exercicios_parte1

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Exercicios de Conjuntos e Func¸o˜es, Limites e Continuidade
Volume 1
c© Data 14 de novembro de 2013
2
0.1 Exerc´ıcios
1. Resolva as inequac¸o˜es:
(a) 3x+ 3 < x+ 6
(b) x+ 6 ≤ 6x− 2
(c) x− 3 > 3x+ 1
(d) 2x > 3x
2. Estude o sinal:
(a) 3x+ 1
(b)
2− 3x
x+ 2
(c) (2x− 1)(x2 + 1)
(d)
2− x
3− x
3. Simplifique:
(a)
4x2 − 9
2x+ 3
(b)
1
x2
− 1
x− 1
(c)
(x+ h)2 − x2
h
(d)
x4 − p4
x− p
4. Fatore o polinoˆmio P (x)
(a) P (x) = x3 − 2x2 − x− 2
(b) P (x) = x4 − 3x2 + x2 + 3x− 2
(c) P (x) = x3 + 2x2 − 3x
(d) P (x) = x3 − 1
5. Determine o domı´nio de f(x):
(a) f(x) = 1
x−1
(b) f(x) = 2x
x2+1
(c) f(x) =
√
x+ 2
(d) y =
√
x−1
x+1
(e) y = 3
√
x2 − x
(f) g(x) =
x+ 1
x2 + x
(g) y =
√
x(2− 3x)
(h) y =
√
x
3
√
x− 1
6. Deˆ o domı´nio e esboce o gra´fico.
(a) f(x) = 3x
(b) f(x) = −2x+ 3
(c) f(x) = x2 − 2x+ 3
(d) f(x) = −x2 + x− 1
7. Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo
ponto (2,1) e tem coeficiente angular igual a
3.
8. Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo
ponto (-3,-1) e tem coeficiente angular igual a
1.
9. Determine a equac¸a˜o da reta que passa por dois
pontos (x1, y1) e (x2, y2) dados, o coeficiente
angular da reta. Esboce o gra´fico e determine
o domı´nio e o conjunto imagem:
(a) (x1, y1) = (−3,−5) e (x2, y2) = (−1, 1)
(b) (x1, y1) = (0, 3) e (x2, y2) = (−1, 5)
(c) (x1, y1) = (−3,−1) e (x2, y2) = (2, 3)
(d) (x1, y1) = (0, 0) e (x2, y2) = (−1,−2)
10. Construir o gra´fico das func¸o˜es definidas em R:
(a) f(x) =
{
x+ 1 se x ≥ 0,
−x se x < 0.
(b) f(x) =


−2x+ 3 se x ≥ 1,
1 se − 1 < x < 1
2 + x se x ≤ −1.
(c) f(x) =
{
x2 − 2x se x ≥ 0,
1− x se x < 0.
(d) f(x) =


−2 se x ≤ −2,
x se − 2 < x < 2
2 se x ≥ 2.
11. Construir os gra´ficos das func¸o˜es reais abaixo.
(a) f(x) = |x− 1|
(b) f(x) = |x2 + 4x|
(c) f(x) = |x− 3|+ x+ 2
(d) f(x) = |x+ 1|+ |x− 1|
12. Fac¸a um esboc¸o dos gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x3 + 1
(b) f(x) = −x3
(c) f(x) = (x+ 1)3
(d) f(x) = x3 − x
(e) f(x) =
x2 − 1
x− 1
(f) f(x) =
x+ 3
x+ 2
Exerc´ıcios 3
(g) f(x) =
x+ 1
x− 1
(h) f(x) =
x− 1
2− x
13. Nas func¸o˜es abaixo de R em R obter a lei de
correspondeˆncia que define a func¸a˜o inversa.
(a) f(x) = 2x+ 3
(b) f(x) = 4x−13
(c) f(x) = x3 + 3
(d) f(x) = 3
√
x− 1
(e) f(x) = 3
√
1− x2
14. Nas func¸o˜es que seguem construir num mesmo
plano cartesiano os gra´ficos de f e f−1.
(a)
f : R −→ R
x 7−→ 2x+ 1.
(b)
f : R −→ R
x 7−→ 2x+43 .
(c)
f : R −→ R
x 7−→ 1− x3.
(d)
f :]−∞, 0] −→]−∞, 1]
x 7−→ 2x+ 1.
(e)
f : R −→ [0,+∞[
x 7−→ 2x.
15. Construir os gra´ficos cartesianos das seguintes
func¸o˜es exponenciais:
(a) y = 3x
(b) y = ( 13 )
x
(c) y = 4x
(d) y = 10x
(e) y = 10−x
16. Construir os gra´ficos cartesianos das seguintes
func¸o˜es exponenciais:
(a) y = 22x−1
(b) y = 21−x
(c) y = 3
x+1
2
(d) y = 2|x|
(e) y = ( 12 )
|x|
17. Deˆ o domı´nio, a imagem e construa o gra´fico de
um per´ıodo completo da func¸a˜o dada.
(a) y = sen x− 1
(b) y = 3sen x
(c) y = 2cosx
(d) y = 2cos x+ 1
(e) y = |sen x|
18. Determine o domı´nio e per´ıodo das seguintes
func¸o˜es reais:
(a) f(x) = tg(3x)
(b) f(x) = tg(2x− pi3 )
(c) f(x) = cotg(x− pi3 )
(d) f(x) = sec(2x)
(e) f(x) = cossec(x+ pi4 )
19. Deˆ o domı´nio de cada func¸a˜o:
(a) y = arc sen(3x)
(b) y = arc sen(1− 2x)
(c) y = arc cos(x+ 2)
(d) y = arc cos
(
x−1
2
)
20. Calcule:
(a) cos(arc sen13 )
(b) tg(arc sen34 )
(c) sen(arc cos(− 35 ))
(d) cotg(arc cos27 )
(e) sen(arc tg
√
2)
21. Desenvolva, aplicando as propriedades dos log-
aritmos (a, b, e c sa˜o reais positivos):
(a) log2
(
2ab
c
)
(b) log3
(
a3b2
c4
)
(c) log
(
a3
b2
√
c
)
(d) log5
(
5a
bc
)
(e) log3
(
ab3
c
3
√
a2
)
22. Determine o domı´nio das func¸o˜es:
(a) f(x) = log3(x
2 − 4)
(b) f(x) = log2(1− 2x)
(c) f(x) = log3(4x− 3)2
(d) f(x) = log5
x+1
1−x
(e) f(x) = log(x2 + x− 12)
23. Determine o domı´nio das func¸o˜es:
(a) f(x) = log(x2+1) x
(b) f(x) = log(x+1)(2x
2 − 5x+ 2)
(c) f(x) = log(3−x)(x+ 2)
4
(d) f(x) = logx(x
2 + x− 2)
(e) f(x) = log(2x−3)(3 + 2x− x2)
24. Construir os gra´ficos cartesianos das seguintes
func¸o˜es logar´ıtmicas:
(a) f(x) = log3 x
(b) f(x) = log 1
3
x
(c) f(x) = log2(x− 1)
(d) f(x) = log2 x
2
(e) f(x) = 2 + log2 x)
Exerc´ıcios Complementares
1. Resolva as inequac¸o˜es:
(a) (x− 3)(x2 + 5) > 0
(b) x(x2 + 1) ≥ 0
(c) (2x+ 1)(x2 + x+ 1) ≤ 0
(d) x
x2+x+1 ≥ 0
2. Verifique as identidades:
(a) x2 − a2 = (x− a)(x+ a);
(b) x3 − a3 = (x− a)(x2 + ax+ a2);
(c) xn − an = (x − a)(xn−1 + axn−2 + . . . +
an−1), onde n 6= 0 e´ um natural.
3. A afirmac¸a˜o: “quaisquer que sejam x e y, x <
y ⇔ x2 < y2”e´ falsa ou verdadeira? Justifique.
4. Resolva as equac¸o˜es:
(a) |x+ 1| = 3
(b) |2x+ 3| = 0
(c) |2x− 1| = 1
(d) |x| = 2x+ 1
5. Resolva as inequac¸o˜es:
(a) |2x2 − 1| < 1
(b) |x+ 1| < |2x− 1|
(c) |x+ 3| > 1
(d) |x− 2|+ |x− 1| > 1
6. Elimine o mo´dulo:
(a) |x+ 1|+ |x|
(b) |2x− 1|+ |x− 2|
(c) |x− 2| − |x+ 1|
(d) |x|+ |x− 1|+ |x− 2|
7. Expresse o conjunto das soluc¸o˜es das inequac¸o˜es
dadas em notac¸a˜o de intervalos:
(a) x2 − 3x+ 2 < 0
(b) x2 + x+ 1 > 0
(c) x2 − 9 ≤ 0
(d) 2x−1
x+3 > 0
8. Determinar os valores de m para que a func¸a˜o
quadra´tica f(x) = mx2 + (2m− 1)x+ (m− 2)
tenha dois zeros reais e distintos.
9. Determinar os valores de m para que a func¸a˜o
quadra´tica f(x) = mx2 + (m + 1)x + (m + 1)
tenha um zero duplo.
10. Determinar os valores de m para que a func¸a˜o
quadra´tica f(x) = (m+1)x2+(2m+3)x+(m−
1) na˜o tenha zeros reais.
11. Considere a func¸a˜o
f(x) =
{
x2 − 52x+ 1 se x ≥ 0,
x+ 2 se x < 0.
Determine os valores do domı´nio que teˆm im-
agem 7.
12. Sejam a, b, c e d nu´meros reais. Definem-se as
func¸o˜es f e g por f(x) = ax+b e g(x) = cx+d.
Determine:
(a) f + g
(b) f · g − g
(c) f/g
(d) f · f − g
13. Seja f definida por f(x) = x− 3 e g por g(x) =
x2 + 4. Determine:
(a) (f ◦ g)(2)
(b) (g ◦ f)(2)
(c) (f ◦ g)(x)
(d) (g ◦ f)(x)
14. Seja f uma func¸a˜o definida por f(x) = 5x+ 3,
e seja g a func¸a˜o definida por g(x) = 3x + k,
onde k e´ uma constante real. Determine o valor
de k de tal modo que f ◦ g = g ◦ f .
15. Seja
f : R −→ R
x 7−→ x3.
(a) Mostre que f e´ invert´ıvel e determine sua
inversa g.
Exerc´ıcios 5
(b) Esboce os gra´ficos de f e g.
16. Nas func¸o˜es abaixo classifique em
(i) injetora
(ii) sobrejetora
(iii) bijetora
(iv) na˜o e´ sobrejetora e nem injetora
(a)
f : R −→ R
x 7−→ 2x+ 1.
(b)
f : R −→ R
x 7−→ 1− x2.
(c)
f : R −→ R
x 7−→ |x− 1|.
(d)
f : R −→ R
x 7−→ 1
x
.
(e)
f : R −→ R
x 7−→ x3.
17. Sejam as func¸o˜es f e g definidas por f(x) =
x2 − 4x + 1 g(x) = x2 − 1. Obter as leis que
definem f ◦ g e g ◦ f .
18. Considere a func¸a˜o em R definidas por f(x) =
x3−3x2+2x−1. Qual e´ a lei que define f(−x)?
E f( 1
x
)? E f(x− 1)?
19. Sejam as func¸o˜es reais g(x) = 2x − 3 e (f ◦
g)(x) = 2x2−4x+1. Determinar a lei da func¸a˜o
f .
20. Determinar imagem e per´ıodo da func¸a˜o f :
R↔ R dada por
f(x) = −1 + 2cos(3x− π
4
)
21. Sabendo que log20 2 = a e log20 3 = b, calcule
log65.
22. Se ab = 1, calcule logb
√
a.
6
0.2 Exerc´ıcios
1. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→100
(7)
(b) lim
x→5
(3x− 5)
(c) lim
x→2
(x2 + 2x− 1)
(d) lim
x→0
(x3 + 2x+ 1)(x− 1)
(e) lim
x→5
(
x+ 2
x− 4)
(f) lim
x→3
(
4x− 5
5x− 1)
(g) lim
x→1
(x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1)8
(h) lim
x→3
(x2 + 2)
(i) lim
x→−3
(−x)
(j) lim
x→2
√
x2 + 3x+ 4
x3 + 1
(k) lim
z→−2
(z3 + 8)
(l) lim
x→−3
3
√
5 + 2x5− x
2. Use uma simplificac¸a˜o alge´brica para encontrar
o limite, se existe.
(a) lim
x→−3
(
x2 − x− 12
x2 + 4x+ 3
)
(b) lim
x→2
(
x2 − 4
x− 2 )
(c) lim
r→1
(
r2 − r
2r + 5r − 7)
(d) lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
(e) lim
h→−3
(
h3 + 8
h+ 2
)
(f) lim
z→−2
(
z − 4
z2 − 2z − 8)
(g) lim
x→−1
(
x3 + x2 + 3x+ 3
x− 3 )
(h) lim
x→3
(
2x3 − 6x2 + x− 3
x− 3 )
(i) lim
x→25
(
√
x− 5
x− 25 )
(j) lim
z→2
(
z3 − 8
z2 − 4)
(k) lim
x→0
(
√
x+ 1− 1
x
)
(l) lim
x→1
(
4
√
x− 1
5
√
x− 1)
3. Determine k tal que
(a) lim
x→5
(3kx2 − 5kx+ 3k − 1) = 3
2
(b) lim
x→k
(x2 − 5x+ 6) = 0
(c) lim
x→2
(5x4 − 3x2 + 2x− 2) = k
(d) lim
x→1
(
k − x2
x+ k
) = −1
4. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e encontre o limite
indicado, se existir; e se na˜o existir, indique a
raza˜o disto.
(a)
f(x) =


3 se x < 1,
0 se x = 1,
−3 se x > 1.
lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
(b)
f(x) =
{ −2 se x < 0,
2 se x ≥ 0.
lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x), lim
x→0
f(x)
(c)
f(x) =
{
x+ 4 se x ≤ −4,
−x+ 4 se x > −4.
lim
x→−4+
f(x), lim
x→−4−
f(x), lim
x→−4
f(x)
(d)
f(x) =
{
x2 se x ≤ 2,
8− 2x se x > 2.
lim
x→2+
f(x), lim
x→2−
f(x), lim
x→2
f(x)
(e)
f(x) =


2x+ 3 se x < 1,
2 se x = 1,
7− 2x se x > 1.
lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
(f)
f(x) =


x+ 1 se x < −1,
x2 se − 1 ≤ x ≤ 1,
2− x se x > 1.
Exerc´ıcios 7
lim
x→−1+
f(x), lim
x→−1−
f(x), lim
x→−1
f(x),
lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
5. Dado
f(x) =
{
3x+ 2 se x < 0,
5x+ k se x ≥ 0.
Ache o valor de k para o qual lim
x→0
f(x) exista.
6. Dado
f(x) =
{
3kx− 1 se x ≤ 1,
x2 + 2k se x > 1.
Encontre o valor de k para o qual lim
x→1
f(x) ex-
ista.
7. Dado
f(x) =


x2
2 se x ≤ −2,
ax+ b se − 2 < x < 2
2x− 3 se x ≥ 2.
Enconte o valor de a e b para o qual lim
x→−2
f(x)
e lim
x→2
f(x) ambos existam. item Seja f uma
func¸a˜o definida em R tal que para todo x 6= 1,
−x2 + 3x ≤ f(x) ≤ x2−1
x−1 . Calcule limx→1 f(x)
e justifique.
8. Seja f definida em R e tal que, para todo x,
|f(x) − 3| ≤ 2|x − 1|. Calcule limx→1 f(x) e
justifique.
9. Suponha que para todo x, |g(x)| ≤ x4. Calcule
limx→0
g(x)
x
.
10. Usando o Primeiro Limite Fundamental, calcule
os limites abaixo:
(a) lim
x→0
sen2x
x
(b) lim
x→0
sen(−7x)
x
(c) lim
x→0
3x2
sen x
(d) lim
x→0
1− cos x
5x
(e) lim
x→0
(
2x− tg x
3x+ tg x
)
Exerc´ıcios Complementares
1. Para o ǫ dado, determine um δ positivo tal que
|f(x)− L| < ǫ sempre que 0 < |x− a| < δ.
(a) f(x) = x+ 3,
L = 5, a = 2, ǫ = 0, 01
(b) f(x) = 4x− 1,
L = 11, a = 3, ǫ = 0, 01
(c) f(x) = 3− 4x,
L = 7, a = −1, ǫ = 0, 02
(d) f(x) = x− 1,
L = 0, a = 1, ǫ = 0, 1
(e) f(x) = x2,
L = 4, a = 2, ǫ = 0, 1
(f) f(x) = x+12 ,
L = 3, a = 5, ǫ = 0, 1
(g) f(x) = x
2−25
x−5 ,
L = 10, a = 5, ǫ = 0, 01
2. Prove que o limite e´ o nu´mero indicado, usando
a definic¸a˜o formal de limite:
(a) lim
x→4
(2x− 5) = 3
(b) lim
x→0
(2− 5x) = 2
(c) lim
x→3
(4x− 11) = 1
(d) lim
x→3
a = a, onde a e´ constante
(e) lim
x→2
|x− 2| = 0
(f) lim
x→4
(
x2 − 16
x− 4 ) = 8
(g) lim
x→−3
x2 = 9
3. Seja y = f(x) uma func¸a˜o. Prove:
(a) lim
x→a
f(x) = L⇔ lim
x→a
[f(x)− L] = 0
(b) lim
x→a
f(x) = L⇔ lim
x→a
|f(x)− L| = 0
(c) lim
x→a
f(x)
x− a = 0⇔ limx→a
f(x)
|x− a| = 0
4. Mostre que uma func¸a˜o na˜o pode ter dois lim-
ites diferentes no mesmo ponto; ou seja, se lim
x→a
f(x) =
L1 e lim
x→a
f(x) = L2, enta˜o L1 = L2.
5. Sejam y = f(x) uma func¸a˜o e k uma constante.
Prove que se lim
x→a
f(x) existe, enta˜o lim
x→a
kf(x) =
k lim
x→a
f(x).
6. Prove que
lim
x→c
f(x) = L⇒ lim
x→c
|f(x)| = |L|
8
7. A afirmac¸a˜o
” lim
x→c
|f(x)| = |L| ⇒ lim
x→c
f(x) = L”
e´ falsa ou verdade? Por queˆ?
Exerc´ıcios 9
0.3 Exerc´ıcios
1. Sejam f e g func¸o˜es continuas tais que f(1) = 2
e
lim
x→1
(f(x)− 3g(x)) = 5.
Calcule o valor de lim
x→1
g(x). Qual e´ o valor de
g(1)?
2. Sejam f e g func¸o˜es continuas tais que f(0) =
−5 e
lim
x→1
(
f(x2 − x)− 3g(x)) ex−1 = −3.
Calcule o valor de g(1). Qual e´ o valor de
lim
x→1
g(x)?
3. Determine o valor de L para que as seguintes
func¸o˜es sejam continuas nos pontos dados:
(a)
f(x) =
{
x2−x
x
se x 6= 0,
L se x = 0
c = 0
(b)
f(x) =
{
x2−9
x−3 se x 6= 3,
L se x = 3
c = 3
(c)
f(x) =
{
x+ 2L se x ≥ −1,
L2 se x < −13
c = −1
(d)
f(x) =
{
4− x+ x3 se x ≥ 1,
9− Lx2 se x < 1
c = 1
4. Use a continuidade das func¸o˜es para calcular os
seguintes limites.
(a) lim
x→pi
cos(x+ senx)
(b) lim
x→pi
2
e
1
sin x
(c) lim
x→0
ln
(
cos2x+ 1√
2(x2 + 1
)
(d) lim
x→0
sen(x2 + sen(cosx))
x2 + 1
5. Verifique se as seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas
e esboce os gra´ficos correspondentes:
(a) f(x) = |x2 + 2x+ 1|, x ∈ R
(b) f(x) =
{
2x, se x ≥ 1,
1, se x > 1.
(c) f(x) =
{
x2−4
x−2 , se x 6= 1,
4, se x = 1.
(d) f(x) =
{
x2, se x ≥ 0,
2x, se x > 0.
6. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→0
e
�
x
2
−1
x+1
�
(b) lim
x→0
sen
(
πx− tg x
2x+ tg x
)
(c) lim
x→2
ln
(
x2 + x+ 1
x− 2
)
(d) lim
x→1
log(3−x)(3x2 − 2x+ 1)
7. Dados f(x), [a, b] e d. Determine se o Teorema
do Valor Intermedia´rio se aplica para cada valor
de d dado. Se o teorema for aplica´vel, encontre
um nu´mero c tal que f(c) = d. Fac¸a um esboc¸o
do gra´fico de f e da reta y = d.
(a) f(x) = 2 + x− x2; [a, b] = [0, 3]; d = 1
(b) f(x) =
√
25− x2; [a, b] = [−4.5, 3]; d = 3
(c) f(x) = 4
x+2 ; [a, b] = [−3, 1]; d = 1/2
8. Mostre que o teorema do Valor intermedia´rio
garante que a equac¸a˜o x3 − 4x + x + 3 = 0
tenha raiz entre 1 e 2.
9. Mostre que o teorema do Valor intermedia´rio
garante que a equac¸a˜o x3+x+3 = 0 tenha raiz
entre −2 e −1.
10. Verifique se as seguintes equac¸o˜es admitem, pelo
menos, uma raiz real:
(a) x3 + x2 − 4x− 15 = 0
(b) cos(x)− x+ 1 = 0
(c) sin(x)− x+ 1 = 0
(d) 2x + x2 = 0
Exerc´ıcios Complementares
1. Sejam f e g func¸o˜es definidas em um intervalo
aberto contendo o 0 tais que 1 ≤ f(x) ≤ (x−1)2
e |g(x)| ≤ x2. Calule
lim
x→0
ln(f(x)eg(x)).
2. Suponha que f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas no
intervalo [a, b] e f(a) > g(a), f(b) < g(b). Prove
que existe uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o f(x) =
g(x) em ]a, b[
3. Use o Teorema do Valor Intermedia´rio para mostrar
que
10
(a) Existe um cilindro circular reto de altura
h e raio menor que r cujo volume e´ igal
a`quele de um cone circular reto de altura
h e raio da base r.
(b) Existe um quadrado com diagonal medindo
um valor entre r e 2r e uma a´rea que e´ a
metade da a´rea do circulo de raio r.
4. Prove que todo polinoˆmio de grau impar admite
pelo menos uma raiz real.
Exerc´ıcios 11
0.4 Exerc´ıcios
1. Encontre os limites abaixo:
(a) lim
x→+∞
2x+ 1
5x− 2
(b) lim
x→−∞
2x+ 7
4− 5x
(c) lim
x→+∞
7x2 − 2x+ 1
3x2 + 8x+ 5
(d) lim
x→+∞
x+ 4
3x2 − 5
(e) lim
x→+∞
2x2 − 3x
x+ 1
(f) lim
x→−∞
4x3 + 2x2 − 5
8x3 + x+ 2
(g) lim
x→+∞
2x3 − 4
5x+ 3
(h) lim
x→−∞
(
3x+
1
x2
)
(i) lim
x→+∞
√
x2 + 4
x+ 4
(j) lim
x→−∞
√
x2 − 2x+ 3
x+ 5
(k) lim
x→−∞
6x− 4
3x+ 1
(l) lim
x→+∞
x2 + 5
x3
(m) lim
x→+∞
(
2
x2
− 4x
)
(n) lim
x→+∞
(
√
x2 + 1− x)
(o) lim
x→+∞
(
√
3x2 + x− 2x)
(p) lim
x→+∞
(
√
x2 + x− x)
2. Encontre os limites abaixo:
(a) lim
x→2+
x+ 2
x2 − 4
(b) limx→2−
x+ 2
x2 − 4
(c) lim
x→0+
√
3 + x2
x
(d) lim
x→3+
√
x2 − 9
x− 3
(e) lim
x→0+
(
1
x
+
1
x2
)
(f) lim
x→0−
2− 4x3
5x2 + 3x3
(g) lim
x→−4+
(
2
x2 + 3x− 4 −
3
x+ 4
)
(h) lim
x→1+
2x+ 3
x2 − 1
(i) lim
x→ 2
3
+
x2
4− 9x2
(j) lim
x→ 3
5
−
1
5x− 3
3. Encontre os limites abaixo:
(a) lim
x→∞
sen 2x
x
(b) lim
θ→−∞
sen θ
3θ
(c) lim
x→−∞
exarc cos
(
1
x
)
(d) lim
t→−∞
2− t+ sent
t+ cos t
(e) lim
x→∞
e−xsenx
(f) lim
x→−∞
ex − e−x
ex + e−x
4. Usando o Segundo Limite Fundamental, calcule
os limites quando existem:
(a) lim
x→+∞
(
1 +
a
x
)x
, onde a > 0
(b) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+2
(c) lim
x→∞
(
1 +
1
2x
)x
(d) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x+1
(e) lim
x→−∞
(
x+ 2
x+ 1
)x
(f) lim
h→0
(1 + h)
1
h = e.
5. Usando o Terceiro Limite Fundamental, calcule
os limites quando existem:
(a) lim
x→0
e2x − 1
x
(b) lim
x→0
ex
2 − 1
x
(c) lim
x→0
5x − 1
x
(d) lim
x→0
2x − 3x
x
12
Exerc´ıcios Complementares
1. Fac¸a a definic¸o˜es formais para os limites abaixo:
(a) lim
x→+∞
f(x) = +∞
(b) lim
x→+∞
f(x) = −∞
(c) lim
x→−∞
f(x) = +∞
(d) lim
x→−∞
f(x) = −∞
2. Sabendo que lim
x→+∞
f(x) = 5 e lim
x→+∞
g(x) =
−3. Calcule os limites quando existirem.
(a) lim
x→+∞
[2f(x)− g(x)]
(b) lim
x→+∞
[2f(x)g(x) + 1]
(c) lim
x→+∞
[
2g(x) + 6
f(x)
]
(d) lim
x→+∞
[
g(x)
f(x)2 − 25
]
3. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f que sat-
isfac¸a as condic¸o˜es dadas.
(a) f e´ continua em ]−∞, 2] e ]2,+∞[; lim
x→0
f(x) =
4; lim
x→2−
f(x) = −3; lim
x→2+
f(x) = +∞;
lim
x→5
f(x) = 0.
(b) f e´ continua em ] − ∞,−3], ] − 3, 3[, e
[3,+∞[; lim
x→−5
f(x) = 2; lim
x→−3−
f(x) = 0;
lim
x→−3+
f(x) = 4; lim
x→0
f(x) = 1; lim
x→3−
f(x) =
0; lim
x→3+
f(x) = −5; lim
x→4
f(x) = 0.
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] A´vila, Geraldo, Ca´lculo das func¸o˜es de uma varia´vel, vol.1. 7a Edic¸a˜o- Rio de Janeiro: LTC, 2008.
[2] Guidorizzi, Hamilton Luiz,Um curso de Ca´lculo, vol.1 . 5a Edic¸a˜o- Rio de Janeiro: LTC, 2008.
[3] Hoffmann, Laurence D. Ca´lculo: um curso moderno e suas aplicac¸o˜es. 9a edic¸a˜o; Rio de Janeiro: LTC,
2008.
[4] Leithold, Louis, O ca´lculo com Geometria Anal´ıtica, vol. 1. 3a Edic¸a˜o. Editora Habra.
[5] Leithold, Louis, Matema´tica aplicada a` Economia e Administrac¸a˜o. Editora Habra.
[6] Munem, M. A. & Foulis, D.j. Ca´lculo; Rio de Janeiro: LTC, 2008.