Retas Tangentes e Retas Normais

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Retas Tangentes e Retas Normais:
Vamos começar fazendo algumas considerações sobre retas no plano x× y, x eixo horizontal e y eixo vertical:
• Em uma reta horizontal o x varia e o y �ca �xo,
portanto a equação de uma reta horizontal é da forma: y = a onde a é uma constante real, (a ∈ R).
• Em uma reta vertical o y varia e o x �ca �xo,
portanto a equação de uma reta horizontal é da forma: x = b onde b é uma constante real, (b ∈ R).
• A equação da reta que tem coe�ciente angular m ∈ R e passa pelo ponto P = (x0, y0) pode ser escrita
por: y − y0 = m (x− x0) , onde m = tg (θ) e θ ∈ ] 0◦ , 180◦ [ é o angulo entre a reta e o eixo x.
Observação: A equação y − y0 = m (x− x0) pode representar:
◦ Retas horizontais se m = 0 ou
◦ Retas inclinadas se m 6= 0,
◦ Mas como não existe tg (90◦), esta equação nunca representará uma reta vertical.
Dada uma reta r, para saber se esta reta passa pelo ponto P = (x1, y1), basta substituir x por x1 e
y por y1 na equação da reta e veri�car se a a�rmação é verdadeira ou falsa:
◦ Se a a�rmação for verdadeira a reta r passa pelo ponto P = (x1, y1),
◦ Se a a�rmação for falsa a reta r não passa pelo ponto P = (x1, y1).
Exemplos:
(a) A reta y − 3 = 5(x− 2) por P = (3, 8) pois: 8− 3 = 5(3− 2) é uma a�rmação verdadeira!
(b) A reta y − 3 = 5(x− 2) não passa por P = (0, 0) pois: 0− 3 = 5(0− 2) é uma a�rmação falsa!
Agora vamos apresentar a de�nição de reta tangente e reta normal ao grá�co de uma função que esteja
de�nida e seja diferenciável em um intervalo da reta real.
Retas Tangentes e Retas Normais:
Seja f uma função de�nida e diferenciável no intervalo I ⊂ R e seja x0 no intervalo I, (x0 ∈ I), temos:
Equação da reta tangente ao grá�co de f no ponto x0: y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
Equação da reta normal ao grá�co de f no ponto x0:

y − f(x0) = − 1
f ′(x0)
(x− x0) se f ′(x0) 6= 0
x = x0 se f
′(x0) = 0
Exemplos:
1. Determinar a reta tangente e a reta normal ao grá�co da função f dada por f(x) =
1
x
no ponto P =
(
2,
1
2
)
.
2
Resolução:
Primeiramente vamos observar que o ponto P =
(
2,
1
2
)
pertence ao grá�co da função pois: f(2) =
1
2
.
Então x0 = 2 ⇒ y0 = f(x0) = f(2) = 1
2
E f(x) =
1
x
⇒ f(x) = x−1 ⇒ f ′(x) = −1x−2 = − 1
x2
⇒ f ′(2) = − 1
4
Reta tangente:
y−f(x0) = f ′(x0) (x−x0) ⇒︸ ︷︷ ︸
x0=2
y−f(2) = f ′(2) (x−2) ⇒︸ ︷︷ ︸
f(2)= 1
2
y− 1
2
= f ′(2) (x−2) ⇒︸ ︷︷ ︸
f ′(2)=− 1
4
y− 1
2
= − 1
4
(x−2)
Simpli�cando:
y − 1
2
= − 1
4
(x− 2) ⇒ y = 1
2
− 1
4
(x− 2) ⇒ y = 1
4
x− 1
2
− 1
2
⇒ y = 1
4
x− 1
Reta tangente: y = 14 x− 1
Reta Normal:
Como f ′(2) = − 1
4
6= 0 a reta normal é y − f(x0) = − 1
f ′(x0)
(x− x0)
y − f(x0) = − 1
f ′(x0)
(x− x0) ⇒︸ ︷︷ ︸
x0=2
y − f(2) = − 1
f ′(2)
(x− 2) ⇒︸ ︷︷ ︸
f(2)= 1
2
y − 1
2
= − 1
f ′(2)
(x− 2) ⇒
⇒︸ ︷︷ ︸
f ′(2)=− 1
4
y − 1
2
= − 1− 14
(x− 2) ⇒ y − 1
2
= 4(x− 2) ⇒ y = 1
2
+ 4x− 8 ⇒ y = 4x− 15
2
Reta normal: y = 4x− 152
2. Determinar a reta tangente e a reta normal ao grá�co da função f dada por f(x) =
√
x em x = 4.
Resolução:
f(x) =
√
x = x
1
2 ⇒ f ′(x) = 1
2
x
1
2
−1 =
1
2
x−
1
2 =
1
2
1
x
1
2
=
1
2
1√
x
=
1
2
√
x
Assim: f(x) =
√
x ⇒ f ′(x) = 1
2
√
x
x0 = 4 ⇒ f(4) =
√
4 = 2 e f ′(4) =
1
2
√
4
=
1
4
Reta tangente: y−f(x0) = f ′(x0) (x−x0) ⇒ y−f(4) = f ′(4) (x−4) ⇒ y−2 = 1
4
(x−4) ⇒ y = 1
4
x+1
Reta tangente: y = 14 x+ 1
Reta Normal: Como f ′(4) =
1
4
6= 0 a reta normal é y − f(x0) = − 1
f ′(x0)
(x− x0)
y − f(x0) = − 1
f ′(x0)
(x− x0) ⇒ y − f(4) = − 1
f ′(4)
(x− 4) ⇒ y − 2 = − 11
4
(x− 4) ⇒
⇒ y = 2− 4 (x− 4) ⇒ y = −4x+ 18
Reta normal: y = −4x+ 18
3
3. Determinar a reta tangente e a reta normal ao grá�co da função f(x) = senx no ponto x =
pi
2
.
Resolução:
f(x) = senx ⇒ f ′(x) = cosx e f
( pi
2
)
= sen
( pi
2
)
= 1 ⇒ f ′
( pi
2
)
= cos
( pi
2
)
= 0
Reta tangente: y − f(x0) = f ′(x0) (x− x0) ⇒ y − f
( pi
2
)
= f ′
( pi
2
) (
x− pi
2
)
⇒ y − 1 = 0 ⇒ y = 1
Reta tangente: y = 1
Reta Normal: Como f ′
( pi
2
)
= 0 a reta normal é x = x0
Reta normal: x = pi2
4. Desa�o:
Determinar a reta tangente e a reta normal ao grá�co de f(x) = x2 que passa pelo ponto P = (1, 0).
Resolução:
Primeiramente vamos observar que:
O ponto P = (1, 0) não pertence ao grá�co da função f(x) = x2 pois f(1) = 1 6= 0.
Portanto não temos o ponto de tangência, ou seja, não temos x0.
O que vamos fazer?
Vamos calcular todas as retas tangentes ao grá�co de f(x) = x2 (em x0) e depois forçar a reta a passar pelo
ponto P = (1, 0), substituindo o x da reta por 1 e o y da reta por 0 e considerando a a�rmação verdadeira.
Com esta a�rmação encontraremos x0. Após obter x0 voltamos e encontramos a reta tangente.
Antes de começar, vamos apenas observar que o exercício pode ter uma, mais de uma, ou nenhuma solução!
Ou seja, podemos encontrar um, mais de um, ou nenhum x0 e portanto uma, mais de uma reta ou nenhuma
reta tangente ao grá�co de f(x) = x2 que passa por P = (1, 0).
f(x) = x2 ⇒ f ′(x) = 2x e f(x0) = (x0)2 e f ′(x0) = 2(x0)
Reta tangente: y − f(x0) = f ′(x0) (x− x0) ⇒ y − (x0)2 = 2(x0) (x− x0)
Forçando o ponto P = (1, 0) a pertencer à reta: 0− (x0)2 = 2(x0) (1− x0) é verdadeiro.
0− (x0)2 = 2(x0) (1− x0) ⇒ −(x0)2 = 2(x0)− 2(x0)2 ⇒ 2(x0)2 − (x0)2 − 2(x0) = 0 ⇒
⇒ (x0)2 − 2(x0) = 0 ⇒ (x0)
(
(x0)− 2
)
= 0 ⇒ x0 = 0 ou x0 = 2
Encontramos dois valores para x0 portanto teremos duas retas tangentes! Agora, vamos voltar a reta tangente!
Reta tangente: y − (x0)2 = 2(x0) (x− x0)
y − (x0)2 = 2(x0) (x− x0) ⇒︸ ︷︷ ︸
x0=0
y − (0)2 = 2(0) (x− 0) ⇒ y = 0
y − (x0)2 = 2(x0) (x− x0) ⇒︸ ︷︷ ︸
x0=2
y − (2)2 = 2(2) (x− 2) ⇒ y − 4 = 4x− 8 ⇒ y = 4x− 4
Retas tangentes: y = 0 e y = 4x− 4