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Renato Nogueirol Lobo
Probabilidade e 
Estatística
Sumário
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CAPÍTULO 3 – Como Aplicar a Teoria da Probabilidade? ...................................................05
Introdução ....................................................................................................................05
3.1 Probabilidade: conceitos básicos................................................................................05
3.1.1 Conceitos básicos ...........................................................................................05
3.1.2 Variável aleatória ............................................................................................06
3.1.3 Resultado .......................................................................................................07
3.1.4 Evento ............................................................................................................07
3.1.5 Probabilidade incondicional..............................................................................08
3.1.6 Probabilidade Condicional ...............................................................................08
3.1.7 Propriedades da probabilidade .........................................................................08
3.1.8 Avaliando testes de triagem ..............................................................................09
3.2 Modelos teóricos ......................................................................................................10
3.2.1 Distribuição Binomial .......................................................................................10
3.2.2 Distribuição Poisson .........................................................................................12
3.2.3 Distribuição Normal ........................................................................................14
3.2.4 Distribuição Multinominal .................................................................................18
3.3 Correlação e Regressão Linear ..................................................................................19
3.3.1 Correlação Linear ...........................................................................................19
3.3.2 Regressão Linear ............................................................................................21
3.3.3 Coeficiente de Correlação ................................................................................22
3.3.4 Regressão .......................................................................................................23
Síntese ..........................................................................................................................26
Referências Bibliográficas ................................................................................................27
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Capítulo 3 
Introdução
Você já parou para analisar quais são suas chances de ganhar na Mega-sena? E num jogo de 
dois dados? Se compararmos o número de possíveis resultados na Mega-sena, que é bastante 
alto, ao número de possíveis resultados num jogo de dados, será fácil concluir que nossa chance 
de ganhar num jogo de dados é muito maior. Para que você possa refletir sobre o assunto, a pro-
babilidade de ganhar na Mega-sena com uma única aposta é de 1 chance em 50 milhões. Já 
no caso dos dados, a probabilidade de, ao jogarmos dois dados, obtermos o valor 5 é de 11 
chances em 100.
Neste capítulo, você irá conhecer, portanto, os conceitos básicos de probabilidade e os modelos 
Binomial, Poisson e Normal. Iremos também investigar o que é correlação e regressão linear, 
bem como o coeficiente de correlação. Preparado? Então vamos lá!
3.1 Probabilidade: conceitos básicos
Entenda a probabilidade como um número que reflete a possibilidade ou probabilidade de um 
determinado evento ocorrer. Se você jogar um dado, há seis resultados possíveis, cada um deles 
igualmente provável. Qual então é a probabilidade de obtermos um número específico? Uma vez 
que existem seis resultados possíveis, a probabilidade é de 1/6. Esses resultados são chamados 
de resultados favoráveis.
3.1.1 Conceitos básicos
A probabilidade pode ser expressa como um número entre 1 e 0, ou entre 0% e 100%. Um evento 
com uma probabilidade de 1 pode ser considerado uma certeza: por exemplo, a probabilidade 
de, ao lançarmos uma moeda, obtermos cara ou coroa é 1, porque não existem outras opções. 
Um evento com uma probabilidade de 0,5 tem chances iguais de ocorrer ou não. No lançamento 
de uma moeda, por exemplo, a probabilidade de obtermos cara é 0,5, porque há somente duas 
opções e cara é uma delas. 
A teoria da probabilidade paradoxal aplica cálculos precisos para quantificar medidas de in-
certeza de eventos aleatórios. O conceito pode ser ilustrado no contexto de um estudo sobre a 
obesidade em crianças de 5-10 anos de idade que buscam atendimento médico em uma prática 
pediátrica particular. A população (base de amostragem) inclui todas as crianças que procuraram 
atendimento nos últimos 12 meses. 
Como Aplicar a Teoria da 
Probabilidade?
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Probabilidade e Estatística
IDADE 
(anos) 5 6 7 8 9 10 TOTAL
MENINOS 432 379 501 410 420 418 2560
MENINAS 408 513 412 436 461 500 2730
TOTAIS 840 892 913 846 881 918 5290
Quadro 1 - Número de casos de obesidade por idade encontrada em uma clinica pediátrica. 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Um bom exemplo ligado à área de produção é o seguinte: imagine que numa produção foram 
retirados 260 parafusos para serem examinados e em cinco deles foram encontrados defeitos. 
Com base nesta informação, podemos estimar que a probabilidade de que um parafuso seja 
defeituoso é aproximadamente igual à frequência relativa, que é 5/260 = 0,019 ou 1,9%. 
Outro tipo de probabilidade que usamos em produção é a estimativa subjetiva, com base nas 
experiências de uma pessoa. Digamos que um engenheiro geológico examina uma extensa área 
de propriedade particular, escolhendo o melhor local para perfurar um poço de petróleo. Ele 
afirma que, com base em sua experiência anterior, a probabilidade de ser bem sucedido é de 
30%. Esta é uma estimativa subjetiva de probabilidade e os interessados na perfuração da área 
podem usá-la para tomar sua decisão.
Na probabilidade, a percentagem refere-se à possibilidade de que alguma coisa vai acontecer. 
Como já mencionamos anteriormente, 0 significa a impossibilidade e 1 determina certeza. Em 
outras palavras, a escala vai do menos provável até o mais provável. Conceitos de probabilidade 
ajudam a definir risco, quantificando as perspectivas de resultados não intencionais e negativos.
3.1.2 Variável aleatória
Em probabilidade e estatística, uma variável aleatória, quantidade aleatória, variável aleatória 
ou variável estocástica é uma variável cujo valor está sujeito a variações devidas ao acaso, ou 
seja, à aleatoriedade, em um sentido matemático. A variável aleatória pode assumir um conjunto 
de possíveis valores diferentes, cada um com uma probabilidade associada, em contraste com 
outras variáveis existentes. 
Possíveis valores de uma variável aleatória podem representar os possíveis resultados de um 
experimento ainda a ser realizado, ou os possíveis resultados de um experimento passado cujo 
valor já existente é utilizado, por exemplo, devido a medições imprecisas ou incerteza quântica. 
Eles também podem representar os resultados de um processo aleatório tais como a fiação quí-
mica em uma fieira ou a aleatoriedade subjetiva, a qual resulta do conhecimento incompleto de 
uma amostra. A função matemática que descreve os possíveis valores de uma variável aleatória e 
suas probabilidades associadas é conhecida como distribuição de probabilidade. Variáveis alea-
tórias podem ser discretas ou contínuas. Os resultados de uma variável aleatória, em função dedistribuição de probabilidade da variável, são chamados de variantes aleatórias. 
Por exemplo, o tempo não é uma variável aleatória, pois sabemos que amanhã terá 24 horas, 
o mês de janeiro terá 31 dias e assim por diante. No entanto, a taxa de retorno esperada sobre 
um fundo de investimento e o desvio padrão esperado desses retornos são variáveis aleatórias. 
Tentamos prevê-las nos baseando no histórico e em nosso conhecimento de economia, mas não 
poderemos dizer com certeza que as variáveis obedecerão tudo o que previmos ou esperamos.
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3.1.3 Resultado
Saiba que resultado refere-se a qualquer valor possível que uma variável aleatória pode tomar. Jo-
gadores de loteria têm uma probabilidade quase certa de perder seu dinheiro apostando, porém 
há uma pequena chance de que eles se tornem milionários, pois para um único bilhete de loteria, 
existe apenas um resultado. Quando um resultado particular acontece, chamamos de evento.
Estatisticamente, consideramos os resultados significativos como improváveis se tiverem ocorrido 
por acaso. Sempre que uma análise estatística é realizada e os são resultados interpretados, há 
uma possibilidade finita de que os resultados ocorram por acaso, sendo uma limitação inerente 
a qualquer análise estatística. Os erros, como os de medição, por exemplo, podem causar uma 
interpretação errônea dos resultados. A probabilidade de que o processo seja um encontro ao 
acaso, entretanto, pode ser calculada e um limite mínimo de significância estatística pode ser 
ajustado, sendo que os níveis estatisticamente significantes comuns são 5% e 1%. 
Resultados significativos são necessários para muitos casos práticos de experimentação em vários 
ramos da pesquisa estatística. A escolha do nível de significância estatística é influenciada por 
certo número de parâmetros e as alterações nos diferentes tipos de experimentos. Na maioria 
dos casos de consideração prática, a distribuição de parâmetros ou qualidade segue uma dis-
tribuição normal, no entanto, devemos tomar cuidado para visualizar outras distribuições dentro 
da população dada.
3.1.4 Evento
Na teoria das probabilidades, um evento é um conjunto de resultados de uma experiência para o 
qual uma probabilidade é atribuída. Um único resultado pode ser um elemento de muitos eventos 
diferentes. Além disso, eventos diferentes em um experimento geralmente não possuem valores 
igualmente prováveis, uma vez que eles podem incluir diferentes resultados.
Nosso cotidiano é cheio de eventos aleatórios! O lançamento de uma moeda, os jogos de dados, 
a escolha de um “rei” no baralho de cartas e sorteios de loteria são exemplos de eventos deste 
tipo. Entenda que os eventos podem ser: 
•	 Independentes - em que cada evento não afeta outros eventos posteriores. Exemplo: se 
você jogar uma moeda três vezes e obter cara, qual a chance de que o próximo lance 
também seja cara? A chance é simplesmente 1/2, ou 50%, assim como qualquer outro 
lance da moeda, pois o que aconteceu no passado não afetará o sorteio atual.
•	 Dependentes (também chamado de condicional) - em que um evento é afetado por 
outros eventos. Exemplo: quando você tira duas cartas de um baralho, há menos cartas 
disponíveis e, portanto, a probabilidade vai mudar.
•	 Incompatíveis – em que os eventos não podem acontecer ao mesmo tempo
Vamos verificar a possibilidade de que, ao tirarmos duas cartas de um baralho, uma delas seja 
um “rei”. Para a primeira carta, a chance é de 4 em 52, mas para a 2º temos: 
•	 Se a primeira carta era um rei, então é menos provável que a segunda também o seja, já 
que apenas 3 das 51 cartas que ficaram são reis;
•	 Se a primeira carta não era um rei, então é pouco provável que a segunda seja um rei, 
pois das 51 cartas que ficaram, apenas 4 são reis.
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Probabilidade e Estatística
3.1.5 Probabilidade incondicional
Se selecionarmos uma criança por amostragem aleatória simples, então cada criança tem a
mesma probabilidade (ou igual oportunidade) de ser selecionada. A probabilidade é de 
1 / N 
Em que: 
N representa o tamanho da população = 5.290. 
Assim, a probabilidade de que qualquer criança seja selecionada para o exemplo apresentado é 
1/5.290 = 0,0002. Na maioria das situações de amostragem, não estamos preocupados com 
a amostragem de um indivíduo específico, mas sim com a probabilidade de amostragem de 
certos tipos de indivíduos. Por exemplo, qual é a probabilidade de selecionar um menino ou 
uma criança de sete anos de idade? A fórmula seguinte pode ser usada para calcular 
probabilidades de seleção de indivíduos com atributos específicos. Acompanhe!
P (característica) = número de pessoas com a característica / N
3.1.6 Probabilidade Condicional
Cada uma das probabilidades calculadas no item anterior, por exemplo, P (menino) e P (criança 
de 7 anos de idade), é uma probabilidade incondicional, pois o denominador para cada um é 
o tamanho total da população (N = 5290), refletindo o fato de que toda a amostra em toda a 
população é elegível para ser selecionada. No entanto, por vezes, é de interesse concentrar o 
foco em um subconjunto específico da população ou uma subpopulação. 
Por exemplo, suponha que estamos interessados apenas nas meninas e queremos saber qual é a 
probabilidade de selecionar uma menina de 9 anos a partir da sub-população de meninas? Há 
um total de NG = 2.730 meninas (NG se refere à população de meninas), e a probabilidade 
de selecionar uma de 9 anos a partir da subpopulação de meninas é escrita da seguinte forma:
P (9 anos / meninas) = número de pessoas com característica / NG
Em que: / meninas indica que estamos condicionando a questão a subgrupo específico.
A probabilidade condicional é calculada da mesma forma que se calculam as probabilidades 
incondicionais, ou qualquer probabilidade. Nesse caso:
P (9 anos | meninas) = 461/2730 = 0,169.
Isto também significa que 16,9% das meninas têm 9 anos de idade. Note que isto não é o mesmo 
que a probabilidade de selecionar uma menina de 9 anos de idade da população total, que é P 
(garota de 9 anos de idade) = 461/5290 = 0,087.
3.1.7 Propriedades da probabilidade
A probabilidade tem duas propriedades que a definem:
1. A probabilidade em todo o caso existente é um número entre 0 e 1, ou 0 <P (E) <1.
Também podemos usar a probabilidade numa escala de 0% (impossível) e 100% (totalmente 
possível). Portanto, não existe uma probabilidade negativa ou uma probabilidade superior
a 1 (ou 100%) .
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2. A soma de todas as probabilidades de todos os eventos é igual a 1, desde que ambos os
eventos sejam mutuamente exclusivos e exaustivos.
As probabilidades empíricas são objetivamente elaboradas a partir de dados históricos. Se nós 
montamos uma distribuição de resultado com base nos últimos vinte anos de dados e, em segui-
da, usar essa distribuição para fazer previsões, estaremos utilizando uma abordagem empírica. 
Precisamos lembrar, no entanto, que o desempenho do passado não garante resultados futuros, 
então uma abordagem puramente empírica significa desvantagens.
3.1.8 Avaliando testes de triagem
Os testes de seleção são muitas vezes utilizados para avaliar a probabilidade de que uma amostra te-
nha uma condição particular. Por exemplo, em um caso médico, o raciocínio é que se a doença é iden-
tificada precocemente um tratamento pode levar à cura ou melhora da qualidade de vida. A preventiva 
médica é constituída frequentemente por testes laboratoriais que detectam marcadores específicos de 
determinada doença. Por exemplo, o antigénio (PSA) específico para o câncer de próstata, mede as 
concentrações sanguíneas de PSA, uma proteína produzida pela glândula da próstata. 
Outros exemplos são os testes de pressão arterial, eletrocardiograma de rotina, exames de mama, 
exames retais digitais, mamografias, exames de sangue eurina. Em cada um desses exemplos, 
temos uma tabulação da população ou um quadro de amostragem que nos permite calcular as 
probabilidades desejadas. Há casos, no entanto, em que uma tabulação completa não é acessí-
vel e os modelos de probabilidade podem ser usados para gerar apenas probabilidades. Existem 
dois modelos de probabilidade particularmente úteis para esses casos: 
• o modelo de distribuição binomial, que é útil para probabilidades em que temos uma
variável discreta;
• o modelo de distribuição normal, o que é útil para calcular a probabilidade em uma
variável contínua.
Estes modelos de probabilidade são extremamente importantes na estatística, e nós vamos dis-
cutí-los em seguida.
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3.2 Modelos teóricos
Um modelo estatístico é um conjunto de suposições a respeito da geração dos dados observados 
e dos dados semelhantes de uma população maior. Ele representa formas idealizadas do
processo de geração de dados que descrevem um conjunto de distribuições de probabilidade. 
Um modelo é normalmente especificado por equações matemáticas que se relacionam 
com uma ou mais variáveis aleatórias e, possivelmente, outras variáveis não aleatórias. 
Todos os testes de hipóteses e todas as estimativas estatísticas são derivados de modelos, os 
quais, de modo geral, são parte da fundação de inferência estatística.
3.2.1 Distribuição Binomial
Quando você jogar uma moeda, desde que não haja situações tendenciosas, haverá dois re-
sultados possíveis: cara ou coroa, sendo que cada resultado tem uma probabilidade fixa de ½. 
Essas distribuições são chamadas de distribuições binomiais. Tomemos um exemplo simples: os 
quatro resultados possíveis que poderiam ocorrer se você jogasse uma moeda duas vezes estão 
listados a seguir no Quadro 2. Note que os quatro resultados são igualmente prováveis com 
probabilidade 1/4. Lembre-se de que os lançamentos da moeda são independentes. 
Por isso, a probabilidade de dar cara no primeiro lançamento e cara no segundo lançamento é 
o produto de P (1) e P (2), que é 1/2 x 1/2 = 1/4. O mesmo se aplica para o cálculo da proba-
bilidade de uma cara e uma coroa, que é 1/2 x 1/2 = 1/4.
Possibilidades Moeda I Moeda II
1 Cara Cara
2 Coroa Coroa
3 Cara Coroa
4 Coroa Cara
Quadro 2 - Quatro resultados possíveis.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Os quatro resultados possíveis podem ser classificados pelo número de caras que surgem. Pode-
ria ser duas vezes, uma ou nenhuma. As probabilidades destas possibilidades são mostradas no 
Quadro 3 e na Figura 1. Uma vez que dois dos resultados representam o caso em que apenas 
uma cara aparece nas duas jogadas, a probabilidade deste evento é igual a 1/4 + 1/4 =1/2.
Confira a seguir!
Numero de Caras Probabilidade
Duas 1/4
Uma 1/2
Nenhuma 1/4
Quadro 3 - As probabilidades de obter 0, 1, ou 2 caras.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
11
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
Probabilidade
PROBABILIDADE
Figura 1 - Probabilidades de obtermos cara nos lançamentos. 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
A Figura 1 é uma distribuição de probabilidade discreta, pois mostra a probabilidade para 
cada um dos valores, definindo “cara” como sucesso. Esse tipo de distribuição é uma 
distribuição binomial. A distribuição binomial consiste das probabilidades de cada um dos 
possíveis números de sucessos em n tentativas para eventos independentes que cada um tem 
uma probabilidade de π de ocorrência. Para o exemplo da moeda, N = 2 e π = 0,5. A 
fórmula para a distribuição binomial é mostrada a seguir:
Em que:
P (x) é a probabilidade de x sucessos em N tentativas; 
N é o número de tentativas; 
π é a probabilidade de sucesso em uma determinada tentativa.
Se aplicarmos isto ao exemplo das moedas, temos:
Se você jogar uma moeda duas vezes, qual é a probabilidade de obter uma ou mais caras? A 
probabilidade de obtermos exatamente uma cara é 0,50. Já a probabilidade de obtermos duas 
caras é de 0,25, ao passo que a probabilidade de obter uma ou duas caras é de 0,50 + 0,25 
= 0,75. Se jogarmos uma moeda 12 vezes, qual seria a probabilidade de obtermos de 0 a 3 
caras? A resposta é encontrada calculando a probabilidade de nenhuma cara, uma cara, duas 
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Probabilidade e Estatística
caras e três caras, as quais serão de: 0,0002, 0,0029, 0,0161, e 0,0537. A soma das probabi-
lidades é 0,073. O cálculo de probabilidades binomiais cumulativas pode ser bastante tedioso. 
Considere o experimento de arremesso de moeda em que você jogou uma moeda doze vezes e 
gravou o número de caras. Você pode esperar a metade das jogadas cair e, por conseguinte, o 
número médio de caras seria 6. Em geral, a média de uma distribuição binomial com parâmetros 
N (o número de ensaios) e π (a probabilidade de sucesso de cada ensaio) é:
μ	=	N	π
Em que: 
μ é a média da distribuição binomial.
A variância da distribuição binomial é dada por:
σ2 = N π (1-π)
Em que:
σ2 é a variância da distribuição binomial.
Vamos voltar para o experimento moeda de arremesso. A moeda foi jogada doze vezes, certo? 
Então N = 12. Há uma probabilidade de 0,5 de obtermos cara. Portanto, π = 0,5. A média e 
variância, por conseguinte, podem ser calculadas conforme a seguir:
μ = N π = (12) (0,5) = 6 
σ2 = N π (1-π) = (12) (0,5) (1,0 - 0,5) = 3,0.
Não esquecendo que o desvio padrão (σ) é a raiz quadrada da variância (σ2). Um bom exemplo 
da utilização da distribuição binomial em uma indústria é a fabricação de lâmpadas. Uma análise 
feita no lote produzido no dia anterior detectou que 1% das lâmpadas produzidas nesse lote eram 
defeituosas. Na produção de hoje, foi retirada uma amostra aleatória de 30 lâmpadas. O engenhei-
ro responsável pela produção precisa saber se há nesta amostra mais de uma lâmpada defeituosa. 
Após o cálculo, utilizando a distribuição binomial teremos que a probabilidade será de 3,61%. 
3.2.2 Distribuição Poisson
Na teoria da probabilidade e estatística, a distribuição de Poisson (em homenagem ao matemá-
tico francês Siméon Denis Poisson) é uma distribuição de probabilidade discreta que expressa a 
probabilidade de um determinado número de eventos ocorrerem em um intervalo de tempo e/
ou espaço fixo. Estes eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e independente do tempo 
desde o último caso ocorrido. 
A distribuição de Poisson também pode ser utilizada para eventos em outros intervalos especifi-
cados, tais como a distância, área ou volume. Por exemplo, o número de chamadas telefônicas 
recebidas em um call center por hora, o número de eventos de luminosidade por segundo a partir 
de uma fonte radioativa, ou o número de pedestres em uma rua em determinada hora do dia. 
A distribuição foi introduzida pela primeira vez por Siméon-Denis Poisson (1781-1840) e publica-
da, com sua teoria da probabilidade, em 1837, em sua obra Pesquisa sobre a probabilidade de 
decisões em Matéria Penal e Civil. O trabalho teorizou sobre o número de condenações injustas 
de um dado país, concentrando-se em certas variáveis aleatórias (N) que contam, entre outras 
coisas, o número de ocorrências discretas que, em algumas vezes, chamamos de eventos e ocor-
rem durante um intervalo de tempo determinado. 
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A aplicação prática desta distribuição foi feita por Ladislaus Bortkiewicz em 1898, quando lhe foi dada 
a tarefa de investigar o número de soldados no exército prussiano mortos acidentalmente por chutes de 
cavalo. Neste contexto, foi introduzida a distribuição de Poisson para o campo da engenharia.
A distribuição de Poisson pode ser usada para calcular as probabilidades de diferentes números 
de “sucessos” com base em um número médio de sucessos. A fim de aplicar a distribuição de 
Poisson, os vários eventos devem ser independentes.Tenha em mente que o termo “sucesso” 
realmente não significa sucesso no sentido positivo tradicional, mas apenas que o resultado 
desejado ocorreu. 
Imagine que você sabia que o número médio de chamadas para um quartel dos bombeiros em 
um dia de semana era igual a 8. Qual é a probabilidade de que em um determinado dia da 
semana houvesse 11 chamadas ao invés de 8? Este problema pode ser resolvido com a seguinte 
fórmula, baseada na distribuição de Poisson:
Em que:
e é a base dos logaritmos naturais (2,7183);
μ é a média do número de “sucessos”;
x é o número de “sucessos” em questão.
Para este exemplo,
Desde que a média seja 8 e a questão refira-se a 11 chamados.
Aplicações da Distribuição de Poisson: 
• defeitos congênitos e mutações genéticas;
• doenças raras como a leucemia;
• acidentes de carro;
• fluxo de tráfego;
• número de erros de digitação em uma página;
• pelos encontrados em hambúrguer do McDonald;
• disseminação de um animal em extinção no continente africano;
• falha de uma máquina em um mês.
Média e variância de Distribuição de Poisson
Se μ é o número médio de sucessos ocorridos num determinado intervalo de tempo da distribuição 
de Poisson, então a média e o desvio da distribuição são ambos iguais a μ. Na distribuição de 
Poisson, apenas um parâmetro (μ) é necessário para determinar a probabilidade de um evento.
Você deve estar se perguntando: “mas qual é a diferença entre as distribuições de Poisson e bi-
nomial?”. Enquanto a distribuição binomial pode ser usada para encontrar a probabilidade de 
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um número designado de sucessos em “n” tentativas, a distribuição de Poisson é usada para 
encontrar a probabilidade de um número designado de sucessos por unidade de intervalo. As 
outras condições exigidas para se aplicar a distribuição binomial são também exigidas para se 
aplicar a distribuição de Poisson, isto é, deve existir somente dois resultados mutuamente
exclusivos, os eventos devem ser independentes e o número médio de sucessos por unidade 
de intervalo deve permanecer constante. 
A distribuição de Poisson é frequentemente usada em pesquisa operacional na solução de proble-
mas administrativos. Alguns exemplos são o número de chamadas telefônicas para a polícia por 
hora, o número de clientes chegando a posto de gasolina por hora, e o número de acidentes de 
tráfego num cruzamento por semana. Um exemplo de produção, para melhor entendimento da 
utilização da distribuição de Poisson é: uma fábrica de componentes eletrônicos produz uma média 
de 5 peças com defeito por hora. Qual a probabilidade desta fábrica não produzir nenhuma peça 
defeituosa em um intervalo de 1 hora? Fazendo o cálculo, temos que a probabilidade é de 0,67%
3.2.3 Distribuição Normal
A distribuição normal é a distribuição mais importante e mais amplamente utilizada nas estatís-
ticas. Às vezes é chamada de curva do sino ou curva de Gauss, em homenagem ao matemá-
tico Karl Friedrich Gauss. Embora Gauss tenha um papel importante na história da curva, foi 
Abraham de Moivre que descobriu a distribuição normal. Distribuições normais podem diferir 
em sua forma e desvio padrão. A Figura 2 mostra três distribuições normais. A verde, mais à es-
querda, a distribuição em vermelho no meio e a distribuição de preto, mais à direita. Estas, bem 
como todas as outras distribuições normais, são simétricos com os valores relativamente mais no 
centro da distribuição e menos nas caudas.
Figura 2 - Distribuições normais que diferem em média e desvio padrão.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2015. 
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A densidade da distribuição normal ou a altura de um dado valor no eixo X é mostrada a seguir. 
O símbolo que representa a base do logaritmo natural é π, constante.
A distribuição normal possui sete características, as quais estão listadas a seguir!
• 1. As distribuições normais são simétricas em torno de sua média.
• 2. A média, mediana e moda de uma distribuição normal são iguais.
• 3. A área abaixo da curva normal é igual a 1,0.
• 4. Distribuições normais são mais densas no centro e menos densa nas caudas.
• 5. Distribuições normais são definidas por dois parâmetros, a média (μ) e o desvio-padrão
(Đ).
• 6. 68% da área de uma distribuição normal está dentro de um desvio padrão da média.
• 7. Aproximadamente 95% da área de uma distribuição normal está dentro de dois desvios
padrão da média.
Já vimos que a distribuição binomial pode ser usada para resolver problemas, tais como: se uma 
moeda honesta é jogada 100 vezes, qual é a probabilidade de obtermos 60 ou mais caras? A 
probabilidade “x caras” de N tentativas é calculada usando a fórmula:
Em que: 
x é o número de caras (60); 
N é o número de jogadas (100); 
π é a probabilidade de uma cara (0.5). 
Portanto, para resolver esse problema, você pode calcular a probabilidade de 60 caras, a
probabilidade de 61 caras, 62 caras, assim por diante e somar todas estas probabilidades. 
Imagine quanto tempo as pessoas levavam para calcular as probabilidades binomiais antes do 
advento das calculadoras e computadores. 
Abraham de Moivre, um estatístico do século VXIII e consultor para os jogadores de cartas,
muitas vezes foi chamado a fazer esses cálculos demorados. Moivre notou que, quando o 
número de eventos aumentava, a forma da distribuição binomial aproximava-se de uma 
curva muito suave. Moivre pensou que se conseguisse encontrar uma expressão matemática 
para esta curva, ele seria capaz de resolver problemas tais como encontrar a probabilidade de 
60 ou mais caras de 100 jogadas muito mais fácil. A curva que ele descobriu agora é 
chamada de curva normal.
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Probabilidade e Estatística
0 2 4 6 8 10 12
Figura 3 - A aproximação normal para a distribuição binomial para 12 jogadas.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
A curva suave é a distribuição normal. Note que ela se aproxima das probabilidades binomiais 
representadas pelas alturas das linhas azuis. A importância da curva normal é que as distribuições 
de diversos fenômenos naturais são aproximadamente uma distribuição normal. Uma das primei-
ras aplicações da distribuição normal é a análise de erros de medição feita em observações astro-
nômicas, erros que ocorreram por causa de instrumentos imperfeitos e observadores imperfeitos. 
Galileu, no século XVII, observou que estes erros eram simétricos e que pequenos erros ocorriam 
com maior frequência do que os grandes erros. Isso levou a várias distribuições hipotéticas de 
erros, mas foi no início do século XIX que descobriu-se que esses erros seguiam uma distribuição 
normal. Independente disso, os matemáticos Adrain em 1808 e Gauss em 1809 desenvolveram a 
fórmula para a distribuição normal e mostraram que os erros se encaixam bem nesta distribuição. 
Essa mesma distribuição foi descoberta por Laplace em 1778. Laplace mostrou que, mesmo que 
uma distribuição não seja normalmente distribuída, os meios de amostras repetidas da distribui-
ção seriam quase uma distribuição normal, e que quanto maior for o tamanho da amostra mais 
ela se aproxima de a uma distribuição normal. 
Quételet (1840) foi o primeiro a aplicar a distribuição normal para características humanas. Ele 
observou que as características tais como altura, peso e força foram distribuídas normalmente. 
As áreas sob as porções de uma distribuição normal podem ser obtidas através de cálculo. A 
Figura 4 mostra uma distribuição normal com uma média de 50 e um desvio padrão de 10. A 
área sombreada entre 40 e 60 contém 68% da distribuição.
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Figura 4 - A distribuição normal com uma média de 50 e desvio padrão de 10 e 
68% da superfície está dentro de um desvio padrão (10) da média (50).
Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
17
A Figura 5, por sua vez, mostrauma distribuição normal com uma média de 100 e um desvio pa-
drão de 20. Tal como na Figura 4, 68% da distribuição está dentro de um desvio padrão da média
20 40 60 80 100 120 140 160 180
Figura 5 - A distribuição normal com uma média de 100 e desvio padrão de 20 e 
68% da superfície está dentro de um desvio padrão (20) da média (100).
Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
As distribuições normais mostradas nas Figuras 4 e 5 são exemplos específicos da regra geral de 
68%. A Figura 6 mostra uma distribuição normal com uma média de 75% e um desvio padrão 
de 10. A área sombreada contém 95% e estende-se de 55,4 a 94,6. Para todas as distribuições 
normais, 95% da superfície está dentro de 1,96 desvios padrão da média.
35 45 55 65 75 85 95 105 115
Figura 6 - Uma distribuição normal com uma média de 75 e um desvio padrão de 
10 e 95% da superfície está dentro de 1,96 desvios padrão da média.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Vamos supor que em uma indústria produtora de parafusos, porcas e arruelas, a espessura média 
de arruelas tenha distribuição normal com média de 11,15mm e desvio padrão de 2,238mm. 
Qual a porcentagem de arruelas com espessura entre 8,70mm e 14,70mm? Utilizando a
distribuição normal, temos que essa probabilidade é de 80,50%. 
Outro exemplo é o de uma fazenda criadora de porcos. Imagine que o peso médio de 800
porcos dessa fazenda é de 64 kg, e o desvio padrão é de 15kg. Se este peso for distribuído de 
forma normal, você pode utilizar os cálculos da distribuição normal para saber quantos porcos 
pesarão entre 42kg e 73kg. Executando os cálculos, chegaremos ao número de 525 animais.
18
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Probabilidade e Estatística
CASO 
Fábrica de sacolas de papel
Um fabricante de sacolas de papel para supermercado está tendo problemas com a qualidade de 
seu produto. A questão está relacionada à resistencia e a tração do papel das sacolas. Após uma 
análise prévia, foi verificado que essa variável segue um modelo normal, com uma média de 40N 
e um desvio padrão de 2N. Seus clientes necessitam de uma resitência à tração mínima de 35N. 
Na proxima semana, haverá uma entrega de 100.000 sacolas. Para esse fato, qual deve ser a 
probabilidade de produzir as sacolas com essa especificação? O fabricante deverá criar um pla-
no de ação para garantir essa probabilidade mínima e aumentar a confiabilidade para 95%, pois 
sabemos que a variabilidade aceita em um processo estável é de, no máximo, 5%.
3.2.4 Distribuição Multinominal
A distribuição binomial permite calcular a probabilidade de obtenção de um determinado núme-
ro de resultados binários. Assim, o lançamento de uma moeda terá um resultado binário, pois 
limita-se a duas possibilidades. A distribuição multinominal, por sua vez, pode ser usada para 
calcular as probabilidades em situações em que existam mais do que dois resultados possíveis. 
Por exemplo, imagine que dois jogadores de xadrez tenham jogado vários jogos. Ficou determi-
nado que a probabilidade de o jogador A ganhar é de 0,40. Já a probabilidade de o jogador B 
vencer é de 0,35, enquanto a probabilidade de o jogo terminar em empate é de 0,25. A distri-
buição multinominal pode ser usada para responder a perguntas como: “Se os dois jogarem 12 
jogos, qual é a probabilidade de que o jogador A ganhe 7 jogos, o jogador B ganhe 2 jogos, e 
o restante dos jogos resulte em empate?”.
A fórmula a seguir dá a probabilidade de obtenção de um conjunto específico de resultados, 
quando há três resultados possíveis para cada evento:
Em que: 
P é a probabilidade;
n é o número total de eventos;
n1 é o número de vezes que ocorre Resultado 1;
n2 é o número de vezes que ocorre Resultado 2;
n3 é o número de vezes que ocorre Resultado 3;
P1 é a probabilidade do resultado 1;
P2 é a probabilidade do resultado 2; 
P3 é a probabilidade do resultado 3.
19
Para o exemplo do xadrez:
n = 12 (12 jogos são disputados);
n1 = 7 (número vitórias do jogador A);
n2 = 2 (número vitórias do Jogador B);
n3 = 3 (número de empates);
p1 = 0,40 (probabilidade do jogador A ganha);
p2 = 0,35 (probabilidade Jogador B ganha);
P3 = 0,25 (probabilidade de um empate).
A fórmula para resultados k é: 
Note-se que a distribuição binomial é um caso especial da multinominal quando k = 2. 
Aqui, temos o seguinte exemplo: uma máquina de tubos metálicos cujos diâmetros podem ser 
considerados uma variável aleatória normal com média 200mm e desvio padrão de 2mm. Veri-
fica-se que 15% dos tubos estão sendo rejeitados como grandes e 10% como pequenos. Quais 
são as tolerâncias de especificação para esse diâmetro? Mantidas essas especificações, qual 
deverá ser a regulagem média da máquina para que a rejeição por diâmetro grande seja nula? 
Nesse caso, qual será a porcentagem de rejeição por diâmetro pequeno? 
Como podemos verificar, a máquina deve ser regulada para valores entre 198mm e 202mm, 
lembrando que existe uma tendência maior de obtermos peças com diâmetro maior, portanto 
nada impede de, por segurança, colocarmos de 198mm a 201,50.
VOCÊ QUER VER?
Neste vídeo da Univesp TV, você pode rever as principais propriedades da distribuição 
estatísticas, complementando os conhecimentos recém-adquiridos sobre o cálculo de 
distribuição. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=j3Zbup0KMxY>.
3.3 Correlação e Regressão Linear
O uso da regressão linear ou correlação existe quando você precisa saber se uma variável de 
medição está associada a outra variável de medição, ou então quando você quer medir a força 
da associação entre essas variáveis, na equação que descreve o relacionamento entre elas,
podendo ser usada para prever valores desconhecidos. Um dos gráficos mais comuns coloca 
uma variável de medição no x (horizontal) e a outra no eixo y (vertical).
3.3.1 Correlação Linear
O objetivo de uma análise de correlação linear é determinar se existe uma relação entre dois conjun-
tos de variáveis. Existem três tipos de correlação: correlação positiva, correlação negativa e nenhuma 
correlação. Essas relações podem ser facilmente visualizadas usando diagramas de dispersão. 
20
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Probabilidade e Estatística
• Correlação positiva: com o aumento dos valores do eixo X, os valores do eixo Y tendem
a aumentar. Se fosse numa correlação positiva, todos os pontos cairiam sobre uma linha
reta. Esses pontos demonstrarão que o relacionamento entre as duas variáveis é perfeito.
y
6
4
2
0
0 2 4 6 x
Figura 7 - Correlação positiva.
Figura 7 - Correlação positiva.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
• Correlação negativa: com o aumento dos valores do eixo X, os valores do eixo Y tendem
a diminuir. Se fosse numa correlação negativa, todos os pontos caiririam sobre uma linha
reta. Esses pontos demonstrarão que o relacionamento entre as duas variáveis é perfeito.
y
6
4
2
0
0 2 4 6 x
Figura 8 - Correlação negativa.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
21
• Nenhuma correlação: parece não haver qualquer relação entre as duas variáveis.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 1,5 2 2,5 3
Figura 9 - Nenhuma correlação.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2015. 
3.3.2 Regressão Linear
Técnica matemática para encontrar a linha reta que melhor se ajusta aos valores de uma fun-
ção linear, plotados em um gráfico de dispersão como pontos de dados. Se o melhor ajuste de 
linha for encontrado, ele pode ser usado como base para estimar os valores futuros da função, 
estendendo-o, mantendo a sua inclinação. A regressão linear é a análise preditiva mais básica e 
comumente usada. Estimativas de regressão são usadas para descrever dados e para explicar a 
relação entre uma variável dependente e uma ou mais variáveis independentes.
A seguir, apresentamos três exemplos práticos de correlaçãolinear:
1. O gerente de produto responsável por uma determinada marca de cereal matinal infantil
gostaria de prever a demanda para o cereal durante o próximo ano. Para utilizar a análise
de regressão, a equipe sabe que as seguintes variáveis podem afetar as vendas:
» preço do produto;
» número de crianças de 5 a 12 anos de idade (o mercado-alvo);
» preço de produtos do concorrente;
» eficácia da publicidade (como medido pela publicidade exposição);
» as vendas anuais do ano em questão;
» as vendas anuais de períodos anteriores.
2. Um especulador de ouro está considerando uma grande compra de barras de ouro. Ele
gostaria de prever o preço do produto para dois anos a partir de agora. Seu horizonte de
planejamento, portanto, se dará por meio de análise de regressão. Em preparação, ele
produz a seguinte lista de variáveis independentes:
» taxa de juros;
» taxa de inflação;
» preço do petróleo;
» a demanda por jóias de ouro;
» a demanda por ouro industrial e comercial;
» a cotação da bolsa.
22 Laureate- International Universities
Probabilidade e Estatística
3. Um agente imobiliário gostaria de prever com precisão o preço de venda de casas. Ele
acredita que algumas variáveis afetam o preço de uma proriedade:
» tamanho da casa (número de pés quadrados);
» número de quartos;
» fachada do lote;
» condição;
» localização.
Em cada um desses exemplos, o principal motivo para utilizar a análise de regressão é a previsão. 
No entanto, analisar a relação entre as variáveis também pode ser bastante útil na gestão da toma-
da de decisão. Por exemplo, o gerente de produto pode querer saber como o preço está relaciona-
do com a demanda do produto para tomar uma decisão sobre uma possível mudança nos preços.
Vamos estudar mais alguns exemplos de Diagrama de Dispersão? Esse link o levará a 
um estudo que apresenta um exemplo resolvido de utilização do diagrama, bem como 
explicações a respeito de como efetuar cada etapa. Disponível em: <http://www.esalq.
usp.br/qualidade/mod3/pag1_3.htm>
VOCÊ QUER LER?
3.3.3 Coeficiente de Correlação
O coeficiente de correlação r, chamado coeficiente de correlação linear, mede a força e a di-
reção de uma relação linear entre duas variáveis. A correlação linear coeficiente é, por vezes, 
referida como o coeficiente de correlação de Pearson em homenagem a seu criador: Karl Pearson 
(1910). A fórmula matemática para calcular r é:
Em que:
n é o número de pares de dados.
O valor de r é tal que -1 <r <1. Os sinais + e - são usados para correlações lineares positivas 
e correlações lineares negativas, respectivamente. A associação entre duas variáveis pode ser 
de dois tipos: correlacional e experimental. Numa relação experimental, os valores de uma das 
variáveis são controlados pela atribuição ao acaso do objeto sendo estudado e observando o 
que acontece com os valores da outra variável. Por exemplo, pode-se atribuir dosagens casuais 
de certa droga e observar a resposta do organismo testado; pode-se atribuir níveis de fertilizante 
ao acaso e observar as diferenças na produção de determinada cultura. 
Na associação correlacional, por outro lado, não se tem nenhum controle sobre as variáveis 
estudadas. Elas são observadas como ocorrem em seu ambiente natural, sem nenhuma interfe-
rência, isto é, as duas variáveis são aleatórias. Assim, a diferença entre as duas situações é que 
na experimental nós atribuímos valores ao acaso de uma forma não tendenciosa, e na outra a 
atribuição é feita pela natureza.
23
3.3.4 Regressão
Os estatísticos são muitas vezes chamados para desenvolver métodos para prever uma variável 
a partir de outras variáveis. Por exemplo, pode-se querer prever a média de uma faculdade pela 
frequência dos alunos. Na regressão linear simples, prevemos o valor de uma variável a partir 
valores de uma segunda variável. A variável que estamos prevendo é referida como Y. A variável 
na qual estamos nos baseando é chamada variável critério e é referida como X. 
Quando existe apenas uma variável de previsão, o método é chamado de regressão simples. Na 
regressão linear simples as previsões de Y, quando plotadas em função do X, formam uma linha 
reta. Os dados de exemplo na Tabela 1 estão representados na Figura 10. Você pode ver que há 
uma relação positiva entre X e Y, portanto podemos dizer que quanto maior o valor de X, mais 
elevada a previsão de Y.
X Y
1.00 1.00
2.00 2.00
3.00 1.30
4.00 3.75
5.00 2.25
Tabela 1 - Os dados de exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
5
4
3
2
1
0
1 2 3
X
y
4 5
Figura 10 - Um gráfico de dispersão dos dados de exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
24
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Probabilidade e Estatística
A regressão linear consiste em encontrar a linha reta que melhor se ajuste através de todos os 
pontos, a qual é chamada de linha de regressão. A linha diagonal preta na Figura 11 é a linha de 
regressão, e consiste no valor previsto em Y para cada valor possível de X. As linhas verticais dos 
pontos para a linha de regressão representam os erros de predição. Como você pode ver, o ponto 
vermelho está muito perto da linha de regressão e o erro é pequeno. Em contrapartida, o ponto 
de amarelo está bastante distante da linha de regressão e, por conseguinte, o erro é grande.
5
4
3
2
1
0
1 2 3
X
y
4 5
3.75
2.25
1.30
2.00
1.00
Figura 11 - Um gráfico de dispersão dos dados de exemplo. A linha preta consiste nas previsões, os pontos 
são os dados reais. Já as linhas verticais entre os pontos e a linha preta representam os erros de previsão.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
A Tabela 2 mostra os valores preditos (Y ‘) e os erros de previsão (Y-Y’). Por exemplo, o primeiro 
tem um ponto Y de 1,00 e um Y ‘ de 1,21. Portanto, o erro de previsão é de -0,21.
X Y Y’ Y-Y’ (Y-Y’)2
1.00 1.00 1.210 -0.210 0.044
2.00 2.00 1.635 0.365 0.133
3.00 1.30 2.060 -0.760 0.578
4.00 3.75 2.485 1.265 1.600
5.00 2.25 2.910 -0.660 0.436
Tabela 2 - Dados de exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
O critério mais comumente usado para a linha de melhor ajuste é a linha que minimiza a soma
dos quadrados dos erros de previsão. A última coluna da Tabela 2 mostra os quadrados dos erros 
de predição, cuja soma é inferior ao que seria com qualquer outra linha de regressão. A fórmula 
para uma linha de regressão é:
Y ‘= bX + A,
25
Em que:
Y ‘representa o valor previsto; 
b é o declive da linha; 
A é a ordenada Y.
A equação para a linha na Figura 11 é:
Y ‘= 0.425X + 0,785, para X = 1,
Y ‘= (0,425) (1) + 0,785 = 1.21
E para X = 2,
Y ‘= (0,425) (2) + 0,785 = 1,64.
A equação de regressão é mais simples se as variáveis são uniformizadas, de modo que os seus meios 
são iguais a 0 e desvios padrão são iguais a 1. Um bom exemplo de regressão linear é o consumo 
de combustível em um carro. Após uma regulagem eletrônica, um veículo apresenta um rendimento 
ideal no que tange a consumo de combustível. Contudo, com o passar do tempo, esse rendimento vai 
se degradando. Os dados a seguir representam o rendimento medido mês a mês após a regulagem. 
X 1 2 3 4 5 6
Y 10,7 10,9 10,8 9,3 9,5 10,4
X 7 8 9 10 11 12
Y 9,0 9,3 7.6 7,6 7,9 7,7
Tabela 3 - relação entre o tempo de manutenção e o rendimento em Km/l.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015. 
X: meses após a regulagem
Y: rendimento em Km/l
VOCÊ QUER VER?
Ficou interessado em regressão linear e na correlação entre as variáveis? Quer assistir 
a um vídeo que explique os cálculos? Então acesse o canal Falando Matemática Prof. 
Allan e veja a videoaula Correlação e Regressão Linear. Disponível em: <https://www.
youtube.com/watch?v=5Nmzd9slQk0>.
26 Laureate- International Universities
Síntese
Concluímos este capítulo sobre a aplicação da teoria da probabilidade, bem como seus concei-tos principais e características norteadoras. Agora você possui instrumentos teóricos para poder 
solucionar problemas e situações que envolvam a probabilidade.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de: 
•	 conhecer os conceitos básicos de probabilidade
•	 aprender os modelos teóricos Binomial, Poisson e Nornal
•	 compreender os fundamentos básicos da correlação e regressão linear
•	 identificar os coeficientes de correlação e os parâmetros de regressão
Síntese
27
Referências
AMARAL, D.A. Gauss, Carl Friedrich (1777-1855). Disponível em: <http://www.fem.unicamp.
br/~em313/paginas/person/gauss.htm>. Acesso em: 30 dez. 2015. 
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 5 ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
CORRELAÇÃO e Regressão Linear Simples. Produzido por Falando Matemática prof. Allan. 19 
nov. 2014. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=5Nmzd9slQk0>. Acesso em: 
30 dez. 2015.
DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. São Paulo: Thomp-
son, 2006. 
ESTATÍSTICA - Aula 11 - Distribuições de probabilidade. Produzido por Univesp TV. 09 Mar. 
2015. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=j3Zbup0KMxY>. Acesso em: 30 
dez. 2015. 
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTRATÍSTICA (IBGE). Evolução da Mortalidade 
– 2000 – Brasil. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/tabuade-
vida/evolucao_da_mortalidade.shtm>. Acesso em: Acesso em: 30 dez. 2015.
LEVINE, D. M.; BERENSON, M. L; e STEPHAN, D. Estatística: teoria e aplicações usando o 
Microsoft® Excel em português. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. 
MAGALHÃES, A. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6. ed. São Paulo: 
Edusp, 2005. 
MONTGOMERY, D.C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para enge-
nheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
MORGADO, A.C.O. et al. Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: IMPA/
VITA, Coleção Vitae, 1991. 
PIETRANTONIO, H. Modelos probabilísticos em segurança diária. Jun. 2009. Disponível 
em: <http://sites.poli.usp.br/d/ptr5802/ModProb.pdf>. Acesso em: 30 dez. 2015. 
REYES, A. E. L.; VICINO, S. R. Diagrama de dispersão. CIAGRI - DME-ESALQ/USP. Disponível 
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SANTOS, P.O.; MELLO, M. P.; MURARI, I.T. C. Introdução à Análise Combinatória. 3. ed. 
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UOL. Brasil tem mais de 204 milhões de habitantes, diz IBGE. 28 ago. 2015. Dispo-
nível em: <http://noticias.uol.com.br/cotidiano/ultimas-noticias/2015/08/28/brasil-tem-mais-
-de-204-milhoes-de-habitantes-diz-ibge.htm>. Acesso em: 30 dez. 2015.
Bibliográficas