ESTUDO DA RETA

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ESTUDO DA RETA
Seja a reta r que contém o ponto 
 e é paralela ao vetor 
. Um ponto P(x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, 
, onde t é um número real.
		
	onde 
Em termos de coordenadas, temos:
Denominada Equação Vetorial da Reta.
Denominamos 
de vetor diretor da reta e t de parâmetro.
									 y
								P		 r
										 
					 A
												 x
							 z
Exemplo:
Determine a equação vetorial da reta r que passa por A( 2, 1, -3 ) e tem a direção de 
.
	Solução:
 para algum real t.
Obs: Para se obter um ponto desta reta basta atribuir a t um valor particular. Por exemplo, para t = 3.
( x, y, z ) = ( 2, 1, -3 ) + 3( 3, -2, 2 )
( x, y, z ) = ( 2, 1, -3 ) + ( 9, -6, 6 )
( x, y, z ) = ( 11, -5, 3 ) que é um ponto da reta
Equações Paramétricas da reta
Dada a equação vetorial da reta:
Obtém-se 
que são as equações paramétricas da reta
Exemplo:
Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A (0, -7, -1) e é paralela ao vetor 
	Solução:
Equação vetorial 
Equação paramétricas 
Exemplo:
Dado o ponto A( 2, 1, 3 ) e o vetor 
, determinar:
As equações paramétricas da reta que passa por A e tem direção de 
Três pontos de r, B, C e D de parâmetros t = 1, t = 2, t = 3, respectivamente.
O ponto de r cuja abscissa é 6.
Verificar se os pontos E( 7, 11, 18 ) e F( 5, 3, 12 ) pertencem a r.
	Solução:
a) 
b) t = 1 
	B( 3, 3, 6 )
t = 2 
	C( 4, 5, 9 )
t = 3 
	D( 5, 7, 12 )
c) então 
		
como t = 2		
Portanto o ponto é ( 6, 9, 15 )
d) Um ponto pertence a r se satisfaz as equações de r.
E( 7, 11, 18 )
F( 5, 3 12 )
No caso da reta definida por dois pontos podemos escolher o ponto da reta como sendo A ou B, isto é a reta que passa por A(ou B) e tem a direção do vetor 
Exemplo:
Escrever as equações paramétricas da reta que passa por A (5, 1, 3) e B (2, -2, 1).
	Solução
Escolhemos 
Então r = 
De modo equivalente das equações paramétricas 
, 
, 
 com 
, temos 
, 
, 
, então por comparação temos 
 que são as equações que passam pelos pontos 
 e tem a direção do vetor (a, b, c).
Exemplo:
Seja a reta que passa pelo ponto 
 e tem a direção do 
. Sua equação simétrica será 
Equações reduzidas da reta.
Obtêm-se as equações reduzidas a partir das equações simétricas, expressando duas variáveis y e z em função de x. Estas equações serão sempre na forma reduzida.
Exemplo:
Expressar as equações reduzidas da reta r que passa pelo ponto A (2, 3, 5) e paralela ao vetor 
Solução:
As equações paramétricas são:
isolando y e z em função de x, obtemos:
Onde: 
 são as equações reduzida de r, em função da variável x.
Ângulos entre duas retas
	z 
	 (
		
			r1
 (
			
			 y
 x
Denominamos ângulo entre duas retas 
 e 
 o menor ângulo entre os seus vetores diretores.
Sendo zero este ângulo e 
 temos 
Exemplo:
Determinar o ângulo entre as retas 
 e 
Solução:
 e 
�
EXERCÍCIOS SOBRE A RETA
Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A (3,2,-5) e tem direção do vetor 
Verifique se os pontos P (9,-6,-1) e Q (3,-2,2) pertencem à reta do exercício anterior.
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(2,-3,4) e é paralela ao vetor 
Determine o ponto da reta do exercício anterior quando t = 3.
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A (2,3,-4) e B (1,5,2).
Determine as equações simétricas da reta que passa por A (2,1,6) e B (-3,4,-1).
Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A (-2,3,-2) e tem direção do vetor 
.
Verifique se os pontos A (7,4,-7), B (5,2,-6) e C (-1,-4,-3) são colineares.
Verifique se os pontos P1 (5,-5,6) e P2 (4,-1,12) pertencem à reta de equações 
Calcule m e n para que o ponto P (3,m,n) pertença à reta de equações 
Verifique se os pontos A (-1,4,-3), B (2,1,3) e C (4,-1,7) são colineares.
Calcule o valor de m para que os pontos A (3,m,1), B (1,1,-1) e C (-2,10,-4) sejam colineares.
Calcule o ângulo entre as retas:
a) r: 
 e s: 
b) t: 
 e u: 
c) v: 
 e w: 
d) p: 
 e q: 
Determinar o valor de n para que seja de 30º o ângulo entre as retas: 
r: 
 e s: 
Calcular o valor de m para que as retas seguintes sejam paralelas:
r: 
 e s: 
Verifique se as retas abaixo são paralelas ou ortogonais:
a) r1 definida por A1(-3,4,2) e B1(5,-2,4) e r2 definida por A2(-1,2,-3) e B2(-5,5,-4)
b) r1: 
 e r2: 
Calcular m para que as retas abaixo sejam ortogonais:
r: 
 e s: 
A reta que passa pelos pontos A(-2,5,1) e B(1,3,0) é paralela à reta determinada por C(3,-1,-1) e D(0,y,z). Determine o ponto D.
A reta r: 
 é ortogonal à reta determinada pelos pontos A (1,0,m) e B (-2,2m,2m). Calcule m.
Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
a) r: 
 e s: 
b) u: 
 e v: 
c) t: 
 e w: 
Calcular o ponto de intersecção entre as retas:
a) p: 
 e q: 
b) r: 
 e s: 
c) t: 
 e u: 
d) v: 
 e w: 
Dadas as retas abaixo, determinar:
a) o ponto de intersecção entre s e t;
b) o ângulo entre r e s.
r: 
 s: 
 t: 
Dadas as retas abaixo, calcule:
a) o valor de m para que as retas r e s sejam concorrentes;
b) o ponto de intersecção entre estas retas para este valor de m.
r: 
 s: 
RESPOSTA
�
(x,y,z) = (3,2,-5) + t.(3,-4,2)
P(sim; Q(não
P(14,6,1)
Sim 
Somente P1
m= -2; n= -5
Sim
m = – 5
a) 60º b) 30º c) 30º d) 48º11’
7 ou 1
a) Paralelas; b) Ortogonais
m = – 8
D(0,1,0)
m = 1 ou m = 
a) 4 b) –7 c) 
a) (1,2,3) b) (4,3,9) c) (2,1,-2) d) (1,-5,5)
a) (2,4,-1) b) 73º13’
a) m = 2 b) (-1,-1,-2)
�
�
O PLANO
Dado um ponto 
 pertencente a um plano ( e seja 
 um vetor ortogonal a um plano.
Um ponto P( x, y, z ) pertence a (, se o vetor 
 ortogonal a 
.
 e sendo 
, teremos:
que é a equação geral do Plano
Exemplo
Obter a equação geral do plano, que passa pelo ponto 
 e tem 
 como um vetor normal.
Solução:
como 
é normal ao plano, 
 e P é um ponto do plano 
 d = -3
então a equação geral do plano é
Exemplo
Determine a equação cartesiana do plano que contém o ponto P( 1, -1, 2 ) e é perpendicular ao vetor 
.
Solução
como 
 é normal ao plano, 
e pertence ao plano 
 d = -7
então a equação geral do plano é
Equação vetorial e Equações Paramétricas do plano sendo 
 um ponto pertencente a um plano e 
 dois vetores paralelos a estes plano, porém 
 não paralelos.
Um ponto P( x, y, z ) pertence ao plano se, e somente se, existem números reais h e t tais que 
, ou em coordenadas
 com 
que é a equação vetorial do plano.
 Os vetores 
 são os vetores diretores do plano.
Obtém-se
 ou ainda 
 que são as equações paramétricas do plano.
Exemplo
Obter a equação vetorial do plano que passa pelo ponto A ( 2, 3, 1 ) e é paralela aos vetores 
Solução:
Equação vetorial : ( x, y, z ) = ( 2, 3, 1 ) + h( 2, 1, -1) + t( 1, 1, -2 )
Equações paramétricas 
Como o vetor 
É simultaneamente ortogonal a 
, ele é um vetor normal ao plano.
Então 
como A pertence ao plano 
então a equação geral do plano é
Equação do plano que passa por três pontos
Através do produto misto é possível obter a equação do plano que passa por três pontos. Uma condição necessária e suficiente para que um ponto P pertença ao plano determinado pelos pontos 
 é que 
 sendo 
, em termos de coordenadas podemos escrever:
 ou ainda 
onde :
Exemplo
Obter a equação cartesiana do plano que passa pelos pontos 
Solução:
 onde 
Exemplo:
Obter a equação geral do plano que passa pelos pontos 
Solução:
onde 
�
EXERCÍCIOS SOBRE O PLANO
Determine a equação do plano que passa pelos pontos M(3,0,1), N(2,6,-1) e Q(4,1,0).
Verifique se os pontos (3,0,1), (2,6,-1), (4,1,0) e (2,-1,3) pertencem ao mesmo plano.
Determine a equação do plano que passa pelo ponto A(3,-2,4) sendo o vetor normal 
Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,-1,3), sendo 
um vetor normal a ele.
Determine a equação do plano que passa pelo ponto A(3,1,-4) e é paralelo ao plano 2x-3y+z-6=0.
Estabelecer a equação geral do plano que passa pelos pontos A(2,1,-1), B(0,-1,1) e C(1,2,1).
A equação de um plano é y = 3. Descreva como se apresenta este plano em relação aos eixos x, y, z.
Determine o ângulo entre os planos (1: 2x-3y+5z-8=0 e (2: 3x+2y+5z-4=0.
Dado o plano (: 2x+3y+z-6=0, determine:
Os pontos onde intercepta os eixos x, y e z.
O perímetro do triângulo formado por estes pontos.
Represente geometricamente este triângulo.
Determine a equação do plano, em cada caso:
Que passa pelos pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1) e C(1,1,-1).
Que passa pelos pontos A(2,1,0), B(-4,-2,-1) e C(0,0,1).
Que passa pelos pontos A(0,0,0), B(),3,0) e C(0,2,5).
Que passa pelo ponto A(1,7,2) e tem vetor normal 
Que passa pelo ponto A(0,-1,2) e tem vetor normal 
Calcular a equação do plano que passa pelo ponto P(2,-1,6), sendo paralelo ao plano x-2y-3z+4=0.
Achar a equação do plano que passa pelos pontos A(0,3,0) e B(4,0,0), sendo perpendicular ao plano 4x-6y-z-12=0.
Calcular a equação do plano que passa pelos pontos A(2,-1,6) e B(1,-2,4), sendo perpendicular ao plano x-2y-2z+9=0.
Achar a equação do plano que passa pelo ponto A(3,2,-4), sendo perpendicular aos planos x-3y+2z+5=0 e 2x+y-z+7=0
Um plano passa pelos pontos (1,1,1), (1,0,0) e pela origem. Determine a equação deste plano.
Seja o paralelepípedo de dimensões 2, 3 e 4 representado abaixo:
Determine:
As equações da reta que passa por AF.
As equações da reta que passa por AB.
As equações da reta que passa por EF.
As equações da reta que passa por AC.
As equações da reta que passa por 0A.
A equação do plano que contém os pontos ABCD.
A equação do plano que contém os pontos ABGF.
RESPOSTAS
�
4x+3y+7z-19=0
Não
4x+3y-2z+2=0
3x+2y-4z+8=0
2x-3y+z+1=0
3x-y+2z-3=0
Plano paralelo ao plano x0z, passando por y=3
48º51’
a) (3,0,0), (0,2,0), (0,0,6) b) 
a) 4x+5y+3z-6=0 b) x-2y=0 c) x=0
d) x+7z-15=0 e) 2x-y-6z+11=0 
x-2y-3z+14=0
3x+4y-12z-12=0
2x+4y-3z+18=0
x+5y+7z+15=0
y-z=0
a) 
 b) 
 b) 
 d)
 e) 
f) z=3 g) y=4
�
�
Bibliografia:
BÁSICA:
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000. 232p.
STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. 583p.
HOWARD, A., RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Artmed Editora Ltda, 2001.572p.
KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil ltda, 1998.554p.
COMPLEMENTAR:
BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. São Paulo: Harbra. 1980. 411p.
BOULOS, P., CAMARGO, I. Geometria analítica - um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.385p.
JÚNIOR, O. G. Matemática por assunto – Geometria Plana e Espacial (nº 6). São Paulo. Ed. Scipione, 1988. 
MACHADO, A. dos S. Matemática temas e Metas – Áreas e Volumes (nº 4). São Paulo. Atual Editora. 1988.
MACHADO, A. dos S. Matemática temas e Metas – Sistemas Lineares e Combinatória (nº 3). São Paulo. Atual Editora. 1988.
LIPSCHUTS, S., LIPSOM M.L., Algebra Linear. São Paulo. 3°ed. BOOKMAN.2004, 400 p
REIS, G. L. e Silva V. V., Geometria Analítica. São Paulo: 2° ed. LTC. 1996. 242 p.
SANTOS, N. M. dos. Vetores e Matrizes. São Paulo: Thomson Learning, 2007. 287p.
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