Listas AlgLin II UFRJ

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Primeira Lista de Exercícios
Os exercícios abaixo apresentam, cada um, uma dificuldade específica no tema estudado.
Não pule exercícios. Não os faça de forma automática.
Tente descobrir qual particularidade está sendo trabalhada em cada um deles.
Exercícios sobre o produto Matriz-Vetor e o produto de matrizes
O exercício abaixo mostra que nem sempre é possível combinar
vetores e gerar um outro. Tente descobrir porque isso acontece. 
Esse resultado possui profunda conexão com o fato que alguns
sistemas de equações não possuem solução, pois sempre é possível
escrever um sistema linear na forma de um produto matriz x vetor.
1) Encontre números x e y tais que as igualdades abaixo sejam verdadeiras e
observe as conexões com os sistemas de equações e os produtos matriz x vetor ao
lado.
 
A) ou ou 
B) ou ou 
C) ou ou 
D) Qual o sistema correspondente?
2
E) Qual a multiplicação matriz x vetor?
F) ou ?
Nos exercícios seguintes, evite utilizar a fórmula de multiplicação
matriz-vetor. Resolva-os sabendo que multiplicar uma matriz por um
vetor-coluna é combinar as colunas da matriz. 
Entender o resultado supracitado é fundamental; não perca tempo
apenas fazendo contas de somar e multiplicar.
2) Faça as multiplicações matriz-vetor abaixo fazendo as combinações das
colunas das matrizes:
A) ? B) ? C) ?
D) ? E) ?
Quando você multiplica uma matriz por um vetor formado apenas
de 1´s, o resultado deve ser a soma das colunas da matriz; certo? 
E se o vetor possuir apenas 0´s, com exceção de um 1 na segunda
entrada, você consegue perceber que o resultado da multiplicação matriz-
vetor deve ser a segunda coluna da matriz?
E se for um 2?
3
3) Calcule a multiplicação Av, onde:
 e 
A) B) C) D)
4) Escreva os sistemas de equações abaixo na forma matricial AX = b e indique,
sem resolvê-los, quais possuem solução. Justifique.
A) B) C)
Quando multiplicamos duas matrizes, C=AB, a primeira coluna de
C é o resultado da multiplicação da matriz A pela primeira coluna de B,
e assim por diante. 
Um resultado similar vale para as linhas, mas com a ordem trocada:
A primeira linha de C é o resultado da multiplicação da primeira linha
de A pela matriz B, e o mesmo vale para as demais linhas de C.
Utilize as informações acima para resolver os exercícios seguintes.
Não faça muitas contas. Tente encontrar os caminhos fáceis.
4
5) Efetue os seguintes produtos vetor-linha x matriz fazendo as combinações
das linhas das matrizes:
A) B) C)
D) E) 
6) Calcule os produtos de matrizes abaixo pelas combinações de colunas ou
pelas combinações de linhas. Note que nem sempre AB=BA. E que AB pode ser
nula, mesmo que A e B sejam ambas não-nulas:
A) B) C)
D) E) 
F)
7) Encontre, se houver, uma combinação anuladora não-trivial das colunas das
matrizes abaixo e explique qual a relação com o conjunto solução do sistema de
equações associado:
A) B) C) D)
5
8) Calcule o seguinte produto de matrizes:
9) Calcule as matrizes M que satisfazem as igualdades abaixo:
A) M B) M
C) M D) M
10) Para cada matriz A abaixo, encontre uma matriz M não-nula, tal que, AM =
0:
A) B) C) D) 
11) Para cada matriz A abaixo, encontre uma matriz M não-nula, tal que, MA =
0:
A) B) C) D)
12) Seja A uma matriz 3x3 com todas as entradas distintas e C = EA. Escolha
abaixo a matriz E tal que nenhuma linha de C seja igual à linha correspondente de
A:
A) B) C) D)
13) Seja A uma matriz 3x3 e C = EA. Escolha abaixo a matriz E tal que todas as
linhas de C sejam iguais à segunda linha de A:
6
A) B) C) D)
14) Seja A uma matriz 2x2 e C = EA. Escolha abaixo a matriz E de forma que a
segunda linha de C seja igual à primeira linha de A menos duas vezes a segunda
linha de A:
A) B) C) D)
15) Sejam A e C matrizes 2x2 e C = MA. Escolha abaixo a matriz M de forma
que a primeira linha de C seja igual à soma das linhas de A e a segunda linha de C
seja igual à diferença entre as linhas de A:
A) B) C) D)
16) Sejam A e C, 3x3, com C = MA. Escolha abaixo a matriz M de forma que a
primeira linha de C seja igual à soma das duas primeiras linhas de A; a segunda
linha de C seja igual ao triplo da terceira linha de A e a terceira linha de C seja igual
a soma das duas primeiras linhas de C:
A) B) C) D)
A matriz inversa é o análogo do inverso multiplicativo de um
número a, ou seja, 1/a.
Note que a = 0 não possui inverso multiplicativo.
Analogamente, nem toda matriz possui inversa. Apenas aquelas que
possibilitam desfazer seus efeitos nas colunas e/ou linhas de outra
matriz.
17) Descreva os efeitos das matrizes abaixo sobre um vetor-coluna e e assinale
aqueles que são invertíveis:
A) B) C) D) E)
7
E) F) G) 
A matriz inversa de uma matriz quadrada A é aquela que quando
multiplicada por A, pela direita, ou pela esquerda, resulta na Matriz
Identidade, ou seja, B é a inversa de A se AB = BA = I .
18) Calcule a matriz inversa das matrizes abaixo:
A) B) C) D)
Tente deduzir a fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 utilizando
a definição acima.
Evite decorar a fórmula obtida; certamente, você irá esquecê-la. Crie
um jeito de deduzi-la sempre que for necessário.
19) Calcule a matriz inversa das matrizes abaixo:
A) B) C) D)
20) Considere o sistema de equações abaixo. Escreva-o na forma matricial AX =
b e utilize a matriz inversa de A para expressar x e y em função dos componentes do
vetor b:
21) Os vetores abaixo são combinações lineares dos vetores (5,3) e (7,4). Ou seja,
são da forma . Assinale aquele tal que a soma dos coeficientes da
combinação geradora é maior que 1, ou seja, :
A)(11,6) B)(1,1) C)(3,2) D)(6,4)
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Calendário de Testes e Provas de Álgebra Linear II
Livro: Curso de Álgebra Linear - Marco Cabral e Paulo Goldfeld
À venda na xerox do Bloco C - Térreo
Teste 1 15/9 
Teste 2 24/9
Prova 1 1/10
Teste 3 15/10
Prova 2 22/10
Teste 4 10/11
Prova 3 12/11
Prova 4 10/12
Segunda Chamada 15/12
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Segunda Lista de Exercícios
Exercícios sobre Sistemas de Equações e Escalonamento
Sistemas de equações são problemas constituídos por um conjunto
de variáveis e um conjunto de restrições a essas variáveis; as restrições
são representadas por equações. A solução é o conjunto de valores das
variáveis que satisfazem simultaneamente a todas as restrições; ou
equações.
A regra geral é que devem existir tantas restrições quanto variáveis
para que o sistema tenha uma solução e esta seja única. Se houver mais
variáveis que restrições (equações), o problema pode ter várias soluções,
Se houver mais restrições que variáveis, o problema pode não ter
solução.
Não obstante, duas restrições podem exigir coisas incompatíveis, e o
problema não terá solução; ou podem exigir a mesma coisa, diminuindo
o número de restrições genuínas.
Analise os simples sistemas abaixo sem fazer muitas contas.
1) Classifique os problemas abaixo com respeito a possuírem solução única, não
possuírem solução, ou possuírem infinitas soluções.
A) B) C) D)
E) F) G) H)
2) Escreva um sistema de 3 equações e duas variáveis que:
 A) Possui infinitas soluções
 B) Não possui solução
 C) Possui apenas uma solução
2
3) Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema de equações e assinale a
alternativa correta:
 I - Se possui mais variáveis que equações, então sempre possui solução.
 II - Se possui mais equações que variáveis, então sempre possui solução
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e II é falsa
 D) II é verdadeira e I é falsa
4) Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema de equações com número
igual de equações e variáveis e assinale a alternativa correta:
 I - Se possui equações repetidas, então sempre possui infinitas soluções.
 II- Se todas as equações são distintas, então possui solução única.
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e II é falsa
 D) II é verdadeira e I é falsa
Sistemas de equações equivalentes são aqueles que possuem as
mesmas soluções.
Uma equação gerada por uma combinação linear de outras é sempre
uma equação redundante. Adicionar equações redundantes a um
sistema, não altera o seu conjunto-solução. Substituir uma equação
original por uma equação redundante também não altera o conjunto-
solução, desde que a equação original tenha participado efetivamente da
geração da equação redundante.; ou seja, a equação redundante mantém
a informação original no sistema.
Substituir uma equação por outra que contém a informação da
equação original, também não. 
 Faça os exercícios abaixo e justifique verbalmente se as mudanças
realizadas mantêm o mesmo conjunto de variáveis e restrições do
sistema original.
3
5) Assinale os sistemas abaixo que são equivalentes ao sistema :
A) B) C) D) 
E)
6) Assinale os sistemas abaixo que são equivalentes ao sistema :
A) B) C) D)
E)
Nem sempre é simples decidir visualmente se uma equação é
gerada por outras, ou se é incompatível com outras. Faz-se necessário
utilizar uma metodologia eficiente que funcione em todos os casos. 
O escalonamento é uma técnica que resolve sistemas lineares de
equações através de suas matrizes aumentadas. Através dele, pode-se
revelar as relações de redundancia e inconsistencia entre as equações de
um sistema.
Para isso, é fundamental saber enxergar os sistemas através de suas
matrizes aumentadas, e vice-versa.
7) Escreva as matrizes aumentadas dos seguintes sistemas de equações:
A) B) C) D) 
4
E) F) G)
8) Escreva os sistemas correspondentes às seguintes matrizes aumentadas:
A) B) C)
9) Considere abaixo os sistemas representados pelas suas matrizes aumentadas.
Tente resolvê-los mentalmente fazendo as devidas combinações das colunas das
matrizes:
A) B) C) D)
E) F) G)
H) I)
10) Considere os sistemas representados abaixo pelas suas matrizes
aumentadas. Tente identificar visualmente aqueles que possuem várias soluções e os
que não possuem solução:
A) B) C) D)
E) F) H)
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11) Considere o sistema S descrito pela sua matriz aumentada:
. Considere o novo sistema S’= MS, obtido da multiplicação
pela esquerda por uma matriz M, 2x2. Assinale abaixo as matrizes M tais que S e S’
possuem as mesmas soluções, isto é, sejam equivalentes:
A) B) C) D)
E) F) G) H)
12) Utilize o escalonamento para simplificar as matrizes aumentadas abaixo e
resolver os sistemas correspondentes:
A) B) C)
D) E) F)
13) Um sistema de equações nas variáveis x,y e z possui a seguinte matriz
ampliada:
Troque colunas e escalone a matriz acima com apenas uma operação elementar.
Assinale os valores de x,y e z abaixo que resolvem o sistema. Faça a combinação
linear das colunas da matriz ampliada e cheque que sua resposta está correta:
A) 3, 1 e 1
B) 3, 2 e -1
C) 1, 3 e 2
D) -1, 2 e 3
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14) Em cada sistema abaixo, a última equação é uma combinação das anteriores.
Encontre os coeficientes dessas combinações:
A) B) C)
1
Terceira Lista de Exercícios
Exercícios sobre Espaços Vetoriais e Conjuntos
Geradores
1) Assinale abaixo os conjuntos que são subespaços vetoriais de :
A) O Conjunto Solução de Ax=0
B) O Núcleo de uma matriz A
C) A Imagem de uma matriz A
D) O Conjunto Solução de Ax=b
2) Considere as afirmativas abaixo sobre o conjunto de triplas
ordenadas C = {(a,b,1)| a e b são reais} juntamente com as operações:
(a,b,1) + (c,d,1) = (a+b,c+d,1) e k(a,b,1) = (ka,kb,1).
 I ) Não existe elemento neutro para a soma acima definida
 I I ) Não vale a propriedade distributiva para as operações acima
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
3) Considere as afirmativas abaixo sobre o conjunto C = {(x,y)|x+y=0},
juntamente com as operações tradicionais de soma e multiplicação por
escalar:
 I ) <C,+,.> é um espaço vetorial
 I I ) <C,+,.> é um subespaço vetorial de R2
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
2
 D) I I é verdadeira e I é falsa
4) Seja S o espaço gerado pelos vetores (1,2) e (2,4), então:
A) S = <(1,2),(4,2)>
B) S = <(1,0),(2,0)>
C) S = <(2,1)>
D) S = <(2,4)>
5) Seja S o espaço gerado pelos vetores (1,2,3) e (4,5,6), então:
A) S = <(1,2,3),(4,-3,-6)>
B) S = <(1,2,3),(0, 1, 2)>
C) S = <(1,2,3),(0, 3,-6)>
D) S = <(1,2,3),(0,-1, 2)>
6) Assinale o conjunto-solução do sistema linear abaixo:
A)S = <(1,2)> 
B)S = <(2,4)> 
C)S = <(2,1)> 
D)S = <(1,-2)>
7) Assinale o conjunto-solução do sistema linear abaixo:
A)S = <(2,1,0)> 
B)S = <(2,0,-1)> 
C)S = <(1,2,0)> 
D)S = <(1,0,-2)>
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Exercícios sobre Independencia Linear
Um vetor é linearmente independente de outro se não for um
múltiplo dele.
Um vetor é linearmente independente de outros dois se não for
combinação linear deles.
De forma geral, um vetor é linearmente independente de um
conjunto de outros vetores se não puder ser gerado por eles através de
uma combinação linear.
Um vetor nunca é linearmente independente, ou linearmente
dependente, por si só.
8) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes do
vetor [1,2]:
A) [0,0] B)[2,4] C)[-1,-2] D)[1,1] E) [2,1] F)[111,222] G)[111,111]
9) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes dos
vetores [1,1] e [2,2]:
A) [3,3] B)[1,1] C)[0,0] D)[1,2] E) [111,111] F)[111,111.01]
10) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes dos
vetores [1,2] e [2,1]:
A) [3,3] B)[1,2] C)[0,0] D)[2,1] E) [6,6] F)[111,113]
11) Considere as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
 I - Qualquer vetor não nulo é linearmente independente do vetor
nulo.
 I I - O vetor nulo é linearmente dependente de qualquer vetor.
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
4
12) Considere as afirmativas abaixo sobre vetores u, v, não nulos:
 I - Se u é linearmente dependente de v, então v é linearmente
dependente de u.
 I I - Se u é linearmente independente de v, então u+v nunca se anula.
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
13) Considere as afirmativas abaixo sobre vetores u, v e w quaisquer e
assinale a alternativa correta:
 I - Se w é gerado por u e v, então v é gerado por u e w.
 I I - Se w é gerado por u e v, então o vetor nulo pode ser gerado por
u,v e w de forma não trivial.
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
Intuitivamente, um conjunto de vetores é dito
Linearmente Independente, ou L.I ., se todos os seus vetores são
linearmente independentes dos demais. É convencional dizer que os
vetores são linearmente independentes, mas essa definição é
furada para o caso C={vetor nulo}.
Melhor é definir que é Linearmente Dependente se
existir alguma combinação não-trivial anuladora entre os seus vetores.
Caso não exista nenhuma, o conjunto é dito LI.
5
14) Considere as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
 I ) O vetor nulo é LD
II) O conjunto {(1,0,0),(0,0,0)} é LD
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
15) Considere as afirmativas abaixo sobre a matriz A que satisfaz
e assinale a alternativa correta:
 I ) As duas colunas de A são diferentes de (0,0)
II ) As colunas de A formam um conjunto LI
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambassão falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
16) Assinale abaixo os conjuntos de vetores que são linearmente
independentes, onde a e b são números reais quaisquer:
A){[1,0],[0,1],[10,20]} B){[1,1],[1,-1]} C){[1,1],[1,-1],[2,2]}
D){[1,2],[2,4],[3,6]} E){[1,2],[2,-4],[a,b]} F){[1,1],[1,-1],[a,b]}
17) Assinale abaixo os conjuntos de vetores que são linearmente
independentes:
A) {[1,2,3],[2,4,6],[1,1,1]} B) {[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]}
C) {[-1,1,1],[1,-1,1],[1,1,-1]} D) {[1,2,1],[1,-1,2],[2,-1,-1]}
E) {[1,0,1,-2],[2,1,-2,-1],[3,-1,0,-2],[2,-2,1,-1]}
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Exercícios sobre Base e Dimensão
18) Qual dos vetores abaixo,juntamente com os vetores (2,1,1) e (1,2,1),
não forma uma base para o ?
A)(1,1,2) B)(1,0,-1) C)(0,2,2) D(2,-2,0) 
19) Encontre uma base para o espaço gerado pelo conjunto {(1,2,2,1),
(1,0,2,0),(0,2,0,1)}
20) Encontre uma base para o núcleo e a imagem das matrizes abaixo:
A) B) C)
21) O sistema linear Ax=b possui a solução geral (3+t,1+t,2+t). Quais as
dimensões do Núcleo e da Imagem de A, respectivamente:
A)1 e 3 B)2 e 3 C)1 e 2 D)2 e 1
22) Seja A uma matriz qualquer e R a sua forma escalonada.
Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo:
 I ) A dimensão da imagem de A é igual à dimensão da imagem de R
 I I ) A imagem de A é igual à imagem de R
Resolva os exercícios abaixo lembrando que um sistema linear Ax=b
possui solução se, e somente se, b for uma combinação linear das colunas
de A. 
23) Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema linear de
equações S , cuja forma matricial é Ax=b:
 I - Se S tem solução, então b é linearmente dependente das colunas
de A
 I I - Se S não tem solução, então toda coluna de A é linearmente
7
 I I - Se S não tem solução, então toda coluna de A é linearmente
independente de b
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
24) Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema linear de
equações S , cuja forma matricial é Ax=b:
 I - Se S não tem solução, então todas as colunas de sua matriz
aumentada são linearmente independentes
 I I - Se S não tem solução, então todas as colunas de A são
linearmente independentes
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
25) Considere as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
 I ) Se Ax=0 para algum x não-nulo, então as colunas de A são LD.
II) Se Ax nunca se anula, qualquer que seja x não-nulo, então as
colunas de A podem ser LI ou LD.
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
26) Considere as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
 I )O sistema linear possui solução qualquer que seja o
8
 I )O sistema linear possui solução qualquer que seja o
vetor 
I I )O sistema linear possui infinitas soluções
qualquer que seja o vetor 
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
27) Seja A uma matriz 4x3 tal que o sistema linear Ax=0 possui uma
solução não-nula. Assinale a alternativa verdadeira
A)O sistema Ax=b possui solução qualquer que seja o vetor 
B)O sistema Ax=b possui mais de uma solução qualquer que seja o
vetor 
C)O sistema Ax=b não possui solução única qualquer que seja o vetor
D)O sistema Ax=b não possui solução qualquer que seja o vetor b
não-nulo
Questões Extra
1) Considere as afirmativas abaixo sobre o conjunto 
C = {(x,y)|x+y=1}, juntamente com as operações:
(a,b) + (c,d) = (a+b-1,c+d) e k(a,b) = (ka-k+1,kb)
 I ) <C,+,.> é um espaço vetorial
 I I ) <C,+,.> é um subespaço vetorial de R2
 A) Ambas são verdadeiras
9
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
2) Sejam . A imagem inversa de um vetor
 é o conjunto .Classifique em Verdadeira ou Falsa as
afirmações abaixo:
 I ) A imagem inversa de é um espaço vetorial.
 I I ) Se a dimensão do núcleo de A é 2, então a imagem inversa de é
sempre um plano.
3) Considere as afirmativas abaixo sobre o conjunto de triplas
ordenadas C = {(a,b,1)| a e b são reais} juntamente com as operações:
(a,b,1) + (c,d,1) = (a+b,c+d,1) e k(a,b,1) = (ka,kb,1).
 I ) O conjunto {(1,2,1), (2,4,1)} é LI
 I I ) O conjunto {(0,0,1),(1,1,1)} é LD
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
Lista de Exercícios - Parte IV
Bruno Costa
1
1. Seja A uma matriz 4× 4 tal que Det(A) = 2 e B = 2A. Assinale o valor
de Det(B):
(a) 4
(b) 8
(c) 16
(d) 32
2. Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmativas abaixo:
(a) É possível calcular o determinante de qualquer matriz A mxn
(b) Se Det(A) = 0, então A é a matriz nula
(c) Seja B a matriz obtida multiplicando uma coluna de A por um
número k, então B = kA
(d) Det(A) = −Det(AT )
(e) Det(AB) = Det(A) +Det(B)
(f) Det(A−1) = −Det(AT )
3. Seja A uma matriz quadrada. Classifique em Verdadeira ou Falsa:
I) Se o sistema Ax = b é indeterminado, então Det(A) = 0
II) Se Det(A) = 0, então o sistema Ax = b pode não ter solução
4. Considere a matriz abaixo e assinale a alternativa VERDADEIRA.
1 −1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 −13 13 13
0 0 11 −11 −11
0 0 13 13 −13

(a) A não é diagonalizável e possui um autovalor nulo
(b) A é diagonalizável e não possui um autovalor nulo
(c) A é diagonalizável e possui um autovalor nulo
(d) A não é diagonalizável e não possui autovalor nulo
2
5. SejaA uma matriz n×n. Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmativas
abaixo:
(a) Se Det(A) 6= 0 então A não tem zeros na diagonal principal
(b) Se Det(A) = 0 então A tem duas linhas iguais
(c) Se A não tem duas linhas iguais, então Det(A) 6= 0
(d) Se A2 = A então Det(A) = 0 ou Det(A) = 1
6. Tente "visualizar" o paralelepípedo em Dimensão 5 representado pela ma-
triz abaixo. Permute convenientemente as linhas e colunas da matriz e
verifique que a tarefa fica bem mais fácil. Assinale o volume do par-
alelepípedo: 
3 13 0 0 1
4 14 0 0 2
0 11 5 6 0
0 10 7 8 0
0 9 0 0 0

(a) 36
(b) -36
(c) 42
(d) -42
7. Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmativas abaixo:
(a) Se A e B são injetivas, então A+B é injetiva
(b) Se A e B são sobrejetivas, então A+B é sobrejetiva
(c) Se A é injetiva, então é sobrejetiva
(d) Se A é sobrejetiva, então é injetiva
8. Seja A uma matriz de reflexão por um plano de R4. Assinale o valor de
Det(A):
(a) 1
(b) −1
(c) 0
(d) 2
3
9. Seja A uma matriz quadrada. Classifique em Verdadeira ou Falsa as afir-
mativas abaixo:
(a) Se A é uma matriz de rotação, então Det(A)=1
(b) Se A é uma matriz de projeção, então Det(A)=0
(c) Se A é uma matriz de reflexão, então Det(A)=-1
(d) Se A é uma matriz de cisalhamento, então Det(A)=0
10. A imagem do círculo unitário pela transformação T (x, y) = (2x−2y, 3x+
2y) é uma elipse. Calcule a área dessa elipse.
11. Considere a transformação linear T : R2 → R2, tal que existe um vetor ~v,
não-nulo, onde T~v = ~v. Se o determinante da matriz de T for igual a 0,
então:
(a) T é uma projeção na reta definida por ~v
(b) T é uma reflexão pela reta definida por ~v
(c) T é uma rotação
(d) T é uma expansão
12. A matriz 2 × 2 que tem autovetores (3, 2) e (5, 7) associados, respectiva-
mente, aos autovalores pi e
√
2 é:
(a)
[
3 5
2 7
] [
pi 0
0
√
2
] [
3 5
2 7
]−1
(b)
[
3 5
2 7
]−1 [
pi 0
0
√
2
] [
3 5
2 7
]
(c)
[
3 5
2 7
] [ √
2 0
0 pi
] [
3 5
2 7
]−1
(d)
[
3 2
5 7
]−1 [
pi 0
0
√
2
] [
3 2
5 7
]
4
13.A é uma matriz que projeta ortogonalmente cada vetor de R3 sobre o
plano 2x− y − z = 0. A segunda coluna de A é:
(a) [ 13 ,
5
6 ,− 16 ]T
(b) [4, 10,−2]T
(c) [− 112 ,− 16 , 0]T
(d) [ 13 ,− 16 , 56 ]T
14. Seja R a matriz de reflexão em R3 pelo plano x+ y+ z = 0 e ~v = (0, 4, 5).
Calcule R~v:
(a) (−6,−2,−1)
(b) (−3, 1, 2)
(c) (−3,−2,−1)
(d) (−6, 2, 1)
15. Seja A uma matriz 3 × 3, cujo polinômio característico é p(λ) = −(λ +
1)(λ− 1)2. Então:
(a) A pode ser uma reflexão por um plano;
(b) A pode ser uma rotação em torno de uma reta;
(c) A pode ser uma projeção em uma reta;
(d) A pode ser uma projeção em um plano;
16. O polinômio característico de A =
 2 −5 32 −9 6
3 −15 10

é pA(λ) = −(λ−1)3.
Verifique as afirmativas abaixo:
I. A é diagonalizável
II. Os autovetores de A formam um espaço de dimensão 3
17. Seja A uma matriz 3 × 3 tal que T (x) = Ax é uma rotação em torno de
uma reta passando pela origem. Qual dos seguintes polinômios pode ser
o polinômio característico de A?
(a) p(λ) = −λ3 + λ2 − λ+ 1
(b) p(λ) = −λ3 + λ2 − λ
(c) p(λ) = −(λ− 1) (λ−√2/2) (λ+√2/2)
(d) p(λ) = −λ3 + λ2 + λ− 1
5
18. Seja A =
1 2 b3 a 9
2 4 6

. A possui um autoespaço de Dimensão igual a 2
associado ao autovalor zero , qual o valor de a+ b?
(a) a+ b = 9
(b) a+ b = 6
(c) a+ b = 2
(d) a+ b = 4
19. Assinale a transformação linear, T : R2 → R2, resultante da reflexão
ortogonal através da reta y = 2x seguida da reflexão ortogonal através da
reta y = −3x:
(a) T (x, y) = (−y, x)
(b) T (x, y) = (y,−x)
(c) T (x, y) = (− 4x5 − 3y5 ,− 3x5 + 4y5 )
(d) T (x, y) = (− 3x5 + 4y5 , 4x5 + 3y5 )
20. A matriz A =
5 0 10 2 0
1 0 5

possui os autovalores 2, 4, 6. Os autovetores de
A associados ao seu maior autovalor são da forma:
(a) t(2, 0, 2), t 6= 0.
(b) t(1, 0,−1), t 6= 0.
(c) t(0, 2, 0), t 6= 0.
(d) t(0, 1, 0), t 6= 0.
21. Sejam A ∈ Mn×n uma matriz quadrada e ~v ∈ Rn um autovetor de A
associado ao autovalor λ = 3. Verifique as afirmativas abaixo:
(I) O vetor v é um autovetor de 2A associado ao autovalor 6.
(II) O vetor 2v é um autovetor de A associado ao autovalor 6.
22. Seja A uma matriz quadrada. Verifique as afirmativas abaixo:
(I) Se a soma dos elementos de cada linha de A é igual a uma constante
k, então k é um autovalor de A
(II) Se a soma dos elementos de cada coluna de A é igual a uma constante
k, então k é um autovalor de A
6
23. Sejam A e B matrizes 2× 2. Verifique as seguintes afirmativas:
I. Se A não tem autovetores, então AB não tem autovetores
II. Mesmo que A tenha apenas uma direção de autovetores, AB pode ter
duas direções distintas de autovetores
24. Seja A =

1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
. Pode-se afirmar que:
(a) Existem 3 autovetores linearmente independentes associados ao au-
tovalor λ = 0 e λ = 4 também é um autovalor
(b) Os autovalores de A são λ = 0, λ = 1 e λ = 4
(c) Existem 3 autovetores linearmente independentes associados ao au-
tovalor λ = 0 e λ = 1 também é um autovalor
(d) Existem 3 autovetores linearmente independentes associados ao au-
tovalor λ = 1 e λ = 4 também é um autovalor
25. Seja ~v um vetor que é autovetor de duas matrizes A e B. Verifique as
afirmativas abaixo:
I. ~v é autovetor da matriz AB.
II. ~v é autovetor da matriz A+B.
26. Verifique as afirmativas abaixo sobre a matriz A =

1 4 7 0 0
0 0 0 7 5
2 5 8 0 −3
0 0 0 5 7
3 6 9 −6 0

(I) 0 é um autovalor de A
(II) 12 é um autovalor de A
27. Para cada condição abaixo, encontre uma matriz A, 2 × 2, sem nenhum
elemento nulo, tal que:
(a) A tenha autovalores iguais
(b) A tenha apenas um autoespaço de Dimensão 1
(c) A não possua autovetores e o Determinante de A seja diferente de 1
(d) limk→∞Ak~v = ~0,∀~v
7
28. Os autovalores da matriz A =
[
5
4
1
4
3
4
7
4
]
são 1 e 2. Seja S = {~v1, ~v2, ...}
uma sequência de vetores, onde ~vk é a primeira coluna da matriz A
k
.
A inclinação dos vetores da sequência S tende à inclinação de uma reta.
Qual?
(a) t(1, 3)
(b) t(1,−1)
(c) t(1, 4)
(d) t(1,−2)
29. Considere a matriz
A =
[
1 2
2 1
]
,
e verifique as afirmações abaixo:
(I) Existe um vetor v não nulo tal que limk→∞Akv = 0.
(II) Existe um vetor v não nulo tal que limk→∞A2kv existe.
30. Seja A uma matriz 2 × 2 e ~v um vetor não-nulo qualquer. Verifique as
afirmativas abaixo:
I - Se o traço de A é menor que zero, então limk→∞Ak~v sempre
existe
II - Se o determinante de A é maior que zero, então limk→∞Ak~v
sempre existe
31. Uma matriz de Markov é aquela em que todos os elementos são não-
negativos e a soma dos elementos de qualquer coluna é igual a 1. Seja A
uma matriz de Markov 2× 2, assinale as respostas corretas:
(a) 1 é sempre autovalor de A
(b) O vetor (1, 1) é sempre autovetor de A
(c) O vetor (1,−1) é sempre autovetor de A
(d) Det(A) é sempre maior que 1
(e) Traço(A) é sempre maior que 1
(f) Se a soma dos elementos do vetor v é igual a 1, então o mesmo ocorre
para Av
8
32. João viverá exatamente 70 anos e durante toda a sua vida ou ele estará
alegre, ou estará triste. Se estiver alegre num dia, então há três chances
em cinco dele estar alegre no dia seguinte. Porém, se ele estiver triste,
poderá igualmente estar triste ou alegre no dia seguinte. Qual a proba-
bilidade aproximada de João estar alegre no dia em que ele partir desta
para melhor?
(a)
5
9
(b)
4
7
(c)
3
5
(d)
7
11
33. Suponha que na cidade do Rio de Janeiro apenas chove, ou faz sol. Suponha
também que se faz sol em um dia, há 80% de chances de fazer sol no dia
seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade
de 30%. Qual é a probabilidade aproximada do dia 2 de outubro de 2015
ser ensolarado?
(a)
7
9
(b)
8
9
(c)
2
3
(d)
5
9
9
Lista de Exercícios - Parte V
Bruno Costa
1
1. Qual dos vetores abaixo é ortogonal ao vetor (1, 2, 2, 1) e pertence ao plano
gerado pelos vetores (1, 2, 2, 1) e (1, 1, 1, 1)?
(a) (5,−1,−1,−1)
(b) (2,−1,−1, 2)
(c) (−1, 1,−1, 1)
(d) (−2, 2, 1, 0)
2. Assinale abaixo a área do paralelogramo definido por dois vetores ~u e ~v
em Rn:
(a)
√‖~u‖‖~v‖〈~u|~v〉
(b)
√‖~u‖‖~v‖〈~u|~v〉+ 〈~u|~v〉2
(c)
√‖~u‖2‖~v‖2− < ~u|~v >2
(d)
√‖~u‖‖~v‖〈~u|~v〉 − 〈~u|~v〉2
3. Qual vetor abaixo pode ser a diagonal de um cubo de arestas de compri-
mento unitário em R3?
(a) (
√
2
2 ,
√
2
2 ,−
√
2)
(b) (
√
2
2 ,
√
2
2 ,
√
2
2 )
(c) (
√
2
2 ,−
√
2,−√2)
(d) (−√2,
√
2
2 ,−
√
2)
4. Sejam ~u e ~v vetores de R4 tal que ~u− ~v = (a, b, c, d) e ~u+ ~v = (d, c, b, a).
Classifique em Verdadeira ou Falsa:
I) ~u e ~v são ortogonais
II) ||~u|| = ||~v||
5. Seja V = {~v1, . . . , ~vk} um conjunto de vetores unitários. Defina os números
Dij = ||~vi − ~vj || e Cij = ~vi · ~vj . Classifique em Verdadeira ou Falsa:
I)Se D12 é o maior elemento de D, então C12 é o maior número de C
II) Se C13 é o maior elemento de C, então D13 é o maior número de D
2
6. Sejam ~u e ~v vetores LI, ~w = ||~u − ~v|| e ~p ortogonal a ~u e a ~v. Qual dos
vetores abaixo faz angulos iguais com ~u e ~v?
(a) ~u+ ~w2 + ~p
(b) ~u+ ~w + ~p
(c)
~u
2 + ~w + ~p
(d) ~u+ ~w2 + ~v
7. Seja S = {~u,~v, ~w} um conjunto ortonormal de vetores não-nulos: Clas-
sifique em Verdadeira ou Falsa:
I) ‖~u+ ~v‖ = ‖~v + ~w‖
II) ‖~u− ~v‖ = ‖~v − ~w‖
8. SejaW o conjunto gerado pelas linhas de
1 1 −2 1
1 −1 −1 −1
3 9 −9 9
−3 3 3 3

Qual a dimensão do complemento ortogonal deW?
(a) 2
(b) 1
(c) 3
(d) 0
9. Seja S o conjunto de vetores da reta ax + by = c, com (a, b) 6= (0, 0) e
c 6= 0: Classifique em Verdadeira ou Falsa:
I) S é o complemento ortogonal do conjunto gerado pelo vetor (a, b)
II) Os vetores de S são paralelos ao vetor (a, b)
10. Considere a matrizA =
1 42 5
3 6

e classifique as afirmativas abaixo em V
ou F:
I) O complemento ortogonal de N(A) é uma reta em R3
II) O complemento ortogonal de Im(AT ) é uma reta em R2
3
11. Considere a matriz A =
1 4 72 5 8
3 6 9

e classifique as afirmativas abaixo em
V ou F:
I) O complemento ortogonal de N(A) é um plano em R3
II) O complemento ortogonal de Im(AT ) é uma reta em R2
12. Seja A uma matriz m× n. Assinale a alternativa correta:
(a) Rn = N(A)⊥ +N(AT )⊥
(b) Rn = N(A) + Im(AT )⊥
(c) Rm = Im(A)⊥ +N(AT )⊥
(d) Rm = N(AT ) + Im(AT )⊥
13. Assinale abaixo o vetor que possui a menor norma:
(a) (1, 1, 0, 1)
(b) (−1,−1,−1,−1)
(c) (0, 0, 2, 0)
(d) (1, 0, 0,−2)
14. O ângulo θ formado pelos vetores (1, 2, 12 , 0) e (2,−1,
√
2, 1) satisfaz:
(a) 0 < θ < pi4
(b)
pi
2 < θ <
3pi
4
(c)
pi
4 < θ <
pi
2
(d)
3pi
4 < θ < pi
15. Seja A uma matriz quadrada, ~v, um vetor não-nulo tal que A~v = ~0 e
w = AT~v. Qual dos vetores abaixo não pertence à imagem de AT , a
matriz transposta de A?
(a)
~0
(b) ~v
(c) A~v
(d) A~w
4
16. Qual ponto abaixo está mais distante do plano x+ 2y + z = 0?
(a) (2, 4, 2)
(b) (3,−3, 3)
(c) (0, 4,−8)
(d) (−1,−2,−1)
17. Qual ponto abaixo está mais distante do plano
{
x+ y = 0
z + w = 0
(a) (3,−3, 3,−3)
(b) (3, 3, 3, 3)
(c) (−3, 3, 3,−3)
(d) (2, 2, 3, 3)
18. Considere o produto interno usual de R4. Calcule a projeção ortogonal do
vetor (2, 2, 2, 2) na reta gerada pelo vetor (−2, 1, 2, 1):
(a) (− 65 , 35 , 65 , 35 )
(b) (− 45 , 25 , 45 , 25 )
(c) (− 85 , 45 , 85 , 45 )
(d) (− 25 , 15 , 25 , 15 )
19. Seja W um conjunto gerado não trivial de Rn. Sejam PW e RW respecti-
vamente a projeção e a reflexão ortogonais com respeito a W . Classifique
em Verdadeira ou Falsa:
I) RW (~u) = 2PW (~u)− ~u.
II) ~u+RW (~u) é ortogonal a W
20. Seja V um conjunto finito de vetores em R3 e α o plano ax+ by+ cz = 0.
Classifique em Verdadeira ou Falsa:
I) O vetor de V mais próximo do plano α é o de menor projeção na direção
do vetor (a, b, c)
II) A reflexão de um vetor pelo plano α é igual a menos a projeção desse
vetor na reta gerada por (a, b, c)
5
21. Seja ~v = (v1, v2, v3) o vetor do plano z = 2x − 2y que é o mais próximo
do vetor (3, 1,−5). Então a soma v1 + v2 + v3 é igual a:
(a) 1
(b) 0
(c) 3
(d) 4
22. Calcule a projeção ortogonal do vetor (3, 2, 3) no plano gerado pelos ve-
tores (2, 1,−2) e (1, 1,−1):
(a) (0, 2, 0)
(b) (−1, 4, 1)
(c) (0, 3, 1)
(d) (0, 1,−1)
23. Calcule a área do triângulo definido pelos vértices (0, 0, 0),(1, 1, 0) e (1, 1, 1):
(a)
√
3
3
(b)
√
2
3
(c)
√
2
2
(d)
√
6
2
24. Sejam ~w e ~v vetores do R2 e θ o ângulo entre eles. Classifique em Ver-
dadeira ou Falsa:
I) Se ||~w|| cos(θ) = ||~v||, então ~w − ~v é ortogonal ao vetor ~v
II) Se os componentes de ~v são todos menores que 1, em módulo, então
||~v|| < 1
25. Considere os vetores ~u = (1, 0, 3) e ~v = (2, 0, 3). Assinale abaixo o vetor
que está na direção de ~v e possui o mesmo tamanho de ~u:
(a) ( 2
√
10√
13
, 0, 3
√
10√
13
)
(b) ( 2√
13
, 0, 3√
13
)
(c) (2
√
10, 0, 3
√
10)
(d) ( 22√
13
, 0, 33√
13
)
6
26. A equação que modela um determinado fenômeno físico é dada pela função
f(x) = ax3 + b. Alguns experimentos foram realizados com os seguintes
resultados:
x y
-2 -4
0 2
2 12
Os valores de a, b de forma a obter a melhor aproximação no sentido dos
mínimos quadrados são:
(a) a = 8 e b = 3
(b) a = 1 e b = 103
(c) a = 4 e b = 73
(d) a = 2 e b = 7
27. Assinale o polinômio ax2+ bx+ c que melhor aproxima os pontos (−1, 1),
(0, 0), (1, 1) e (2, 0) no sentido dos mínimos quadrados:
(a) −x5 + 35
(b) x2
(c) −x2 + x+ 1
(d)
2x
5 +
1
5
28. Seja ~w = A~z1 − A~z2, tal que ~w ∈ N(AT ). Classifique em Verdadeira ou
Falsa:
I) A~z1 = A~z2
II) ~z1 = ~z2
29. Classifique em Verdadeira ou Falsa:
I) Se H e K são dois subespaços tais que
〈~h|~k〉 = 0 ∀~h ∈ H, ∀~k ∈ K, então H⊥ ⊂ K.
II) O sistema linear A~x = P
Im(A)(~b) sempre tem solução única
7