Modelos EconometricosSE04 145

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Modelos Econométricos 
para Estimação da Volatilidade Condicional do Retorno de Ativos Financeiros
Prof. Carlos Alberto Gonçalves da Silva * 
Introdução
Os modelos auto-regressivos (heterocedásticos) de estimação de variância têm origem na observação do fenômeno de clustering, em que retornos altos tendem a ser seguidos por outros retornos elevados, fazendo com que a variância dos retornos apresente grande correlação serial. A fim de incorporar esse comportamento, Engle (1982) propôs os modelos ARCH (Autoregressive Conditional Heterocedasticity). Uma versão generalizada dos modelos ARCH foi proposta por Bollerslev (1986), o chamado modelo GARCH (General Autoregressive Conditional Heterocedasticity), além de várias extensões consideradas fundamentais e eficientes para caracterizarem as mudanças de variâncias nas séries temporais financeiras.
Os modelos a serem estudados neste trabalho podem ser utilizados, por exemplo, para estimativa da volatilidade futura de ativos financeiros com propósito tanto especulativo quanto de hedge.
Modelos de Estimação de Volatilidade Condicional
 Os modelos mais utilizados para o cálculo da volatilidade são: desvio-padrão, média móvel simples, alisamento exponencial (EWMA) e modelos da família GARCH. A seguir, é apresentada uma abordagem sucinta das características desses principais modelos.
Desvio-Padrão Histórico e Janela de Dados
 A primeira medida para se mensurar a volatilidade dos retornos dos ativos é realizada pelo cálculo de desvio-padrão e pode ser estimada da seguinte expressão:
 (1)
onde:
 = desvio-padrão dos retornos dos ativos
 = retorno do ativo i
 = média dos retornos do ativo i 
N = tamanho da amostra
Segundo Payant (1997), o tamanho da amostra (também conhecido como janela) utilizada da série histórica afeta a validade da distribuição de probabilidade encontrada.
 O cálculo do estimador, utilizando toda a amostra, permite pouca adaptabilidade às informações mais recentes. Isso é devido ao fato de que todas as observações da amostra recebem o mesmo peso. Para se resolver esse problema, utiliza-se, em vez de toda a amostra, uma janela móvel com um número fixo de observações, mesmo se mantendo peso igual para todas observações utilizadas na janela, pois consegue alguma flexibilidade, podendo controlar as observações mais recentes pela escolha do tamanho da janela. 
 Como exemplo, em estudos realizados para o cálculo de volatilidade para o índice Bovespa, com o uso de janelas de 22, 44, 66, 126 e 252 dias úteis, se observou que quanto menor for o tamanho da janela maiores serão os picos de volatilidade. Por outro lado, quanto menor for o tamanho da janela mais rápida será a volta da volatilidade aos patamares anteriores.
Média Móvel Simples 
 É o método recomendado pelo Bank International Settlements (BIS) para modelos internos baseados no value at risk. Trata-se de uma média que confere pesos iguais a todas as observações. Utiliza-se uma janela móvel (à medida que se inclui um novo dado, elimina-se o mais antigo) com um número fixo de dias: 20 ou 60 dias, por exemplo.
Considerando-se os retornos observados (Rt) nos últimos M dias, a volatilidade estimada é obtida a partir de uma média móvel:
 (2)
No que se refere ao valor de M, quanto maior o horizonte a ser estimado, maior será a quantidade de dados que deve ser utilizada > uma alternativa é tomar um período longo, dividi-lo em subperíodos e realizar um teste de igualdade de variâncias. Caso seja rejeitada a hipótese de igualdade, repete-se o procedimento com o subperíodo mais recente, até a obtenção de dois subperíodos com volatilidade estável.
 Esse método é deficiente tanto por incorporar com atraso choques de mercado, quanto por causar uma persistência indevida desses choques nos valores da volatilidade.
Método de Alisamento Exponencial (EWMA)
 No cálculo da volatilidade pelo método da janela móvel, são atribuídos os mesmos pesos para todos os retornos da série histórica que compõem a amostra, dificultando a detectação, com rapidez, de mudanças de tendência de comportamento da volatilidade, uma vez que atribui a mesma importância tanto para os retornos mais recentes quanto para os mais antigos.
 No modelo EWMA, pode-se detectar com mais rapidez as mudanças nas condições do mercado. Em vez de aplicar o mesmo peso para todos os dados observados da amostra, como é feito no método da janela móvel, são atribuídos, no EWMA, pesos relativamente maiores às observações mais recentes. O peso alocado para cada um dos dados da amostra é uma função de uma variável que se pode chamar de fator de decaimento.
 A expressão para o cálculo da volatilidade para o instante t ,utilizando-se o alisamento exponencial, pode ser representada da seguinte maneira:
 (3) 
0 ( ( ( 1
onde:
 = variância dos retornos no instante t
 = quadrado do retorno observado no instante t-1
 = fator de decaimento
 O fator ( determina a taxa em que os pesos das observações passadas decaem à medida que se tornam mais distantes.
 Pode-se observar na equação (3) que o cálculo da volatilidade com base no alisamento exponencial se dá através da combinação de dois elementos: o primeiro é a estimativa da variância do dia anterior, que recebe o peso igual a (; e o segundo é o quadrado do retorno observado no dia anterior, que recebe o peso igual a (1-(). Assim, quanto menor for o parâmetro de decaimento (, maior importância será dada às observações mais recentes.
Segundo Morgan (1994), no modelo EWMA, a volatilidade estimada reage mais rapidamente aos movimentos extremos dos mercados, uma vez que as observações mais recentes recebem maior peso. Após a ocorrência desses movimentos, a volatilidade diminui gradualmente à medida que os pesos atribuídos a esses movimentos decaem.
Modelo ARCH
 Os modelos mais simples não consideravam o fato de a volatilidade variar com o tempo. Engle (1982) desenvolveu um modelo denominado ARCH (Autoregressive Conditional Heterocedasticity) que considera ser a variância heterocedástica, ou seja, não é constante ao longo do tempo. Neste modelo, a variância condicional é uma função linear do quadrado das inovações passadas. Assim sendo, o modelo ARCH (q) pode ser representado da seguinte forma:
 (o retorno em t é igual a uma constante acrescida do erro residual do modelo em t),
, 
,
 (informações disponíveis em t-1),
�� EMBED Equation.3 , (4) 
Para esse modelo ser bem definido e a variância condicional ser positiva, as restrições paramétricas devem satisfazer 
 e 
> 0, i = 1,2,.......,p
Os Modelos GARCH
Uma importante extensão do modelo ARCH é a sua versão generalizada proposta por Bollerslev (1986), denominada GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heterocedasticity). Neste modelo, a função linear da variância condicional inclui também variâncias passadas. Assim sendo, a volatilidade dos retornos depende dos quadrados dos erros anteriores e também de sua própria variância em momentos anteriores. A variância é dada da seguinte forma:
 (5)
onde as restrições são dadas por: 
 >0, i = 1,2,.....q ; (
> 0 , j = 1,2,....,p e 
. Assim sendo, 
 segue um modelo GARCH (p,q), onde q representa a ordem do componente ARCH e p a ordem do componente GARCH.
O modelo GARCH (1,1) é a versão mais simples e mais utilizada em séries financeiras. Supondo-se que os erros são normalmente distribuídos, a variância é dada por:
, (6)
 O coeficiente 
 mede a extensão em que um choque no retorno hoje afeta a volatilidade do retorno do dia seguinte. A soma 
 revela a medida de persistência da volatilidade, ou seja, a taxa que reflete como o impacto de um choque no retorno hoje se propaga ao longo do tempo, sobre a volatilidadedos retornos futuros. Isso mostra que a alta persistência o choque enfraquecerá lentamente.
Modelo EGARCH
O modelo EGARCH (p,q) ou GARCH Exponencial apresentado por Nelson (1991) descreve as diferentes respostas da taxa de retorno aos choques positivos e negativos, mas sem a necessidade de qualquer restrição paramétricas. O modelo é formalizado da seguinte maneira:
 (7)
 A assimetria é capturada pelo coeficiente 
. Se 
< 0, um choque negativo aumentará a volatilidade dos retornos. Se 
> 0, um choque positivo diminuirá a volatilidade dos retornos. Se 
= 0, haverá ausência de assimetria na volatilidade dos retornos. O coeficiente 
 indica a persistência de choques na volatilidade.
Modelo GJR – GARCH
Glosten, Jagannathan e Runkle (1993) apresentaram um modelo denominado como GJR-GARCH (1,1), dado pela equação:
 (8)
onde: 
 variável dummy, tal que 
=1, se 
< 0 e 
= 0, se 
> 0. Se 
= 0, não haverá efeito assimétrico. A assimetria é capturada pelo coeficiente 
 que indica a influência com que os choques negativos apresentam impactos maiores do que os positivos sobre a volatilidade. O coeficiente 
 mede a persistência dos choques nas variâncias futuras. 
Estimação dos Modelos de Voltilidade
 A estimação dos parâmetros de todos esses modelos é realizada com base na função de máxima verossimilhança condicional. Considerando a equação: 
, a função verossimilhança é escrita como: 
 (9)
 Expressando-se a função (9) em log-verossimilhança, tem-se: 
 (10)
Conclusão
 A maioria das séries econômicas e financeiras caracterizam-se pela não- estacionaridade em média, principalmente, por apresentarem movimentos de baixa e elevada volatilidade, o que dificulta ao analista em prever o seu comportamento futuro. A volatilidade constitui uma característica fundamental nas aplicações em Economia e Finanças, como, por exemplo, a análise das taxas de retorno dos ativos financeiros, a gestão de risco dos ativos financeiros, a análise das taxas de câmbio, etc. Daí o interesse dos pesquisadores em encontrarem modelos de volatilidade, para serem utilizados na modelação e previsão da volatilidade de séries financeiras.
BIBLIOGRAFIA
Bollerslev, T. (1986); “Generalized Autoregressive Conditional Heterocedasticity” , Journal of Econometrics, 31, 307-327.
Engle, R. F. (1982). “Autoregressive Conditional Heterocedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation”. Econometrica, 50, 987-1008.
Glosten, L., Jagannathan, R., Runkle, D. (1993) “On the Relation Between Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Returns on Stocks”. Journal of Finance 48, 1779-1801.
Morgan, “RiskMetrics”. Tecnhical Document. New York, 1996.
Nelson, D. B. (1991). “Conditional Heterocedasticity in Asset Returns: A New Approach”. Econometrica, 59, 347-370.
* Doutor em Ciências pela COPPE/UFRJ. Professor Adjunto do Curso de Economia da Faculdade Moraes Junior.
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