Lista12013IIcompletadd

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
MAT 141 - Ca´lculo Diferencial e Integral I 2013/II
1a Lista de Exerc´ıcios - Func¸o˜es, Limites e Continuidade 12
1. Estude a variac¸a˜o de sinal (f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0) das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x+ 5,
(b) f(x) = −3x+ 9,
(c) f(x) = 2− 3x,
(d) f(x) = x2 − 5x+ 6,
(e) f(x) = −x2 + 4x,
(f) f(x) = −x2 + 4x− 13.
2. Determine o domı´nio, as ra´ızes e o estudo de sinal das func¸o˜es a seguir:
(a) f(x) =
x2 − 3x− 4
x− 2 , (b) f(x) =
√
x+ 3
x− 5, (c) f(x) =
√
x2 + x− 6
x2 − x− 6.
3. Determine o conjunto soluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es modulares:
(a) |x2 − 3| = 13,
(b) |x+ 3| = 2x− 5,
(c) |x|2 − 5|x|+ 6 = 0,
(d) |x+ 3|+ |x− 2| = 4.
4. Determine o conjunto soluc¸a˜o das seguintes inequac¸o˜es modulares:
(a) |x2 − 6| < 3,
(b)
∣∣∣∣x+ 1x− 1
∣∣∣∣ ≥ 2,
(c) |x+ 2| − |x− 3| > x,
(d) (d) |x− 2| − |x+ 3| > x2 − 4x+ 3.
5. Deˆ o domı´nio, os zeros, o conjunto imagem e esboce o gra´fico de cada func¸a˜o abaixo:
(a) f(x) = |x|,
(b) f(x) = |2x+ 1|,
(c) f(x) = |x+ 1| − 1,
(d) f(x) = x · |x| − x,
(e) f(x) =
{
1− x2 se |x| ≤ 1
|x| se |x| > 1 ,
(f) f(x) =
∣∣∣x− 4|x|+ 3∣∣∣,
(g) f(x) =

1
x
se x > 3
2x se x ≤ 3
.
1Lista elaborada por: Ariane P. Entringer, Dylene Agda Souza de Barros e L´ılian Neves Santa Rosa. DMA - UFV
2Esta lista e´ um complemento dos exerc´ıcios do livro texto e na˜o engloba todo o conteu´do da primeira prova.
1
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6. Seja f(x) =
√
x+ 1 + 4. Determine:
(a) O domı´nio de f ; (b) f(t2 + 1); (c) A imagem de f .
7. Dado g(x) =
x+ 1
x− 1, determine g(0), g(3), g(−1) e g(t
2 − 1).
8. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es.
(a) f(x) =
1
x− 3;
(b) f(x) =
√
x2 − 3;
(c) f(x) =
√
x2 − 2x+ 5;
(d) f(x) =
x
|x| ;
(e) f(x) =
1
1− sen x ;
(f) f(x) =
√
x− 3x2.
9. Use a equac¸a˜o y = x2 − 6x+ 8 para responder as seguintes questo˜es.
(a) Para quais valores de x vale y = 0?
(b) Para quais valores de x vale y = −10?
(c) Para quais valores de x vale y ≥ 0?
(d) Tera´ y um valor mı´nimo? Um valor ma´ximo? Se assim for, determine-os.
10. Expresse cada uma das func¸o˜es na sua forma por partes.
(a) f(x) = |x|+ 3x+ 1;
(b) f(x) = |x|+ |x− 1|;
(c) f(x) = 3 + |2x− 5|;
(d) f(x) = 3|x− 2| − |x+ 1|.
11. Seja f(x) = [[x]] a func¸a˜o maior inteiro, isto e´, [[x]] = max{n ∈ Z|n ≤ x}. Calcule f(1/2), f(5),
f(pi) e f(−pi). Em seguida, determine a imagem e esboce o gra´fico de f .
12. Em cada item, obtenha as leis que definem f ◦ g e g ◦ f .
(a) f(x) =

x2 + 2 se x ≤ −1
1
x− 2 se −1 < x < 1
4− x2 se x ≥ 1
e g(x) = 2− 3x
(b) f(x) =

1 se x < 0
2x2 se 0 ≤ x ≤ 1
0 se x > 1
e g(x) =

x se x < 0
0 se 0 ≤ x ≤ 1
1 se x > 1
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MAT 141 - Ca´lculo Diferencial e Integral I 3
13. Considere as func¸o˜es
f(x) =

−2x− 1 se x ≤ 0
x2 − 3 se 0 < x ≤ 3
x se x > 3
e g(x) =
√
1− x.
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
(b) Determine o domı´nio de g ◦ f .
(c) Encontre (g ◦ f)(x).
14. Seja g : R → R definida por g(x) = x2. Determine a imagem e esboce o gra´fico de f ◦ g, onde
f e´ a func¸a˜o maior inteiro.
15. Determine a imagem e esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) h(x) = [[x]] + [[−x]]; (b) g(x) = [[cosx]].
16. Classifique cada uma das func¸o˜es abaixo como par, ı´mpar ou nenhum desses casos.
(a) f(x) = |x|;
(b) f(x) = 2;
(c) f(x) = [[x]];
(d) f(x) = |x+ 1|;
(e) f(x) = cosh(x);
(f) f(x) = senh(x).
17. Seja f : R→ R uma func¸a˜o. Determine se cada uma das func¸o˜es a seguir pode ser classificada
como par ou ı´mpar. Justifique sua resposta.
(a) g(x) =
f(x) + f(−x)
2
; (b) h(x) =
f(x)− f(−x)
2
.
18. Seja f : R → R uma func¸a˜o. Mostre que f pode ser escrita como soma de uma func¸a˜o par e
uma func¸a˜o ı´mpar.
19. Atrave´s dos seguintes gra´ficos, classifique cada func¸a˜o como par, ı´mpar ou nenhum desses casos.
(a) (b)
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(c)
(d)
(e)
(f)
20. Determine o domı´nio e o contradomı´nio para que cada uma das func¸o˜es a seguir seja invers´ıvel
e obtenha a expressa˜o para a inversa:
(a) f(x) = ax+ b , a 6= 0,
(b) f(x) =
1
1− x ,
(c) f(x) =
√
x− 4,
(d) f(x) =
x
x− 1,
(e) f(x) = 1−√1− x2,
(f) f(x) =
x
1− x2 .
21. Dadas as func¸o˜es a seguir, verifique se sa˜o invers´ıveis e, em caso afirmativo, determinar sua
inversa.
(a) f(x) =
{
−x2 se x ≥ 0
|x| se x < 0
(b) f(x) =
{
x2 se x ≥ 0
2x se x < 0
(c) f(x) =

x2 − 4x+ 7 se x ≥ 2
2x− 1 se −1 < x < 2
−x2 − 2x− 4 se x ≤ −1
22. A func¸a˜o f definida em IR por f(x) = |x+ 2|+ |x− 1| admite inversa?
23. Suponha que f seja invers´ıvel e crescente. Sua inversa e´ crescente ou decrescente?
24. Se uma func¸a˜o f e´ invers´ıvel e coˆncava para cima, o que se pode dizer a respeito da concavidade
de sua inversa?
25. Determine o per´ıodo, a imagem e construa o gra´fico de cada uma das func¸o˜es abaixo:
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(a) f(x) = 1 + sen(2x),
(b) f(x) = 2− 3 cos(x),
(c) f(x) = cos(4x),
(d) f(x) = 2 cos
(
x
3
)
− 3,
(e) f(x) = sen
(
2x− pi
3
)
,
(f) f(x) = 2 cos
(
x− pi
3
)
,
(g) f(x) = tg
(
2x+
pi
6
)
,
(h) f(x) = cotg
(
x− pi
3
)
,
(i) f(x) = sec(2x),
(j) f(x) = cossec
(
x+
pi
4
)
.
26. Determine o domı´nio, o conjunto imagem e esboce o gra´fico das func¸o˜es a seguir:
(a) f(x) = arccos(3x)
(b) f(x) = arctg
(
x
2
) (c) f(x) = 2 arcsen(2x)
27. Construir os gra´ficos das func¸o˜es definidas por:
(a) f(x) = ex,
(b) f(x) = 3x,
(c) f(x) =
(
1
2
)x
,
(d) f(x) =
(
1
3
)|x|
,
(e) f(x) = 2−x,
(f) f(x) = 21−x.
28. Construir os gra´ficos das func¸o˜es definidas por:
(a) f(x) = log3 x,
(b) f(x) = log 1
3
x,
(c) f(x) = lnx,
(d) f(x) = log2 |x|,
(e) f(x) = | log2 x|,
(f) f(x) = log2 x
2.
29. Usando a te´cnica de translac¸a˜o de gra´ficos, fac¸a o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) y =
1
x− 2;
(b) y = (x+ 1)3;
(c) y = x2 + 6x+ 4;
(d) y =
1
x
+ 2;
(e) y = |x− 2|;
(f) y =
√
x+ 5;
(g) y = x2 + 2x;
(h) y = |x|+ pi;
(i) y = (x− 2)2;
(j) y = 3x + 1.
30. Demonstre as seguintes identidades.
(a) senh(x+ y) = senh(x)cosh(y) + senh(y)cosh(y);
(b) cosh(x+ y) = cosh(x)cosh(y) + senh(y)senh(y);
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(c)
1 + tgh(x)
1− tgh(x) = e
2x;
(d) cosh(x)2 − senh(x)2 = 1.
31. Prove, usando a definic¸a˜o, que o limite de cada func¸a˜o e´ o resultado indicado.
a) lim
x→2
7 = 7
b) lim
x→4
(2x+ 1) = 9
c) lim
x→−2
(1 + 3x) = −5
d) lim
x→−1
x2 − 1
x+ 1
= −2
e) lim
x→5
(x2 − 3x) = 10
f) lim
x→2
(x2 + 2x− 1) = 7
g) lim
x→2
1
|x− 2| = +∞
h) lim
x→2−
3x− 6
(2− x)2 = −∞
i) lim
x→+∞
x+ 3
x2 − 5x+ 8 = 0
j) lim
x→−∞
x+ 4
2x− 3 =
1
2
k) lim
x→+∞
2x2 − 6
1− x = −∞
32. Calcule os seguintes limites.
a) lim
x→3
4x− 5
5x− 1
b) lim
x→1
√
8x+ 1
x+ 3
c) lim
x→−3
3
√
5 + 2x
5− x
d) lim
x→−1
(x+ 4)3
x+ 2
e) lim
x→2
x
√
x−√2
3x− 4
f) lim
x→7
x2 − 49
x− 7
g) lim
x→1/3
3x− 1
9x2 − 1
h) lim
s→1
s3 − 1
s− 1i) lim
h→−1
√
h+ 5− 2
h+ 1
j) lim
h→0
3
√
h+ 1− 1
h
33. Determine os seguintes limites:
a) lim
x→−2
x3 − x2 − x+ 10
x2 + 3x+ 2
b) lim
x→0
(2 + x)4 − 16
x
c) lim
x→+∞
2x− 5
x+ 2
d) lim
x→−∞
2x3 − 3x+ 5
4x5 − 2
e) lim
x→−∞
2x+ 5√
2x2 − 5
f) lim
x→+∞
x(
√
x2 + 1− x)
g) lim
x→+∞
(
√
x2 + 1−
√
x2 − 1)
h) lim
x→+∞
(
√
x2 + x− x)
i) lim
x→+∞
(
3
√
x3 + 1− x)
j) lim
x→+∞
√
x+
√
x+
√
x
√
x+ 1
k) lim
x→3+
x
x− 3
l) lim
x→3−
x
x− 3
m) lim
x→2+
1
|x− 2|
n) lim
x→2−
1
|x− 2|
o) lim
x→−∞
√
x2 + 4
x+ 4
34. Use a definic¸a˜o de limite para provar que se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M enta˜o
lim
x→a
[f(x)− g(x)] = L−M.
35. Em cada item, determine o limite, se existir. Se na˜o existir, indique a raza˜o disto.
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a) lim
x→−2
x3 + 8
2x2 + 6x+ 4
.
b) lim
x→+∞
senx
x
.
c) lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
, onde f(x) = 3
√
x.
d) lim
x→2
[|x|].
e) lim
x→3
(
[|x|] + [|4− x|]
)
.
36. Verifique se as seguintes func¸o˜es possuem ass´ıntotas horizontal e vertical, em caso positivo,
determine a(s) ass´ıntota(s).
a) f(x) =
2x+ 1
x− 3 ,
b) g(x) = 1− 1
x
,
c) h(x) =
x2 − x+ 1
x− 1 ,
d) f(x) =
4x√
x2 + 5x+ 4
,
e) g(x) = ln |x|, x 6= 0.
37. a) Mostre que mesmo que x = 0 anule o denominador de
√
x+ 1− 1
x
, a reta x = 0 na˜o e´
ass´ıntota vertical da func¸a˜o f(x) =
√
x+ 1− 1
x
.
b) Mostre que apesar de x = 0 na˜o anular o denominador x+ 1 de
1 + 1
x
x+ 1
, a reta x = 0 e´ uma
ass´ıntota vertical da func¸a˜o g(x) =
1 + 1
x
x+ 1
.
38. Verifique se a func¸a˜o e´ cont´ınua em a, justifique sua resposta. Fac¸a tambe´m um esboc¸o do
gra´fico da func¸a˜o.
a) f(x) = 3x+ 1, a = 2.
b) f(x) =
x2 + x = 6
x+ 3
, a = −3.
c) f(x) =

1
x+ 2
, se x 6= −2
0, se x = −2
, a = −2.
d) f(x) =

x2 + x− 2
x− 1 , se x 6= 1
2, se x = 1
, a = 1.
e) f(x) =

x2 − 4, se x < 2
4, se x = 2
4− x2, se x > 2
, a = 2.
f) f(x) = [|x|], a = 4.
39. Em cada item, defina f ◦ g e determine os nu´meros nos quais f ◦ g e´ cont´ınua.
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MAT 141 - Ca´lculo Diferencial e Integral I 8
a) f(x) =
√
x e g(x) = 9− x2.
b) f(x) =
1
x2
e g(x) = x+ 3.
c) f(x) =
√
x e g(x) =
1
x− 2.
40. Determine os valores da constantes C e K que tornam a func¸a˜o cont´ınua em (−∞,+∞) e fac¸a
um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o resultante.
a) f(x) =

x, se x ≤ 1
Cx+K, se 1 < x < 4
−2x, se x ≥ 4
, b) f(x) =

x3 − 8
x− 2 , se x 6= 2
C, se x = 2
.
41. Se f(x) = x2 + 10sen x, mostre que existe um nu´mero c tal que f(c) = 1000.
42. Mostre que a equac¸a˜o x3 + x+ 3 = 0 possui uma raiz entre -2 e -1.
43. Suponha f cont´ınua em [1, 5] e que as u´nicas soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(x) = 6 sa˜o x = 4 e x = 1.
Se f(2) = 8, explique por que f(3) > 6.
44. Calcule os seguintes limites, se existirem.
a) lim
x→0
sen 4x
x
b) lim
x→0
2x
sen 3x
c) lim
x→0
sen 9x
sen 7x
d) lim
x→0
sen5 2x
4x5
e) lim
x→0
x
cosx
f) lim
x→0
1− cos 4x
x
g) lim
x→0
3x2
1− cos2 1/2x
h) lim
t→0+
sen t
t2
i) lim
x→0
(1− 2x)1/x
j) lim
x→+∞
(1 + 3/x)x
k) lim
x→0
e2x − 1
x
l) lim
x→0+
3x − 1
x2
45. Encontre os seguintes limites.
a) lim
x→0
x cos
1
x
b) lim
x→3
g(x), se |g(x) + 4| ≤ 2(3− x)4 para todo x.
c) lim
x→1
[
(x− 1)2sen 1
3
√
x− 1
]
d) Se |f(x)| ≤ K|x− a| para todo x 6= a, onde K e´ uma constante, prove que lim
x→a
f(x) = 0.
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