Física experimental Aula 03

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ – UFC 
CENTRO DE CIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
DISCIPLINA DE FÍSICA EXPERIMENTAL PARA ENGENHARIA 
SEMESTRE 2017.1 
 
 
PRÁTICA 03 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
ALUNA: SARAH OLIVEIRA LUCAS 
MATRÍCULA: 406204 
CURSO: ENGENHARIA CIVIL 
TURMA: 01A 
PROFESSOR: GABRIEL OLIVEIRA 
 
 
FORTALEZA 
2017 
1 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 2 
1. AULA PRÁTICA ....................................................................................................... 3 
1.1. Instruções para confecção de gráficos .................................................................. 3 
1.2.Objetivos ................................................................................................................ 3 
1.3.Material .................................................................................................................. 3 
1.4.Fundamentos .......................................................................................................... 4 
1.4.1. Conceitos importantes ............................................................................... 4 
1.4.2. Demonstração das fórmulas de período e aceleração do pêndulo simples 4 
1.5.Procedimento ......................................................................................................... 6 
1.6.Questionário .......................................................................................................... 9 
CONCLUSÃO ........................................................................................................................ 12 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
O presente relatório pertencente à disciplina de física experimental irá fazer uma 
ampla abordagem da terceira aula prática, a qual teve como objeto de estudo o pêndulo 
simples. Mas antes de explanar esse objeto, será feita uma breve explicação de como construir 
gráficos, pois para uma melhor representação de algumas características disponibilizadas pelo 
pêndulo é necessário ter esse conhecimento de gráfico. 
Além disso, esse relatório irá mostrar os principais objetivos da aula; quais os 
materiais utilizados; os conceitos necessários a serem conhecidos para se trabalhar com 
pêndulo e a demonstração de algumas equações; os experimentos que foram feitos durante a 
aula e um questionário realizado para melhor fixação do que foi ministrado. 
Uma interessante característica de nosso objeto de estudo é o fato de ele ter sido 
inicialmente objeto de estudo de Galileu Galilei, que certo dia estava assistindo a uma missa 
na Catedral de Pisa e começou a observar a forma como os candelabros pendurados na 
Catedral oscilavam e ficou surpreendido pelo fato desses candelabros com uma amplitude de 
oscilação maior parecerem levar o mesmo tempo a percorrer a uma determinada distância que 
candelabros com menor amplitude. Isso o deixou bastante intrigado, levando-o a pesquisar e a 
realizar inúmeras descobertas. Ao realizar experimentos com esse objeto, Galileu chegou a 
conclusão que período de oscilação de um pêndulo é independente da sua amplitude (para 
pequenas oscilações apenas) e que pêndulo voltar a altura inicial de onde foi largado, além de 
descobrir que pêndulos mais leves cessam a sua oscilação mais rapidamente que os que 
possuem pesos maiores e que o quadrado do período de oscilação é proporcional ao 
comprimento do pêndulo. 
Todas essas características do pêndulo serão explanadas nesse relatório, provaremos a 
veracidade dessas informações na demonstração das equações do período do pêndulo e de sua 
aceleração da gravidade. 
Para o enriquecimento desse relatório foram feitas pesquisas bibliográficas na internet, 
enriquecida com a análise do roteiro de aulas práticas de física do professor Nildo Loiola e 
também a recolha dos dados obtidos durante a aula prática. 
 
 
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1. Aula prática 
1.1. Instruções para confecção de gráficos 
Os gráficos são figuras que tem a finalidade de representar dados ou valores 
numéricos, de diferentes maneiras, assim facilitando a compreensão dos mesmos. O seu uso é 
bastante eficiente para a apresentação e análise de dados em ciência e tecnologia, mas para 
que seja bem feito são necessários os seguintes cuidados: 
 Não devem ser maiores do que metade de uma folha de papel; 
 Deve ser mais largo do que alto, para facilitar a visualização; 
 A variável independente deve está presente no eixo da abscissa (eixo x) e a 
variável dependente no eixo da ordenada (eixo y); 
 Os eixos devem ser identificados com a grandeza e sua respectiva unidade; 
 Nos eixos devem conter apenas escalas bem distribuídas por toda a área do 
gráfico, além de serem marcadas no eixo a intervalos iguais; 
 Os pontos devem ser marcados claramente no gráfico, não pode ser um ponto 
do tamanho do ponto final, mas deve ser um ponto de visualização imediata, 
sem que o observador o fique procurando; 
 Nunca se deve ligar os pontos, caso formem uma reta, basta traçar a mesma, 
caso contrário é necessário desenhar uma curva suave por entre os pontos; 
 É sempre interessante escrever uma legenda breve explicando de que trata o 
gráfico. 
 
1.2. Objetivos 
 Promover o conhecimento do que é um pêndulo simples e de como funciona; 
 Verificar as leis do pêndulo, como ocorre a oscilação; 
 Determinar a aceleração da gravidade local; 
 Estudar o efeito da massa e da amplitude sobre o período. 
 
1.3. Material 
Os materiais utilizados durante a aula foram: 
 Pedestal de suporte com transferidor; 
4 
 
 Massas aferidas m1= 50g e m2= 100g; 
 Cronômetro; 
 Fita métrica; 
 Fio de massa desprezível. 
 
1.4. Fundamentos 
O pêndulo simples consiste de um fio leve e inextensível de comprimento L, tendo na 
extremidade inferior, por exemplo, uma esfera de massa m; a extremidade superior é fixada 
em um ponto, tal que ele possa oscilar livremente (resistência do ar desprezível), com 
amplitudes pequenas. 
1.4.1. Conceitos importantes 
Antes de continuarmos o estudo sobre esse objeto é necessário lembrar alguns 
conceitos importantes quando se trabalha com pêndulo simples, são eles: 
 Período (T): é o intervalo de tempo gasto pelo pêndulo para realizar uma oscilação 
completa. 
 Elongação (θ): é o ângulo que, no instante considerado, o pêndulo forma com a 
vertical (posição de equilíbrio); 
 Amplitude: é a elongação máxima de um pêndulo; 
 Comprimento (L): é a distância do ponto de oscilação ao centro de massa do corpo 
preso ao fio. 
 
1.4.2. Demonstração das fórmulas de período e aceleração do pêndulo 
simples 
Quando o pêndulo é deslocado de sua posição de equilíbrio e solto, ele oscila sob a 
ação da força peso, apresentando um movimento periódico. As forças que atuam sobre a 
esfera de massa m são: a força peso P (m.g) e a força de tração T, como observado na imagem 
abaixo: 
 
 
5 
 
 
Figura 1.1 
 
 
 
 
 
 
 
Decompondo a força peso, obtemos mgcosθ e mgsenθ. Se mgcosθ se anula com a 
tração, então a única força responsável pelo movimento oscilatório é mgsenθ. Essa é a força 
restauradora que age sobre m, ela não é proporcional à alongação θ e sim a senθ. 
 (Eq. 1.1) 
 Para que esse movimento resultante seja MHS (movimento harmônico simples) é 
preciso que essa força restauradora seja proporcional ao deslocamento e dirigida no sentido 
oposto. 
 Para ângulospequenos, podemos definir sen θ = θ. Mas, isso só é válido quando 
θ<π/12 rad (θ<15°). 
 Observando a figura 1.1, podemos considerar: θ = x/L, substituindo na eq.1.1, 
obtemos: 
 
 
 
 (Eq. 1.2) 
 Assim, quando temos pequenas oscilações, F é proporcional e tem sentido oposto à 
elongação medida sobre o arco considerado retilíneo. 
Como m, g e L são constantes, podemos dizer que: 
 
 
 
 (Eq. 1.3) 
6 
 
Substituindo Eq. 1.3 em Eq. 1.2, obtém-se: 
 (Eq. 1.4) 
Se o período (T) do MHS é: 
 √
 
 
 (Eq. 1.5) 
Substituindo k na Eq. 1.3: 
 √
 
 
 (Eq. 1.6) 
Equação do período do pêndulo simples, para pequenas amplitudes. 
Elevando ao quadrado a Eq. 1.6, obtém-se: 
 
 
 
 (Eq. 1.7) 
 
A partir da Eq. 1.7, podemos obter uma equação que determine a aceleração da 
gravidade, bastando isolar g: 
Equação da aceleração da gravidade do pêndulo simples. 
g 
 
 
 (Eq. 1.8) 
 
1.5. Procedimento 
Para a melhor compreensão de como funciona o pêndulo simples, aplicamos nossos 
conhecimentos teóricos para a prática do uso do pêndulo. 
Inicialmente verificamos as massas dos dois corpos que nos foi disponibilizado: 
m1 = 50 g m2 = 100g 
 Com o auxílio de uma fita métrica fizemos o ajuste de 20 cm, 40 cm, 60 cm, 80 cm, 
100 cm, 120 cm e por fim 140 cm, do comprimento do pêndulo do ponto de suspensão até o 
7 
 
centro de gravidade do corpo. Deslocamos o corpo da posição de equilíbrio (deslocamento de 
15°) e com o auxílio de um cronômetro, determinamos o tempo necessário para o pêndulo 
executar 10 oscilações completas. Essa medição do tempo foi feita três vezes para cada L. 
Após isso, determinamos o tempo médio (T em segundos),o qual foi calculado somando os 
três tempos obtidos e dividindo por 30. 
Obs: O procedimento acima citado foi feito com cada um dos comprimentos citados 
inicialmente. 
A seguinte tabela contém todos os dados obtidos nesse primeiro experimento: 
L (cm) θ(graus) m (gramas) 10 T (s) T (s) T2 (s2) 
L1 = 20 θ 1 = 15 m1 = 50g 10T1= 9,0 10T1= 8,9 10T1= 9,1 T1 = 0,90 T1
2
= 0,81 
L2 = 40 θ 1 = 15 m1 = 50g 10T2= 12,3 10T2= 12,5 10T2= 12,3 T2= 1,24 T2
2
= 1,54 
L3 = 60 θ 1 = 15 m1 = 50g 10T3= 14,9 10T3= 15,1 10T3= 15,1 T3= 1,51 T3
2
= 2,28 
L4 = 80 θ 1 = 15 m1 = 50g 10T4= 17,6 10T4= 17,6 10T4 = 17,8 T4= 1,77 T4
2
= 3,13 
L5 = 100 θ 1 = 15 m1 = 50g 10T5= 19,8 10T5= 19,8 10T5 = 19,8 T5= 1,98 T5
2
= 3,92 
L6 = 120 θ 1 = 15 m1 = 50g 10T6= 21,6 10T6= 21,8 10T6 = 21,7 T6= 2,17 T6
2
= 4,71 
L7 = 140 θ 1 = 15 m1 = 50g 10T7= 23,6 10T7= 23,7 10T7 = 23,3 T7= 2,35 T7
2
= 5,52 
 
O segundo experimento utilizou apenas o comprimento de 130 cm, mas utilizou 
deslocamento angular de 10 ° e 15°. Nesse experimento foi analisada a influência da massa e 
da amplitude sobre o período. 
As seguintes tabelas mostram os resultados obtidos: 
L (cm) θ (graus) m (gramas) 10 T (s) T (s) 
L = 130 θ 1 = 15 m1 = 50g 10T8 = 22,6 10T8 = 22,7 10T8 = 22,6 T8 = 2,26 
L = 130 θ 2 = 10 m1 = 50g 10T9 = 22,5 10T9 = 22,7 10T9 = 22,7 T9 = 2,26 
Influência da amplitude 
L (cm) θ (graus) m (gramas) 10 T (s) T (s) 
L = 130 θ 1 = 10 m1 = 50g 10T9 = 22,5 10T9 = 22,7 10T9 = 22,7 T9 = 2,26 
L = 130 θ 2 = 10 m2 = 100g 10T10 = 22,4 10T10 = 22,5 10T10= 22,5 T10 = 2,25 
Influência da massa 
Gráficos com os valores da primeira tabela do primeiro experimento: 
8 
 
 
 
 
 
T (s) 
T
2
 (s
2
) 
L (cm) 
L (cm) 
9 
 
1.6. Questionário 
Após a realização de todos os experimentos, ficamos aptos a responder quaisquer 
questões referentes ao assunto, então nos foi solicitado as seguintes perguntas: 
1. Analisando os resultados experimentais é possível afirmar que os períodos 
independem das massas? 
Sim, pois a influencia da massa sobre o período do pêndulo é desprezível. Mas o 
comprimento do pêndulo e o valor da aceleração da gravidade são primordiais para a 
determinação do período. Tal afirmativa também pode ser justificada pela seguinte equação: 
 √
 
 
 
 
2. Comparando os resultados obtidos, o que se pode concluir sobre os períodos 
quando a amplitude passa de 10° para 15°? 
Como é apenas uma diferença de 5° na amplitude, percebe-se que o período quando a 
amplitude é 15° é maior do que quando é 10°, mesmo que a diferença seja pequena, mas o 
importante é a sua existência. Isso ocorre porque quanto maior a amplitude, maior será a 
distância percorrida pelo pêndulo, isto é, maior será a oscilação, acarretando num maior 
período. 
 
3. Qual a representação gráfica que se obtém quando representa T x L? 
Como analisado no gráfico do período em função do comprimento, pode-se observar a 
formação de uma curva. A equação desse gráfico é √
 
 
 , como possui raiz quadrada, 
então é possível identificar uma parábola. 
 
4. Qual a representação gráfica que se obtém quando representa T2 x L? 
Elevando a equação da questão anterior ao quadrado, obteremos T
2
 = (4π2L)/g, se T2 está 
em função de L, então quando representarmos isso em um gráfico, obteremos uma reta. 
10 
 
 
5. Determinar o valor da aceleração da gravidade “g” a partir do gráfico 2 x L. 
Para descobrir essa aceleração é necessário o uso da seguinte equação: g 
 
 
 
Escolhendo um dos comprimentos e seu respectivo período: 
L7 = 140 cm = 1,40 m T7
2
 = 5,52 s π = 3,1416 
g = (4 x 3,1416
2
 x 1,40) / 5,52 g = (4 x 9,8696 x 1,40)/ 5,52 g = 10,01 m/s
2
 
 
6. Qual o peso de uma pessoa de massa 65,00 kg no local onde foi realizada a 
experiência? 
 
m = 65,00 kg P = m.g 
g = 10, 01 m/s
2 
P = 65,00 x 10,01 P = 650,65 N 
 
 
7. Comparar o valor médio de T obtido experimentalmente para L = 140 cm com o 
seu valor calculado pela equação √
 
 
 . (usar g = 9,81 m/s
2
) 
L = 140 cm = 1,4 m T = 2,35 s 
Calculando T pela equação: 
T = 2 x 3,1416 x (1,40/9,81)
1/2 
T = 6,2832 x 0,378 T = 2,37 s 
 Comparando o período obtido no experimento, T = 2,35 s, e o período obtido pela 
equação, T = 2,37 s, observa-se que a margem de erro é bem pequena, uma vez que a 
diferença entre esses períodos deu apenas 0,02 s. 
 
11 
 
8. Quais as transformações de energia que ocorrem durante o período do pêndulo? 
Quando solto o pêndulo possui energia potencial gravitacional até atingir sua altura 
máxima, nesse instante essa energia potencial se transforma em energia cinética, sendo essa 
entendida como a energia do movimento. 
 
9. Chama-se “pêndulo que bate o segundo” aquele que passa por sua posição de 
equilíbrio, uma vez em cada segundo. Qual o período desse pêndulo? 
Se o pêndulo passa pela posição de equilíbrio a cada segundo, então o seu período ao 
completar uma volta será de 2s, pois para realizar a contagem do período de um pêndulo, é 
necessário que ele passe pela posição de equilíbrio duas vezes. 
 
10. De acordo com o valor de g encontrado experimentalmente nessa prática, qual 
seria o comprimento para um período de 5s? 
g = 10,01 m/s
2 √
 
 
 
T = 5s 5 = 2 x 3,1416 x (L/10,01)
1/2 
L = ? (5/6,2832)
2 
x 10,01 = L L = 6,34 m 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Conclusão 
 Através dessa aula prática obtivemos o conhecimento do que é o pêndulo simples e da 
sua importância para a história da ciência, uma vez que esse objeto ao ser estudado nos 
primórdios por Galileu foi adaptado a relógios. A descoberta de Galileu permitiu o florescer 
de novos relógios muito mais precisos, porque o período do pêndulo depende do seu 
comprimento, uma variável fácil de controlar,ao invés da sua amplitude, como se julgava e 
que é de difícil controle. 
 Também vimos através da demonstração da equação do período do pêndulo que esse 
período não sofre influência da massa do objeto que está acoplada nele, mas sim do 
comprimento do pêndulo e da aceleração da gravidade. 
Isso foi observado durante os experimentos realizados, em que pegamos um corpo 
com certa massa e medimos os períodos obtidos sob diferentes comprimentos. Vimos que à 
medida que o comprimento aumentava o período também aumentava. E ao construirmos um 
gráfico do período em função do tempo iremos obter uma curva, e não uma reta, como ocorre 
com o gráfico do período ao quadrado em função do tempo. A construção correta dos gráficos 
só nos foi possível porque nos foi ministrado os cuidados que devemos ter a realizar 
construção de gráficos. 
 Os experimentos realizados nos permitiu a efetiva compreensão do que é o pêndulo 
simples e como o mesmo funciona. E percebemos que durante a contagem do período foi 
preciso bastante atenção e agilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Referências bibliográficas 
Autor desconhecido. “Forças que atuam quando se trabalha com pêndulo simples”. 
Disponível em: www.cepa.if.usp.br. Acesso em: 12/05/2017 
Autor desconhecido. “Pêndulo simples”. Disponível em: www.sofisica.com.br. Acesso em: 
12/05/017 
DIAS, Nildo Loiola. “Roteiros de aulas práticas de física”. Fortaleza. UFC, 2017 
LEITE, Natacha Violante Gomes. “Galileo e o pêndulo”. Disponível em: 
historiadafisicauc.blogspot.com.br. Acesso em: 13/05/2017 
LIMA, Viana. “Energias que envolvem o pêndulo”. Disponível em: 
www.vanialima.blog.br. Acesso em: 13/05/2017 
Nussenzveig, H. Moysés. Curso de Física Básica, Vol. 2. Ed. Edgard Blucher. São Paulo, 
(1998). 
Ramalho Júnior, Francisco. Os Fundamentos da Física, Vol. 2. Termologia, Óptica e Ondas, 
Editora Moderna, São Paulo, 6a. Edição, (1997).