Lista 5 - EDO

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas - CCE
Departamento de Matema´tica
5a Lista de MAT147 -Ca´lculo II
1. Encontre a soluc¸a˜o geral de cada uma das equac¸o˜es diferenciais abaixo:
(a) y′′ − 5y′ + 6y = 0 ;
Resp: y(x) = c1e
2x + c2e
3x
(b) y′′ − 3y′ = 0;
Resp: y(x) = c1 + c2e
3x
(c) y′′ + 4y′ + 4y = 0;
Resp: y(x) = (c1 + c2x)e
−2x
(d) 6y′′ − 7y′ − 3y = 0;
Resp: y(x) = c1e
−x/3 + c2e3x/2
(e) y′′ + 2
√
2y′ + 2y = 0;
Resp: y(x) = (c1 + c2x)e
−√2x
(f) 4y′′ − 8y′ + 7y = 0;
Resp: y(x) = ex
[
c1cos
(√
3
2
x
)
+ c2sen
(√
3
2
x
)]
(g) y′′ − 2y′ + 2y = 0;
Resp: y(x) = ex (c1cos(x) + c2sen(x))
(h) y′′ − 4y′ + 13y = 0.
Resp: y(x) = e2x (c1cos(3x) + c2sen(3x))
2. Determine a soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o diferencial que satisfac¸a a
condic¸o˜es indicadas.
(a) y′′ − 3y′ + 2y = 0; y(0) = 0 e y′(0) = 2;
Resp: y(x) = 2e2x − 2ex
(b) y′′ + y = 0; y(0) = 1 e y′(0) = 2;
Resp: y(x) = cos(x) + 2sen(x)
(c) y′′ + 8y′ + 16y = 0; y(0) = 1 e y′(0) = 1;
Resp: y(x) = e−4x(2 + 9x)
1
(d) y′′ − 6y′ + 13y = 0; y(0) = 1 e y′(0) = 3.
Resp: y(x) = e2x(−cos(3x) + 4
3
sen(3x))
3. Determine α de modo que a soluc¸a˜o do PVI y′′− y′− 2y = 0, y(0) = α
e y′(0) = 2 tenda para zero quando x→∞. Resposta: α = −2
4. Calcule o Wronskiano do par de func¸o˜es mencionado.
(a) y1 = e
−2x e y2 = xe−2x.
Resp: W (y1, y2)(x) = e
−4x
(b) y1 = x e y2 = xe
x.
Resp: W (y1, y2)(x) = x
2ex
(c) y1 = e
xsen(x) e y2 = e
xcos(x).
Resp: W (y1, y2)(x) = −e2x
(d) y1 = cos
2(x) e y2 = 1 + cos(x).
Resp: W (y1, y2)(x) = 0
5. Fac¸a o que se pede:
(a) Verifique que y1(x) = x
2 e y2(x) = x−1 sa˜o duas soluc¸o˜es da
equac¸a˜o diferencial xy′′ − 2y = 0, para x > 0. Depois mostre
que c1x + c2x
−1 tambe´m e´ soluc¸a˜o desta equac¸a˜o para quaisquer
constantes c1 e c2.
(b) Verifique que y1(x) = 1 e y2(x) = x
1/2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o
diferencial yy′′+(y′)2−0, para x > 0. depois, mostre que c1+c2x1/2
na˜o e´, em geral, soluc¸a˜o desta equac¸a˜o. Por que na˜o? (Esta EDO
na˜o e´ linear.)
6. Verifique que as func¸o˜es y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial dada.
Estas soluc¸o˜es constituem um conjunto fundamental de soluc¸o˜es?
(a) y′′ + 4y = 0; y1(x) = cos(2x), y2(x) = sen(2x). Res: Sim
(b) y′′ − 2y′ + y = 0; y1(x) = e, y2(x) = xex Resp:Sim
(c) x2y′′ − x(x+ 2)y′ + (x+ 2)y = 0, x > 0; y1(x) = x, y2(x) = xex.
Resp: Sim
(d) (1 − xcotg(x))y′′ − xy′ + y = 0, 0 < x < pi; y1(x) = x, y2(x) =
sen(x) Resp: Sim
2
7. Use o me´todo da reduc¸a˜o de ordem para encontrar uma segunda soluc¸a˜o
para a equac¸a˜o xy′′ − y′ + 4x3y = 0 com x > 0, sabendo que y1(x) =
sen(x2) e´ uma soluc¸a˜o para esta EDO. Resposta: y2(x) = cos (x
2)
8. Considere a equac¸a˜o diferencial y′′+P (x)y′+Q(x)y = 0, em que P (x)
e Q(x) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em algum intervalo I.
(a) Supondo que y1(x) seja uma soluc¸a˜o conhecida para a EDO em
I e que y1(x) 6= 0 para todo x ∈ I, use reduc¸a˜o de ordem para
mostrar que
y2(x) = y1(x)
∫
e−
∫
P (x)dx
(y1(x))
2 dx
e´ uma segunda soluc¸a˜o para a equac¸a˜o acima.
(b) Mostre que as soluc¸o˜es y1 e y2 (como descritas na alternativa (a))
sa˜o linearmente independentes.
9. Supondo um intervalo apropriado, use reduc¸a˜o de ordem para encontrar
uma segunda soluc¸a˜o para cada equac¸a˜o diferencial.
(a) x2y′′ − 7xy′ + 16y = 0; y1 = x4. Resp: y2 = x4ln|x|
(b) x2y′′ + 2xy′ − 6y = 0; y1 = x2. Resp: y2 = − 1
5x3
(c) xy′′ + y′ = 0; y1 = ln(x). Resp: y2 = 1
(d) 4x2y′′ + y = 0; y1 =
√
xln(x). Resp: y2 =
√
x
(e) (1− x2) y′′ − 2xy′ = 0; y1 = 1. Resp: y2 = ln
∣∣∣∣1 + x1− x
∣∣∣∣
(f) x2y′′ − xy′ + y = 0; y1 = xsen(ln(x)). Resp: y2 = xcos(ln(x))
(g) x2y′′−3xy′+5y = 0; y1 = x2cos(ln(x)). Resp: y2 = x2sen(ln(x))
(h) (1 + 2x)y′′ + 4xy′ − 4y = 0; y1 = e−2x. Resp: y2 = x
(i) (1 + x)y′′ + xy′ − y = 0; y1 = x. Resp: y2 = e−x
(j) x2y′′ − xy′ + y = 0; y1 = x. Resp: y2 = xln|x|
(k) x2y′′ − 20y = 0; y1 = x−4. Resp:y2 = x5
(l) x2y′′ − 5xy′ + 9y = 0; y1 = x3ln(x). Resp:y2 = x3
(m) x2y′′ + xy′ + y = 0; y1 = cos(ln(x)). Resp: y2 = sen(ln(x))
3
(n) x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0; y1 = x2 + x3. Resp: y2 = x2
(o) x2y′′ − 7xy′ − 20y = 0; y1 = x10. Resp: y2 = x−2
(p) (3x+ 1)y′′ − (9x+ 6)y′ + 9y = 0; y1 = e3x. Resp: y2 = 3x+ 2
(q) xy′′ − (x+ 1)y′ + y = 0; y1 = ex. Resp: y2 = x+ 1
(r) y′′ − 3tg(x)y′ = 0; y1 = 1. Resp: y2 = sec(x)tg(x) + ln|sec(x) +
tg(x)|
10. Resolva cada equac¸a˜o diferencial pelo me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros,
definindo um intervalo no qual a soluc¸a˜o geral seja va´lida.
(a) y′′ + y = sec(x);
Resp: y(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x) + cos(x) ln(cos(x)) + x sin(x),
x ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
(b) y′′ + y = sin(x);
Resp: y(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x)− x cos(x)
2
, x ∈ R
(c) y′′ + y = sec(x) tan(x);
Resp: y(x) = c1 cos(x)+c2 sin(x)+x cos(x)−sin(x) ln |cos(x)|, x ∈(
−pi
2
,
pi
2
)
(d) y′′ + y = cos2(x);
Resp: y(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x) +
1+sin2(x)
3
, x ∈ R.
(e) y′′ + y = tan(x);
Resp: y(x) = c1 cos(x)+c2 sin(x)+cos(x) (sin(x)− ln | sec(x) + tan(x)|) ,
x ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
(f) y′′ + y = sec2(x);
Resp: y(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x)− 1 + sin(x)ln| sec(x) + tan(x)|,
x ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
(g) y′′ − y = cosh(x);
Resp: y(x) = c1e
x + c2e
−x +
x sinh(x)
2
, x ∈ R
(h) y′′ − y = sinh(2x);
Resp: y(x) = c1e
x + c2e
−x +
sinh(2x)
3
, x ∈ R
4
(i) y′′ − 9y = 9x
e3x
;
Resp: y(x) = c1e
3x + c2e
−3x − 1
4
xe−3x(1− 3x), x ∈ R
(j) y′′ + 3y′ + 2y =
1
1 + ex
;
Resp: y(x) = c1e
−x + c2e−2x + (1 + e−x)e−x ln(1 + ex), x ∈ R
(k) y′′ − 3y′ + 2y = e
3x
1 + ex
;
Resp: y(x) = c1e
x + c2e
2x + (1 + ex)ex ln(1 + ex), x ∈ R
(l) y′′ + 3y′ + 2y = sin(ex);
Resp: y(x) = c1e
−x + c2e−2x − e−2xsen(ex), x ∈ R
(m) y′′ − 2y′ + y = ex arctan(x);
Resp: y(x) = c1e
x+c2xe
x+
ex
2
((x2 − 1) arctan(x)− ln(1 + x2)) , x ∈
R
(n) y′′ − 2y′ + y = e
−x
1 + x2
;
Resp: y(x) = c1e
x + c2xe
x +
ex ln(1 + x2)
2
+ xex arctan(x), x ∈ R
(o) y′′ − 2y′ + y = e−x sec(x);
Resp: y(x) = c1e
x sin(x)+c2e
x cos(x)+xex sin(x)+ex cos(x) ln | cos(x)|,
x ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
(p) y′′ − 2y′ + y = e−x ln(x);
Resp: y(x) = c1e
−x+c2xe−x+
x2e−xln(x)
2
−x
2e−x
4
e−2xsen(ex), x >
0
(q) 3y′′ − 6y′ + 30y = ex tan(3x);
Resp: y(x) = c1e
x cos(3x) + c2e
x sin(3x)
1
27
ex cos(3x) ln | sec(3x) +
tan(3x)|, x ∈
(
−pi
6
,
pi
6
)
11. Resolva cada equac¸a˜o diferencial pelo me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros,
sujeita a`s condic¸o˜es iniciais y(0) = 1 e y′(0) = 0.
(a) 4y′′ − y = xex/2.
Resposta: y(x) =
3
4
ex/2 +
1
4
e−x/2 +
1
8
x2ex/2 − 1
4
xex/2
5
(b) 2y′′ + y′ − y = x+ 1.
Resposta: y(x) =
8
3
ex/2 +
1
3
e−x − x− 2
(c) y′′ + 2y′ − 8y = 2e−2x − e−x.
Resposta: y(x) =
25
36
e2x +
4
9
e−4x − 1
4
e−2x +
1
9
e−x
(d) y′′ − 4y′ + 4y = (12x2 − 6x) e2x.
Resposta: y(x) = e2x (x4 − x3 − 2x+ 1)
12. Sabendo que y1(x) = x e y2(x) = xln(x) formam um conjunto funda-
mental de soluc¸o˜es para x2y′′ − xy′ + y = 0 em (0,∞), encontre uma
soluc¸a˜o geral para
x2y′′ − xy′ + y = 4xln(x).
Resposta: y(x) = c1x+ c2xln(x) +
2
3
x(ln(x))3
13. Sabendo que y1(x) = x
2 e y2(x) = x
3 formam um conjunto fundamental
de soluc¸o˜es para x2y′′− 4xy′+ 6y = 0 em (0,∞), encontre uma soluc¸a˜o
geral para
x2y′′ − 4xy′ + 6y = 1
x
.
Resposta: y(x) = c1x
2 + c2x
3 +
1
12x
14. Sabendo que y1(x) =
cos(x)√
x
e y2(x) =
sen(x)√
x
formam um conjunto
fundamental de soluc¸o˜es para x2y′′ − xy′ + y = 0 em (0,∞), encontre
uma soluc¸a˜o geral para
x2y′′ + xy′ +
(
x2 − 1
4
)
y =
√
x3.
Resposta: y(x) = c1
cos(x)√
x
+ c2
sen(x)√
x
+
1√
x
15. Sabendo que y1(x)= cos(ln(x)) e y2(x) = sen(ln(x)) formam um
conjunto fundamental de soluc¸o˜es para x2y′′ + xy′ + y = 0 em (0,∞):
6
(a) Encontre uma soluc¸a˜o particular para
x2y′′ + xy′ + y = sec(ln(x)).
Resposta: yp(x) = cos(ln(x))ln|cos(ln(x))|+ ln(x)sen(ln(x))
(b) Deˆ a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o e defina um intervalo em que
esta seja va´lida. [Sugesta˜o: Na˜o e´ (0,∞). Por queˆ?]
Resposta: y(x) = c1cos(ln(x))+c2sen(ln(x))+cos(ln(x))ln|cos(ln(x))|+
ln(x)sen(ln(x)), x ∈ (e−pi/2, epi/2)
7