e C são eventos disjuntos. Logo
P(E1 ∪ E2 ) = P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
● Além disso
P(E1) = P(A ∪ B ) = P(A) + P(B), pois A e B são disjuntos
P(E2) = P(B ∪ C ) = P(B) + P(C), pois B e C são disjuntos
● Portanto
P(E1) + P(E2) = P(A) + P(B) + P(B) + P(C) = P(E1 ∪ E2 ) + P(B)
● Dado que P(B) = P(E1 ∩ E2), temos que P(E1 ∪ E2 ) = P(E1) + 
P(E2) - P(E1 ∩ E2) 
 
Lei da adição: exemplo
● Considere um dado de seis faces não-viciado,isto é, 
P({1}) = P({2}) = … = P({6}) = 1/6
● Calcule a probabilidade do evento E = {1,2}
 
Lei da adição: exemplo
● Considere um dado de seis faces não-viciado, isto é, 
P({1}) = P({2}) = … = P({6}) = 1/6
● Calcule a probabilidade do evento E = {1,2}
● Como E = { {1} {2}∪ } (união de dois eventos disjuntos)
P(E) = P({1}) + P({2}) = 1/3
 
Lei da adição: exemplo
● Considere um dado de seis faces não-viciado, isto é, 
P({1}) = P({2}) = … = P({6}) = 1/6
● Calcule a probabilidade do evento E = {1,2}
● Como E = { {1} {2}∪ } (união de dois eventos disjuntos)
P(E) = P({1}) + P({2}) = 1/3
● Calcule a probabilidade do evento E = {{1} {2}}∪ {∪ {1} ∪
{2} {3∪ }} 
 
Lei da adição: exemplo
● Considere um dado de seis faces não-viciado, isto é, 
P({1}) = P({2}) = … = P({6}) = 1/6
● Calcule a probabilidade do evento E = {1,2}
● Como E = { {1} {2}∪ } (união de dois eventos disjuntos)
P(E) = P({1}) + P({2}) = 1/3
● Calcule a probabilidade do evento E = {{1} {2}}∪ {∪ {1} ∪
{2} {3∪ }} 
● Neste caso, não temos eventos disjuntos. Logo
P({{1} {2}∪ } ∪ {{1} {2∪ } {3∪ }} ) = P({{1} {2}∪ }) + P({{1} ∪
{2} {3∪ }}) - P({1,2})
= 1/3 + 1/2 – 1/3 = 1/2
 
Lei da adição: exemplo 2
● (Walpole et al. 2007) João vai se formar na FCA no fim do 
semestre. Depois de ter sido entrevistado por duas 
empresas que ele gostaria de ir trabalhar, ele acredita que 
a probabilidade de ser contratado pela empresa A é 0.8, e 
que a probabilidade contratado pela empresa B é 0.6. Se, 
por outro lado, ele acredita que receberá uma proposta 
das duas empresas com probabilidade 0.5, qual a 
probabilidade de receber ao menos uma proposta?
 
Lei da adição: exemplo 2
● (Walpole et al. 2007) João vai se formar na FCA no fim do 
semestre. Depois de ter sido entrevistado por duas 
empresas que ele gostaria de ir trabalhar, ele acredita que 
a probabilidade de ser contratado pela empresa A é 0.8, e 
que a probabilidade contratado pela empresa B é 0.6. Se, 
por outro lado, ele acredita que receberá uma proposta 
das duas empresas com probabilidade 0.5, qual a 
probabilidade de receber ao menos uma proposta?
Espaço amostral S = {A,B,Nada}
P(A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.8 + 0.6 – 0.5 = 0.9 
● Qual a probabilidade de ele ficar sem emprego? 
 
Lei da adição: exemplo 2
● (Walpole et al. 2007) João vai se formar na FCA no fim do 
semestre. Depois de ter sido entrevistado por duas 
empresas que ele gostaria de ir trabalhar, ele acredita que 
a probabilidade de ser contratado pela empresa A é 0.8, e 
que a probabilidade contratado pela empresa B é 0.6. Se, 
por outro lado, ele acredita que receberá uma proposta 
das duas empresas com probabilidade 0.5, qual a 
probabilidade de receber ao menos uma proposta?
Espaço amostral S = {A,B,Nada}
P(A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.8 + 0.6 – 0.5 = 0.9 
● Qual a probabilidade de ele ficar sem emprego?
Nada = (A ∪ B )'
Logo P(Nada) = 1 - (A ∪ B ) = 0.1 
 
Lei da adição: caso de três eventos
● No caso de três eventos A, B e C, temos
P(A ∪ B C ∪ ) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - 
P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C ) 
 
 
Probabilidade condicional
● Considere o jogar de uma dado de 6 faces não-viciado.
O espaço amostral pode ser definido: S = {1,2,3,4,5,6}
 
Probabilidade condicional
● Considere o jogar de uma dado de 6 faces não-viciado.
O espaço amostral pode ser definido: S = {1,2,3,4,5,6}
● Vamos definir os seguintes eventos
F
1
 = {1}, F
2
 = {2}, F
3
 = {3}, F
4
 = {4},F
5
 = {5}, F
6
 = {6}
Im = {1,3,5} (ímpar) e Pa = {2, 4, 6} (par)
 
Probabilidade condicional
● Considere o jogar de uma dado de 6 faces não-viciado.
O espaço amostral pode ser definido: S = {1,2,3,4,5,6}
● Vamos definir os seguintes eventos
F
1
 = {1}, F
2
 = {2}, F
3
 = {3}, F
4
 = {4},F
5
 = {5}, F
6
 = {6}
Im = {1,3,5} (ímpar) e Pa = {2, 4, 6} (par)
● É fácil obter as probabilidades de cada um desses 
eventos
P(F
i
) = 1/6, i = 1,...,6
P(Pa) = P(Im) = 1/2.
 
Probabilidade condicional
● Considere o jogar de uma dado de 6 faces não-viciado.
O espaço amostral pode ser definido: S = {1,2,3,4,5,6}
● Vamos definir os seguintes eventos
F
1
 = {1}, F
2
 = {2}, F
3
 = {3}, F
4
 = {4},F
5
 = {5}, F
6
 = {6}
Im = {1,3,5} (ímpar) e Pa = {2, 4, 6} (par)
● É fácil obter as probabilidades de cada um desses 
eventos
P(F
i
) = 1/6, i = 1,...,6
P(Pa) = P(Im) = 1/2.
● Agora, considere que sabemos de antemão que o evento 
Pa ocorreu (i.e. saiu um número par), quais seriam as 
probabilidade de sair uma dada face do dado? 
 
Probabilidade condicional
● Se sabemos que a saída do experimento foi par, então as 
probabilidades condicionadas ao evento Pa são dadas 
por:
P(F
1 
| Pa) = P(F
3 
| Pa) = P(F
5 
| Pa) = 0
P(F
2 
| Pa) = P(F
4 
| Pa) = P(F
6 
| Pa) = 1/3
 
Probabilidade condicional
● Se sabemos que a saída do experimento foi par, então as 
probabilidades condicionadas ao evento Pa são dadas 
por:
P(F
1 
| Pa) = P(F
3 
| Pa) = P(F
5 
| Pa) = 0
P(F
2 
| Pa) = P(F
4 
| Pa) = P(F
6 
| Pa) = 1/3
● Caso evento Im tivesse sido observado, teríamos
P(F
1 
| Im) = P(F
3 
| Im) = P(F
5 
| Im) = 1/3
P(F
2 
| Im) = P(F
4 
| Im) = P(F
6 
| Im) = 0
 
Probabilidade condicional
● Exemplo Montgomery
 
Probabilidade condicional
● Definição: Dados dois eventos A e B, com P(B) ≠ 0, a 
probabilidade condicional de A dado B é definida como
 
Probabilidade condicional
● Definição: Dados dois eventos A e B, com P(B) ≠ 0, a 
probabilidade condicional de A dado B é definida como
● Interpretando pelo diagrama de Venn
Se B foi observado,
o evento está 
necessariamente
na área cinza
Logo, o evento A ocorrerá 
somente se o evento 
estiver na área vermelha
 
Probabilidade condicional
● Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 1 azul. Duas bolas 
são retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de 
retirarmos duas bolas vermelhas?
 
Probabilidade condicional
● Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 1 azul. Duas bolas 
são retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de 
retirarmos duas bolas vermelhas?
Espaço Amostral = {V A, A V, V V}
Definindo dois eventos
● Primeira bola ser vermelha E1 = {V A, VV}
● Segunda bola ser vermelha E2 = {A V, V V}
 
Probabilidade condicional
● Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 1 azul. Duas bolas 
são retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de 
retirarmos duas bolas vermelhas?
Espaço Amostral = {V A, A V, V V}
Definindo dois eventos
● Primeira bola ser vermelha E1 = {V A, VV}
● Segunda bola ser vermelha E2 = {A V, V V}
● Quero calcular P (E2 ∩ E1)
P (E2 ∩ E1) = P (E2|E1)P(E1) 
P(E1) = 3/4 ; P (E2|E1) = 2/3
 
Probabilidade condicional
● Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 1 azul. Duas bolas 
são retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de 
retirarmos duas bolas vermelhas?
Espaço Amostral = {V A, A V, V V}
Definindo dois eventos
● Primeira bola ser vermelha E1 = {V A, VV}
● Segunda bola ser vermelha E2 = {A V, V V}
● Quero calcular P (E2 ∩ E1)
P (E2 ∩ E1) = P (E2|E1)P(E1) 
P(E1) = 3/4 ; P (E2|E1) = 2/3
● Logo P (E2 ∩ E1) = 1/2
 
Probabilidade condicional
● Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhas 
quando há reposição?
 
Probabilidade condicional
● Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhas 
quando há reposição?
Espaço Amostral = {V A, A V, V V, AA}
Definindo dois eventos
● Primeira bola ser vermelha E1 = {V A, VV}
● Segunda bola ser vermelha E2 = {A V, V V}
 
Probabilidade condicional
● Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhasquando há reposição?
Espaço Amostral = {V A, A V, V V, AA}
Definindo dois eventos
● Primeira bola ser vermelha E1 = {V A, VV}
● Segunda bola ser vermelha E2 = {A V, V V}
● Quero calcular P (E2 ∩ E1)
P (E2 ∩ E1) = P (E2|E1)P(E1) 
P(E1) = ¾
Qual o valor de P (E2|E1)? 
 
Probabilidade condicional
● Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhas 
quando há reposição?
Espaço Amostral = {V A, A V, V V, AA}
Definindo dois eventos
● Primeira bola ser vermelha E1 = {V A, VV}
● Segunda bola ser vermelha E2 = {A V, V V}
● Quero calcular P (E2 ∩ E1)
P (E2 ∩ E1) = P (E2|E1)P(E1) 
P(E1) = ¾
Qual o valor de P (E2|E1)? P (E2|E1) = P(E2)= 3/4
● Logo P (E2 ∩ E1) = (¾)2 = 9/16
 
Lei da multiplicação
● Dados dois eventos E1 e E2, como calcular P(E1 ∩ E2)?
Lei da multiplicação: P(E1 ∩ E2) = P(E1 | E2) P(E2) = 
P(E2 | E1) P(E1)
 
Lei da multiplicação
● Dados dois eventos E1 e E2, como calcular P(E1 ∩ E2)?
Lei da multiplicação: P(E1 ∩ E2) = P(E1 | E2) P(E2) = 
P(E2 | E1) P(E1)
● Exemplo: Suponha que se estiver nublado (evento A), 
então a probabilidade de chover (evento B) é 0.3. 
Assumindo que a probabilidade de ficar nublado é 0.2, 
qual é a probabilidade de chover e ficar nublado?
 
Lei da multiplicação
● Dados dois eventos E1 e E2, como calcular P(E1 ∩ E2)?
Lei da multiplicação: P(E1 ∩ E2) = P(E1 | E2) P(E2) = 
P(E2 | E1) P(E1)
● Exemplo: Suponha que se estiver nublado (evento A), 
então a probabilidade de chover (evento B) é 0.3. 
Assumindo que a probabilidade de ficar nublado é 0.2, 
qual é a probabilidade de chover e ficar nublado?
Queremos P(A ∩ B)
 P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(B|A) P(A) = 0.3*0.2 = 0.06
 
Probabilidade Condicional
● Vamos considerar um experimento que estuda a relação 
entre o jogar de um dado e as condições climáticas 
naquele instante. Considere os dois eventos seguintes:
A → Saiu um número ímpar: A = {1,3,5}
B → Está chovendo no momento: B = {chove}
● Qual a probabilidade P(A)? Resposta P(A) = 0.5;
 
Probabilidade Condicional
● Vamos considerar um experimento que estuda a relação 
entre o jogar de um dado e as condições climáticas 
naquele instante. Considere os dois eventos seguintes:
A → Saiu um número ímpar: A = {1,3,5}
B → Está chovendo no momento: B = {chove}
● Qual a probabilidade P(A)? Resposta P(A) = 0.5;
● Qual a probabilidade de sair um número ímpar dado que 
está chovendo P(A|B)?
 
Probabilidade Condicional
● Vamos considerar um experimento que estuda a relação 
entre o jogar de um dado e as condições climáticas 
naquele instante. Considere os dois eventos seguintes:
A → Saiu um número ímpar: A = {1,3,5}
B → Está chovendo no momento: B = {chove}
● Qual a probabilidade P(A)? Resposta P(A) = 0.5;
● Qual a probabilidade de sair um número ímpar dado que 
está chovendo P(A|B)?
Resposta: Claro que o fato de chover ou não chover não 
altera a probabilidade de sair um número ímpar.
● Logo, neste caso, P(A | B) = P(A)
● Quando isso ocorre, os eventos são ditos 
independentes!
 
Independência
● Dois eventos A e B são independentes se 
P(A|B) = P(A) 
● Equivalentemente, caso A e B sejam independentes, 
temos que
P(B) = P(B|A)
 
Independência
● Dois eventos A e B são independentes se 
P(A|B) = P(A) 
● Equivalentemente, caso A e B sejam independentes, 
temos que
P(B) = P(B|A)
● Qual a probabilidade da interseção de dois eventos 
independentes?
P(A  B) = P(B|A) P(A)
mas se A e B são independentes, então P(B|A) = P(B)
● Logo
P(A  B) = P(B) P(A)
 
Independência
● No estudo de um novo medicamento para obesidade, 
buscou-se analisar as chances do paciente apresentar 
os seguintes efeitos colaterais
T → o paciente apresenta taquicardia
I → o paciente apresenta insônia
● No estudo, constatou-se que os dois eventos são 
estatisticamente independentes, e que ocorrem com 
P(T) = 0.1 e P(I) = 0.3
 
Independência
● No estudo de um novo medicamento para obesidade, 
buscou-se analisar as chances do paciente apresentar 
os seguintes efeitos colaterais
T → o paciente apresenta taquicardia
I → o paciente apresenta insônia
● No estudo, constatou-se que os dois eventos são 
estatisticamente independentes, e que ocorrem com 
P(T) = 0.1 e P(I) = 0.3
● Diante disso, calcule P(T  I), a probabilidade de um 
paciente escolhido ao acaso apresentar taquicardia e 
insônia 
P(T  I) = P(T) P(I) = 0.3 * 0.1 = 0.03
 
Independência
● Vimos que P(T  I) = 0.03.
● Questão importante: os eventos T e I são disjuntos 
(mutualmente exclusivos)?
 
Independência
● Vimos que P(T  I) = 0.03.
● Questão importante: os eventos T e I são disjuntos 
(mutualmente exclusivos)?
Resposta: Não! Pois é possível que uma pessoa 
apresente taquicardia e insônia!
● Diante disso, calcule P(TI), a probabilidade de uma 
paciente apresentar pelo menos um efeito colateral?
 
Independência
● Vimos que P(T  I) = 0.03.
● Questão importante: os eventos T e I são disjuntos 
(mutualmente exclusivos)?
Resposta: Não! Pois é possível que uma pessoa 
apresente taquicardia e insônia!
● Diante disso, calcule P(TI), a probabilidade de uma 
paciente apresentar pelo menos um efeito colateral?
P(TI) = P(T) + P(I) - P(T  I) = P(T) + P(I) - P(T)P(I) 
P(TI) = 0.1 + 0.3 – 0.1*0.3 = 0.4 – 0.03 = 0.37
 
Independência X Eventos Disjuntos
● Dois eventos disjuntos de probabilidade não-
nula serão sempre dependentes!
● Exemplo: no jogar de uma moeda não-viciada, 
temos os seguintes eventos, que são disjuntos:
A = {Cara} 
B = {Coroa}
Coroa
Cara
S
A
B
 
Independência X Eventos Disjuntos
● Dois eventos disjuntos de probabilidade não-
nula serão sempre dependentes!
● Exemplo: no jogar de uma moeda não-viciada, 
temos os seguintes eventos, que são disjuntos:
A = {Cara} 
B = {Coroa}
● Calcule P(A)
Resposta: P(A) =0.5
Coroa
Cara
S
A
B
 
Independência X Eventos Disjuntos
● Dois eventos disjuntos de probabilidade não-
nula serão sempre dependentes!
● Exemplo: no jogar de uma moeda não-viciada, 
temos os seguintes eventos, que são disjuntos:
A = {Cara} 
B = {Coroa}
● Calcule P(A)
Resposta: P(A) =0.5
● Calcule P(A | B). Resposta: P(A | B) = 0 !
● Logo: P(A) ≠ P(A | B)
● Portanto, os eventos A e B são dependentes!
Coroa
Cara
S
A
B
 
Exercício
● A tabela abaixo foi obtida em um estudo cujo objetivo era 
analisar as relações entre um novo programa de treinamento 
de funcionários e o aumento da produtividade. Considere os 
eventos
A → pessoa participou do programa de treinamento
B → pessoa aumentou sua produtividade
● Estime P(A  B). Os eventos A e B são disjuntos? Justifique.
● Os eventos A e B são independentes? Justifique.
● O programa é eficaz para o aumento da produtividade? 
Justifique.
253 1012
759 3036
Participou do programa
Sim Não
Aumentou prod. Sim
Não
 
Exemplo: independência
● Considere o experimento aleatório referente à análise da 
resistência ao choque e durabilidade (3795 produtos)
Durabilidade
Boa Ruim
Resistência Boa 2024 506
Ruim 1012 253
 
Exemplo: independência
● Considere o experimento aleatório referente à análise da 
resistência ao choque e durabilidade (3795 produtos)
● Evento boa durabilidade → E1= {DboaRruim,DboaRboa}
● Evento boa resistência → E2= {DboaRboa,DruimRboa}
● Vamos estimar P(E1|E2) 
Durabilidade
Boa Ruim
Resistência Boa 2024 506
Ruim 1012 253
 
Exemplo: independência
● Considere o experimento aleatório referente à análise da 
resistência ao choque e durabilidade (3795 produtos)
● Evento boa durabilidade → E1= {DboaRruim,DboaRboa}
● Evento boa resistência → E2= {DboaRboa,DruimRboa}
● Vamos estimar P(E1|E2) 
● Pela lei da multiplicação:P(E1|E2) = P(E1∩ E2)/P(E2)
P(E1|E2) = (2024/3795)/((2024+506)/3795) = 0.8
Durabilidade
Boa Ruim
Resistência Boa 2024 506
Ruim 1012 253
 
Exemplo: independência
● Considere o experimento aleatório referente à análise da 
resistência ao choque e durabilidade (3795 produtos)
● Evento boa durabilidade → E1= {DboaRruim,DboaRboa}
● Evento boa resistência → E2= {DboaRboa,DruimRboa}
● Vamos estimar P(E1|E2) 
● Pela lei da multiplicação: P(E1|E2) = P(E1∩ E2)/P(E2)
P(E1|E2) = (2024/3795)/((2024+506)/3795) = 0.8
P(E1) = (2024+1012)/3795 = 0.8 
Durabilidade
Boa Ruim
Resistência Boa 2024 506
Ruim 1012 253
 
Exemplo: independência
● Considere o experimento aleatório referente à análise da 
resistência ao choque e durabilidade (3795 produtos)
● Evento boa durabilidade → E1= {DboaRruim,DboaRboa}
● Evento boa resistência → E2= {DboaRboa,DruimRboa}
● Vamos estimar P(E1|E2) 
● Pela lei da multiplicação: P(E1|E2) = P(E1∩ E2)/P(E2)
P(E1|E2) = (2024/3795)/((2024+506)/3795) = 0.8
P(E1) = (2024+1012)/3795 = 0.8 → E1 e E2 são independentes
Durabilidade
Boa Ruim
Resistência Boa 2024 506
Ruim 1012 253
 
Exemplo: independência
● Considere o experimento aleatório referente à análise da 
resistência ao choque e durabilidade (3795 produtos)
● Evento boa durabilidade → E1= {DboaRruim,DboaRboa}
● Evento boa resistência → E2= {DboaRboa,DruimRboa}
● E1 e E2 são independentes. O que podemos dizer sobre E1' e 
E2?
Durabilidade
Boa Ruim
Resistência Boa 2024 506
Ruim 1012 253
 
Exemplo: independência
● Considere o experimento aleatório referente à análise da 
resistência ao choque e durabilidade (3795 produtos)
● Evento boa durabilidade → E1= {DboaRruim,DboaRboa}
● Evento boa resistência → E2= {DboaRboa,DruimRboa}
● E1 e E2 são independentes. O que podemos dizer sobre E1' e 
E2? 
● Pela lei da multiplicação: P(E1'|E2) = P(E1'∩ E2)/P(E2)
P(E1'|E2) = (506/3795)/((2024+506)/3795) = 0.2
P(E1') = (506+253)/3795 = 0.2 
Durabilidade
Boa Ruim
Resistência Boa 2024 506
Ruim 1012 253
 
Exemplo: independência
● Considere o experimento aleatório referente à análise da 
resistência ao choque e durabilidade (3795 produtos)
● Evento boa durabilidade → E1= {DboaRruim,DboaRboa}
● Evento boa resistência → E2= {DboaRboa,DruimRboa}
● E1 e E2 são independentes. O que podemos dizer sobre E1' e 
E2? 
● Pela lei da multiplicação: P(E1'|E2) = P(E1'∩ E2)/P(E2)
P(E1'|E2) = (506/3795)/((2024+506)/3795) = 0.2
P(E1') = (506+253)/3795 = 0.2 → E1' e E2 são independentes
Durabilidade
Boa Ruim
Resistência Boa 2024 506
Ruim 1012 253
 
Independência
● Resultado geral: se E1 e E2 são independentes, então E1' e 
E2 também são independentes.
● Prova: é necessário calcular P(E1'∩E2)
 
Independência
● Resultado geral: se E1 e E2 são independentes, então E1' e 
E2 também são independentes.
● Prova: é necessário calcular P(E1'∩E2)
Podemos escrever
(E1'∩E2) (E∪ 1∩E2) = E2
 
Independência
● Resultado geral: se E1 e E2 são independentes, então E1' e 
E2 também são independentes.
● Prova: é necessário calcular P(E1'∩E2)
Podemos escrever
(E1'∩E2) (E∪ 1∩E2) = E2
Mas, dado que (E1'∩E2) e (E1∩E2) são disjuntos
P(E1'∩E2) + P(E1∩E2) = P(E2)
 
Independência
● Resultado geral: se E1 e E2 são independentes, então E1' e 
E2 também são independentes.
● Prova: é necessário calcular P(E1'∩E2)
Podemos escrever
(E1'∩E2) (E∪ 1∩E2) = E2
Mas, dado que (E1'∩E2) e (E1∩E2) são disjuntos
P(E1'∩E2) + P(E1∩E2) = P(E2)
E1 e E2 são independentes e, logo
P(E1'∩E2) + P(E1)P(E2) = P(E2) → P(E1'∩E2) = P(E2)(1- 
P(E1))
 
Independência
● Resultado geral: se E1 e E2 são independentes, então E1' e 
E2 também são independentes.
● Prova: é necessário calcular P(E1'∩E2)
Podemos escrever
(E1'∩E2) (E∪ 1∩E2) = E2
Mas, dado que (E1'∩E2) e (E1∩E2) são disjuntos
P(E1'∩E2) + P(E1∩E2) = P(E2)
E1 e E2 são independentes e, logo
P(E1'∩E2) + P(E1)P(E2) = P(E2) → P(E1'∩E2) = P(E2)(1- 
P(E1))
Como (1- P(E1)) = P(E1') → P(E1'∩E2) = P(E1')P(E2).
 
Independência
● Resultado geral: se E1 e E2 são independentes, então E1 e 
E2' também são independentes.
● Resultado geral: se E1 e E2 são independentes, então E1' e 
E2' também são independentes.
 
Independência: exemplo
● Um sistema é feito de tal maneira que falha somente se a 
sua unidade principal e sua unidade de backup falharem. 
Assumindo que:
b = probabilidade da unidade principal falhar
c = probabilidade da unidade de backup operar 
corretamente
qual a probabilidade do sistema não falhar?
● Se o funcionamento dos dois sistemas forem 
independentes
● Se o funcionamento não for independente 
 
Independência: exemplo
● S = {S1okS2ok,S1fS2ok,S1okS2f,S1fS2f}
A = {S1fS2f} → evento “sistema falha”
B = {S1fS2ok,S1fS2f} → evento “unidade principal falha” 
C = {S1okS2ok,S1fS2ok} → evento “unidade de backup 
funciona”
 
 
Independência: exemplo
● S = {S1okS2ok,S1fS2ok,S1okS2f,S1fS2f}
A = {S1fS2f} → evento “sistema falha”
B = {S1fS2ok,S1fS2f} → evento “unidade principal falha” 
C = {S1okS2ok,S1fS2ok} → evento “unidade de backup 
funciona”
● Neste caso, temos que A = (B∩C’). Logo, se B e C são 
independentes, B e C’ também o serão. Portanto
P(A) = P(B)P(C’) = P(B)(1-P(C)) = b(1-c)
 
 
Independência: exemplo
● S = {S1okS2ok,S1fS2ok,S1okS2f,S1fS2f}
A = {S1fS2f} → evento “sistema falha”
B = {S1fS2ok,S1fS2f} → evento “unidade principal falha” 
C = {S1okS2ok,S1fS2ok} → evento “unidade de backup 
funciona”
● Neste caso, temos que A = (B∩C’). Logo, se B e C são 
independentes, B e C’ também o serão. Portanto
P(A) = P(B)P(C’) = P(B)(1-P(C)) = b(1-c)
● No caso em que B e C são dependentes, temos 
P(A) = P(B∩C’)=P(B|C’)P(C’) =P(B|C’)(1-c)
 
 
Teorema da Probabilidade Total
● Exemplo: Uma indústria utiliza três processos diferentes 
(D1,D2,D3) para produzir um determinado produto
● Queremos analisar a probabilidade de um produto 
escolhido ao acaso apresentar defeito;
 
Teorema da Probabilidade Total
● Exemplo: Uma indústria utiliza três processos diferentes 
(D1,D2,D3) para produzir um determinado produto
● Queremos analisar a probabilidade de um produto 
escolhido ao acaso apresentar defeito;
● No entanto, a probabilidade de ocorrer um defeito 
depende do processo utilizado
 
 
Teorema da Probabilidade Total
● Exemplo: Uma indústria utiliza três processos diferentes 
(D1,D2,D3) para produzir um determinado produto
● Queremos analisar a probabilidade de um produto 
escolhido ao acaso apresentar defeito;
● No entanto, a probabilidade de ocorrer um defeito 
depende do processo utilizado
● Solução:
G → evento “produto apresentou defeito”
● Quero calcular P(G)!
 
Teorema da Probabilidade Total
● Exemplo: Uma indústria utiliza três processos diferentes 
(D1,D2,D3) para produzir um determinado produto
● Queremos analisar a probabilidade de um produto 
escolhido ao acaso apresentar defeito;
● No entanto, a probabilidade de ocorrer um defeito 
depende do processo utilizado
● Solução:
G → evento “produto apresentou defeito”
● Quero calcular P(G)!
● D1 → evento “produto feito de acordo com D1”
● D2 → evento “produto feito de acordo com D2”
● D3 → evento “produto feito de acordo com D3” 
 
Teorema da Probabilidade Total
● Vamos traçar esses eventos no diagrama de Venn
D1 D2 D3
 
Teorema da Probabilidade Total
● Vamos traçar esses eventos no diagrama de Venn
● Logo G = (D1∩G)  (D2∩G)  (D3∩G)
D1 D2 D3
G
 
Teorema da Probabilidade Total
● Vamos traçar esses eventos no diagrama de Venn
● Logo G = (D1∩G)  (D2∩G)  (D3∩G)
● Como D1∩G, D2∩G, e D3∩G são disjuntos, temosque
P(G) = P(D1∩G) + P(D2∩G) + P(D3∩G)
D1 D2 D3
G
 
Teorema da Probabilidade Total
● Vamos traçar esses eventos no diagrama de Venn
● Logo G = (D1∩G)  (D2∩G)  (D3∩G)
● Como D1∩G, D2∩G, e D3∩G são disjuntos, temos que
P(G) = P(D1∩G) + P(D2∩G) + P(D3∩G)
● Porém sabemos que P(A∩B) = P(A|B)P(B). Logo
P(G) = P(G|D1)P(D1) + P(G|D2)P(D2) + P(G|D3)P(D3)
D1 D2 D3
G
 
Teorema da Probabilidade Total
● Em nosso exemplo, suponha que
P(G|D1) = 0.2 P(G|D2) = 0.4 P(G|D3) = 0.1
 
Teorema da Probabilidade Total
● Em nosso exemplo, suponha que
P(G|D1) = 0.2 P(G|D2) = 0.4 P(G|D3) = 0.1
● E que
P(D1) = 0.1 P(D2) = 0.5 P(D3) = 0.4
 
Teorema da Probabilidade Total
● Em nosso exemplo, suponha que
P(G|D1) = 0.2 P(G|D2) = 0.4 P(G|D3) = 0.1
● E que
P(D1) = 0.1 P(D2) = 0.5 P(D3) = 0.4
● Logo
P(G) = P(G|D1)P(D1) + P(G|D2)P(D2) + P(G|D3)P(D3)
P(G) = 0.2*0.1 + 0.4*0.5 + 0.1*0.4 = 0.26
 
Teorema da Probabilidade Total
● Exemplo: Numa certa a região, a probabilidade de uma 
pessoa ser alta é de 20%, de ter média estatura 50%, e de 
ser pequena 30%.
● A frequência de uma doença A depende da estatura de 
uma pessoa.
 
Teorema da Probabilidade Total
● Exemplo: Numa certa a região, a probabilidade de uma 
pessoa ser alta é de 20%, de ter média estatura 50%, e de 
ser pequena 30%.
● A frequência de uma doença A depende da estatura de 
uma pessoa.
● Se uma pessoa é alta, a probabilidade de desenvolver a 
doença é P(D|Alta) = 0.4
● Analogamente P(D|Média) = 0.2 e P(D|Baixa) = 0.1
● Se pegarmos uma pessoa qualquer da população, qual é 
a probabilidade desta pessoa ter a doença A?
 
Teorema da Probabilidade Total
● Exemplo: Numa certa a região, a probabilidade de uma 
pessoa ser alta é de 20%, de ter média estatura 50%, e de 
ser pequena 30%.
● A frequência de uma doença A depende da estatura de 
uma pessoa.
● Se uma pessoa é alta, a probabilidade de desenvolver a 
doença é P(D|Alta) = 0.4
● Analogamente P(D|Média) = 0.2 e P(D|Baixa) = 0.1
● Se pegarmos uma pessoa qualquer da população, qual é 
a probabilidade desta pessoa ter a doença A?
P(D) = P(D|Alta)P(Alta) + P(D|Média)P(Média) + P(D|
Baixa)P(Baixa)
P(D) = 0.4*0.2 + 0.2*0.5 + 0.1*0.3 = 0.21
 
Teorema da Probabilidade Total
● Um evento B (azul) pode ser escrito utilizando um conjunto 
uma partição formada por eventos disjuntos.
 
Teorema da Probabilidade Total
● Um evento B (azul) pode ser escrito utilizando um conjunto 
uma partição formada por eventos disjuntos.
● Dado que B ∩ Ei (i = 1,...,N) são mutualmente disjuntos
● P(B) = P( (B ∩ E1) ∪(B ∩ E2) … ∪ ∪ (B ∩ EN) 
= P( (B ∩ E1) ) + P( (B ∩ E2) ) + … + P( (B ∩ EN) )
 
Teorema da Probabilidade Total
● Um evento B (azul) pode ser escrito utilizando um conjunto 
uma partição formada por eventos disjuntos.
● Dado que B ∩ Ei (i = 1,...,N) são mutualmente disjuntos
● P(B) = P( (B ∩ E1) ∪(B ∩ E2) … ∪ ∪ (B ∩ EN) 
= P( (B ∩ E1) ) + P( (B ∩ E2) ) + … + P( (B ∩ EN) )
= P(B|E1)P(E1) + P(B|E2)P(E2) + … + P(B|EN)P(EN) 
● Teorema da Probabilidade Total
 
Teorema da Probabilidade Total: exemplo
● Três máquinas (m1, m2 e m3) são responsáveis por 
30%, 45% e 25% da produção, respectivamente.
● As taxas de produtos defeituosos são dadas por 2%, 3% 
e 2%, respectivamente.
● Um produto da linha de produção é escolhido 
aleatoriamente. Qual a probabilidade ser defeituoso?
 
Teorema da Probabilidade Total: exemplo
● Três máquinas (m1, m2 e m3) são responsáveis por 
30%, 45% e 25% da produção, respectivamente.
● As taxas de produtos defeituosos são dadas por 2%, 3% 
e 2%, respectivamente.
● Um produto da linha de produção é escolhido 
aleatoriamente. Qual a probabilidade ser defeituoso?
S = {m1D,m2D,m3D,m1ND,m2ND,m3ND}
Definindo B = {m1D, m2D, m3D} (produto defeituoso)
E1 = {m1D,m1ND}, E2 = {m2D,m2ND}, E3 = {m3D,m3ND}
 
Teorema da Probabilidade Total: exemplo
● Três máquinas (m1, m2 e m3) são responsáveis por 
30%, 45% e 25% da produção, respectivamente.
● As taxas de produtos defeituosos são dadas por 2%, 3% 
e 2%, respectivamente.
● Um produto da linha de produção é escolhido 
aleatoriamente. Qual a probabilidade ser defeituoso?
S = {m1D,m2D,m3D,m1ND,m2ND,m3ND}
Definindo B = {m1D, m2D, m3D} (produto defeituoso)
E1 = {m1D,m1ND}, E2 = {m2D,m2ND}, E3 = {m3D,m3ND}
● Podemos aplicar o teorema da probabilidade total?
 
Teorema da Probabilidade Total: exemplo
● Três máquinas (m1, m2 e m3) são responsáveis por 
30%, 45% e 25% da produção, respectivamente.
● As taxas de produtos defeituosos são dadas por 2%, 3% 
e 2%, respectivamente.
● Um produto da linha de produção é escolhido 
aleatoriamente. Qual a probabilidade ser defeituoso?
S = {m1D,m2D,m3D,m1ND,m2ND,m3ND}
Definindo B = {m1D, m2D, m3D} (produto defeituoso)
E1 = {m1D,m1ND}, E2 = {m2D,m2ND}, E3 = {m3D,m3ND}
● Podemos aplicar o teorema da probabilidade total? Sim
● Ei (i = 1,...,N) são mutualmente disjuntos
● B = (B ∩ E1) ∪(B ∩ E2) ∪ (B ∩ E3)
 
Teorema da Probabilidade Total: exemplo
● Três máquinas (m1, m2 e m3) são responsáveis por 
30%, 45% e 25% da produção, respectivamente.
● As taxas de produtos defeituosos são dadas por 2%, 3% 
e 2%, respectivamente.
● Logo
P(B) = P(B|E1)P(E1) + P(B|E2)P(E2) + P(B|E3)P(E3)
= 0.02*0.3 + 0.03*0.45 + 0.02*0.025
= 0.0245
 
 
Regra de Bayes
● Já sabemos calcular P(A|B).
● Como calcular P(B|A)?
 
Regra de Bayes
● Já sabemos calcular P(A|B).
● Como calcular P(B|A)?
● Exemplo: A probabilidade de um processo industrial falhar 
(evento A) dado o mau funcionamento nas máquinas 
envolvidas (evento B) é dada por P(A|B). Dado que o 
processo falhou, qual a probabilidade das máquinas 
estarem quebradas, isto é, P(B|A)?
 
Regra de Bayes
● Já sabemos calcular P(A|B).
● Como calcular P(B|A)?
● Exemplo: A probabilidade de um processo industrial falhar 
(evento A) dado o mau funcionamento nas máquinas 
envolvidas (evento B) é dada por P(A|B). Dado que o 
processo falhou, qual a probabilidade das máquinas 
estarem quebradas, isto é, P(B|A)?
● P(B|A) = P(B∩A)/P(A)
Porém P(B∩A) = P(A∩B) e, logo, P(B∩A) = P(A|B)P(B) 
 
Regra de Bayes
● Já sabemos calcular P(A|B).
● Como calcular P(B|A)?
● Exemplo: A probabilidade de um processo industrial falhar 
(evento A) dado o mau funcionamento nas máquinas 
envolvidas (evento B) é dada por P(A|B). Dado que o 
processo falhou, qual a probabilidade das máquinas 
estarem quebradas, isto é, P(B|A)?
● P(B|A) = P(B∩A)/P(A)
Porém P(B∩A) = P(A∩B) e, logo, P(B∩A) = P(A|B)P(B)
● Assim sendo
● Esta expressão é conhecida como regra de Bayes. 
 
Regra de Bayes: exemplo
● Uma certa doença ocorre na população com uma 
probabilidade de 0.01. Um novo teste para esta 
doença foi criado; é extremamente rápido e opera 
com as seguintes probabilidades
P(Pos | D ) = 0.88 e P(Neg | ND ) = 0.86
onde
● D → evento “ter a doença” 
● ND → evento “não ter a doença”
● Pos → evento “teste dar positivo”
● Neg → evento “teste dar negativo”
● Qual a probabilidade P(ND|Pos) (falso positivo)?
 
Regra de Bayes: exemplo
● Pela regra de Bayes
 
Regra de Bayes: exemplo
● Pela regra de Bayes
● Sabemos calcular
● P(Pos|ND) = 1 – P(Neg|ND) = 1 – 0.86 = 0.14
● P(ND) = 1 – P(D) = 1 – 0.01 = 0.99
 
Regra de Bayes: exemplo
● Pela regra de Bayes
● Sabemos calcular
● P(Pos|ND) = 1 – P(Neg|ND) = 1 – 0.86 = 0.14
● P(ND) = 1 – P(D) = 1 – 0.01 = 0.99
● Como calcular P(Pos)?
 
Regra de Bayes: exemplo
● Pela regra de Bayes
● Sabemos calcular
● P(Pos|ND) = 1 – P(Neg|ND) = 1 – 0.86 = 0.14
● P(ND) = 1 – P(D) = 1 – 0.01 = 0.99
● Como calcular P(Pos)?
Teorema da probabilidadetotal
P(Pos) = P(Pos|ND)P(ND) + P(Pos|D)P(D) = 
0.14*0.99 + 0.88*0.01 = 0.1474
 
Regra de Bayes: exemplo
● Pela regra de Bayes
● Sabemos calcular
● P(Pos|ND) = 1 – P(Neg|ND) = 1 – 0.86 = 0.14
● P(ND) = 1 – P(D) = 1 – 0.01 = 0.99
● Como calcular P(Pos)?
Teorema da probabilidade total
P(Pos) = P(Pos|ND)P(ND) + P(Pos|D)P(D) = 
0.14*0.99 + 0.88*0.01 = 0.1474
● Logo
P(ND|Pos) = 0.94 !
 
Regra de Bayes: caso geral
● No exemplo anterior, obtivemos
● É possível generalizá-la para um caso mais geral
 
Regra de Bayes: caso geral
● No exemplo anterior, obtivemos
● É possível generalizá-la para um caso mais geral
● Se A é um evento tal que P(A)>0, e B1, B2,..., BN são 
eventos disjuntos, então
ou, equivalentemente
 
Exercício
● Num processo de manufatura, 3 máquinas (m1, m2 e 
m3) são utilizadas. No entanto, devido a questões 
logísticas, estas máquinas são usadas 
alternadamente, de modo que m1, m2 e m3 são 
responsáveis por 30%, 20% e 50% da produção, 
respectivamente. Estudos preliminares do fabricante 
sobre cada máquina mostraram que m1, m2, e m3 
produzem 1%, 3%, e 2% de peças defeituosas. 
1)Qual a probabilidade de uma peça sair defeituosa?
2)Dado que uma peça selecionada foi constatada 
defeituosa e que o funcionário responsável esqueceu 
de anotar qual máquina estava em operação naquele 
momento, em qual ordem você mandaria o 
responsável pela manutenção verificar as máquinas? 
 
Exercício: resolução
● S = {m1D,m2D,m3D,m1Ok,m2Ok,m3Ok}
miD → “produto é defeituoso e veio de mi”
miOk → “produto está Ok e veio de mi” 
Mi = {miD,miOk} → “produto veio de mi”
D = {m1D,m2D,m3D} → “produto é defeituoso”
● De acordo com o fabricante
P(D|M1) = 0.01 ; P(D|M2) = 0.03 ; P(D|M3) = 0.02
● Além disso 
P(M1) = 0.30 ; P(M2) = 0.20 ; P(M3) = 0.50
● O que queremos saber? Dada uma peça defeituosa, 
as probabilidades de ter vindo de Mi, isto é, P(Mi|D); 
 
Exercício: resolução
● Os eventos M1, M2 e M3 são disjuntos. Logo, 
podemos utilizar a regra de Bayes, ou seja,
P(M1|D) = 0.1579
P(M2|D) = 0.3158
P(M3|D) = 0.5263 → é mais provável que o erro 
tenha vindo de M3
● A probabilidade de sair uma peça defeituosa é:
P(D) = P(D|M1)P(M1) + P(D|M2)P(M2) + P(D|
M3)P(M3) = 0.019
 
Exemplo: filtro de spam Bayesiano
● Tarefa de classificação de spam: dado um e-mail, 
queremos classificá-lo como “spam” ou “não é 
spam”.
● Possibilidade: filtro de spam Bayesiano.
● Ideia: em cada e-mail, analisar palavra por palavra. 
Posto que certas palavras tendem a ocorrer mais 
frequentemente em spams do que em e-mails 
“normais”, é possível construir um classificador 
Bayesiano neste caso.
● Vamos considerar a análise da palavra “sorteado”
 
Exemplo: filtro de spam Bayesiano
● Primeiramente, um dado importante é que 80% dos e-
mails enviados atualmente são spams. Logo, 
podemos escrever
P(Spam) = 0.8
P(Nspam) = 0.2
 
Exemplo: filtro de spam Bayesiano
● Primeiramente, um dado importante é que 80% dos e-
mails enviados atualmente são spams. Logo, 
podemos escrever
P(Spam) = 0.8
P(Nspam) = 0.2
● Além disso, após uma extensa análise por empresas 
que desenvolvem clientes de e-mail, é sabido que a 
palavra “sorteado” aparece em 30% dos spams, ao 
passo que aparece em 2% de e-mails normais. Logo
P(“sorteado” | Spam) = 0.30;
P(“sorteado” | NSpam) = 0.02;
● Dado que a palavra “sorteado” foi encontrada, qual a 
probabilidade do e-mail em análise ser spam?
 
Exemplo: filtro de spam Bayesiano
● Queremos calcular P(Spam|“sorteado”)
● Aplicando a regra de Bayes
● Classificador Bayesiano
● Se P(Spam|“sorteado”) > 0.5 → “Spam”
● Se P(Spam|“sorteado”) < 0.5 → “Não é spam”
● Em nosso exemplo:
P(Spam|“sorteado”) = 0.9836
● Na implementação prática, não apenas uma palavra é 
considerada, mas sim um conjunto pré-definido de 
palavras.
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