Gabarito da unidade 6

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Disciplina: 
Pesquisa Operacional 
GABARITO DA UNIDADE 6 
 
 
Este documento apresenta as resoluções para os exercícios da Unidade 6 do livro texto da disciplina de Pesquisa Operacional. 
 
Exercício 1 
 
Neste primeiro exercício temos que o ritmo de chegada é de 4 alunos por hora. Já o ritmo de atendimento precisa ser calculado na 
mesma unidade, ou seja, “por hora”. Como o funcionário atende um aluno a cada 12 minutos, isso é o mesmo que dizermos que ele 
atende 5 alunos por hora. Portanto temos os seguintes parâmetros: 
 
5
4




 
 
Por possuir apenas uma fila e um servidor, podemos dizer que se trata de um sistema de fila única e fase única. Além disso, o ritmo de 
chegada é menor que o ritmo de atendimento, o que torna a fila viável. Logo, podemos aplicar as fórmulas correspondentes que 
aprendemos em aula. 
 
Vamos agora calcular todos os índices de operação da fila, para podemos avaliar se o nível de atendimento é bom: 
 
Número médio de clientes no sistema: 
4
45
4







L
 
 
Número médio de clientes na fila 
2,3
5
16
)45(5
4
)(
22




 

qL
 
 
Tempo médio de espera no sistema 
1
45
11






W
 
Como estamos fazendo todos os cálculos usando como unidade padrão “por hora”, então podemos dizer que o tempo médio de espera 
no sistema é de 1 hora. 
 
Tempo médio de espera na fila 
5
4
)45(5
4
)(




 

qW
 
O tempo médio de espera na fila é de 4/5 de uma hora, o que equivale a 48 minutos. 
 
Taxa de utilização do sistema 
%808,0
5
4



 
 
Probabilidade de haver ZERO usuários no sistema 
%202,0
5
1
5
4
110  

P
 
 
Analisando os dados, podemos ver que o tempo médio de espera em fila é de 48 minutos. Por se tratar de um banco, sabemos que 
existem regulamentações que dizem que os clientes não podem esperar mais que 30 minutos em uma fila. Portanto, o sistema de filas 
do banco precisa ser melhorado para se adequar aos padrões exigidos por lei. 
 
Exercício 2 
 
A seguir estão os ritmos de chegada e atendimento de clientes. Note que o tempo de atendimento teve que ser ajustado (1 atendimento 
dura 10 minutos, então o alfaiate atende 6 clientes por hora). Vamos usar a hora como unidade padrão. 
 
6
5




 
 
Qual o número médio de clientes na sala de ajustes? 
O número médio de clientes na sala de ajuste é, na verdade, o número médio de clientes no sistema, incluindo os que estão esperando 
mais o que está sendo atendido. Isso deve ser calculado pela seguinte fórmula: 
5
56
5







L
 
 
Qual é o tempo que um cliente provavelmente gastará nesta espera? 
O tempo que o cliente terá que esperar até o início de seu atendimento considera apenas o tempo que ele ficou na fila. Logo, usaremos 
a fórmula do tempo médio de espera na fila: 
6
5
)56(6
5
)(




 

qW
 
O cliente terá que esperar, em média, 5/6 de uma hora na fila, o que corresponde a 50 minutos. 
 
Qual a probabilidade de o alfaiate estar desocupado? 
Isso equivale a calcular a probabilidade de haver ZERO clientes no sistema. 
%67,161667,0
6
1
6
5
110  

P
 
 
Qual é a probabilidade de um cliente esperar mais que 10 minutos pelo atendimento do alfaiate? 
O cliente terá que esperar mais que 10 minutos pelo atendimento se houver mais que 1 cliente no sistema. Nesse caso, ele teria que 
esperar os 10 minutos para o cliente ser atendido até chegar sua vez. Por isso, temos que usar a fórmula que nos dá a probabilidade de 
haver mais que K usuários no sistema – P(n > k): 
%44,696944,0
36
25
6
5
6
5
)1()(
2111




















nPknP
k

 
Portanto, existe uma probabilidade de 69,44% de um cliente ter que esperar mais que 10 minutos na fila. 
 
Exercício 3 
 
Neste exercício, considere que o trecho “os clientes chegam a uma taxa de três horas” na verdade deveria estar escrito “os clientes 
chegam a uma taxa de três por hora”. Assim, temos que os parâmetros do problema são (note que o ritmo de atendimento é de quatro 
clientes por hora, pois cada cliente leva 15 minutos para ser atendido): 
 
4
3




 
 
Calcule a utilização da equipe de lubrificação. 
A utilização da equipe de lubrificação é dada pela taxa de utilização do sistema, que indica a quantia de tempo que o sistema estará 
ocupado: 
%7575,0
4
3



 
 
Calcule o número médio de carros na fila. 
Este indicador será dado pela fórmula que indica o tamanho médio da fila: 
25,2
4
9
)34(4
3
)(
22




 

qL
 
Haverá, em média, 2,25 clientes na fila. 
 
Calcule a média de tempo que um carro espera antes de ser lubrificado. 
O tempo de espera antes de ser lubrificado corresponde ao tempo de espera na fila: 
4
3
)34(4
3
)(




 

qW
 
O cliente terá que esperar 3/4 de uma hora, o que equivale a 45 minutos. 
 
Exercício 4 
 
Prestem bastante atenção na resolução deste exercício, pois ele envolve muito raciocínio matemático. 
 
O exercício nos dá o tempo gasto no sistema pelos clientes usando uma tabela de probabilidades. Porém, o problema não nos fornece 
os ritmos de chegada e ritmos de atendimento. Precisamos descobrir esses valores. 
 
Tempo no sistema Probabilidade 
0,3 0,15 
0,4 0,2 
0,5 0,35 
0,6 0,15 
0,7 0,1 
0,8 0,05 
 
Para sabermos o tempo médio geral gasto pelos clientes no sistema, basta calcular uma média ponderada dos tempos no sistema. 
5,0
05,01,015,035,02,015,0
)05,0)(8,0()1,0)(7,0()15,0)(6,0()35,0)(5,0()2,0)(4,0()15,0)(3,0(



Média
 
Realizando esse cálculo, sabemos que o tempo médio de espera no sistema é de 0,5 horas, o que equivale a 30 minutos (ou 1/2 hora). A 
seguir, vamos colocar esses valores na fórmula do tempo de espera no sistema: 
2
1
2
11




 W
 
Ainda não sabemos os valores de

e 

, porém sabemos que a subtração deles deve ser igual a 2, ou seja, 
2
. 
 
Além disso, o problema nos diz que a ociosidade do sistema é estimada em 10%. A ociosidade é a probabilidade de haver ZERO clientes 
no sistema. Então temos que: 
0109109
10
9
9,0
1,01
11,0
10















P
 
 
Portanto, sabemos que o sistema estará ocupado 90% do tempo. Com base no raciocínio acima, encontramos mais uma relação entre os 
valores 

e 

. Independentemente de quais valores escolhermos para 

e 

, a igualdade 
0109  
 deve ser sempre verdadeira. 
Agora podemos encontrar os valores para 

e 

resolvendo o sistema de duas equações: 





2
0109

 
 
Para resolver este sistema de equações, podemos multiplicar a equação de baixo por -9 e em seguida somar as duas equações. Assim 
teríamos: 
1818
1899
0109





 
 
 
Agora sabemos que o ritmo de chegada é de 
18
 clientes por hora. Também sabemos que 
2
. Logo, fica fácil calcular o 
ritmo de atendimento: 
201822182   
 
Agora também sabemos que o ritmo de atendimento é de 20 clientes por hora. Agora que sabemos que 
18
 e que 
20
, podemos 
responder as questões do problema: 
 
Qual a probabilidade de que o número de clientes no sistema seja igual a 10? 
A probabilidade de haver n usuários no sistemaé dada pela fórmula: 





 











n
nP
 
%87,30387,0
18
1820
20
18
10
10 




 






P
 
 
Qual é o tempo que o cliente fica na fila? 
Isso é calculado pela fórmula do tempo médio de espera na fila: 
40
18
)1820(20
18
)(




 

qW
 
O tempo médio de espera na fila é de 18/40 horas, o que equivale a 27 minutos. 
 
Qual é o tempo que o cliente fica no atendimento? 
Neste item o problema quer saber quanto tempo o cliente leva para ser atendido. Como descobrimos que 20 clientes são atendidos por 
hora, isso significa dizer que cada atendimento leva 3 minutos. 
 
Exercício 5 
 
Considerando os parâmetros do problema 
12
 e 
25
, precisamos calcular os seguintes indicadores de desempenho para filas: 
 
Probabilidade de zero usuários no sistema 
%5252,0
25
13
25
1225
25
12
110 

 

P
 
 
Número médio de usuários no sistema 
923,0
13
12
1225
12




 

L
 
 
Número médio de usuários na fila 
443,0
325
144
)1225(25
12
)(
22




 

qL
 
 
Tempo médio que o usuário gasta no sistema 
0769,0
13
1
1225
11




 W
 
Se considerarmos a unidade “por hora” o usuário terá que esperar, em média, 0,0769 * 60 = 4,61 minutos no sistema. 
 
Probabilidade de que o servidor esteja ocupado, fator de utilização 
%4848,0
25
12



 
 
Probabilidade de que o servidor esteja vazio e o usuário possa ser atendido 
Este item é o mesmo que a probabilidade de zero usuários no sistema, calculado anteriormente.