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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Me´todos Determin´ısticos II 2o Semestre de 2017 Gabarito dos Exerc´ıcios Programados 11 Questa˜o 1: Para cada uma das func¸o˜es abaixo determine os pontos cr´ıticos e classifique-os (a classificac¸a˜o refere-se a ponto de ma´ximo local, mı´nimo local, ou ponto de inflexa˜o). 1) f(x) = x 4 4 − x3 − 2x2 + 3 2) f(t) = 3 √ t3 − 2t+ 1 3) f(x) = x3 − 3x2 + 3x+ 1 4) f(x) = 1 x4+2x3+x2+1 Soluc¸a˜o: Para cada um dos itens precisamos calcular a derivada e fazer um estudo do sinal da mesma, pois grac¸as a este estudo teremos condic¸o˜es de determinar a natureza do ponto cr´ıtico. 1) Derivando f(x) = x 4 4 −x3−2x2+3 e igualando a zero obtemos f ′(x) = x3−3x2−4x = (x2−3x−4)x = (x− 4)(x+ 1)x = 0. Vamos analisar a f ′(x) para saber o sinal dela em cada ponto. Mas ja´ sabemos que os pontos cr´ıticos sa˜o: −1, 0 e 4. x+ 1 - + + + x - - + + x− 4- - - + (x+ 1)x(x− 4)- + - + -1 0 4 -1 0 4 Disto segue que −1 e´ um ponto de mı´nimo local, 0 e´ um ponto de ma´ximo local, e 4 e´ um ponto de mı´nimo local. 2) Derivando f(t) = 3 √ t3 − 2t+ 1 = (t3 − 2t+ 1)1/3 obtemos f ′(t) = 3t2−2 3(t3−2t+1) 2/3 . Fazendo f ′[t] = 0, obtemos t = ± √ 2/ 3 ≈ ±0, 87. Observe ainda que t3− 2t+1 = ( t− (−1− √ 5 2 ) ) (t− 1) ( t− (−1+ √ 5 2 ) ) . Portanto, a func¸a˜o f(t) na˜o possui derivadas nos pontos onde t3 − 2t + 1 se anula. Ale´m disso, o denominador de f ′(t) e´ sempre positivo enta˜o quem domina o sinal e´ t2 − 2/ 3 e esta e´ uma equac¸a˜o do segundo grau com coeficiente do termo dominante positivo. Portanto, f ′(t) < 0 em − √ 2/ 3 < t <√ 2/ 3 e positivo no restante. Portanto, t = − √ 2/ 3 e´ um ponto de ma´ximo local e o ponto t = √ 2/ 3 e´ um ponto de mı´nimo local. 3) Derivando e igualando a zero obtemos 3x2 − 6x + 3 = 0 = 3(x2 − 2x + 1) = 3(x − 1)2. Portanto, f ′(x) > 0 se x 6= 1 e portanto, o ponto cr´ıtico 1 e´ um ponto de inflexa˜o. 4) Derivando obtemos f ′(x) = − 4x3+6x2+2x (x4+2x3+x2+1)2 , observe que o denominador e´ sempre positivo enta˜o quem domina o sinal de f ′(x) e´ 4x3+6x2+2x = x(4x2+6x+2)) resolvendo a equac¸a˜o do segundo grau 4x2 + 6x+ 2 = 0, obtemos as ra´ızes e com elas podemos escrever 4x3 + 6x2 + 2x = (x+ 1)(x+ 1/ 2)x analisando o sinal obtemos 1 x+ 1 - + + + x+ 12 - - + + x - - - + (x+ 1)(x+ 12)x - + - + -1 −12 0 -1−12 0 Observe que em f ′(x) tem um sinal de menos na frente de 4x3 + 6x2 + 2x. Portanto, f ′(x) tem sinal oposto ao encontrado na ana´lise acima. Portanto, −1 e 0 sa˜o pontos de ma´ximo local e −12 e´ um ponto de mı´nimo local. Questa˜o 2: Verifique que as func¸o˜es abaixo satisfazem o Teorema do Valor Me´dio nos intervalos dados. Enta˜o encontre o valor de c que satisfac¸am a conclusa˜o do Teorema do Valor Me´dio. a) f(x) = 3x2 + 2x+ 5 em [−1, 1] b) f(x) = x3 + x− 1 em [0, 2] c) f(x) = e−2x me [0, 3] d) f(x) = x x+2 em [1, 4]. Soluc¸a˜o: Vamos comec¸ar enunciando o teorema Teorema do Valor Me´dio Considere uma func¸a˜o f : [a, b] → R que e´ cont´ınua no intervalo [a, b] e diferencia´vel em (a, b). Enta˜o existe um ponto t0 com a < t0 < b tal que f ′(t0) = f(b)− f(a) b− a . a) Vamos comec¸ar calculando o coeficiente angular, f(b)− f(a) b− a = f(1)− f(−1) 1− (−1) = 10− 6 2 = 4 2 = 2. Derivando f(x) = 3x2 + 2x + 5 obtemos f ′(x) = 6x + 2, igualando a 2 e resolvendo obtemos −1 < t0 = 0 < 1. E portanto, f ′(t0) = f ′(0) = 2. c) Calculado o coeficiente angular, f(b)− f(a) b− a = f(2)− f(0) 2− 0 = 9− (−1) 2 = −10 2 = 5. Derivando f(x) = x3 + x− 1 temos f ′(x) = 3x2 + 1. Igualando, 3x2 + 1 = 5 ⇒ x2 = 4/ 3 e obtemos x = ± √ 4/ 3, como o intervalo e´ [0, 2] segue que t0 = 2/ √ 3. b) Calculando o coeficiente angular, f(b)− f(a) b− a = f(3)− f(0) 3− 0 = e−6 − 1 3 = 1− e6 3e6 . Derivando f(x) = e−2x obtemos f ′(x) = −2e−2x e igualando obtemos −2e−2x = 1−e6 3e6 ⇒ −2x = ln ( e6−1 6e6 ) b) Observe que f(x) = x x+2 e´ descont´ınua em −2 e portanto podemos aplicar o teorema do Valor Me´dio no intervalo [1, 4]. Calculado o coeficiente angular, f(b)− f(a) b− a = f(4)− f(1) 4− 1 = 2 3 − 13 3 = 1 3 3 = 1 9 . 2 E f ′(x) = 2 (x+2)2 e fazendo 2 (x+2)2 = 19 ⇔ x = 3 √ 2− 2 e x = −3√2− 2. E como −3√2− 2 /∈ [1, 4] segue que o ponto procurando e´ x = 3 √ 2− 2. Questa˜o 3: Determinado produto e´ produzido e vendido a um prec¸o unita´rio p. O prec¸o de venda na˜o e´ constante, mas varia em func¸a˜o da quantidade q demandada pelo mercado, de acordo com a equac¸a˜o p = √ 20− q, 0 ≤ q ≤ 20. Admita que, para produzir e vender uma unidade do produto, a empresa gasta em me´dia R$3, 50. Que quantidade devera´ ser produzida para que o lucro seja ma´ximo. Soluc¸a˜o: A receita da empresa e´ dada pelo R(q) = qp = q √ 20− q, ja´ o custo e´ dado por C(q) = 3, 5q. E o Lucro e´ L(q) = R(q)− C(q) = q √ 20− q − 3, 5q ⇒ L′(q) = − q 2 √ 20− q + √ 20− q − 3, 5 E fazendo L′(q) = − q 2 √ 20−q + √ 20− q − 3, 5 = 0 obtemos q = 4. Questa˜o 4: Mostre que a equac¸a˜o x5 − 6x+ c = 0 tem no ma´ximo uma raiz em [−1, 1]. Soluc¸a˜o: Derivando temos f ′(x) = 5x4 − 6. Precisamos determinar as ra´ızes de 5x4 − 6 = 0. Se y = x2, precisamos resolver 5y2 − 6 = 0. Obtemos as ra´ızes x2 = √ 6 5 . Da´ı podemos expressar, 5x4 − 6 = (5x2 +√30) ( x2 − √ 6 5 ) . Observe que 5x2 + √ 30 na˜o tem ra´ızes reais, uma vez que, ( 5x2 + √ 30 ) > 0 para todo x. Ja´ o polinoˆmio x2 − √ 6 5 tem duas ra´ızes que sa˜o 4 √ 6 5 ≈ 1.04 e − 4 √ 6 5 ≈ −1.04. Portanto, f ′(x) < 0 em [−1, 1] e f [x] e´ decrescente nesse intervalo. Portanto, nesse intervalo f(x) so´ pode ter uma raiz. Questa˜o 5: Encontre o intervalo onde a func¸a˜o f(x) = 3x4−4x3−12x2+5 e´ crescente e o intervalo onde ela e´ decrescente. Soluc¸a˜o: Como os intervalos de crescimento e de decrescimento da func¸a˜o f(x) esta˜o relacionados com os intervalos onde f ′ e´ positiva e negativa, respectivamente. Basta fazer uma ana´lise do sinal de f ′(x), enta˜o derivando temos f ′(x) = 12x3 − 12x2 − 24x = 12x(x2 − x − 2) = 12x(x − 2)(x + 1). E agora fazendo a ana´lise do sinal obtemos que f ′(x) ≤ 0 se −1 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2 e f ′(x) > 0 no intervalo complementar. Portanto, f(x) e´ decrescente em −1 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2 e crescente nos outros pontos. 3
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