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Universidade Federal de Vic¸osa - UFV Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE Departamento de Matema´tica - DMA MAT 146 - CA´LCULO I Professores: Ab´ılio, Anderson Tiago, Ariane (coordenadora), Ayrton, Gemma, Laerte, Ma´ısa. 4a Lista de Exerc´ıcios: Integrais Indefinidas e Integrais Definidas 1 1) Resolva as seguintes integrais: a) ∫ x dx b) ∫ 23 dx c) ∫ x2 + pi dx d) ∫ αx+ β dx, α, β ∈ R e) ∫ 3x+ 7 dx f) ∫ e x dx g) ∫ 1 x dx 2) a) Sabendo que ∫ f(x) dx = 7x8 + C quanto vale f(x)? b) Sabendo que ∫ f(z) dz = cos(z) + C quanto vale f(z)? 3) Resolva as integrais a seguir: a) ∫ x2 dx b) ∫ √ x dx c) ∫ 3x+ 5 dx d) ∫ 2 3 √ x dx e) ∫ 7x3 √ x dx f) ∫ (3senx− 2cosx) dx g) ∫ sec2 x dx h) ∫ ( 4cossecx cotgx+ 3cossec2x ) dx i) ∫ √ x3 dx j) ∫ 3 √ 3x9 dx k) ∫ (x+ 1)2x3 dx l) ∫ (x+ 2) √ x dx m) ∫ 1 x3 dx n) ∫ x4 + 2x2 − 1√ x dx 1Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV. 1 MAT 146 - Ca´lculo I 2 4) Resolva as integrais: a) ∫ 2x (1− x)7 dx b) ∫ cos 4θ dθ c) ∫ sen x 3 dx d) ∫ 6x2senx3 dx e) ∫ x5senx6 dx f) ∫ sen 5x dx g) ∫ cosx(2 + senx)5 dx h) ∫ x2e x 3 dx i) ∫ 1 2x+ 3 dx j) ∫ 2senx 3 √ 1 + cos x dx k) ∫ cos2t sen t dt l) ∫ √ x− 9 dx m) ∫ 3 √ 3x− 4 dx 5) Fac¸a o que se pede: a) Resolva a integral indefinida ∫ (2x+ 1)2 dx usando o me´todo da substituic¸a˜o. b) Desenvolva o integrando do item anterior, (2x+ 1)2, e resolva a integral diretamente. c) Compare as respostas dos itens a) e b). O que voceˆ conclui? 6) Calcule a integral ∫ senxcosx dx da forma que se pede: a) usando a substituic¸a˜o u = senx. b) usando a substituic¸a˜o u = cosx. c) Explique a apareˆncia diferente das respostas obtidas nos itens a) e b). 7) Resolva as integrais: a) ∫ cos θ 1 + sen2θ dx b) ∫ sen √ x√ x dx c) ∫ ln2x x dx d) ∫ e 3sen tcos t dt e) ∫ x√ x2 + 1 dx f) ∫ e x √ 1 + e x dx 8) Resolva as Integrais: a) ∫ lnx dx b) ∫ x arctgx dx c) ∫ e xsenx dx d) ∫ xe 3x dx Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV. MAT 146 - Ca´lculo I 3 e) ∫ x5e x 2 dx f) ∫ x23x dx g) ∫ lnxx dx, use a propriedade lnxa = a lnx h) ∫ senx ln |cosx| dx i) ∫ arcsenx dx j) ∫ xcos 2x dx k) ∫ x sec2 x dx l) ∫ e xsenx dx 9) Resolva as Integrais: a) ∫ tgx dx b) ∫ cos2x dx c) ∫ sen4x dx d) ∫ cos3x dx e) ∫ sen32x dx f) ∫ sec3 x dx g) ∫ tg32θ dθ h) ∫ sen 2x cosx dx i) ∫ cotg 1 x x2 dx j) ∫ (sen pi 6 )x dx 10) Calcule as integrais: a) ∫ sen2x cosx dx b) ∫ sen2x cos2x dx c) ∫ cos2x tg3x dx d) ∫ cossecx cotgx dx e) ∫ sec2 x tgx dx f) ∫ cossec2x cotgx dx g) ∫ tg2x sec2 x dx h) ∫ sec3 x dx 11) Resolva as Integrais: a) ∫ dx 9x2 + 16 b) ∫ e x 7 + e 2x dx c) ∫ 3 x √ x2 − 9 dx d) ∫ x x4 + 16 dx e) ∫ dx√ 2− 5x2 f) ∫ x√ x2 − 3 dx g) ∫ dx x √ x2 + 2 h) ∫ 2x− 9√ x2 − 9x+ 1 dx i) ∫ 3x+ 2√ 1− x2 dx j) ∫ 2s√ 1− s4 ds Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV. MAT 146 - Ca´lculo I 4 k) ∫ 9 1 + 9u2 du 12) Resolva as Integrais: a) ∫ x− 9 (x+ 5)2(x− 1) dx b) ∫ 1 (x+ 3)2(x− 1) dx c) ∫ 30 (x− 1)(x+ 5) dx d) ∫ x+ 2 x2 − 1 dx e) ∫ 2x3 + x2 − 4x+ 1 x2 − x− 2 dx f) ∫ 5 2x3 − 4x2 dx g) ∫ 1 1− x2 dx h) ∫ x2 + 1 x3 − x dx 13) Analise cada afirmac¸a˜o e decida se e´ verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. a) ∫ dx 1− x2 = ln |1− x 2|+ C b) ∫ 1 x2 + 4 dx = arctg x 2 + C c) ∫ sen2x dx = sen3x 3 + C d) ∫ xe x dx = x2 2 e x + C e) ∫ x2 dx = x3 3 f) ∫ sen2x dx = sen2x+ C g) ∫ (cos29x+ sen29x)100 dx = x+ C h) ∫ x− 1 x3 − x2 + x− 1 dx = arctgx+ C i) ∫ f ′(x) f(x) dx = ln |f(x)|+ C 14) Sabendo-se que f ′′(x) = 6x+ senx, f ′(0) = 1 e f(0) = 2, determine f(x). 15) Encontre f(x) sabendo que f ′(x) = e x + 20 1 + x2 e f(0) = −2. 16) Sabendo-se que f ′′(x) = 12x2 + 6x− 4, f(0) = 4 e f(1) = 1, encontre f(x). Para resolver os problemas 17, 18 e 19, lembre-se que a derivada mede a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de uma func¸a˜o. 17) Dois carros participam de uma corrida em linha reta. A velocidade instantaˆnea, em metros por segundo, do carro 1 e´ dada pela func¸a˜o f(t) = 2t− 3 e a do carro 2 e´ dada pela func¸a˜o g(t) = 3t2 100 . Se o percurso e´ de 10 metros, qual dos carros vencera´ a corrida?! Considere que no instante t = 0 a velocidade dos dois carros e´ nula. (Lembre que a velocidade e´ definida como a variac¸a˜o da posic¸a˜o em relac¸a˜o a variac¸a˜o do tempo.) Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV. MAT 146 - Ca´lculo I 5 18) Uma empresa, cuja jornada de trabalho e´ de 6 horas dia´rias, resolveu, diariamente, premiar o seu funciona´rio mais produtivo. Sem pre´vio aviso, em algum instante do dia, a empresa verificara´ qual o funciona´rio e´ o mais produtivo naquele instante. As ma´quinas desta empresa dispo˜e de um dispositivo que mede a eficieˆncia instantaˆnea do Funciona´rio X, que e´ definida pela empresa como a Variac¸a˜o da produc¸a˜o do Funciona´rio X Variac¸a˜o do tempo , e atrave´s desta informac¸a˜o, dada pela ma´quina, a empresa decidira´ qual e´ o funciona´rio mais produtivo naquele instante. (a) Se, no dia de hoje, a eficieˆncia instantaˆnea do Funciona´rio A e Funciona´rio B sa˜o dadas, respectivamente, pelas func¸o˜es EA(t) = −2t + 6 e EB(t) = 2, t ∈ (0, 6], qual dos dois funciona´rios e´ o mais produtivo no instante t = 5. (Leve em considerac¸a˜o que a produc¸a˜o de ambos e´ nula no instante t = 0). (b) Em quais instantes do dia o “Funciona´rio A”e´ o mais produtivo?! 19) Uma part´ıcula move-se em linha reta com acelerac¸a˜o dada pela func¸a˜o a(t) = 2t−1 no instante t. Sabendo-se que em t = 1 s a velocidade da part´ıcula e´ 3 cm/s (v(1) = 3) e seu deslocamento e´ 4 cm (s(1) = 4), expresse o deslocamento (s(t)) e a velocidade (v(t)) como func¸o˜es de t. (Dica: Observe que acelerac¸a˜o e´ a taxa de variac¸a˜o da velocidade em relac¸a˜o a` variac¸a˜o do tempo, e a velocidade e´ a taxa de variac¸a˜o do deslocamento em relac¸a˜o a` variac¸a˜o do tempo). 20) Calcule as integrais definidas: a) ∫ 1 0 x dx b) ∫ 1 0 x2 dx c) ∫ 2 −2 x3 dx d) ∫ 0 −1 2x− 3 dx e) ∫ 4 3 29 dx f) ∫ 5 2 √ x dx g) ∫ 10 −5 2x 5 dx h) ∫ 2 0 3 √ x dx i) ∫ ln 4 0 e x dx j) ∫ 20 0 2 √ 2x+ 9 dx 21) Resolva as integrais definidas a seguir: a) ∫ e 2 1 lnx dx b) ∫ 3 0 √ 9− x2 dx c) ∫ 1 0 arctgx dx d) ∫ −2 −5 x3 7 √ x4 + 1 dx e) ∫ 8 0 7x3 √ x dx f) ∫ pi 2 0 (3senx− 2cosx) dx Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV. MAT 146 - Ca´lculo I 6 g) ∫ pi 3 0 sec2 x dx h) ∫ 3 2 2x (1− x)7 dx i) ∫ 1 0 3 √ 3x− 4 dx j) ∫ pi pi/2 cos2x dx k) ∫ pi/6 0 tg32θ dθ l) ∫ 4/3 0 dx 9x2 + 16 m) ∫ 1/2 0 3x+ 2√ 1− x2 dx n) ∫ 3 2 x+ 2 x2 − 1 dx 22) Em quais casos a integral representa a a´rea da regia˜o de integrac¸a˜o? Explique em cada caso o porqueˆ. a) ∫ 1 −1 x dx b) ∫ 1 −1 x2 dx c) ∫ 0 −pi 2 senx dx d) ∫ −1 −3 1 x dx e) ∫ 10 −5 x2 − x dx 23) Em cada ı´tem, calcule a a´rea da regia˜o delimitadapelo gra´fico da func¸a˜o no intervalo indicado. a) f(x) = ln x, em x ∈ [1, e ] b) f(x) = x3, com x ∈ [−1, 2] c) f(x) = cosx, com x ∈ [0, 2pi] d) f(x) = sen2x, em x ∈ [0, pi 2 ] e) f(x) = 1 x2 , com x ∈ [1, 3] f) f(x) = 2x 1 + x2 ,com x ∈ [−2, 2] g) y = 9− x2, com o eixo x, o eixo y e x=3 h) y = 16− x2, e o eixo x i) y = x2 − 7x, com o eixo y e x ∈ [2, 4] j) y = 2 lnx x , eixo x e com x ∈ [1, e ] 24) Em cada ı´tem, calcule a a´rea da regia˜o delimitada pelos gra´ficos das func¸o˜es. a) f(x) = x2 e y = x b) f(x) = x2 − x ; y = 0; x = −1 e x = 1 c) f(x) = cosx; x = 0; x = pi 2 e y = 0 d) y = 2x+ 1 ; y = −2x e y = 1 e) y = 2x+ 3; y = −x e y = x+ 1 f) y = cosx ; y = senx ; x = pi 4 e x = 5pi 4 g) f(x) = x3 − 2x e g(x) = x2 h) y = senx , y = cosx e x = 0 i) x+ y = 2, y = 2 e y = x2 Respostas 1) a) x2 2 + C; b) 23x+ C; c) x3 3 + pix+ C; d) αx2 2 + βx+ C; e) 3 2 x2 + 7x+ C; f) e x + C; g) ln |x|+ C. Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV. MAT 146 - Ca´lculo I 7 2) a) 56x7; b) −senz. 3) a) x3 3 + C; b) 2 3 x 3 2 + C; c) 3 2 x2 + 5x+ C; d) 3x 2 3 + C; e) 14 9 x 9 2 + C; f) −3cosx− 2senx+ C; g) tgx+ C; h) −4cossec x− 3cotg x+ C; i) 2 5 x 5 2 + C; j) 3 √ 3 x4 4 + C; k) x6 6 + 2 5 x5 + x4 4 + C; l) 2 5 x 5 2 + 4 3 x 3 2 + C; m) −x 2 2 + C; n) 2 9 x9/2 + 4 5 x5/2 − 2x1/2 + C. 4) a) −2 5(1− x)5 + 1 3(1− x)6 +C; b) 1 4 sen4θ+C; c) −3cosx 3 +C; d) −2cosx3 +C; e) −1 6 cosx6 +C; f) −1 5 cos5x+C; g) (2 + senx)6 6 +C; h) 1 3 e x 3 +C; i) 1 2 ln |2x+ 3|+C; j) −3 2 (1 + cosx) 4 3 +C; k) −cos 3t 3 + C; l) 2 3 (x− 9)3/2 + C ; m) 1 4 (3x− 4)4/3 + C. 5) a) (2x+ 2)3 6 +C = 4 3 x3 + 2x2 + x+ 1 6 +C; b) 4 3 x3 + 2x2 + x+C; c) As respostas dos itens a) e b) diferem por uma constante. 6) a) sen2x 2 +C; b) −cos 2x 2 +C; c) Usando a identidade sen2x+cos2x = 1, temos que os resultados dos itens a) e b) diferem apenas pela constante 1/2. 7) a)arctg (senx) + C; b)−2cos√x+ C; c) ln 3 x 3 + C; d) 1 3 e 3sent + C; e) (x2 + 1) 1 2 + C; f) 2 3 (1 + e x) 3 2 + C. 8) a) x lnx−x+C; b) x 2 2 arctgx− x 2 + arctgx 2 +C; c) e x(senx− cosx) 2 +C; d) e 3x( x 3 − 1 9 )+C; e) e x 2 ( x4 2 − x2 + 1 2 ) + C; f) 3x( x2 ln 3 − 2x ln2 3 + 2 ln3 3 ) + C; g) x2 2 lnx− x 2 4 + C; h) −cosx ln cosx+ cosx+ C; i) xarcsenx− (1− x2) 12 + C; j) x 2 sen2x+ 1 4 cos2x+ C; k) xtgx+ ln cosx+ C. 9) a) − ln cosx+ C; b) x 2 + sen 2x 4 + C; c) 3 4 x− sen2x+ 1 8 sen4x+ C; d) senx− sen 3x 3 + C; e) −cos2x 2 + cos32x 6 + C; f) secxtgx+ ln | sec x+ tgx| 2 + C; g) tg22x 4 + ln(cos 2x) 2 + C; h) −2cosx+ C; i) − ln(sen1 x ) + C; j) (senpi/6)x ln(senpi/6) + C. 10) a) sen3x 3 + C; b) x 8 − sen 4x 32 + C; c) cos2x 2 − ln |cosx| + C; d)−cossecx + C; e) tg 2x 2 + C; f) −cotg 2x 2 + C; g) tg3x 3 + C; h) 1 2 sec x tgx+ 1 2 ln | sec x+ tgx|+ C. 11) a) 1 12 arctan 3x 4 + C; b) 1√ 7 arctan e x√ 7 + C; c) arcsec( x 3 ) + C; d) 1 8 arctg ( x2 4 ) + C; e) 1√ 5 arcsen( √ 5√ 2 x)+C; f) √ x2 − 3+C; g) − 1√ 2 ln | √ x2 + 2 x + √ 2 x |+C; h) √x2 − 9x+ 1+C; Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV. MAT 146 - Ca´lculo I 8 i) −3√1− x2 + 2arcsenx+ C; j) arcsens2 + C; k) 3arctg 3u+ C. 12) a) 2 9 ln |x+ 5| − 7 3 (x+ 5)−1− 2 9 ln |x− 1|+C; b)− 1 16 ln |x+ 3|+ 1 4 (x+ 3)−1 + 1 16 ln |x− 1|+C; c)5 ln |x− 1| − 5 ln |x+ 5|+ C; d) 3 2 ln |x− 1| − 1 2 ln |x+ 1|+ C; e) x2 + 3x+ 3 13 ln |x− 2| − 4 3 ln |x+ 1|+ C; f) −5 8 ln |x|+ 5 4 x−1 + 5 8 ln |x− 2|+ C; g) 1 2 ln |x+ 1|+ 1 2 ln |1− x|+ C. 13) a) falso; b) falso; c) falso; d) falso; e) falso; f) verdadeiro; g) verdadeiro; h) verdadeiro; i) verdadeiro. 14) f(x) = x3 − senx+ 2x+ 2. 15) f(x) = e x + 20arctgx− 3. 16) f(x) = x4 + x3 − 2x2 − 3x+ 4. 17) O carro 1 vencerra´ a corrida. O Carro 1 gastara´ 5 s para percorrer 10 m e o Carro 2 gastara´ 10 s. 18) a) O funciona´rio B produz 10 unidades nesse tempo, enquanto que o funciona´rio A produz apenas 5 unidades. Logo, B e´ o mais produtivo. b) Ocorre no instante t = 3 s. 19) v(t) = t2 − t+ 3 e s(t) = t 3 3 − t 2 2 + 3t+ 7 6 . 20) a) 1 2 ; b) 1 3 ; c) 8; d) -4; e) 29 ; f) 2 3 (5 √ 5− 2√2); g) 15; h) 3 2 3 √ 2; i) 4; j) 632 3 . 21) a) e 2 + 1; b) 9pi 4 ; c) pi 4 − 1 2 ln(x2 + 1); d) 7 32 (17 8 7 − 626 87 ); e) 57344 9 √ 8; f) 1; g) √ 3; h) 2 5 (2−5 − 1) + 1 3 (2−6 − 1); i)1 4 (1− 4 3√4); j)pi 4 ; k) 1 2 + ln √ 2 2 ; l) pi 48 ; m) 2pi 3 − 3 √ 3 2 ; n) e 2 + 2 e . 22) a) Na˜o, pois a func¸a˜o na˜o e´ positiva em todo o intervalo de integrac¸a˜o; b) Sim, pois a func¸a˜o e´ positiva no intervalo de integrac¸a˜o; c) Na˜o, pois a func¸a˜o na˜o e´ positiva em todo o intervalo de integrac¸a˜o; d) Na˜o, pois a func¸a˜o na˜o e´ positiva em todo o intervalo de integrac¸a˜o; e) Na˜o, pois a func¸a˜o na˜o e´ positiva em todo o intervalo de integrac¸a˜o. 23) a) 1; b) 15 4 ; c) 2; d) 1; e) 2 3 ; f) 2 ln 5; g) 18; h) 256 3 ; i) 70 3 ; j) 1. 24) a) 1 6 ; b) 2 3 ; c) 1; d) 1 8 ; e)1; f) 2 √ 2; g) 37 12 ; h) 0; i) √ 2. Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
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