Lista 4 Cálculo Vetorial

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FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
 
 
Curso de Engenharia Elétrica 
Profs. Álvaro Fernandes e Maurício Brandão 
 
 
 
 
 
 
 
 Representação computacional da molécula DNA (ácido desoxirribonucléico). Esta 
estrutura contém todas as instruções herdadas necessárias para o desenvolvimento de um organismo 
vivo. Em 1953 James Watson e Francis Crick mostraram que a estrutura desta molécula é de duas 
hélices circulares paralelas interligadas. 
 
 
 
Última atualização: 23/11/2011 
 1
1. Determine uma representação paramétrica da reta que passa pelo ponto ( )0,2,1A − , na direção do 
vetor v 5 i 2 j 5 k= ⋅ − ⋅ + ⋅
rr rr
. 
 
2. Determine uma parametrização da reta representada pela interseção dos planos: 
 



=−
=+−
4xy
4zy5x2
. 
 
3. Encontrar uma equação vetorial das curvas definidas pelas superfícies de equação: 
 
a) 4z,4yx 22 ==+ . 
 
b) 32 xz,x2y == . 
 
c) ( ) 2z,10y1x2 22 ==++ . 
 
d) xy ez,ex == . 
 
e) 03y5x2yx 22 =−+−+ . 
 
4. Determine uma equação vetorial da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados: 
 
a) ( ) ( ) ( )( ) ( )0, 1, Ptsen2, tcostr o=r . 
 
b) ( ) ( ) ( )( ) ( )34, 3, 1, Pt4, tsen2, tcos2tr o pi−−=r . 
 
c) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 or t t i t j, P 4, 8= + −r rr . 
 
d) ( ) ( ) 0, t2t3, , eetr ot3t3 == −r . 
 
5. Determine o(s) ponto(s) em que a curva ( ) ( ) ( ) ( )2 2r t t 1 i t 1 j 3t k= − + + + rr rr intercepta o plano de 
equação 07zy2x3 =+−− . 
 
6. Calcule o gradiente dos campos escalares abaixo. 
 
a) ( ) y2xy3y,xf 3 −= . b) ( ) yx2 2ey,xf += . 
 
c) ( )
yx
x2y,xf
−
= . 
 
d) ( ) ( )zlnyzxy2z,y,xf 2 ++= . 
 
7. Calcule o divergente dos campos vetoriais abaixo. 
 
a) ( ) ( ) ( )2F x, y sen x i 2cos x j= +r r r . b) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2F x, y,z 2x y i 3xyz j y z k= + + rr r r . 
 
c) ( ) ( )F x, y,z ln xy i x j z k= ⋅ + ⋅ + ⋅ rr r r . 
 
 
 
 
 2
 
8. Calcule o rotacional dos campos vetoriais abaixo. 
 
a) ( ) ( ) ( )F x, y,z sen xy i cos xy j z k= ⋅ + ⋅ + ⋅ rr r r . b) ( ) ( ) ( )2F x, y,z 2x y i 3xz j y k= + − ⋅ rr r r . 
 
9. Verifique se os campos abaixo são irrotacionais, isto é, 0Frot
rr
= . 
 
a) ( ) ( ) ( ) ( )2F x, y,z xyz i 2x 1 j x z k= + − + rr r r . b) ( ) ( )xyzxyzxyz xye,xze,yzez,y,xF =r . 
 
10. Considere ( )r x, y,z x i y j z k= ⋅ + ⋅ + ⋅ rr rr e seja a b i c j d k= ⋅ + ⋅ + ⋅ rr rr um vetor constante. Prove que: 
 
a) 3r =⋅∇ r . b) 0r =×∇ r . c) rrr rrr =∇ . 
d) ( ) a2rarot rrr =× . e) ( ) 0radiv =× rr . 
 
11. Define-se o operador 2
2
2
2
2
2
2
zyxz
,
y
,
xz
,
y
,
x ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
∂
∂
⋅





∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇⋅∇=∇ . Se 2∇ opera sobre 
( )z,y,xf produz uma função escalar chamada de Laplaciano de f, dada por 
( ) 2
2
2
2
2
2
2
z
f
y
f
x
f
z,y,xf
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ . Mostre que o Laplaciano da função ( ) ( ) 21222 zyxz,y,xf −++= é 
zero, ou seja, esta função satisfaz a Equação de Laplace ( ) 0z,y,xf2 =∇ . 
 
Funções que satisfazem a Equação de Laplace são chamadas de funções harmônicas e desempenham papel 
importante nas aplicações físicas. 
 
12. Verifique se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio. 
 
a) ( ) 21212 z2y2xz,y,xf −− −−= . b) ( ) ( ) 1zycosez,y,xf x ++= . 
 
 
13. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo de C: 
 
a) ( )3
C
x y ds+∫ , sendo C a curva parametrizada por: x = 3t, y = t3; 0 ≤ t ≤ 1. 
b) ( )∫ +−
C
dszyx2 , sendo C é o segmento de reta que liga A(1, 2, 3) a B(2, 0, 1). 
c) ( )∫ ++
C
dszyx , sendo C é o quadrado de vértices P(1,0,1), M(1,1,1), N(0,1,1) e Q(0,0,1), no sentido PMNQ. 
 
14. Usando integral curvilínea, determine a área da superfície: 
 
a) Acima do arco da parábola [ ]1,0x,x1y 2 ∈−= , e abaixo da superfície cilíndrica xz = . Esboce a região. 
 
b) No 1o octante, entre o círculo 1yx 22 =+ e a superfície cilíndrica 2x1z −= . Esboce a região. 
 
15. Calcule as seguintes integrais curvilíneas ao longo de C: 
 
a) ( ) ( )∫ +
C
2 dyxydxyx6 . C é o gráfico de y = x3 + 1 de (−1, 0) a (1, 2). 
b) ( ) ( )∫ +−
C
dyxdxyx . C é o gráfico de x = y
3
 de (0, 0) a (1, 1). 
 3
c) ( ) ( ) ( )∫ +++
C
dzxdyzydxxz . C é a curva parametrizada por x = et, y = e−t, z = e2t; 0 ≤ t ≤ 1. 
d) ( ) ( )dyyxdxyx
C
−+−∫ . C é a curva parametrizada por x = 2t, y = 3t
2; 0 ≤ t ≤ 1. 
 
16. Calcule ( ) ( )∫ ++
C
dyyxdxxy ao longo de cada curva C abaixo do ponto (0, 0) até o ponto (1, 3). 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
17. Se a força F
r
 em um ponto ( )y,x é dada por ( ) ( ) ( )2 2F x, y xy i x y j= +r r r , encontre o trabalho realizado 
por F
r
 ao longo das curvas do exercício 12 a) e d). 
 
18. Se a força F
r
 em um ponto ( )z,y,x é dada por ( )F x, y,z y i z j x k= ⋅ + ⋅ + ⋅ rr r r , encontre o trabalho 
realizado por F
r
 ao longo da cúbica reversa x = t, y = t2, z = t3 do ponto (0, 0, 0) até o ponto (2, 4, 8). 
 
19. Calcule a integral ( ) ( )∫ +
C
2 dyxy2dxy
 ao longo do segmento de reta C do ponto (−1, 2) até o ponto (1, 3); 
 
 
 
 
20. Determine o trabalho realizado pela força ( ) ( )1xye,e,yzez,y,xF xzxzxz +=r para deslocar uma partícula ao 
longo da curva x2y = , do ponto A(−1, −2, 0) ao B(−2, −1, 0). Esse trabalho é maior, menor ou igual ao 
realizado pela mesma força para deslocar uma partícula em linha reta de A até B? 
 
21. Calcule o trabalho realizado pela força ( ) ( ) ( ) ( )2F x, y,z 2x z 4 i y 3z 1 j x 3y z k= + + + − − + − + rr r r , sobre 
uma partícula, ao longo da curva C, do ponto A(2, 4, 2) até B(2, 0, 0), onde C é: 
 
a) o segmento de reta de A até B; 
 
b) a parábola y = z2 no plano x=2. 
 
22. Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais curvilíneas: 
 
a) ( ) ( )∫ ++
C
2 dyyx4dxx . ao longo do triângulo de vértices (0, 0), (1, 2) e (2, 0) no sentido 
anti-horário; 
b) ( ) ( )( )∫ −+−+
C
22 dyx4ylndxx4y . ao longo do retângulo de vértices (0, 0), (3, 0), (3, 2) e (0, 2), no 
sentido anti-horário; 
c) ( ) ( )∫ +−
C
2 dyxdxyx . ao longo do círculo 4yx 22 =+ , no sentido anti-horário; 
d) ∫ ⋅
C
rdF r
r
, sendo ( ) ( )0,yy,xF =r . C é o triângulo de vértices P(0, 1), M(3, 1) e N(2, 2) no sentido 
anti-horário. 
 
23. Use o Teorema de Green para calcular a área delimitada: 
 
a) Pela elipse ( ) ( ) 116y9x 22 =+ . 
 4
 
b) Pelas curvas ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]2,1t,t,ttr8,1t,t,4tq4,1t,1,ttp 32 ∈=∈=∈= e ; rrr . 
Respostas 
 
1. 
x 1 5t
y 2 2t , t
z 5t
= − +

= − ∈

=
� . 
2. 
x t
y 4 t , t
z 24 3t
=

= + ∈

= +
� , existem outras. 
 
3. a) ( ) ( ) ( )( ) [ ]pi∈= 2,0t,4, tsen2, tcos2tr r . 
 
 b) ( ) ( )32 , tt2t, tr =r . 
 
 c) ( ) ( ) ( )( ) [ ]pi∈+−= 2,0t,2, tsen10, tcos51tr r . 
 
 d) ( ) ( )( ) 0t,, etlnt, tr t >= r . 
 
 e) ( ) ( ) ( )41 5 41r t 1 cos t , sen t
2 2 2
 
= + ⋅ − + ⋅  
 
r
. Circunferência de centro ( )1, 5 2− e raio 41 2 . 
 
4. a) ( ) ( )q t i 2t j= +r rr . 
 
 b) ( ) ( ) ( ) 4q t 1 t 3 i 3 t j 4t k3pi = + + − + + − +  
rr rr
. 
 
 c) ( ) ( ) ( )q t 4 4t i 8 12t j= − + − +r rr . 
 
 d) ( ) ( ) ( ) ( )q t 1 3t i 1 3t j 3t 2 k= + + − + rr rr . 
 
5. ( ) ( )3, 2, 0 6, 5, 3 e 
 
6. a) ( ) 3 2f 3y , 9xy 2∇ = − . b) ( ) 2 22 x y 2 x yf 4xe , e+ +∇ = . 
 c) ( ) ( )( ) 2 2f 2 y x y , 2x x y− −∇ = − − − . d) ( ) 2 1f 2y, 2x z , 2yz z−∇ = + + . 
 
7. a) ( ) ( )xcosxsen2Fdiv =r . b) 22 yxz3xy4Fdiv ++=r . c) ( ) x1xFdiv +=r . 
 
8. a) ( ) ( )( ) rotF ysen xy x cos xy k= − − rr . b) ( ) ( ) 2rot F 1 3x i 3z 2x k= − − + − rr r . 
 9. a) não. b) sim. 
 12. a) sim. b) sim. 
13. a) ( )12214 − . b) 12. c) 8. 
 
14. a) ( ) 12155 − . b) 4pi . 
 15. a) 34/7. b) 0. c) (1/12).(3e4 + 6e−2 −12e + 8e3 − 5). d) −1/2. 
 5
 16. a) 15/2. b) 6. c) 7. d) 29/4. 
 17. 9/2 nos dois casos. 
 18. 412/15. 
 19. 13.. 
 20. 1; O trabalho é igual. 
 21. a) 2/3. b) 2/3. 
 22. a) 8. b) −36. c) 8 pi. d) −3/2. 
23. a) 12pi. b) 47/5.